2021年考研数学一真题含答案.pdf

2021年考研数学一真题试卷一、选择题(本题共1 0小题，每小题S分，共5 0分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，把所选选项前的字母填在答题卡指定位置上.)(1)函数/(.r)=x ,在k =()处l,x =0(A)连续且取极大值.(B)连续且取极小值一(C)可导且导数为0.(D)可导且导致不为0一【答案】D.【解析】因为h m，(x)=h m-=1 =/(0).故/(x)在x =0处连续：K*0 戈T 工因为口-Im/：十X，故/()=.正确答案为 D.x-0 *,x-0 *x 2 2(2)设函数/(.*)可 微.f l/(.v+l,ex)=x(.v+l)2./(.v,.v2)=2.v:In.v .(I-I=(A)Qt +力.(B)r f r-3.(C)勿.(D)一力.【答案】C.解析x +L/)+exfx+l,ex)=(x +I)2+2x(x+1)/(x,x2)+2 也(x,x2)=4.v l nx+2 x x =0 x =1分别将4八,带入 式有y=0 y=1小.1)+小)=1 川)+2小,1)=2联立可得/U/)=0.八”)=1,#(1,1)=f；(I,I)dx+f：(L I)dy=dy.故正确答案为 C.(3)设函数/(.*)=如；在x=0处的3次泰勒多项式为ar+bY+c r 则l+k(B)tf=1,6=0,c=6(C)a=-1/=-l,c=6K答案】A.【解析】根据麦克劳林公式有(D)a=-,h=-,c=.6x3,7x-:+o(.r)1-x2+67(.v)=v-：v+o(.r)6 6故a=l,b=0,c=一1.本题选A.6(4)设函数/(.v)在区间 0 上 连续，则1 7(工卜代=(AHim Y/f ,(B)limrb&w 1%/27i蛭/(*)；(叫噫/(登)；【答案】B.【解 析】由 定 积 分 的 定 义 知.将(0,1)分 成”份.取 中 间 点 的 函 数 值.则1/(x 心=lim L 即选 B.Jo “*=】I 2n)n(5)二次型/(.v1,.v2,xJ)=(.rI+.v,)2+(三+.q-(a-工 的正惯性指数与负惯件指数依次为(A)2,0.(B)l,l.(02,1.(D)l,2.【答案】B.【解析】/(Xj,x2,.r3)=(.v,+x2f +(.v,+.q f-(网-演 广=2xz2+2xx2+2.v2x5+0 1 r所以,4=1 2 1 .故特征多项式为J 0A-I-1|AE A|=一 1 -2-1 =(2+1X 为一 3)x-1-1 A令上式等 零，故特征值为-1.3.0.故该二次型的正惯性指数为1.负惯性指数为L故应选B.【答案】A.【解析】利用斯密特正交化方法知记 在=%，A=A 一 印 一 d=am瓦 网=%_4 P M0、21%用f k，/M瓦 用IAM】I 仆 用 _i1A，囚一5故选A.(7)设48为阶实矩阵,卜列不成立的是(A mJ0?1 叫(A。AB尸,、(A BJ A r/O(C)r T=2r(A)(D)r =2,(4)O AAr)，BA AT)1【答案】C.(A O T 口 .【解析】(A)r T=儿4)+儿4,4)=2 r(,4).故/正确.A A)(A AB(A O y T(B).4 8的列向量可由,4的列线件表示,故r =/=r(.4)+r(/r)=2 r(.4).(O B A的列向量不一定能由.4的列线性衣示./4 员八(A O A(D)&4的行向量可由力的行线性我小.r -=r=(4)+44 7)=2/(4).。AT)(0 AT)木题选C.(8)设/1.8为Bf i机事件,且0 P(8)J P(A B)=PA.(B)若P(川8)尸(.4).则 P(AB)P(A)(。若 P(川 8)P(.4 1 所.则 P(川 8)P(.4).(D)若 P(川/U 5)P(1 .4 U 8)JU A4)P(8).【答案】D.【解析】P(AAJB)=P.4 3 U 8)P(U 8)P(/QP(A)+P(B)-P(AB)P4 jUg)_-T(-l U g)_ P U B)_P(AJB)P(.-l U B)P(A)+P(B)-P(AB)因 为?(.4|.4 U 8)P(H/U m.固行 P(.4)P(B)-P(AB).故正确答案为 D.(9)设(X ),(占，匕)，为来自忌体的简单随机样本，令e=-”G=之 xJ =L 。方=筋-工 则n门】n e2 2(A)。是8的无偏估计.。=2匚+至一(B)不是6的无偏估计.=可：6(C)。是J的无偏估计.呻)=6 巴 一f(D)。不是，的无偏估计.0仅)=%-二2叫氏【答案】C.【解析】因为x,y是二维正态分布.所以又与了也服从二维正态分布.则 年-也服从二维正态分布.即 (0)=E(,V Y)=(X)()=4一从=0 .。(济=。(了一了)=0()+。(力-8丫(冗 力=%+4 ”0：故正确答案为Cn(1 0)设X“X.,X1 6是 来 自 总 体N(从4)的 简 单 随 机 样 本.考 虑 屐 设 检 验 问 题：Hu 4 1 0,匕：1 0.0 (.v)友 小 标 准 正 态 分 布 函 数.若 该 收 验 问 题 的 拒 绝 域 为2 1 1.其中斤=J-Zx1 6占则/=1 1.5时.该检验犯第二类错误的概率为(A)l-O(0.5)(B)i-r(i)(CH-0(1.5)(D)1-0(2)【答案】B.【解析】所求概率为P：.f 1 1：X A(1 L5).g n J-1 1.5 1 1-1 1.5 ,小，、P.1 1；=P-j j-=2 2故本趣选B二、境空题(本题共6小题，每小题S分，共3 0分.请将答案写在答题纸指定位置上.)y dx(1 1)X-【答案】q【解析】1dxx2+2 v+2小，|、尸 乃 乃 乃=-=a r ct a n(x+1)1 -J。(x+l)2+l b 2 4 4(1 2)设函数j =y(x)由参数方程，m晨。*备“【答案】j.，必 七,八 4ie+2/d2y(4 d+4/+2)(2 e+l)-(4/e+2 z)2 d【解析】Hl =-；-f9T =-一1 J-dx 2 e+1 长(+1)3*。带入得ud2yr=O23(1 3)欧拉方程x /+.n/-4 j =0满足条件丁=1,(1)=2得解为j =【答案】xt【解 析】令x=/,则”=3 ,原方程化为 F 一4】，=(at ax dx dx万一4=0.特征根为4 =2,4=-2.通解为.r =C/，+Q e 7r(l)=l./(D=2带入存g=1,(=0.故满足仞始条件的解为 =/.(1 4)设 为 空 间 区 域(.v,y,z)|.v:+4/4,0 z 2 表 面 的 外 网.rdydz+yzdzdx+zdxdy=V1答案】4万.价征方程为.将初始条件则 曲 面 枳 分【解析】由鬲斯公式得原式=Jj j(2.v+2 y+1)=j t j dxdy=4乃.11 D 设.4=。，为3阶矩降.4,为代数余子式,若4的每行兀索之和均为2.且 同=3.4 +A1+4 =-【答案】1.(16)甲乙两个盒广中各装有2个红球和2个白球.先从甲盒中任取一球.观察颜色后放入乙盒中.再从乙盒中任取一球.令x,丫分别表示从甲盒和乙盒中取到的红球个数.则x与Y的相关系数_ _ _ _ _ _ _ _.【答案】L5(0,0)(0,1)(1,0)【解答】联合分布率(x,y)3 1 io 5 50 1、x I L0y 52(1,1)、310 cov(%，丫)=5 DX=D Y=抑 pXi5三、解答题(本题共6小愿，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(I7 X木名满分1()分)I +e dt I求极限l i m -.L(J 一1 s i n x【答案】二.【解析】解：l i mx-K)s i n .vs i n.v-1-e1 dt=l i m-%-x*(ex-!)s i n x乂因为f/出=j j l +r2+o(/2)k/r =.v+j.v+o(.v5).故(x-J x +a.v b x i +x+W+o(.x5)-v-x-+o(.r-)原式二 l i m 卫-1-2-丁1 ,，入彳 丁+0(丁)=1 i m-=-；-=.丁 2(1 8 N木题满分1 2分)设un(x)=e-+-x T(=1,2,).求级数 (X)的收敛域及和函数.+“1【答案】S(.r)=【解析】-4-(I-x)ln(l-x)+.r,xe(0,1)1 广六S(x)=Z.(x)=Z e 11*7+-n(n+1)1“，收敛域(0.l,$(x)=Z e-=w l5,(.v)=V-!-A*1=(-弋 -=-.v ln(l-x)-ln(l-x)-x!S +1 )1 1 I +1=(1 -x)ln(1 -x)+.v,x e(0,1)S、(l)=lim.S(.v)=I-上 r -S(W=-+(1-x)ln(l-.v)+x,x(0,1)1Ar,x=i(19X本题满分12分)(2知曲线C:4 T -.求C上的点到xor坐标面即离的最大值.4x+2y+r=30t答案】66【解析】设拉格朗日南故L(x,.i二兀)=二:+/卜，+2-二-6)+=-30)*=2.rA+4V=0Ly=41-x+2w =().=2r-x+=0X+2 r-二=64.r+2v+r=30解得驻点：(4,L12U-&-2、66)C上的点(-X-2.66)fij xoy面扣离最大为66.(20)(本题满分12分)设。u 是有界单连通闭区域./(。)=(4-/1小 取得最大值的积分区域记为(1)求/(。)的值.、12 r(x J+步(2hl S 1-+.1，也+(4.“-7心X2+4 V其中。足。的正向边界.【答案】-1t.【解析】T)由二重积分的几何意义知：/(D)=q(4-.-j；)d b.节且仅当4-.Y-/在。上大于 0 时,/(D)达到最大，故 A：Y +44 且/(D j=de，(4-r2)rdr=8”.补&:丁 +4=/(r很小).取的方向为顺时针方向.(xe*T+y)dx+(4jer+4v-x)dyrr(xe,+*+.v)l|=(z-o +l)(x a 2)=0节4=2,=a-所-1-1(-1)E-J)=1 -10 0 的特征向量为公.则尸。4尸=o ri 1的特征向量为=0 0,1%二r:_fL正。I力忑I耳IF(2)PTC-P=尸，(a+3)-.4)P=(a+3)-A =4；