2022-2023学年度北师大版八年级数学上册第一章勾股定理定向测试试题(含答案解析版).pdf

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理定向测试考试时间：9 0 分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分i o。分，考试时间9 0 分钟2、答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3,答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选 择 题30分）一、单选题（10 小题，每小题3 分，共计3 0 分）1,如图，在 2 X 2 的正方形网格中有9 个格点，已经取定点A 和 B,在余下的点中任取一点C,使AB C 为直角三角形的概率是（）2、在a AB C 中，AB=10,AC=2 疝T,B C 边上的高AD=6,则另一边B C 等 于（）A.10 B.8 C.6 或 10 D.8 或 103、若直角三角形的三边长分别为2,4,x,则 x的可能值有（）A.1个 B.2 个 C.3个 D.4 个4、如图，已知点E 在正方形AB C D 内，满足/AE B W0。，AE=6,B E=8,则阴影部分的面积是（）A.4 8 B.6 0C.76D.805、我国古代数学著作 九章算术中有这样一个问题：“今有方池一丈，葭生其中央，出水一 尺，引葭赴岸，适与岸齐.水深、葭长各几何？”.其大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1 0 尺(丈、尺是长度单位，1 丈=1 0 尺)的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水 面 1 尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水 的深度与这根芦苇的长度分别是多少？若设这跟芦苇的长度为x尺，根据题意，所列方程正确的是()A.I O 2+(X 1)2=X 2 B.10 2+(x 1)2 =(x+l)2C.52+(X 1)2=X 2 D.52+(x 1)2 =(x+l)26、在a A B C 中，Z A,Z B,N C的对边分别记为a,b,c,下列结论中不正确的是()A.如果N A-/B=N C,那么a A B C 是直角三角形B.如果a n b z C 2,那么A A B C 是直角三角形，且NC=90 C.如果NA ：Z B :Z C=1 ：3 ：2,那么A B C 是直角三角形D.如果山：b2:C 2=9：1 6：2 5,那么a A B C 是直角三角形7、若a,b 为直角三角形的两直角边，c 为斜边，下列选项中不能用来证明勾股定理的是)8、如图所示，将一根长为2 4 c m的筷子，置于底面直径为5 c m,高为1 2 c m的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为h e m,则h的取值范围是（）A.0 h W l lB.C.h2 1 2D.0 =2+4；2C、根据面积得到(a +b)2 =4 x：a b +c 2,整理得“2+6 2=02;D、根据面积得到：(a +b)2 =：c 2+2 x：a/?,整理得4 2+8 2=02.2 2 2故选：A.【考点】本题考查勾股定理的证明，熟练掌握利用图形的面积得出A c的关系，即可证明勾股定理.8、B【解析】【分析】根据题意画出图形，先找出h的值为最大和最小时筷子的位置，再根据勾股定理解答即可.【详解】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=2 4-1 2 =1 2 c m.当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB=/4 O +BC2 =V1 2 2 +5 2 =1 3 c m,A h=2 4 -1 3=l l c m.h的取值范围是l l c m Wh Wl 2 c m.故选：B.【考点】本题考查了勾股定理的实际应用问题，解答此题的关键是根据题意画出图形找出何时h有最大及最小值，同时注意勾股定理的灵活运用，有一定难度.9、B【解析】【分析】根据题意，画出图形，设旗杆AB=x米，则AC=(x+1)米，在Rt ABC中，根据勾股定理的方程(x+l)2=X2+4 2,解方程求得X的值即可.【详解】如图所示：设旗杆AB=x米,则AC=(x+l)米,在 Rta ABC 中，AC2=AB2+BC2,即(x+l)2=X2+4Z,解得：x=7.5.故 选B【考点】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的基本思路是是画出示意图，利用勾股定理列方程求解.1 0、D【解析】【分析】设 BE 为 x,则AE 为2 5-x,在Rr z M BE 由勾股定理有B b =A a +AE 2，即可求得B及1 3.【详解】设BE 为 x,则 DE 为 x,AE 为 2 5-x.四边形ABC。为长方形Z E AB=9 0.在Rt/ABE中由勾股定理有BEi=AB2+AE?即 X2=5 2 +(2 5 -X)2化简得5 0 x=6 5 0解得x=1 3故选：D.【考点】本题考查了折叠问题求折痕或其他边长，主要可根据折叠前后两图形的全等条件，把某个直角三角形的三边都用同一未知量表示出来，并根据勾股定理建立方程，进而可以求解.二、填空题1、1 0 万【解析】【分析】首先根据BC,AC的比设出BC,AC,然后利用勾股定理列式计算求得a,即可求解.【详解】解：VAC：BC=1 ：7,/.设 AC=a,贝！BC=7 a,VZ C=9 0 ,/.AB2 =AC2+BC2,/.1 0 0 2 3.2+(7 a)2,解得：a=l O0,.,.AC=IO77米.故答案为：1 0 户.【考点】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键.2、7.5【解析】【分析】由题意知AD+DB=BC+CA,设 B D=x,则AD=1 5 x,且在直角4 AC D中。+。2=人。2,代入勾股定理公式中即可求x 的值，树高CD=(5+x)米即可.【详解】解：由题意知AD+DB=BC+CA,且CA=1 0 米，BC=5 米，设 B D=x,则 AD=1 5 x,.在RtAACD中，由勾股定理可得：CD2+CA2=AD,即(1 5-J=(5+J+1 0 2,解得x=2.5 米，故树高为CD=5+x=7.5 (米)，答：树高为7.5 米.故答案为：7.5.【考点】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD+DB=BC+CA的等量关系，并根据勾股定理 C)2+C42=4O2列方程求解是解题的关键.3、撞布5 5【解析】【分析】根据勾股定理计算AC的长，利用面积差可得三角形ABC的面积，由三角形的面积公式即可得到结论.【详解】1 解：由勾股定理得：4，VSAABC=3 X 4-工 X 1X 2-工 X 3 X 2-L x 2 义 4=4,2 2 2.-.1ACBD=4,2g X2V?BD=4,.BD=也,5故答案为：w【考点】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键.4,18【解析】【分析】在aA B C中由等面积求出C=晟，8=日进而得到O 8=C 8-C =5-曰=,设 B E=x,进而DE=DB-BE=y-x,最后在RfAB,DE中使用勾股定理求出x即可求解.【详解】解：在 MAABC中由勾股定理可知：AC=qAB2-BC2=3,：-A C xB C =-A B xC D,2 2：.CD=LAB1 2TDB=CB-C D 4-=-,5 5在 中 由 勾 股 定 理 可 知:AD=AC2-CD2=F I=r9 1 6，DB=A B-A D =5-=,5 5设 BE=x,由折叠可知：BE=B E 且 DE=DB-BE=1-x,在 R/ADEB中由勾股定理可知：DEi+B D2=B E2 代入数据:（l；-x +（：）2=x2,解得 x=2.AE=A B-B E =5-2 =3,：.SAACE1 AExCD=1 X3X12=182 2 5 5故答案为：y【考点】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段长.5、24【解析】【分析】利用勾股定理，可得：a 2+b a=C2=1 0 0,即(a+b)2 -2 a b=1 0 0,可得a b=4 8,即可得出面积.【详解】解：.”二!)。，.,.a 2+b 2=C2=1 0 0,(a+b)2 -2 a b=1 0 0,，1 9 6 -2 a b=1 0 0,a b=4 8,S MiC ah=2 4 c m z；2故答案为：2 4.【考点】本题考查勾股定理、完全平方公式的变形求值、三角形面积计算的运用，熟知勾股定理是解题的关键.三、解答题1、见详解.【解析】【分析】利用4 个直角三角形全等，根据S,E S +S 列式，整理即可.止方形A8CQ AEH 止方形EFGH【详解】证明：如图，AE=BF=CG=DH=a,AH=DG=CF=BE=b,HE=EF=FG=GH=c,S=45+S,HpG+Z?)2=4-ab+c2正方形48C。AAEH 正方形Q G 2。2 +2Q+02=2ab+c2，+/?2=C2【考点】本题考查了勾股定理的验证，运用拼图的方式，即利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解决本题的关键.2、E应建在距A点15km处【解析】【分析】设4E=x,贝ljBE=2 5-x,根据勾股定理求得。后2和C E 2,再根据QE=CE列式计算即可；【详解】设 AE=x,则 8E=25-x,由勾股定理得：在中，DE2=AD2 4-AE2=+X 2,在 RtXBCE 中,C2=j5C2+B2=1 5 2 +(2 5-X)2 ,由题意可知：DE=CE,所以：l(h+尤2 =1 5 2+(2 5-x,解得：x=5km.所以，E 应建在距A点 1 5 km 处.【考点】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键.3、(1)3 3.4 海里 二25【解析】【分析】(1)利用勾股定理求出CD,再根据斜边的中线等于斜边的一半求出B E,则A B 可求；(2)设B F=x海里.利用勾股定理先表示出CF2,在 Rt a CFE中，N CFE=9 0 ,利用勾股定理有CF?+EF2=CE2,即 2500-X2+(50+X)2=6400,解方程即可得解.(1)在A DCE 中，Z CED=9 0 ,DE=6 0 海里，CE=8 0 海里，由勾股定理可得CD=Jc&z+DE2=1 0 0 (海里)，B 是 CD的中点，A BE=-CD=50(海里)，2.A B=B E-A E=5 0-1 6.6 =3 3.4 (海里)答：小岛两端A、B的距离是3 3.4 海里；(2)设 B F=x海里.在 Rt/CFB 中，Z CFB=9 0 ,.CF2=CB 2-B F2=5 0 2-X2=2 5 0 0-X2,在 Rt Z XCFE 中，N CFE=9 0 ,CF2+EF2=CE2,HP 2500-%2+(5 O+x)2 =6400,解得x=1 4,.BF 7,BC 25答：2 值为工.BC 25【考点】本题主要考查了勾股定理的实际应用的知识，在直角三角形中灵活利用勾股定理是解答本题的关键.4、(l)A B D,A CE,26；(2)B D的长为A；4+4.【解析】【分析】(1)根据S A S 可证4 A B 3 a A CE,得出B D=CE,利用勾股定理求出CE即可得出B D的长度；(2)作A HLB C于点H,以A B 为边在左侧作等边A A B E,连接CE,求出B H,HC即B C的长度,再利用勾股定理即可求出CE的长度，由(1)知B D=C E,据此得解；(3)作AHLBC于点H,以AB为边在左侧作等边4 A B E,延长EB至F,使B F=E B,连接AF交BN于C ,连接E C,此时BD+AC有最小值即为A F,此时aABD周长=AF+A B最小，求出AF即可.(1)解：ACD和aABE是等边三角形，NEAB=ZDAC=60,AD=AC,.ZEAB+ZBAC=ZDAC+Z B A C,即 ZEAC=ZBAD,在AABD和aA E C中，AB=AE故答案为：ABD,ACE,2；解：如下图，作AHLBC于点H,以AB为边在左侧作等边4 A B E,连接CE,：A B=4,N M A N=3 0 ,.A H=2,BH=26，VA C=77，HC=JAC2-AH2=7 T7 -7 7，B C=B H+H C=26+6=力，；.CE=JB E2 +8 C2=J42+h H=743，由（1）可知B D=CE,此时B D的长为相；解：如图，以A B为边在左侧作等边4 A B E,延长E B至F,使B F=E B,连接A F交B N于C,EC,连接.EC =FC =B D,此时B D+A C有最小值即为A F,，此时 a A B D 周长=A D+B D+A B=A F+A B 最小,作 A GJ_ B E 于 G,，A GB N,.Z B A G=3 0 ,B G=1 A B=2,A G=2 J,2.GF=B G+B F=2+4=6,由勾股定理得A F=J 4 G 2+GF2 =小疯+6 2 =4，,此时A A B D周长为：4 3+4.【考点】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理等，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键.5、(1)见解析；(2)2 r【解析】【分析】(1)根据平行可得N DB E=9 0 ,再由HL定理证明直角三角形全等即可；(2)构 造 心 利 用 矩 形 性 质 和 勾 股 定 理 即 可 求 出 A E长.【详解】(1)VA C/7 B E,.-.Z C+Z DB E=1 8 0 ./.Z DB E=1 8 0 -Z C =1 8 0 -9 0 =9 0 .A A B C和A DEB 都是直角三角形.点 D 为 B C 的中点，AC=-BC,.,.A C=DB.2VAB=DE,ARtAABCRtADEB(HL).(2)AE=245.过程如下：连接AE、过A点作AHJ_BE,VZC=90,NDBE=90.A AC/BH,AH/BC,.AH=BC=4,BH=AC=-BC=2,2,EH=EB-EH=2,在R/AAHE中，AE=AH2+HE2=5/42+22=275-【考点】本题主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形，解题关键是构造直角三角形，利用用平行线间的距离处处相等得线段AH=BC,从而利用勾股定理求AE.