2021年全国高考甲卷数学（理）真题试卷（含详解）.pdf

2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 知=x|0 x 4,N =,”，则 M n N=()A.x 0 x I 3C.x|4 x 5|B.x-x 3D.x00,乙：是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙充分条件也不是乙的必要条件8.2 0 2 0年1 2月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 8 4 8.8 6 （单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A,B,C三点，且4,B,C在同一水 平 面 上 的 投 影 满 足NACB，=4 5 ,N A B C =6 0 .由C点测得B点的仰角为1 5 ,B B 与C C 的差为1 0 0；由B点测得A点的仰角为4 5,则A,C两点到水平面A B C的高度差A A-C C 约为（6*1.7 3 2）（）A.346B.373C.446D.4739.若A.叵7 万、c c o s a0,t a n l a=-,、2 J 2 -s i n aB.则t a n a =()7 5D.叵15 510.将4个1和2个0随机排成一行,1c 2A.-B.一3则2个0不相邻的概率为（）c.23D.-353511.已如A,B,C是半径为1的球O的球面上的三个点，且A C _ L 8 C,A C =8 C =1,则三棱锥0-A B C的体积为（）A等DR.-百-12V12.设函数/（x）的定义域为R,7（%+1）为奇函数，/（x+2）为偶函数，当x e l,2 时,/、/、f（x）=ax2+h,若/（0）+/（3）=6,则/3 二（）12/“9-3 广 7 5A.B.C.-D.一4 2 4 2二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.2 丫 一 11 3.曲线y=-在点（-1，-3）处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _.x+21 4.已知向量a=（3,1）,5=（1,O）,C=Q+ZB.若_L,则4=_.2 215.已知耳,F2为椭圆C：a+Y =1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|耳闾,则四边形PFtQ F2的面积为.16.已知函数/（x）=2cos（s+）的部分图像如图所示，则满足条件三、解答题：共 70分.解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了 200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400(1)甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？(2)能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?nad-be)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.已知数列 4 各项均为正数，记S”为 4 的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列 4 是等差数列：数列 是等差数列；4=3 4.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.已知直三棱柱ABC A 4 G中，侧面A&gB为正方形，A B B C =2,E,尸分别为AC和Cg 中点，。为 棱 上 的 点.B F I A(1)证明：B F L D E；(2)当耳。为何值时，面5 4 G C与面。尸石所成的二面角的正弦值最小？20.抛物线C的顶点为坐标原点。焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,Q两点，且Q P L O Q.已知点/(2,0),且O M与/相切.(1)求C,Q M的方程:(2)设4,4,4是C上的三个点，直线44，4人3均 与 相 切.判 断 直 线&A与O M的位置关系,并说明理由.Xa2 1.已知。0且a r l,函数/(x)=(x 0).ax(1)当。=2时，求/(x)的单调区间；(2)若曲线y =/(x)与直线y =l有且仅有两个交点，求。的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程(10分)2 2 .在直角坐标系x O y中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2 7 2 co s .(1)将C极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点4的直角坐标为(1,0),M为C上的动点，点 尸 满 足 而=血 丽7，写出尸的轨迹G的参数方程，并判断c与a是否有公共点.选修4-5：不等式选讲(1 0分)2 3 .已知函数,f(x)=|x 2|,g(x)=|2 x+3 .八y.1O(1)画出y =/(x)和y =g(x)的图像；(2)若/(x +a)2 g(x),求a的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学甲卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=x|0%4,N=,则()A.x0 x B.xI 3j 3C.x|4x5|D,xOx5【答案】B【分析】根据交集定义运算即可1【详解】因为 M=x0 x4,N =x|g w x V 5 ,所以 c N =W x 5 0%,故 D 正确；该地农户家庭年收入平均值的估计值为3x0.02+4 x0.04 +5 x0.10+6 x0.14+7 x0.20+8 x0.20+9x0.10+10 x0.10+11x0.04 +12x0.02+13x0.02+14 x0.02=7.6 8(7 7 7 0),超过6.5万元，故C错误.综上，给出结论中不正确的是C.故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等频于骷率 x组，距.组距3.已知(l i)2z =3+2i,则 z=()3 3 3 3A.-1i B.-I d i C.-F i D.-i2 2 2 2【答案】B【分析】由已知得2=根据复数除法运算法则，即可求解.-2/【详解】(l-z)2z =-2i z =3+2r,3+2/(3+2/)-/-2+3z ,3.z =-=-=-=-l +z.-2z -2/-Z 2 2故选：B.4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据乙和小数记录表的数据V的满足L =5 +I g V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据为()(啊M1.25 9)A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6【答案】C【分析】根 据 关 系，当L =4.9时，求出怆丫，再用指数表示V,即可求解.【详解】由 L =5 +l g V,当 L =4.9 时，l g V =-0.1,_ _ L 1 1则 v =i(r=i o|。=“-o.8.加 1.25 9故选：C.5.已 知 是 双 曲 线 C 的两个焦点，P为 C上一点，且/耳。6=6 0。,归耳|=3归用，则 C 的离心率为()A.B.C.77 D.V132 2【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出|P制年结合余弦定理可得答案.【详解】因为归耳|=3|尸用，由双曲线的定义可得制 一 忸 用=2忸 闾=勿,所以|Pq=a,|耳|=3a；因为N f；P5=60。,由余弦定理可得4c2 =9/+。2一2 乂 3。.a.60，整理可得4c2 =7/,所以0 2=1，即0=立.a2 4 2故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利 用 余 弦 定 理 建 立，间的等量关系是求解的关键.6.在一个正方体中，过顶点A 的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去三棱锥A-E F G 后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是()【答案】D【分析】根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.【详解】由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，所以其侧视图为故选：D7.等比数列 4 的公比为q,前项和为S“，设甲：4 0,乙：是递增数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当4 0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有。“0成立即可说明4。成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案.【详解】由题，当数列 2,4,8,时，满足4 0,但是 5 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件.若 5 是递增数列，则必有4 0成立，若 4（）不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则 40成立，所以甲是乙的必要条件.故 选:B.【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程.8.2 0 2 0 年 12 月 8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 8 4 8.8 6 （单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有4 B,C三点，且 A,B,C在同一水平面上的投影A,B ,C满足NAC8=4 5 ,N A 8 C =6 0.由C点测得B点的仰角为15,B B 与CC的差为10 0；由 B点测得A点的仰角为4 5。，则 A,C两点到水平面A 3 C 的高度差AA-CC约为（V3 1.732）（）【答案】BC.4 4 6D.4 7 3【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得A B ，进而得到答案.过C作C H _ L 8 B ,过5作 即_ L A 4 ,故 A 4 -C C =A 4-B 3 +10 0 =A D +10 0,由题，易知 4)5为等腰直角三角形，所以4 5=0 3.所以 A 4 -C C =0 3+10 0 =A 3 +10 0.因为N B C H =15。，所以C =C B =也t a nl5 在A B C中，由正弦定理得：A B _ C B,_ 10 0 _ 10 0s in 4 5 s in 7 5 t a n 15 c os 15 s in 15 0 而 s in 15。=s in(4 5-3 0 )=s in 4 5 c os 3 0 0 -c os 4 5 s in 3 0 0 =一 拒，100 x4x 2V6-V210 0(7 3+1)2 7 3,所以 A 4 -C O =AB+10 0 a 3 7 3 .故选：B.【点睛】本题关键点在于如何正确将A 4 -C C 的长度通过作辅助线的方式转化为A 3 +10 0.I TT )C O S C C9.若o,L t a n2 a=-4，则t a na =()2-s in aD*【答案】A【分析】由二倍角公式可得t a n2 a =2学=2 n：a c；s a,再结合已知可求得s ina =,，利用同角三c os2 a l-2 s in a 4角函数的基本关系即可求解.c cos a【详解】t a n 2 a=-；2-s inc r-sin 2a 2 sin a cos a cos a/.tan 2a=-=-；=-,cos 2a l-2sin a 2-sin a（7r c 2sina 1 ，.1：a 0,二.cosawO,/.-、=-,解得 sma=一,I 2）l-2sin2a 2 sina 4r,-/1-5 sin a V15/.cos a=A/1-sin a=-，/.tan a=-=-.4 cos a 15故选：A.【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出sina.10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）1 2 4A.-B.C.D.一3 5 3 5【答案】C【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，贝IJ有C；=5种排法，若2个0不相邻，则有C；=10种排法，in 2所以2个0不 相 邻 的 概 率 为 一-=5+10 3故选：C.1 1.已如4,B,C是半径为1的球。的球面上的三个点，且AC_L8C,AC=8C=1,则三棱锥0 A6C的体积为（）A亚 B6 C加 口出12 12 4 4【答案】A【分析】由题可得AABC为等腰直角三角形，得出AABC外接圆的半径，则可求得。到平面A8C的距离,进而求得体积.【详解】4。，3。,4。=8。=1,;人48。为等腰直角三角形，；.48=0，则 ABC外接圆的半径为也,又球的半径为1,2设。到平面ABC的距离为d,故选：A.V2 _ V2【点睛】关键点睛：本题考查球内儿何体问题，解题的关键是正确利用截面圆半径、球半径、球心到截面距离的勾股关系求解.12.设函数“X)的定义域为R,/(X+1)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xel,2时,f(x)=ax2+b.若/(0)+/(3)=6,贝！1/A-4B-44D|【答案】D【分析】通过/(x+1)是奇函数和/(x+2)是偶函数条件，可以确定出函数解析式/(x)=-2 f+2,进而利用定义或周期性结论，即可得到答案.【详解】因为/(x+1)是奇函数，所以/(一%+1)=-/(%+1)；因为/(x+2)是偶函数，所以/(x+2)=/(x+2).令 x=l,由得：/(0)=-2)=_(4“+与，由得：3)=/(1)=+6因为/(0)+/(3)=6,所以一(4+人)+0+人=6=4=2,令x=0,由得：f(l)=_ f(l)n f(l)=0=V =2,所以f(x)=2炉+2.思路一：从定义入手.思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数/（X）的周期T=4.故选：D.【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线y=在点（T-3）处的切线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.x+2【答案】5x-y+2=0【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可.【详解】由题，当 =-1时，丁 =-3,故点在曲线上.求导得：了2(x+2)-(2x l)(x+2)25FT所以yL=一 尸5.故切线方程为5xy+2=0.故答案为：5x y+2=0.1 4.已知向量Q=(3),B =(1,0),C=Q+%B.若 _1_，则左=【答案】I【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量乙的坐标，利用向量的数量积为零求得左的值【详解】=(3/),5=(1,0),.,.5=5+防=(3+k1),.al c,:.a-c=3（3+k）+M=09 解得女二一不，故答案为：-与.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量万=（%，），=（，M）垂直的充分必要条件是其数量积玉+弘%=01 5.已知,工 为椭圆c：+0=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|尸。|=|巴|,则四边形PFQ F2的面积为【答案】8【分析】根据已知可得p耳，工，设利用勾股定理结合加+=8,求出如？，四边形PFtQ F2面积等于mn,即可求解.【详解】因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|P Q I=I K I,所以四边形P 6 Q 6为矩形，设|月|=m,PF-,|=，则加+=8,加2 +n2=4 8 ,所以 6 4 =（加+=in2+2mn+/?2=4 8 +2mn,加=8,即四边形P片。鸟面积等于8.故答案为：8.16.己知函数/（X）=2COS（5+）的部分图像如图所示，则满足条件/。）一/（一 彳|/（幻 一/（可】0的最小正整数X为【分析】先根据图象求出函数f（x）的解析式，再求出了（-彳）,/（可）的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.3 137c 冗 3 it 2 乃【详解】由图可知己丁 =上 吐 勺=毛，即7=/=%,所以。=2；4 12 3 4 0)7/7/TT由五点法可得2x；+e=u，即9=一 ；3 2 6所以/(X)=2COS(2X-.因为/(-)=2cos(一9)=1,/(?)=2 c o s(l=0；771 471所以由(/(%)-/(-彳)(/(幻f(7)0 可得 f (x)1 或/(X)o；因 为 1)=2cos(2-2)2 c o s C q)=l,所以,方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足/(x)0,即cos(2 x-)0,解得左兀+3 x%兀+?,%e Z,令左=0,可得Cx，3 6 3 6可得X的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足/(幻 0,又/=2cos(4 j)k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)75%；60%；(2)能.【分析】根据给出公式计算即可【详解】(1)甲机床生产的产品中的一级品的频率为当=75%,200120乙机床生产的产品中的一级品的频率为=60%.200?400(150 x80-120 x50)-400 K2=-乙=竺？106.635,270 x130 x200 x200 39故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.18.已知数列 凡 的各项均为正数，记S,为 a,的前项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.数列 4 是等差数列：数列 疯 是等差数列；“2=3%.注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】证明过程见解析【分析】选作条件证明时，可 设 出 后，结合a”,S”的关系求出4 ,利用 a,是等差数列可证4=3%；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.选作条件证明时，根据等差数列的求和公式表示出E，结合等差数列定义可证；选作条件证明时，设出 =a n+b,结合4,S”的关系求出a,根据a2=3 q可求人，然后可证 凡是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选作条件证明：方法一:待定系数法+4与S.关系式设=+0），则 S“=（即+/?，当 =1 时，4=5=（+/?）2；当力之 2时，an=Sn-S _ 一（卬7 。+）2=Q（2，2-Q+2Z?）；因为%也是等差数列，所以（Q+）2=Q（2Q +加），解得=0；所 以%=（2八 1）,故 2=3。2=34.方法二:待定系数法设等差数列 4的公差为d,等差数列 的公差为4,则 7 =册+（一1）4，将 S.+（；d 代 入 皿=五+（一1）4 ,化简得不2 4-1 6/j n=+（2j 4 2d；）+（4对于 N.恒成立.2 2）d=2d：,则有 2q -d =4苑&4 d：,解得d1=M，d =2%,所以4=3%.-4 =。，选作条件证明：因为=3q,4是等差数列,所以公差d =/一4 =2q ,所以 S =q +（；=即，因 为 厄 二 一&=8（鼠+1）一册襄=册所以 点 是等差数列.选作条件证明:方法一:定义法设邓+优 a 0),则 S“=(卬7+/7)2,当 =1时，/=工=(+；当 2 2 时，an-Sn _5 _ 一(卬z a+Z?)-=a(2a一a+2Z?)；)4/7因为。2=3卬，所以a(3a+2/?)=3(a+6)-,解得匕=0或人=亍；当人=0时，4=/，4,=/(2 1),当2时，a,=2/满足等差数列的定义，此时 q 为等差数列；当/?=时，J s =an+h=ana,=一 0),平方后得到S“的关系式，利 用%=1 I c得到 4 的通项公式，进而得到出=3 4,是选择证明-S,i，N2的通式通法；法二：分别设出 4 与 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系4=m，=2 q,进而得到4=3 q；选时，按照正常的思维求出公差，表示出S“及E，进而由等差数列定义进行证明；选时，法一：利用等差数列的通项公式是关于的一次函数，直接设出 =/。0)，结合4,S“的关系求出a,根据的=3q可 求 然 后 可 证 4 是等差数列；法二：利用 后是等差数列即前两项的差4=居 一 同=求出公差，然后求 出 病 的通项公式,利用凡=,S,n =15-Sn_,n 2,求出 4的通项公式，进而证明出结论.1 9.已知直三棱柱A B C-A 4G中，侧 面 为 正 方 形，AB =3 C =2,E,F分别为A C和CG的中点，。为棱A片 上 的 点.B F 1（1）证明：B F L DE；（2）当与。为何值时，面8 8 C。与面。尸E所成的二面角的正弦值最小？【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）方法一:几何法因为8尸1 4 4，4 4/4 8,所 以 跳 _ LA6.又因为BFCBBI=B,所以4 8,平面6cq4.又因为A B =8 C =2,构造正方体A 6 C G 4 4 G G，如图所示,过E作AB的平行线分别与AG 8C交于其中点M,N,连接4加,8户，因为E,5分别为AC和CC的中点，所以N是8c的中点，易证 R UBCF =Rt AB】BN,则 ACBF =N B B N.又因为NBB|N+NB|NB=90。，所以/。8/+/8户8=90,BF lBtN.又因为BF1 A4,BN A=4，所以8歹,平面A M N B .又因为EDu平面所以BF L DE.方法二【最优解】：向量法因为三棱柱ABC-4B|G是直三棱柱，B B,底面A B C,：.B B 1 A B-,-A /Z A B,B F1A.B,又cBE=8,A B,平面8。由.所以 8ABe,8月两两垂直.以3为坐标原点，分别以所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.B（0,0,0）,A（2,0,0）,C（0,2,0）,B,（0,0,2）,A（2,0,2）,C,（0,2,2）,E（l,l,0）,F（0,2,l）.由题设。(a,0,2)(0 a W 2).因 为 旃=(0,2,1),诙=(1-a,1,2),所 以 而.海=0 x(l a)+2 xl +l x(-2)=0,所以 B F L D E.方法三:因 为8尸，为用，./A B ,所 以 所_ L A B,故 石 户 襦,=0,B F A B =0所以BF E D=B F +BF BJD+BF-(EB+BB=B F-EB+B F-BB=B F(-B A-B C +B F B R=-B F B A-B F B C +B F B R=-B F B C+B F B R1 2 2)2 2 1 22 11 2 7当a =1时，2/-2 a +4取最小值为，2 2=-|BF|-|BC|C O S Z F B C +|BF|-|BBCOS NFBBI=X X 2 X -=+X 2 X -=2 V 5 V 5=0,所以B F L E D.(2)方法一【最优解】：向量法设平面)尸*的法向量为m二 (x,y,z),因 为 丽=(1,1,1),诙=(1一。,1,2),in-EF=0 x+y+z=0所以_ 一八，即 人 c Am-D E =0 +y-2 z=0令z=2-a,则沅=(3,l +a,2 a)因 为 平 面 的 法 向 量 为 丽=(2,0,0),设平面B C G片与平面。样的二面角的平面角为氏|比.明则向冽=哂62 xj2a2-2 a+14312 -2 4+14 方法二:几何法如图所示，延长EE交A G的延长线于点s,联结OS交8 c于 点。则平面DEED平面BB|C|C=FT.作BH 1 F T ,垂足为H,因为D Bt 1平面B B C，联结，则NDHB1为平面B B C与平面D F E所成二面角的平面角.设 4。=t,tG 0,2,BtT =s,过 G 作 C|G/AB|交 D S 于点 G.5=1=GS A 3 A。得 GG=g(2 r).B】D B J _=_ _ 3r又方=方，即中一)2-s，所 以 不B.Hv CFBH s s即 丁 =拒了3所以而0.所以 =Jq 2 +4)21R 1 _t _ 二 9则in 叫=苏一 ；AZV+1,V 2r-2r+5”广 引 +,所以，当，=g 时，(sin Z D H B)=-min 3 方法三:投影法如图，联结FBi.FN,DEE在 平 面 的 投 影 为 户 产，记面88C C与面。底后所成的二面角的平面角为。，则c o s e=WqQ.DEF设B Q =f(O f 4 2),在Rt A。瓦/中，DF=+BF?=J R +5 .在Rt AE C E中，EF=YIEC2+FC2=V3过。作4 N的平行线交MN于点Q.I八当=彳，即4。=彳，面B 4 qC与面。庄 所成 二面角的正弦值最小，最小值为2 2 3【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法;方法二：利用空间线面关系找到，面8用G C与面。E E所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面。/话在面B B g C上的投影三角形的面积与 面积之比即为面BB。与面。庄 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开在 Rt/DEQ 中，DE=y)QD2+EQ2=5+(l-t)2-在 。所中,由余弦定理得cos ZDFE=DF?+E-F2-”DE-1，3 r +1 5(/+1)2DF-EF3(r +5)32coseqU D FE3收产一 2 f+1 4sin 9=阔学生的思维.2 0.抛物线C的顶点为坐标原点O.焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,Q两点，且Q P L O Q.已知点/（2,0）,且0 M与/相切.（1）求C,O M的方程；（2）设4*2,是C上的三个点，直线4 4，AA3均与O M相切.判断直线4A 3与O M的位置关系，并说明理由.【答案】（1）抛物线C:y2=x,0 M方程为（九一2）2+9=1；（2）相切，理由见解析【分析】（1）根据已知抛物线与x=l相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性设出P,Q坐标，由O P J_ O Q,即可求出；由圆M与直线x=l相切，求出半径，即可得出结论；（2）方法一：先考虑4 4斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若4 4,4 4,4 4斜率存在，由A，4，A3三点在抛物线上，将直线A4,A2A3斜率分别用纵坐标表示，再由与圆/相切,得 出%+%，2y3与X的关系，最后求出M点到直线A2A3的距离，即可得出结论.【详解】（1）依题意设抛物线C：y2=2px（pO）,P（l,yo）,Q（l,yo），-.O P O Q,:.O P O Q l-yl=l-2pO,:.2pl,所以抛物线C的方程为y2=x,例（0,2）,O M与无=1相切，所以半径为1，所以0 M的方程为（x 2+y 2=i；（2）方法一:设 4（尤|X），4（工2，%），43（X3，%）若A 4斜率不存在，则AA?方程为x=l或x=3,若4 4方程为X=1,根据对称性不妨设A（1，1），则过4与圆M相切的另一条直线方程为y=I,此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在A 3,不合题意；若4 4方程为=3,根据对称性不妨设A（3,G）,4 （3,-V3）,则过A与圆M相切的直线44为y 6=乎（一3），v*_ 1 _ 1 _&._ 0乂 化A 4 一 一 ；一 -/T 一 丁，丹 一”，%一刍 乂+为 1 3 +%3/=，4（o,o）,此时直线AA，&A关于x轴对称，所以直线44与圆”相切；若直线44,44,44斜率均存在,所以直线44方程为y-y =-（x 龙J,x +%整理得x（y+%）丁 +必%=0，同理直线44的方程为工一（M+为）y +必%=。，直线4 A 3的方程为一（%+为）丁 +%=。，|2 +,必1,M4与圆相切，飞+22=1整理得（4-1）尺+2/必+3-4=0，AA与圆M相 切,同 理（与-1祝+2%+3-=0所以%，力为方程（弁-1）+2%y +3-y；=o的两根,2 M 3 y；%+为=一一-%，弘-1 必一1 到 直 线44的距离为：|2 +-|2 +y2y3l /-1J l +（y2+y3）2 J+（_ j M .）；M +i|W+L i7（i2-1）2+4/y；+i所以直线44与圆M相切;综上若直线A 4,AA与圆M相切，则直线44与圆河相切.方法二【最优解】：设A（x，y J,y；=x，A（w，%），y；=玉，4（孙%），。=%当 玉=时，同解法L当 王/马 时，直线A4的方程为y y=2（x-x j,即丁=-+.一玉 y+%x+%2 +2由直线A4与。M相切得了=1.化简得2乂%+（%一1）/一%+3 =0，同理，由直线A A 3与0M相切得2）1%+（%一1）七一%+3 =0.因为方程2/+（%-1）一玉+3 =0同时经过点4,4 3,所以44的直线方程为,、|2（X,-1）-1 4-3 1 l x +1 12 y y+（%1）%一%+3=0，点例到直线44距离为 J=-/-片=1./4%+（百一1）J（X|+1）所以直线44与0M相切.综上所述，若直线44，4人3与O M相切，则直线&A与o”相切.【整体点评】第二问关键点：过抛物线上的两点直线斜率只需用其纵坐标（或横坐标）表示，将问题转化为只与纵坐标（或横坐标）有关；法一是要充分利用44,44的对称性，抽象出%与,关系，把以，的关系转化为用 i表示，法二是利用相切等条件得到44的直线方程为2），1丁+（%-1）%-%+3=0,利用点到直线距离进行证明，方法二更为简单，开拓学生思路xa2 1.己知。0且函数/（x）=L（x 0）.ax（1）当a =2时，求 x）的单调区间；（2）若曲线y =/（x）与直线y =l有且仅有两个交点，求a的取值范围.【答案】(I)(0,高上单调递增；备，+8)上单调递减；(2)(l,e)U(e,+).【分析】(1)求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；(2)方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线y=/(x)与直线y=l有且仅有两个交点等价转化为方程?=等有两个不同的实数根，即曲线y=g(x)与直线y=*有两个交点，利用导函数研究g(x)的单调性，并结合g(x)的正负，零点和极限值分析g(x)的图象，进而得到0等J,发现这正好是0 g(a)g(e),然后根据g(x)的图象和单调性得到。的取值范围.，/、Y 2 x-2x-x2-2xn2 x-2 (2 xl n2)【详解】(1)当a =2时，/(x)=7，/(口=-所-=-不-S令r(x)=0得x，当0 x 0,当x 一时，f(x)0,I n 2 I n 2 I n 2函数/(x)在(o,三 上单调递增；三上单调递减；(l n2 J|_ l n2 )(2)方法一【最优解】：分离参数f(x)=l ax=xa o xl na=anx o 设函数=ax x a x则 g(x)=1?,令g(x)=0 ,得x=e,在(0,e)内g x)0,g(x)单调递增；在(e,+c o)上 g x)0,g(x)单调递减；便戏,一，”J又g =0,当x趋近于+8时，g(x)趋近于0,所以曲线y=/(x)与直线y=1有且仅有两个交点，即曲线y=g(x)与直线y=焉有两个交点的充分必要条件是0乎，这即是0 g(a)g(e),所以a的取值范围是(l,e)U(e,+8).方法二:构造差函数由y=f M与直线y=1有且仅有两个交点知/(%)=1,即 尸=ax在区间(0,+8)内有两个解，取对数得方程a l n x=xl n a在区间(0,+o)内有两个解.构造函数g(x)=a l nx-xl na,xw(O,+8),求导数得g,Q)=I na =伫 生 幺.X X当 0 a l 时，1 1 1 0*()0,8(%)在区间(0,+8)内单调递增，所以，g(x)在(0,+8)内最多只有一个零点，不符合题意;当时，l n a 0,令 g(x)=0 得 x=-,当 xe(0,二时，gx)0 ；当 x e|；,+o o|时,I na V na)I na Jg(x)0；所以，函数g(x)的递增区间为(o,4)，递 减 区 间 为(二,+8I I n Q J na由于O v e 0 l-,g e。=-l e I na vO ,na )当X-+0 0时，有Q nx 0 ,所以I I na ；eI n a即 a-e l na 0 .构造函数以a)=-e l na,则(.)=1一 =伫 ,所以以 递减区间为(l,e),递增区间为(e,+a),a a所以(a)N(e)=O,当且仅当a =e时取等号，故以a)0的解为a 1且a H e.所以，实数。的取值范围为(l,e)u(e,o).方法三 分离法：一曲一直曲线y=/(%)与V =1有且仅有两个交点等价为xa=1在区间(0,+8)内有两个不相同的解.因 为 =优，所以两边取对数得a l nx=xl na，即l nx=,问题等价为g(x)=I nx与p(x)=里 吧a a有且仅有两个交点.当0 ”1时，等 l时，取g(x)=l nx上一点(4 0，M玉)，8 (尤)=：濡()=丁送(%)在点(为1 1%)的切线方程为y-l nx0=(-x0),gp y=x-l +l nx0.七 不当 丁=-!-%-1+1 11%与p(x)=2 l吧为同一直线时有.X。ana _ a%得，l nx0 1 =0,I na _ 1a e 毛=e.直线(%)=旦巴的斜率满足：0.0,的(。)在区间(l,e)内单调递增;a e(e,+o o),/i (a)0,/z(a)在区间(e,+s)内单调递减；a =e时，(。)最大值为g(e)=L 所 当 且e一八 l n 1Q w e 时有 0 -0)J(%)=-=优(叫 。因为x 0,由/7 x)=0得x=-.m a当0 a l时，二0，由/(x)0得0 x ；-,/(x)在 区 间。,号内单调递增，由/(幻 卢 J(x)在区间-,4-0 0in a U n a内单调递减.因为l i m/(x)=0,且 岬/(x)=0,所以/a I。(In a r 1，即a.11i n。q ,n a In t z ,两边取对数，得 I n l n(l nd),即In a 1 In(l n a).i n ci,令l n a =f,则/一l l n f,令(x)=l