2022-2023学年广东省惠州市博罗县高一上学期期中数学试题（解析版）.pdf

2022-2023学年广东省惠州市博罗县高一上学期期中数学试题一、单选题1.已知全集。=卜 *卜4 7 ,集合A=1,2,3,4,8=1,3,5,则g(A u B)=()A.1,2,3,4,5 B.0,135,6,7 C.0,6,7 D.6,7【答案】D【分析】由集合的交并补运算即可求解.【详解】U=X GN*|X47=1,2,3,4,5,6,7,A=1,2,3,4),B=1,3,5),故 AU8=1,2,3,4,5,U8)=6,7.故选:D2.命题“对任意a e R,都有0的否定为()A.对任意a e R,都有,/o B.对任意a R,都有Y v。C.存在a e R,使得D.存在a g R,使得2。【答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得答案.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意a e R,都 有/0的否定为：存在小e R,使得q 0.故选：C3.设集合A=xlx a ,若 A g B,则。的范围是()A.a2 B.a D.a NB.MNC.M ND.M 0 恒成立，所以A/N.故选：A.5.0 x 2”是“/一%-6 0”的()A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分析两个集合4 =幻0 犬 2 和 8 =闺-2 、3 的关系，从而推出命题之间的关系【详解】解不等式-犬-6 0,得-2 x 3而集合A =x|0 x 2 是集合3=x|2 x 3 的真子集，所以 0 x 2”是“F x 6 0”的充分而不必要条件故选：B6.已知函数“X)为一次函数，且 3)=7,4 5)=7,则/=()A.15 B.-15 C.9 D.-9【答案】A【分析】先求出函数的解析式，再 把 1代入即可求解.【详解】设 无)=玄+则 忆3k +八 b=7，解得(Lk=-Az 7 5k+b=-b=i9.-./(x)=M x+19,.=-4+19 =15.故选：A,/、2-x,x/(3a-4)的解集为().2.-XA.(5,+o o)B.-3,+8)【答案】A【分析】分析/（X）的单调性，利用单调性即可解得不等式.【详解】当x0时，X）=2 X 单调递减，且 x）/（o）=2 0=2；当x N O 时，司=2 炉单调递减，且/（X）4/（。）=2 0=2；故 x）在（F,+W）上单调递减，所以2 +1初-4,解得。5.故选：A.8.历史上第一个给出函数一般定义的是19 世纪德国数学家狄利克雷（D ir ic h let）,当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄L x e Q利克雷在18 29 年给出了著名函数:/。）=（其中。为有理数集，Q.为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：O（x）=L （其中a,6 e R,且 出b）,以下对。（x）说法错误的是（）b,xeQcA.定义域为RB.当。b 时，。（外的值域为出；当4 V b 时，的值域为3,加C.为偶函数D.。）在实数集的任何区间上都不具有单调性【答案】B【解析】无理数集和有理数集的并集是实数集，A易判断；Q。）的函数值只有两个，故 B易判断；分xeQ和x e Q,两种情况，判断C即可；根据实数的稠密性易判断D项.【详解】解：显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故 A正确;的函数值只有两个，。的值域为彷 ，故 B错误；若 x e Q,贝!J-xeQ,D（x）=（-x）=a ；若 则-x e Q,D（x）=D（-x）=b；所以。（x）为偶函数，故 C正确；由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在4、匕之间无间隙转换，所以。（X）在实数集的任何区间上都不具有单调性，故 D正确.故选：B二、多选题9.与不等式V-x+2()的解集相同的不等式有()A.-X2+X-2 0C.x x+30 D.x?+x-2 0【答案】ABC【分析】不等式V-x+2 0的解集为R,再求出各个选项的不等式的解，即得解.【详解】解：因为A=(-1)2-4X2=-7 0的解集为R,A.A=1-4X(-1)(-2)=-7 0,二次函数的图象开口朝下，所以一/+*-2 0的解集为R；B.A=(-3)2-4X2X2=-7 0的解集为R;C.A=(-l)2-4xlx3=-l l 0,所以(X+2)(X-1)0,;.X1 或 0A./*)=田 与 g(x)=4,八 表示同一函数B.函数y =/Q)的图象与直线X=1 的交点最多有1 个C.已知 f(x)=ax3+Z?x +(gb w 0),若“2 0 2 2)=%,则/(-2 0 2 2)=2-、.D.若/(x)=k-l|-x,则=0【答案】B C【分析】根据函数定义域即可判断A选项；根据函数的映射不可以一对多即可判断B选项；根据/。)+/(-工)=2 即可判断 选项；先求，(|，再 求 即 可 求 解.【详解】对于A,函数/(力=区的定义域为(f,0)U(0,E),函数g(x)=F：2 八定义域为R,两函数的定义域不同，所以不是同一函数，故 A错误；对于B,若函数y =f(x)在x =l 处有定义，则/(x)的图象与直线x =l 的交点有1 个；若函数y =/(x)在X =1 处没有定义，则/(X)的图象与直线X =1 没有交点，故 B正确；对于 C,f(x)=a r3+bx+(ahQ),所以/(-x)=-a r -f e x+l(a 分 片0),所以/(x)+/(r)=2,所以，若/(2 0 2 2)=%,则/(一2 0 2 2)=2-%,故 C 正确；对 于 D,由/)=,一 1 卜，可得=所以=/(0)=1,故 D错误；故选：B C.1 2.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在 砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若小融从家到学校往返的速度分别为。和b(0ab),其全程的平均速度为乙 则下列选项正确的 是()A.a v a 0,由基本不等式可得而 字,2abv=-a+b2ab2yahah2在+叶又 2ab(2 J a+b，v=-=0a+b a+b a+b:.v a 9所以 v v+?-2）”“为幕函数，则，”的值为：【答案】-|或1【分析】根据暴函数的定义可得2,T?+L2=1,解方程即可.【详解】解：因为函数丁 =（2/+?-2）口角为塞函数，贝112,7+加一2=1,3即2m2+m-3=0,解得m=一7或/=1.23故答案为：一,或L14.已知一14。43,l b 2ae-2,6,*el,2=-ie-2,-l故答案为：-4,51 5.已知y =为R上的偶函数，且当*2 0 时，/(x)=x-l,则不等式r/(x)0 x 0【分析】由题可得函数的图象，又不等式x.7(x)0 等价于或即得,【详解】y =/(x)为 R上的偶函数，且当时，x)=x l,所以可知函数图象关于V轴对称，可得函数图象如图所示，又不等式 小)-1)o(0,l).1 6.非空有限数集S 满足：若b e S,则必有b2,abeS.则满足条件且含有两个元素的数集 5=.(写出一个即可)【答案】0,1 (或 T 1 )【分析】设5 =。,可，结合题意与集合的性质分析即可.【详解】不妨设5 =。,可，根据题意有ab,b2e S所以a?,h2,必中必有两个是相等的.若贝 ija =-b,故“6 =-a?,又或片=b=-a,所以 a =0 (舍 去)或。=1 或。=一1,此时 S =-1,1 .若 a2=ab,则 a =0 ,此时b2=b,故b=l,此时 S =0,1 .若b?=ab,贝！J Z?=O,止 匕 时a2=a,故。=1 ,此时 5 =0,1 .综上，$=0,1 或 5 =-1,1 .故答案为:0,1(或-1,1)四、解答题1 7.已知集合U=x|14x47,A=x|2x5,B=x|3x7.(1)求 A cB；求A)U8.【答案】(l)x3x5 x|l 4x2 或3xW7【分析】根据集合间的运算直接得解.【详解】(1)由 A=X|24X5,B=X|3X 7 ,得 AcB=x3x5；(2)由。=x|l 4x47,A=1x|2x5j,得dA=x|l 4x 2或54x47,故(电4)7 8=卜|14 2或3(x+l)+l-(ar2+/?x+l)=2x即 2ax+a+b=2x.得2a=2a+b=Q,所以a=lb=-所以/(%)=x2-x+l(2)法一：配凑法根据f(x+l)=2 x2+3 x+2 =2(x+i y-(x+l)+l .可以得至旷(x)=2 x+l.法二：换元法令x+l=f,则x=,-,/(/)=2(/-1)2+3(/-1)+2 =2 z2-r +l ./(X)=2X2-X+1.41 9.己知函数.x)=x+f(1)用单调性定义证明函数/(X)在(0,2)上为减函数;求函数/(x)在-2,I 上的最大值.【答案】(1)证明见解析 T【分析】(1)根据定义证明函数单调性即可.(2)根据题意得到函数/(x)为奇函数且 L 2 上为减函数，从而得到/(x)四=/(-2),即可得到结果.【详解】(1)证明：设对任意的。%当 2,则X,x2 xx2由题设可得，0 X 1 2,0 占 4,x,-%2 0,即“王)/).故函数 x)在(0,2)上为减函数.(2)由题知,f(_ x)=_x+5=_ 1 x+：)=_/(x),又 x)的定义域为 乂 X KO 关于原点对称，/(X)是奇函数.又 由 得“X)在 1,2 上为减函数,/(x)在 -2,-1 上也是减函数.二 函 数 在 -2,-1 上的最大值为/(幻3=/(-2)=-4.2 0.己知函数/（X）=f-X 4-A 7 7.当机=-2 时，求不等式,口)0 的解集;1 4(2)若机 0 时，/()0 的解集为(。,加，求上+；的最小值.【答案】小 2(2)9【分析】(1)直接解一元二次不等式即可；1 4 ,14、(2)先由韦达定理得。+6=1,用=机 0,再由一 +(a +工 结合基本不等式即可求解.【详解】(1)当帆=一2 时，X2-X-2 0,解得X 2,故不等式f卜)。的解集为 小 2 ；(2)若 x)0,则ci、0八,人h、0八 ,1 4=z(Q+,J)1 i4、=5,H b 1 4。、N 5厂 +.2 Jb-4-a=9八 力当口且/口仅 当比 一b =4a即 nn=二1,人.=二2时.a h a h ya b a b 3 3取等，故1 +；4的最小值为9.2 1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x 4 0 时，f(x)=x2+2 x,现已画出函数 x)在V轴左侧的图象，如图所示，请根据图象.补充完整图象并写出函数/(x X x e R)的增区间;写出函数力(X GR)的解析式;若函数g(x)=/(x)-2 6+l(xe l,2 ),求函数g(x)的最小值.【答案】(1)图见解析，递增区间为(T O)和(1,一)/(X)=0-2 a,0 g d =-a2-2a,0a 0 时，x 0),从而可得/(x)的解析式；(3)由(2),结合二次函数在闭区间上最值的求解方法即可得答案.【详解】(1)解：因为函数/(x)是定义在R上的偶函数，所以函数f(x)的图象关于y 轴对称,由对称性即可补充完整图象，如图所示:由图可知，函数/(X)的递增区间为(-1,0)和；(2)解：根据题意，当x 0 时，-x 0),所以/(x)=0(3)解：当 xe l,2 时，g(x)=x2-2x-2ax+=(x-l-a)2-cr-2a,对称轴为 x=l +a,当1 +4,1,即4,0 时，g(x)在 L 2 上递增，所以g(x)而n=g=-2。：当 1+&.2,即a.l 时,g(x)在 L 2 上递减，所以 g(x)1 r t_=g =1 4 a；当l l+a 2,即0 1 时，g(x)在 1,1+4上递减，在 1 +。,2 上递增，所以g(X)m i n =g(l+2”，-2a,0综 上,函 数 g(x)的最小值g(X)m i n =一 片-2,0 4 1 .1-4 ,a.A2 2.为响应国家提出的“大众创业万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业，生产某小型电子产品，经过市场调研，生产该小型电子产品需投入年固定成本2 万元，每生产x万件，需另投入波动成本皿(“万元，已知在年产量不足4万件时，W(x)=；/+4x,在年产量不小于4 万件时，卬(x)=7x+?-27,每件产品售价6元，通过市场分析，小王生产的产品当年能全部售完.(1)写出年利润尸(x)(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式(年利润=年销售收入-固定成本-波动成本.)(2)年产量为多少万件时，小王在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少？x2+2%2,0 x 4【答案】尸3=3 2 5 空 44X(2)当年产量为8 万件时，所获利润最大，最大利润为9 万元.【分析】(1)根据已知条件，结合年利润=年销售收入一固定成本-波动成本的公式，分0 x 4两种情况讨论，即可求解.(2)根据已知条件，结合函数的单调性，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解.【详解】(1)解：当 0 c x 4 时，P(x)=6x-2-(x2+4 x)=-x2+2 x-2 ,64 64当 x N 4 时，P(x)=6x-2-(7 x +-2 7)=2 5 x ,X X故年利润P(x)关于X的函数关系式为尸(X)二+2x-2,0 x4x(2)解：由(1)知，尸(力二1 9 X+2x-2,0r436425 x-u 3 4x当 0 x4 时，P(A-)=-1JT2+2X-2 =-1(X-3)2+1,故 P(x)在(0,3)上单调递增，在(3,4)上单调递减,所以 P*)3=P(3)=1,当 xN4 时，P(x)=25-(x+?卜 2 5 后=964当且仅当 即x=8时，等号成立,x故当年产量为8 万件时，所获利润最大，最大利润为9 万元.