2021-2022学年上海市闵行区高二年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

2021-2022学 年 上 海 市 闵 行 区 高 二 上 学 期 期 末 数 学 试 题 一、填 空 题 x=1-3/、（z e R）1.参 数 方 程 卜=T+4 所 表 示 的 直 线 的 斜 率 为._4【答 案】一【解 析】将 直 线 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程，进 而 可 求 得 所 求 直 线 的 斜 率.fx=l-3/、/1（/e R）_4 _【详 解】在 参 数 方 程 lv=T+中 消 去 参 数，可 得 4x+3y-l=0,即=-亍+弓 _4因 此，所 求 直 线 的 斜 率 为 一._4故 答 案 为：-5.2.已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 0=4cos，则 该 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为.答 案 一+/2_4*=0【分 析】将 P=4cos0 的 两 边 同 乘 0,再 根 据=恒$。/=?$泊 得 到 羽 j 的 关 系 式，即 为 C 的 直 角 坐 标 方 程.详 解 因 为 夕=4CO S（9,所 以 p2=4pcos9,且 x=pcos。/=psind,所 以 V+V=4 x,即 为 一+/一 以=,故 答 案 为：x2+y2-4x=0 x2 y2,x2 y2-F=1-=13.已 知 椭 圆 25 1 6 与 双 曲 线 加 5 有 共 同 的 焦 点，则 机=.【答 案】4【分 析】求 出 椭 圆 的 焦 点，再 解 方 程 3=标 石，即 得 解.【详 解】解：由 题 意 得 椭 圆 的 焦 点 为（一 二）和（3，）,所 以 3=历？，所 以 加=4.故 答 案 为：44.已 知 直 线,经 过 点（一 2,3）,且 它 的 倾 斜 角 等 于 直 线 N=x 的 倾 斜 角 的 2 倍，则 直 线/的 方 程 为【答 案】=-2【分 析】求 出 直 线 夕=的 倾 斜 角，从 而 可 求 得 直 线/的 倾 斜 角，即 可 得 解.7 1 兀【详 解】解：直 线 的 倾 斜 角 为,所 以 直 线/的 倾 斜 角 为 5,所 以 直 线 的 方 程 为 x=-2.故 答 案 为：x=-2x2 V-F=15.若 A 为 椭 圆 25 9 上 的 点，耳、层 为 椭 圆 的 左 右 焦 点，则 用 的 周 长.【答 案】18【分 析】由 椭 圆 的 定 义 可 知/用 周 长 为 M 用+M 用+闺 用=2 2 c,进 而 得 解.【详 解】椭 圆 25 9 中，a=51=3,c=4,由 椭 圆 的 定 义 可 知 周 长 为 回+M+闺 闾=22c,:.AAF1F2 的 周 长 为 2a+2c=10+8=18,故 答 案 为：18.6.抛 物 线=2力 上 一 点 0（1,加）到 抛 物 线 焦 点 的 距 离 为 5,则 实 数 加=.【答 案】4【分 析】根 据 焦 半 径 公 式，可 求 出。=8,从 而 得 到 抛 物 线 方 程，把 点。代 入 抛 物 线 方 程 即 可 求 出 加 的 值.【详 解】由 题 意 可 知 抛 物 线 的 焦 点 在 x 轴 上，且 因 为 抛 物 线 V=2px上 一 点 0（1,?）到 抛 物 线 焦 点 的 距 离 为 5,所 以 根 据 焦 半 径 公 式，得 I,所 以 P=8,即/=16x,因 为 点（1，加）到 抛 物 线 上，所 以 川=16,所 以 加=4.故 答 案 为：4.7.著 名 的 天 文 学 家、数 学 家 开 普 勒 发 现 了 行 星 运 动 三 大 定 律，其 中 开 普 勒 第 一 定 律 又 称 为 轨 道 定 律，即 所 有 行 星 绕 太 阳 运 动 的 轨 道 都 是 椭 圆，且 太 阳 中 心 处 在 椭 圆 的 一 个 焦 点 上.记 地 球 绕 太 阳 运 动 的 轨 道 为 椭 圆 C,在 地 球 绕 太 阳 运 动 的 过 程 中，若 地 球 轨 道 与 太 阳 中 心 的 最 远 距 离 与 最 近 距 离 之 比 为 2,则 C 的 离 心 率 为【答 案】3-=2【分 析】设 椭 圆 C 的 焦 距 为 2 c,实 轴 长 为 2 a,进 而 得 a-c,再 根 据 离 心 率 公 式 计 算 即 可.【详 解】解：根 据 题 意，设 椭 圆 C 的 焦 距 为 2 c,实 轴 长 为 2“，所 以 地 球 轨 道 与 太 阳 中 心 的 最 远 距 离 为 a+C,最 近 距 离 为-J_a_+_c 23 0 _c 1所 以 一,即 3 c,-a-3故 C 的 离 心 率 为 3故 答 案 为：38.已 知 圆 的 方 程 为 犬+/一 米-2夕-公=0,则 当 该 圆 面 积 最 小 时，圆 心 的 坐 标 为.【答 案】(0，1)【分 析】将 圆 的 方 程 化 成 标 准 形 式，求 出 圆 心 及 半 径 即 可 分 析 计 算 作 答.(x-)2+(-l)2=+1(-,1)【详 解】依 题 意，圆 的 方 程 化 为：2 4,于 是 得 该 圆 圆 心 2,半 径 5k2S=冗 r1=4(-+因 此，该 圆 面 积 4,当 且 仅 当=0 时 取“=”，所 以 当 该 圆 面 积 最 小 时，圆 心 的 坐 标 为(，1).故 答 案 为：(，1)9.实 数 x，y 满 足 x W+，3=i,则 点 区 内 到 直 线 x+y+仁。的 距 离 的 取 值 范 围 是.(4+乌【答 案】2 2【解 析】分 段 讨 论 去 绝 对 值 判 断 出 表 示 的 图 形，可 得 出 表 示 的 图 形 在 y=-X和 x+y-&=o 之 间，利 用 平 行 线 间 距 离 公 式 即 可 求 出.【详 解】实 数 y 满 足 当 x2，”时，方 程 为 v+/=i,表 示 一 段 圆 弧，当 xZO,y0时，方 程 为/-/=,表 示 双 曲 线 的 一 部 分，当 x0,yN0时，方 程 为 _/一*=1,表 示 双 曲 线 的 一 部 分，当 xO,y时，方 程 为 f+/=一,不 表 示 任 何 图 形,画 出 x|x|+，|y|=l表 示 的 图 形,可 知 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 为 歹=-,和 x+y+l=平 行，设 和 x+F+l=O平 行 且 和 圆 x 2+/=l 在 第 一 象 限 相 切 的 直 线 为 x+y+a=O,M=i则 正，解 得。=-&,可 得 表 示 的 图 形 在 y=-x 和 x+y-近=之 间，1 _ A/2则 k T 和 x+y+i=的 距 离 为 0 2,卜 丁-1 I应 x+y-0=O和 x+y+l=O 的 距 离 为 夜 2,（五、五-,-则 结 合 图 形 可 得 点（y）到 直 线 x+y+i=的 距 离 的 取 值 范 围 是 12 2 J.T5 T故 答 案 为：1 2.【点 睛】本 题 考 查 解 析 几 何 的 综 合 问 题，解 题 的 关 键 是 得 出 x W+M N=i 表 示 的 图 形，数 形 结 合 可 求 出.口 片-片 710.已 知 双 曲 线 8 8 的 左 焦 点 为 R 点 在 双 曲 线 C 的 右 支 上，小 0,4）,当 小 尸 的 周 长 最 小 时，尸 的 面 积 为.【答 案】12【解 析】尸 的 周 长 为 M H+四 月+M H,其 中 1/=4&为 定 值，所 以 即 求|皿+明 尸,利 用 定义 可 得 M T W+4凡 所 以 周 长 为 心|+|S+8终 作 图 当 河、A F 三 点 共 线 时 周 长 最 短,利 用 面 积 分 割 求 得 面 积.【详 解】如 图，设 双 曲 线 C 的 右 焦 点 为 尸.由 题 意 可 得”2&,尸（广 或 0,K 4）0因 为 点 M 在 右 支 上，所 以 M T 1=2a=4修 所 以 阿=|M|+4&,则 牍 i尸 的 周 长 为 MA+MF+AF=M/+MF+Sy/2|/|+8近=12/即 当 M 在 m 处 时，MX尸 的 周 长 最 小，此 时 直 线 4尸 的 方 程 为 y=-x+4.y=-x+4联 立 8 8,整 理 得 夕-1=,则 加=1,尸 尸 1。/|一 3 尸 尸|yw|=，x8x（4-l=12故 仙/尸 的 面 积 为 11 1 21 ll?w|2故 答 案 为：12【点 睛】本 题 考 查 双 曲 线 数 形 结 合 求 最 值 以 及 求 三 角 形 的 面 积，属 于 基 础 题.方 法 点 睛：（1）双 曲 线 求 最 值 常 用 定 义 的 方 法，把 到 一 个 焦 点 的 距 离 转 化 为 到 另 一 个 焦 点 的 距 离.（2）圆 锥 曲 线 中 求 三 角 形 的 面 积 经 常 采 用 面 积 分 割 的 方 法.11.“康 威 圆 定 理 是 英 国 数 学 家 约 翰 康 威 引 以 为 豪 的 研 究 成 果 之 一.定 理 的 内 容 是 这 样 的：如 图，“8 C 的 三 条 边 长 分 别 为 8c=。，AC=b,N8=c,延 长 线 段 C 4 至 点 4,使 得 以 此 类 推 得 到 点 4 田，层,G 和 C z,那 么 这 六 个 点 共 圆，这 个 圆 称 为 康 威 圆.己 知“=4,6=3,c=5,则 由 NBC生 成 的 康 威 圆 的 半 径 为【答 案】历【解 析】利 用 弦 长 相 等，H GITA闻=|与 G|,圆 心 与 弦 所 在 直 线 距 离 相 等，得 圆 心 是 直 角“s c 的 内 心，从 而 易 求 得 圆 半 径.【详 解】设 是 圆 心，因 为 M G|=|4 闵=|玛,因 此 用 到 直 线/5,8 C,C/的 距 离 相 等，从 而 3+4-5 MN=CN=-=1 是 直 角 的 内 心，作 W N C 于 N,连 接 则 2,N G=l+5=6,所 以 苗 6=户 万=历.故 答 案 为：后.【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 考 查 求 圆 心 的 半 径，关 键 是 找 出 圆 心 位 置，解 题 根 据 是 利 用 弦 长 相 等,则 圆 心 到 弦 所 在 直 线 的 距 离 相 等，从 而 得 出 圆 心 是 题 中 直 角 三 角 形 内 心，这 样 由 勾 股 定 理 可 得 结 论.12.如 图，耳、月 是 椭 圆 G 与 双 曲 线 G 的 公 共 焦 点，4 8 分 别 是 G、C?在 第 二、四 象 限 的 交 点,ZAFB=-若 则 G 与 5 的 离 心 率 之 积 的 最 小 值 为【答 案】2【分 析】根 据 椭 圆 和 双 曲 线 的 定 义 和 对 称 性，结 合 三 角 形 面 积 公 式、余 弦 定 理、基 本 不 等 式 进 行 求 解 即 可.x2 2 7 H7=1（。b 0）,T b2=C2【详 解】设 椭 圆 方 程 为。.，-27 7=1（加,0）,7772+n2=c2双 曲 线 方 程 为-，如 下 图，连 接/巴、鸟 8,所 以/片 88 为 平 行 四 边 形，由 明 8 号 得 今 典 弋,醉 止 在 椭 圆 中，由 定 义 可 知：s+，=2a,由 余 弦 定 理 可 知：4c2=s2+t2-1st cos 4c=s2+t2-st=（s+t-3st st=b23）3c _ 1,G _/典=2st=rb在 双 曲 线 中，由 定 义 可 知 中：，-s=2?，由 余 弦 定 理 可 知:4c2=s2+t2-2.COSy=4c2=s2+/2-st=(t-sy+sf=s,=4 2S,印 f=；.st 与=亚 川 S F,F=-b2=5/3n2=b2=3 2所 以 6伍 3,-2=3&_.)n 苧+=422百 詈 当 且 仅 当=6”时 取 等 号,c2 百-所 以 皿 一 2,所 以 c 与 G 的 离 心 率 之 积 的 最 小 值 为 2.【点 睛】关 键 点 睛：在 椭 圆 和 双 曲 线 中 利 用 焦 点 三 角 形 的 面 积 建 立 等 式 是 解 题 的 关 键.二、单 选 题 13.直 线 怎 一 F-1=与 直 线 一 何=的 夹 角 为（）兀 兀 7 1 5 T lA.6 B.3 C.2 D.6【答 案】A【分 析】根 据 斜 率 分 别 计 算 两 条 直 线 的 倾 斜 角，进 而 可 得 夹 角.【详 解】两 直 线 的 斜 率 因 为 直 线 倾 斜 角 范 围 为 0，兀），=则 3 2 6,0=-故 两 直 线 夹 角 3故 选：A.兀 兀 6 6,14.已 知 点 加（2,0）,点 尸 在 曲 线/=4 x 上 运 动，点 尸 为 抛 物 线 的 焦 点,|P M 则 产 用 T 的 最 小 值 为()A.百 B.2(6-1)C.4石 D.4【答 案】D【解 析】如 图 所 示：过 点 尸 作 尸 及 垂 直 准 线 于 N,交 y 轴 于。，则 户/7卜 1=归 卜 1=俨。1,设I M 5 4P(x，y),%o,则 IP用 i x,利 用 均 值 不 等 式 得 到 答 案.【详 解】如 图 所 示：过 点?作 PN垂 直 准 线 于 N,交 y 轴 于。，则 归 户 卜 1 T p M-1=归。1,|PM|2 _|PM|2 _(x-2)2+y2 _(x-2)2+4x_ 4设 P(J),x 0,则 已 用-PQ x x,4x=当 X,即 X=2时 等 号 成 立.【点 睛】本 题 考 查 了 抛 物 线 中 距 离 的 最 值 问 题，意 在 考 查 学 生 的 计 算 能 力 和 转 化 能 力.15.设 点 也(%/)，若 在 圆：2+2=1上 存 在 点 N，使 得/0MN=45,则 的 取 值 范 围 是()-6 Fn V TA.叩 B.T,l c.L 2 2 D.L 2.【答 案】B【分 析】首 先 根 据 题 中 条 件，可 以 判 断 出 直 线 N 与 圆。有 公 共 点 即 可，从 而 可 以 断 定 圆 心。到 直 线 的 距 离 小 于 等 于 半 径，列 出 对 应 的 不 等 关 系 式，求 得 结 果.【详 解】依 题 意，直 线 A W 与 圆。有 公 共 点 即 可，即 圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于 等 于 1即 可，过。作。垂 足 为 4,在 加 中，因 为 NOK4=45,|0J|=|OM|sin45=|0M|故 2 G,所 以 则 J/2+1 4 友 解 得 T W x。W1.故 选：B.【点 睛】该 题 考 查 的 是 有 关 直 线 与 圆 的 问 题，涉 及 到 的 知 识 点 有 直 线 与 圆 的 位 置 关 系，解 直 角 三 角 形，属 于 简 单 题 目.16.已 知 椭 圆,W+J 一 的 左 顶 点 为 A,过 点 T（L）作 不 与 坐 标 轴 垂 直 的 直 线/交 椭 圆 C 于 点 M，N两 点,直 线/4 N 与 直 线 x=l分 别 交 于 尸 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.阳+图 为 定 值 B.惘 一 陶 为 定 值 回+匹 c.加 图 为 定 值 D.阳 加 为 定 值【答 案】C【分 析】设 直 线/的 方 程 为（X Q J H，%）,联 立 直 线 与 椭 圆 方 程 可 得 v+x=J _X X=。，工 1,1,1 2 1+4公 1+4公，利 用 直 线 方 程 可 得 芭+2）,I+2人 则 可 求 得|+阳,T P T Q M-M.T P-T Q+国 的 值，从 而 可 得 答 案.【详 解】解：由 题 可 设 直 线/的 方 程 为、=（-1）,加（内，乂）、N（X2,力）,蝴 4左 2-4j=0,所 以 M L 国 小=由,则/M 方 程 占+N，令 x=l,得 玉+2 TP+TQ=PQ=-I 十 N X）十 乙 所 以%。厂 2）x（x2+2（x,+X2）+4 TP-TQ=9yM9k2%1%2-（X,+工 2）+1=9k。4公-4 8A2 J+4/1+4A-2+J_ 3-4（xi+2）（+2）xxx2+2（+X2）+4 4*_4 c 8公-5-+2 X-+41+4/+4k2惘-阿=1 普+期 3k 2须 吃+（斗+工 2）-3x1x2+2（芭+）+43k心”+$一 4（1+4/1+4 后 2 J一+2 x f1+4-1+4 公+4阿 附 JTQ|177f+70（T0|+|研）2-2图.加 工-2*4.n 4|T0|TP|r0|-TP TQ-TP 3-3公 4则 只 有 H 叫 为 定 值.故 选：C.三、解 答 题 17.已 知 直 线 4：2x+y_3=o.(1)若 直 线 42与 直 线 4垂 直，且 过 点(1,1),求 直 线 6 的 方 程.(2)若 直 线 4与 直 线/：取-2y+1=平 行，求 直 线 乙 与/的 距 离：【答 案】(1产 一 2尸 1=在 2I 1%2=；【分 析】(1)由 直 线,2与 直 线 4垂 直，求 得-2,结 合 直 线 的 点 斜 式 方 程，即 可 求 解；(2)由 直 线 4与 直 线/平 行，求 得 a=-4,得 到 4x+2y-l=o,结 合 两 平 行 线 间 的 距 离 公 式，即 可 求 解.【详 解】解：由 直 线 卜 2 k 3=0,可 得 尢=-2,k=1因 为 直 线 4 与 直 线 垂 直，所 以 左 M?二 T,可 得 22,又 因 为 直 线 4 过 点(1/)，可 直 线 6 的 方 程 为 一 1一 2”一 1),即 x-2y+l=0,所 以 直 线 4 的 方 程 为 x-2y+l=0.6f _-2 1(2)解：因 为 直 线 人 与 直 线/：“x-2y+l=平 行，可 得 5-1*-3,解 得。=-4,即 直 线/与 直 线 Tx-Zy+J O,即 4x+2 y T=0,又 由 直 线 4：2X+N-3=O,可 化 为 4x+2y-6=0,4-尸-6)|=.5所 以 直 线 4与/的 距 离“2+22 2,即 直 线 4与/的 距 离 2.18.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已 知 B C 的 顶 点 坐 标 分 别 是(，)，(3,3)，(1，-灼，记 外 接 圆 为 圆 求 圆 M 的 方 程；(2)在 圆 M 上 是 否 存 在 点 尸，使 得 归 8/一|=12?若 存 在，求 点 尸 的 个 数；若 不 存 在，说 明 理 由.答 案-6x=0；(2)存 在；点 户 有 两 个.【分 析】(1)设 出 圆 的 一 般 方 程，根 据 4 8，C 三 点 均 在 圆 上，列 出 方 程 组，即 可 求 得 圆 方 程;（2）根 据 题 意，设 出 点 P 的 坐 标，根 据 点 尸 满 足 的 条 件 以 及 点 P 在 圆 上，将 问 题 转 化 为 直 线 与 圆 的 位 置 关 系，即 可 求 解.【详 解】（1）设 小 8 c 外 接 圆 加 的 方 程 为*+_/+6+取+尸=0,尸=D=6。+*+6=0 E=0将“（0,0），8（3,3），c（l，-代 入 上 述 方 程 得：-屈+6=0，解 得 卜 则 圆 M 的 方 程 为+V-6x=0.(2)设 点 P 的 坐 标 为(XJ),M2-M2=12,所 以(x-3)2+3 3)2 x2 一/=12,因 为 化 简 得：x+y_i=od=g,-=&3因 为 圆 M 的 圆 心/9）到 直 线+夕 一 1=的 距 离 为 Vl2+12所 以 直 线 x+）-l=与 圆 加 相 交，故 满 足 条 件 的 点 尸 有 两 个.19.如 图 所 示，一 隧 道 内 设 双 行 线 公 路，其 截 面 由 长 方 形 的 三 条 边 和 抛 物 线 的 一 段 构 成，为 保 证 安 全，要 求 行 驶 车 辆 顶 部（设 为 平 顶）与 隧 道 顶 部 在 竖 直 方 向 上 高 度 之 差 至 少 要 有 0.5米.（1）以 抛 物 线 的 顶 点 为 原 点 O,其 对 称 轴 所 在 的 直 线 为 y 轴，建 立 平 面 直 角 坐 标 系（如 图），求 该 抛 物 线 的 方 程：（2）若 行 车 道 总 宽 度 为 7 米，请 计 算 通 过 隧 道 的 车 辆 限 制 高 度 为 多 少 米（精 确 到 0 1 米）？【答 案】（1/=-5y（-5 4 x4 5）；（2）40 米.【分 析】（1）设 出 抛 物 线 方 程，根 据 点 C（5,一 5）在 抛 物 线 上，代 入 即 可 求 出 抛 物 线 方 程:(2)设 车 辆 高 为 人 米，根 据 点(35-6.5)在 抛 物 线 上，求 出;，的 值，从 而 可 求 出 限 制 高 度.【详 解】(1)根 据 题 意，设 该 抛 物 线 的 方 程 为 r=-2py(P),_ 5由 图 可 知 点 C(5-5)在 抛 物 线 上，所 以 25=10p,即 所 以 该 抛 物 线 的 方 程 为 x2=-5y(-54x45)(2)设 车 辆 高 为 米，则 网=力+0.5,故。(3.5,-6.5),代 入 方 程-二-5-解 得 力=4.05,所 以 车 辆 通 过 隧 道 的 限 制 高 度 为 4 0 米.20.我 们 把 等 轴 双 曲 线 的 一 部 分 鳄 瞽 喷 喇 喃 刖 鹭 半 圆 G：x=2(”0)合 成 的 曲 线 称 作“异 型”曲 线 C,其 中 G 是 焦 距 为 2近 的 等 轴 双 曲 线 的 一 部 分，如 图 所 示.求“异 型”曲 线 C 的 方 程;若 P(0,p)(p0),。为，异 数，曲 线 c 上 的 点，求 产。1的 最 小 值;(3)若 直 线/：V=丘-1与“异 形”曲 线 C 有 两 个 公 共 点，求 上 的 取 值 范 围.【答 案】(i)r-PQU=(2)(3)-V2U-l,0)U(0,lU/2【分 析】（1）根 据 等 轴 双 曲 线 的 性 质，及 其 焦 距，可 列 出 式 子，求 出 a，。，从 而 可 求 出 G 和&的 方 程，进 而 可 求 出 曲 线 o 的 方 程；（2）设（2）,分”和 两 种 情 况，分 别 求 出 归 域 的 表 达 式，进 而 求 出 两 种 情 况 的 最 小 值,比 较 二 者 大 小，可 得 出 答 案.（3）分 发=0、01三 种 情 况，分 别 讨 论 直 线 八 了=米-1与 G、的 交 点 情 况，可 求 出 k2时，满 足 题 意 的 人 的 取 值 范 围，再 结 合“异 型”曲 线 C 的 图 象 关 于 N 轴 对 称，可 求 出 0 时，满 足 题 意 的 女 的 取 值 范 围；a=h/2 a=b=【详 解】（1）由 题 意，可 知 G 满 足,解 得 1=也，eCj:x2-y2=1（0）C2：+V=1（y 0）.”异 型”曲 线 c 的 方 程 为/M M=1.设。（x，y）,则 当 y v 0 时，|P0=x2+（y-p=x2+y2+p2-2py=l+p2-2py.-i 0,.当=o时，pQmin=+P2.当 y0 时 嘲=/+8 _ p）2=/+/+2_2勿=2/_ 2 陟+02=2 0-y）+-P+1,（3）直 线，=履-1与“异 型”曲 线 C 有 公 共 点.X?-/=（”0）Jx=l 1x=-l联 立 X2+/=IG VO，解 得 jy=o 或 jy=0,即 G、G 有 公 共 点 8（1,0）、C（-l,0）当 氏=0 时;直 线/：y=T,与 G 无 公 共 点，与 G 有 唯 一 公 共 点（，T）,不 符 合 题 意;,-1-0,当 0左 小 时，可 知“厂 0-1,易 知 直 线/：y=T 与 G 有 两 个 公 共 点，又 G 的 渐 近 线 为 v=x,且 G 中 yzo,=-i 与 G 无 公 共 点.当 01时，可 知 则 直 线.t 与 G 只 有 一 个 公 共 点.x2-y2=1联 立 b=2 l,得。-六”+2京-2=0,易 知 一 孙 若 除 4人 4（1孑 X-2）=0,解 得 也,：k,：.k=亚,此 时/号=丘-1与 G 相 切 于 第 一 象 限，只 有 一 个 公 共 点；若 A=4%2-4（l-X_2）0,解 得 一 6 k i,：.i k 讨 论，利 用 二 次 函 数 的 最 值，求 出 各 自 的 最 小 值，然 后 进 行 比 较，再 取 最 终 的 最 小 值，第 3 问 的 关 键 在 于 利 用 图 象 的 对 称 性 分 k=0,01进 行 讨 论，要 注 意 直 线 与 渐 进 线 平 行 是 一 个 交 点 个 数 的 分 界 位 置，同 时 不 忘 直 线 与 曲 线 相 切 时 的 情 况.C,-7+4*=1（6 0）A/f 1,l.i A21.已 知 椭 圆/b2 经 过 点 I 2人 且 其 右 焦 点 与 抛 物 线=4x的 焦 点 厂 重 合，过 点 厂 且 与 坐 标 轴 不 垂 直 的 直 线 与 椭 圆 交 于 尸，。两 点.（1）求 椭 圆 G 的 方 程；（2）设 0 为 坐 标 原 点，线 段 0尸 上 是 否 存 在 点 阳，）,使 得 炉 称=闻 而？若 存 在，求 出 的 取 值 范 围；若 不 存 在，说 明 理 由；（3）过 点 4（4，）且 不 垂 直 于 X轴 的 直 线 与 椭 圆 交 于 A,8 两 点，点 8 关 于 x轴 的 对 称 点 为 E,试 证 明：直 线 月 E 过 定 点.-1-=1 n e 0,【答 案】（1）4 3.（2）存 在，I 4人（3）证 明 见 解 析.【分 析】（1）求 出 抛 物 线 的 焦 点，即 可 根 据 椭 圆 的 右 焦 点 坐 标 及 点 M 列 方 程 求 解 方，从 而 求 得 椭 圆 方 程；（2）设 直 线 尸。的 方 程 为：y=（x-D,k O,联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 可 得 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程，利 用 韦 达 定 理 及 中 点 坐 标 公 式 用 人 表 示 出 线 段 尸 的 中 点 火（三，乃），根 据 所 给 等 式 可 证 明 直 线 N E为 直 线 P 0的 垂 直 平 分 线，则 可 得 直 线 N R的 方 程，求 出 点 N 的 横 坐 标 从 而 可 求 得 的 范 围：（3）联 立 直 线 的 方 程 与 椭 圆 方 程 可 得 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程，设 出 匕，%）,8（%,乂），E 6,一 乂），根 据 韦 达 定 理 求 出 退+匕、4,求 出 直 线 Z E 的 方 程 并 令？=,求 出 x 并 逐 步 化 简 可 得=1,则 直 线 月 E 过 定 点 0,0）.X2 y2【详 解】（1）椭 圆 右 焦 点 与 抛 物 线 G：V=4 x 的 焦 点 尸（1,0）重 合,3且 经 过 点 2,91 4,定+7=1 产=4,解 得%2/+=1.椭 圆 的 方 程 为：4 3.（2）设 直 线 PQ的 方 程 为：y=H x 1）,k*o,兰+匕 1代 入 4 3,得：（3+4-）/-8 左、+4左 2-12=0,A=（-8公-4（3+）（&2-12）0恒 成 立.设 尸（玉，乂），。（三，必），线 段 产。的 中 点 为 做 三，%）,_ xt+x2 _ 4k2贝！2-3+4 3k3+4-为 二%（七 一 1）由 0P NP=PQ N Q,得.PQ(NQ+NP)=PQ(2NR)=0直 线 NR为 直 线 P。的 垂 直 平 分 线，3k 1,4左 2、y H-7=（1-7）直 线 M?的 方 程 为：3+4公 k 3+4Q,k2 1n=-3+4公 之+4令，=得：N 点 的 横 坐 标 公，.3+8）,.A 4 e（4,+oo）弓 吟.线 段。尸 上 存 在 点 N（，）,使 得 QP NP=PQ N Q,其 中 I 4.（3）证 明：设 直 线 4 8 的 方 程 为：y=x-4）,k*0,片+匚 1代 入 了 丁，得:（3+4-3 2+64公 7 2=,；过 点 兄（4）且 不 垂 直 于 x 轴 的 直 线 与 椭 圆 交 于 A,8 两 点，.由=（-32A2）2-4（3+4%6 4 J 2）0,得：丘（一 七）,设/（匕，%），8（%,居），E（x,，-”），32k2 64-12贝 产%=Ey-y3=必+.一.）则 直 线 4 E 的 方 程 为 七 一%,必+乂 _ x3 9k（x4-4）4-x4（%4-4）k（xy+x4-8）_ 2七-4（七+匕）Xj+x4 82.64Z12_4.J2.:3+4公 3+4/,平 二 83+4 代.二 直 线 4 E 过 定 点（L）.【点 睛】圆 锥 曲 线 中 的 定 点、定 值 问 题 是 高 考 中 的 常 考 题 型，难 度 较 大，考 查 知 识 间 的 联 系 与 综 合,着 重 考 查 考 生 运 用 圆 锥 曲 线 的 知 识 进 行 逻 辑 推 理 的 能 力.1.参 数 法 圆 锥 曲 线 的 定 点、定 值 问 题 会 涉 及 到 曲 线 上 的 动 点 及 动 直 线，所 以 很 常 用 的 方 法 就 是 设 动 点 或 设 动 直 线，即 引 入 参 数 解 决 问 题，那 么 设 参 数 就 有 两 种 情 况，第 一 种 是 设 点 的 坐 标，第 二 种 是 设 直 线 的 斜 率.2.由 特 殊 到 一 般 法 如 果 要 解 决 的 问 题 是 一 个 定 值（定 点）问 题，而 题 设 条 件 又 没 有 给 出 这 个 定 值（定 点），那 么 我 们 可 以 这 样 思 考：由 于 这 个 定 值（定 点）对 符 合 要 求 的 一 些 特 殊 情 况 必 然 成 立，那 么 我 们 根 据 特 殊 情 况 先 找 到 这 个 定 值（定 点），明 确 了 解 决 问 题 的 目 标，然 后 进 行 一 般 情 况 下 的 推 理 证 明.