2021-2022学年八年级数学下册训练06几何思想之平行四边形压轴题专练（解析版）（苏科版）.pdf

专 题 0 6 几 何 思 想 之 平 行 四 边 形 压 轴 题 专 练（解 析 版）错 误 率：易 错 题 号：一、单 选 题 1.（2021江 苏 苏 州 八 年 级 月 考）如 图，在 矩 形 中，P是 边 上 的 动 点，于 E,P F L B D于 F,如 果 A3=3,A=4,那 么()B.PE+PF D.3 P E+P F 45 5【标 准 答 案】A【思 路 指 引】设 AC、B D交 于 点 O,连 接 O P,根 据 矩 形 的 性 质 及 勾 股 定 理 求 出 O A=O D=2.5,再 求 出 匚 A O D的 面 积,根 据 面 积 关 系 即 可 求 出 答 案.【详 解 详 析】设 AC、B D交 于 点 O,连 接 OP,AB=3,AD=4,BD=AC=5,OA=OD=2.5,5 AOD=5，4BCD=X 3 X 4=3S A0P+S rx)P-3,于 E,P F L B D于 F，-x 2.5 P E+-x 2.5 P F=3,2 2-x-(P E+PF)=3,2 2PE+PF=,故 选：A.I)p【名 师 指 路】此 题 考 查 矩 形 的 性 质，勾 股 定 理，根 据 矩 形 的 性 质 求 出 A O D的 面 积 是 解 题 的 关 键.2.（2021江 苏 江 都 八 年 级 月 考）如 图，平 面 内 三 点 A、B、C,A B=4,A C=3,以 8 C 为 对 角 线 作 正 方 形 B O C E,连 接 A O,则 A O的 最 大 值 是（）【标 准 答 案】DC.7 0 D.然【思 路 指 引】将 BD A绕 点 D 顺 时 针 旋 转 90。得 到 C D M,山 旋 转 的 性 质 可 得 AD M是 等 腰 直 角 三 角 形,推 出 AD=A M,推 出 当 A M 的 值 最 大 时，A D的 值 最 大，利 用 三 角 形 的 三 边 关 系 求 出 A M 的 最 大 值，即 可 解 决 2问 题.【详 解 详 析】将 BDA绕 点 D 顺 时 针 旋 转 90。得 到 DCDM,AB=CM=4,DA=DM,ADM=90,A D M是 等 腰 直 角 三 角 形，AD=AM,2当 A M 的 值 最 大 时，A D的 值 最 大，AMAC+CM,AM7,A M 的 最 大 值 为 7,A D的 最 大 值 为（忘.故 选 D.E.【名 师 指 路】本 题 主 要 考 查 正 方 形 的 性 质，旋 转 变 换 的 性 质，等 腰 直 角 三 角 形 的 判 定 和 性 质 以 及 三 角 形 三 边 长 的 关 系，通 过 旋 转 变 化，构 造 等 腰 直 角 三 角 形，是 解 题 的 关 键.3.（2021江 苏 南 通 田 家 炳 中 学 八 年 级 月 考）如 图，在 正 方 形 A8CZ）中，E是 对 角 线 8。上 一 点，且 满 足 BE=B C.连 接 CE并 延 长 交 AO于 点 连 接 A E,过 B点 作 AE于 点 G,延 长 3 G 交 AC于 点 H.在 下 列 结 论 中：口 明=次；ZAEF=45；A W=DE；5raai ra c=S D E F+S ACH,其 中 正 确 的 结 论 有（）个 A.1 B.2 C.3 D.4【标 准 答 案】C【思 路 指 引】先 判 断 出：/=IN B H,再 判 断 XDETZICOE得 出 D A E i DCE=22.5,口 48=D C F,再 判 断 出 口”“口 nDCF从 而 得 到 口 正 确,根 据 三 角 形 的 外 角 求 出 口 力 所=45。，得 出 口 正 确；结 合 可 得。尸=D E,根 据/=尸 即 可 得 正 确；连 接 判 断 出 SzE/TMS5尸。得 出 错 误.【详 解 详 析】解：B D 是 正 方 形 A B C D 的 对 角 线,D A B E=U A D E=J C D E=45,AB=BC,BE=BC,AB=BE,D B G AE,8,是 线 段/E 的 垂 直 平 分 线，4 B H=d D B H=2 2 5。,在 Rt 4 B H 中,A H B=90-A B H=6 7 5。,UAGH=90,DAE=QABH=22.5f在 力。上 和 nCOE中，DE=DE ZADE=ZCDE=45,AD=CDUUADECDE(SAS),D4E=JDCE=22.5。,4BH=_DCF,在 力 8”和。C尸 中，/BAH=ZCDF AB=CD,ZABH=ZDCFVABH33DCF(ASA)f口 4H=DF,UCFD=UAHB=675。,CFD=2EAFL：AEF,67.5。=22.5。+AEF,y4F=45,故 nCJ正 确；FZ)=45,UDFE=JFAE+UAEF=22.5+45=67.5,QDEF=180-45-67.5=67.5,DF=DE,UAH=DF,口 4 H=D E,故 正 确；如 图，连 接 HE,8 是 力 E 垂 直 平 分 线,JAG=EG,SAAGH=SHEG,AH=HE,A H G=L E H G=6 1 5。,nnDHE=45,ZZ）E=4 5。，nDEH=90,口 D H E=/E=45,UEH=ED,D E 是 等 腰 直 角 三 角 形，E F不 垂 直 W,UFHFD,SAEFH丰 SAEFD,S 西 山 形 EFHG=SAHEG+SAEFH=SAAHG+SAEFH*SAD E F 0 A G H,故：错 误，口 正 确 的 是 口 故 选：c【名 师 指 路】此 题 是 四 边 形 综 合 题，主 要 考 查 了 正 方 形 的 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质，解 本 题 的 关 键 是 判 断 出 QADEJ C D E,难 点 是 作 出 辅 助 线.4.（2021江 苏 星 海 实 验 中 学 八 年 级 期 中）如 图，在 梯 形 ABCO中，AD/BC,ZBCD=90,BC=2AD,F、E 分 别 是 5 4、B C的 中 点，则 下 列 正 确 的 结 论 是 有（）个 D E 平 分 N C D F；4?C 是 等 腰 三 角 形；U四 边 形 M E。是 平 行 四 边 形；L S 板.=g S 皿，2A.3 B.2 C.4 D.1【标 准 答 案】A【思 路 指 引】连 接 4 E,根 据 线 段 之 间 的 关 系 和 梯 形 的 性 质 即 可 证 明：同 理 证 明 四 边 形 ZEC D为 矩 形，得 到/E 垂 直 平 分 8 C,可 得 可 证 明:过 尸 作 尸 G J_B C于 G 点，可 得 F G为 4 5 E的 中 位 线，可 得 FG=A E,再 根 据 三 角 形 的 底 和 高 的 关 系 可 判 断；由 于 缺 乏 条 件，故 无 法 得 到 I CDE和 F D E的 关 系，可 判 断 口.【详 解 详 析】解：连 接/如 图 所 示，E 为 8 c 的 中 点,BE=CE=-B C,又 8c=2皿 2A D=BE=EC,乂 ADHBC,口 四 边 形 力 BE。为 平 行 四 边 形，故 口 正 确；又 ZDCB=90,四 边 形/E 8 为 矩 形，ZAEC=90,即 AE_L8C,4E垂 直 平 分 BC,UAB=AC,即 口/B C 为 等 腰 三 角 形，故 口 正 确;过 产 作 R G，3 c 于 G 点，可 得 尸 G/4E,又 尸 为 Z 8 的 中 点，I G 为 8 E 的 中 点，尸 G 为 八 43：的 中 位 线，FG=-AE,2又 U4E=DC,BE=AD,S BEF=3S Q 故 正 确；无 法 得 出 C D E 和 F D E 的 关 系，O E 不 一 定 平 分 N P D C，故 错 误.故 选 A.【名 师 指 路】本 题 考 查 了 梯 形 的 性 质，平 行 四 边 形 和 矩 形 的 判 定 和 性 质，等 腰 三 角 形 的 判 定，中 位 线 定 理，解 题 的 关 键 是 根 据 BC=2AD和 梯 形 的 性 质 证 明 平 行 四 边 形.5.（2021 江 苏 太 仓 八 年 级 期 中）已 知：如 图，A B C 中，44。5=90。,47=3。=4近，点。是 射 线 A8上 一 动 点，以 C O 为 一 边 向 左 画 正 方 形 C O M.连 接。尸，取。尸 中 点 Q,则 3。的 最 小 值 为()cA.2 B.2&C.4 D.正【标 准 答 案】B【思 路 指 引】证 明 CL4C。口 匚 5 C F,得 至!|14=口（78/=45。，可 得：1/8尸=90。，根 据 直 角 三 角 形 斜 边 中 线 的 性 质 可 得 BQ=；F D,则 将 8。转 化 为 也 切，利 用 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质 求 出 8 的 最 小 值 即 可 得 到 30.2 2【详 解 详 析】解：nDACB=90,AC=BC,E45C是 等 腰 直 角 三 角 形，ZUCD+C188=90。，四 边 形 CDE户 为 正 方 形，UCD=CF,0 b=90。，即 BCD+8 b=90。，ACD=B C F,又 AC=BC,CD=CF,（”s）,UJA=LCBF=45,48斤=90,又 点。是。尸 中 点，BQ=；FD,FD=42CD,BQ=CD,2当 C D 为 最 小 值 时，8 0 取 最 小 值，当 C O L A 8 时，C。有 最 小 值，此 时。为 N 8 中 点，f f i j AB=+卜=8,8 最 小 值 为 g/8=4,B Q 最 小 值 为 弓 C D=4 X4=2 0.故 选 B.【名 师 指 路】本 题 考 查 了 等 腰 直 角 三 角 形 的 判 定 和 性 质，正 方 形 的 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质，勾 股 定 理，垂 线 段 最 短，解 题 的 关 键 是 证 明 三 角 形 全 等，得 到 Z8F=90。.二、填 空 题 6.（2021 江 苏 江 都 八 年 级 月 考）如 图，正 方 形/8 C D 中，A B=3,点 E 为 对 角 线/C 上 一 点，E E D E 交 4 B 于 尸,若 四 边 形 NFED的 面 积 为 4,则 四 边 形 F E D 的 周 长 为.【标 准 答 案】4+2追【思 路 指 引】连 接 BE,D F,过 E 作 EN B F于 点 N,证 明 DCE B C E和 B E F为 等 腰 三 角 形，设 A F=x,用 x 表 示 D E与 E F,由 根 据 四 边 形 AD EF的 面 积 为 4,列 出 x 的 方 程 求 得 X,进 而 求 得 四 边 形 AD EF的 周 长.【详 解 详 析】解：如 图，连 接 BE,D F,过 E 作 ENDBF于 点 N,CB=CD,BCE=DCE=45,在 U B E C 和 L D E C 中，D C=BC NDCE=/B C E,CE=CE DCEDDBCE(SAS),DE=BE,DCDE=aCBE,ADE=DABE,DAB=90,DEF=90,ADE+nAFE=l80,AFEWEFB=180,ADE=DEFB,ABE=EFB,EF=BE,DE=EF,设 AF=x,则 BF=3-x,1 3-xFN=BN=|BF=-y-,AN=AF+FN=,2 BAC=UDAC=45,JANF=90,3 4-VEN=AN=,2DE=EF=y/EN2+FN2=业 8+江.,2四 边 形 A F E D 的 面 积 为 4,SAADF+S ADEF=4,1,i f V18+2x2.-x3x+-x 2-=4，2 2 2 7解 得，x=-7(舍 去)，或 x=l,AF=1,D E=E F=i=石,2四 边 形 A F E D 的 周 长 为：3+1+石+6=4+2 6,故 答 案 为：4+20.【名 师 指 路】本 题 考 查 正 方 形 的 性 质、全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质、勾 股 定 理，等 腰 三 角 形 的 性 质，解 题 的 关 键 是 由 面 积 列 出 X的 方 程，属 于 中 考 选 择 题 中 的 压 轴 题.7.（2021 江 苏 江 都 八 年 级 月 考）如 图，菱 形 ABCO的 边 长 为 1,ZAfiC=60.E*分 别 是 BC,8O上 的 动 点，月.CE=,则 AE+AF的 最 小 值 为.【标 准 答 案】正【思 路 指 引】过 点 C 作 C G LC 4于 点 G,使 得 CG=AD=1,连 接 A G,首 先 通 过 菱 形 的 性 质 和 等 边 三 角 形 的 性 质 证 明/ADF=/E C G,得 出 AF=G E,然 后 根 据 AE+AF=隹+EG2 AG和 勾 股 定 理 计 算 即 可.【详 解 详 析】过 点 C 作 C G LC 4于 点 G,使 得 CG=AD=1,连 接 AG,四 边 形 ABCD是 菱 形，AB=BC=CD=AD=l,ZABC=ZADC=60,ZADB=-NADC=30,2s 4 3 c 是 等 边 三 角 形，ZACB=60,AC=AB=1.AC C G,:.ZECG=30.在，ADb和 ECG中 DF=CE ZADF=NGCEDA=CG.-.ZAF=ZCG,:.A F=GE,A E+A F=AE+EG AG.C G A C,A C=CG=,AG=-J AC2+CG2=41 A E+A F 41AE+AF的 最 小 值 为 近，故 答 案 为：V2.【名 师 指 路】本 题 主 要 考 查 菱 形 的 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 及 性 质，勾 股 定 理，掌 握 这 些 性 质 和 定 理 是 解 题 的 关 键.8.（2021 江 苏 靖 江 八 年 级 期 末）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点/、点 8 分 别 在 x 轴 和 V轴 的 正 半 轴 上 运 动，且 4 8=4,若 AC=BC=5,B C 的 形 状 始 终 保 持 不 变，则 在 运 动 的 过 程 中，点 C 到 原 点。的 最 小 距 离 为.【标 准 答 案】V 21-2【思 路 指 引】如 图，过 C 作 C G L A B于 G,AB=4,证 明 G3=GA=2,求 解 C G=A/5T,OG=2,结 合 三 角 形 的 三 边 的 关 系 可 得：OC C G-OG,当 C,O,G三 点 共 线 时，=CG O G,可 得 CO 2 CG OG=2,从 而 可 得 答 案.【详 解 详 析】解：如 图，过 C 作 CG_LAB于 G,AB=4,CB=CA=5,:.G B G A=2,：.CG=yJCA-G A2=752-22=而 ZAOB=90,0G=-AB=2,2由 三 角 形 三 边 的 关 系 可 得：O O C G-O G,当 G O,G三 点 共 线 时，OC=CG-OG,C O C G-O G=421-2,CO的 最 小 值 是：后-2.点 C 到 原 点。的 最 小 距 离 为 7 2 1-2.故 答 案 为：yf2-2.【名 师 指 路】本 题 考 查 的 是 等 腰 三 角 形 的 性 质，勾 股 定 理 的 应 用，直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半，三 角 形 三 边 之 间 的 关 系，掌 握 以 上 知 识 是 解 题 的 关 键.9.（2021 江 苏 姑 苏 八 年 级 月 考）如 图，F 为 正 方 形 A B C D 的 边 C D 上 一 动 点,A8=2,连 接 B F,过 工 作 A H L B F 交 B C 于 H,交 B F 于-G,连 接 C G,当 CG为 最 小 值 时，的 长 为.【标 准 答 案】3-不【思 路 指 引】如 图 I 中，取 力 8 的 中 点。，连 接 OG,O C.首 先 证 明 O,G,C共 线 时，C G的 值 最 小（如 图 2 中），证 明 CF=CG=BH即 可 解 决 问 题（图 2 中）.【详 解 详 析】解：如 图 1中，取 A 8的 中 点。，连 接 OG,0 C.图 1V 四 边 形 A8C。是 正 方 形，,-.ZABC=90,AB=2,.OB=OA=,/.OC=y/OB2+BC2=Vl2+22=/5，A H B F,ZAGB=90,AO=OB,OG=-A B=i12C G O C-C X f.当 0,G,C共 线 时，CG的 值 最 小，最 小 值=石-1（如 图 2 中）,:.NOBG=NOGB,A B/C D,O B G=NCFG,匕 OGB=4 C G F,：./C G F=4C F G,:.CF=CG=yf5-1ZABH=ZBCF=ZAGB=90P,NBAH+ZABG=90,ZABG+/CBF=90,:.ZBAH=NCBF,AB=B C,.1.MBHsABCF（A SA）,:.BH=CF=&1,:.CH=B C-B H=2-（逐-1）=3-后,故 答 案 为：3-7 5.【名 师 指 路】本 题 考 查 正 方 形 的 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质，直 角 三 角 形 斜 边 中 线 的 性 质，等 腰 三 角 形 的 判 定 和 性 质 等 知 识，解 题 的 关 键 是 学 会 添 加 常 用 辅 助 线，构 造 直 角 三 角 形 解 决 问 题，属 于 中 考 选 择 题 中 的 压 轴 题.10.（2021江 苏 南 京 玄 武 外 国 语 学 校 八 年 级 期 中）如 图，一 张 矩 形 纸 片 4 3 8,4 3=4,8 c=8,点 M,N 分 别 在 矩 形 的 边 AO,8 C上，将 矩 形 纸 片 沿 直 线 M N折 叠，使 点 C落 在 矩 形 的 边 A O上，记 为 点 P,点。落 在 G 处，连 接 P C,交 M N于 点,连 接 C M.下 列 结 论：nC Q=C。；四 边 形 Q H PN是 菱 形；/重 合 时，MN?=20;口-P Q M的 面 积 S 的 取 值 范 围 是 4 4 S W 5,其 中 正 确 的 是.（把 正 确 结 论 的 序 号 都 填 上）【思 路 指 引】先 判 断 出 四 边 形 CN PM是 平 行 四 边 形，再 根 据 翻 折 的 性 质 可 得 a v=M 然 后 根 据 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 是 菱 形，判 断 出 正 确；假 设 CQ=C。，得 Rt CMQRl C M D（HL）,进 而 得 NOCM=NQCM=NBCP=30。，这 个 不 一 定 成 立，判 断 错 误；点 P 与 点 4 重 合 时，设 BN=x,表 示 出 4V=N C=8-x,利 用 勾 股 定 理 列 出 方 程 求 解 得 x 的 值，进 而 用 勾股 定 理 求 得 M N,进 一 步 得 出 M N?,判 断 出 正 确；当 P 与/重 合 时，如 图 2 求 得 四 边 形 CM PN的 最 大 面 积，进 而 得 S 的 最 大 值，当 重 合 时，如 图 3求 得 四 边 形 CM PN的 最 小 面 积，进 而 得 S 的 最 小 值.【详 解 详 析】OPM CN,PMN=LMNC,MNC=1PNM,QUPMN=QPNM,口 PM=PN,QNC=NP,PM=CN,BMP iCM四 边 形 CNPM是 平 行 四 边 形，CN=NP,四 边 形 CNPM是 菱 形，故 i正 确；OCP MN,QBCP=CMCP,/。=口。=90。，CM=CM,若 CQ=CD,RtACMQ sRtACMD(HL),QDCM=DQCM=DBCP=30,这 个 不 一 定 成 立，故 口 错 误;点 P 与 点”重 合 时，如 图 2 所 示：设 B N=x,则 V=N C=8-x,在 RtUABN 中，AB2+BN2=AN2,即 42+=(8-x)2,解 得 x=3,CN=8-3=5,N C=6+叱=2+6=4逐，CQ=AC=2y/5,QN=QcM-J。?=心 _（2厨=后,MN=2QN=2 由.:.MN2=（2A/5）2=20,故:正 确；当 A/N过 点。时，如 图 3 所 示：此 时，CN 最 短，四 边 形 CA/W的 面 积 最 小，则 S 最 小=；S 辟。W W=；X4X4=4,当 尸 点 与 4 点 重 合 时，CN 最 长，四 边 形 CM/W的 面 积 最 大，则 S最 大=：x5x4=5,4S0）.口 点/在 移 动 过 程 中，48P的 顶 点 P 在 射 线 O C 上 吗？请 说 明 理 由；用 含，的 代 数 式 表 示 点 P 的 坐 标 为：（,）;（3）分 别 过 点 P、力 做 x轴、y 轴 的 平 行 线，两 条 平 行 线 交 于 点。，是 否 存 在 这 样 的。，使 得/QB是 等 腰 三 角 形？若 存 在，请 直 接 写 出。的 坐 标，若 不 存 在，请 说 明 理 由.【标 准 答 案】（1）&；（2,2）；（2）在，理 由 见 解 析;r+2 f+2 _t=;,c;(3)存 在，(2,2)2 2(6,4)【思 路 指 引】（1）作 尸 M y轴 于 M PN 04 于 M 根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 及 性 质 可 得：PMB会 PNA,PM=P N,BM=A N,再 依 据 正 方 形 的 判 定 及 性 质 即 可 得 出 结 果；（2）利 用 角 平 分 线 的 判 定 定 理 证 明 O尸 平 分 NAO3即 可；由（1）可 知：2OMOB+OA2+t,即 可 得 出 点 P 的 坐 标；（3）过 点 工 作 平 行 于 y 轴 的 直 线 交 过 点 M 作 平 行 于 x轴 的 直 线 于 点,连 接。8,由（1）（2）结 论 可 知：竽），可 得。4=言，根 据 点 坐 标 及 勾 股 定 理 确 定。8、长 度，然 后 分 三 种 情 况 讨 论 三 角 形 为 等 腰 三 角 形，得 出 一 元 二 次 方 程 求 解 即 可 得.【详 解 详 析】解：（1）作。9 轴 于 PN 0A 于 N.BC2+OC2=OB2,BC=0，NPMB=APNA=ZPNO=AMON=90,NMPN=NBPA=90,四 边 形 PMON 是 矩 形,ZMPB=ZNPA,PBA是 等 腰 直 角 三 角 形,PB=PA,在 A P A 汨 与 中，NPMB=4PNA ZMPB=4 NPA,PB=PAPMB会 PNA,PM=P N,BM=A N,OB+OA=O M-B M+ON+AN=2O M=4.OM=ON=2,四 边 形 PMO.M是 正 方 形，P（2,2）,故 答 案 为 0，（2,2）；（2）由（1）可 知：四 边 形 P M O N 是 正 方 形，PM=P N,如 图 所 示,PM A.OB,PN L O A,。平 分 NAO3,Z B O C=45,0 c 平 分 ZAOB,点 P 在 射 线 0 C 上;由（1）可 知：2。M=0 3+0 4=2+1,O M=OAf=22+r 2+i故 答 案 为 下 一,3-(3)如 图，过 点 工 作 平 行 于 v 轴 的 直 线 交 过 点 M 作 平 行 于 x 轴 的 直 线 于 点 0,连 接。8,由（I）可 知：四 边 形 PMON是 正 方 形，P M=P N,煎 B（0,2）,A（r,O）,AB=a S=占+4，当 QA=Q 8时，即 出=白 产 7+1,2 V4化 简 可 得：t2-2t=O,解 得：r=2或.=0（题 中 已 给，舍 去）,2+t-=2,2故 点 Q（2,2）；当。4=AB时，即 生=J 7+4,2化 简 可 得：3*_夕+12=0,A=（-4）-4 x 3 x l 2 0,方 程 无 解，故 这 种 情 况 不 存 在；当 Q8=A 3时，即+=+4,化 简 可 得：/一 4/-12=0，解 得：f=6或 r=-2（舍 去），2+t）=4,2故 点 Q（6,4）；综 上 可 得：点。（6,4）或。（2,2）.【名 师 指 路】题 目 主 要 考 查 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质，正 方 形 的 判 定 和 性 质 角 平 分 线 的 性 质、勾 股 定 理 等 知 识 点，理 解 题 意，作 出 相 应 辅 助 线，综 合 运 用 这 些 知 识 点 是 解 题 关 键.12.（2021江 苏 盐 城 市 初 级 中 学 八 年 级 期 中）问 题 背 景：如 图 1,在 正 方 形/8 C O中，点 瓜 尸 分 别 在 边 BC、CD k,DEAF=45,求 证：EF=BE+DF.小 华 同 学 给 出 了 部 分 证 明 过 程，请 你 接 着 完 成 剩 余 的 证 明 过 程.证 明：延 长 ED到 点 尸 使。P=8 E,连 接/P,正 方 形 8CD,2AB=AD,JADP=QABE=90,RtUABE 和 RtUADP,AB=AD=2F,AB=2 A D,请 探 究 8 E与 EC的 数 量 关 系，并 说 明 理 由.变 式 探 究 2：如 图 3,在 矩 形 Z8C。中，点 E、尸 分 别 在 边 8C、CD A L,EAF=45,EFC=45,请 直 接 写 出 所、BE、。厂 三 条 线 段 之 间 的 数 量 关 系：.DD图 1图 2图 3【标 准 答 案】问 题 背 景：证 明 过 程 见 解 析；变 式 探 究 1：结 论：B E=2 E C,见 解 析：变 式 探 究 2：结 论：E产=2。产+28炉，见 解 析【思 路 指 引】问 题 背 景：先 判 断 出 放 EL48E Rt ADP(SAS),得 出 B A E D D A P,再 判 断 出 二 1/E尸：H/P F(4 4 S),即 可 得 出 结 论：变 式 探 究 1：先 判 断 出 四 边 形 4MND是 正 方 形，设。尸=根，得 出/D=2?=DM 再 设 8=2 x,则 尸 7=x+加，利 用 勾 股 定 理 得 出 即 可 得 出 结 论.变 式 探 究 2：结 论：E尸=2。/+2 8 6.如 图 3 中，作 直 线 E F交 4 9 的 延 长 线 于 J,交 4 8 的 延 长 线 于 P.证 明 FJ=C.DF,PE=y2 B E,将 NPE绕 点 N 顺 时 针 旋 转 90。得 到 4 7 Q,连 接。尸，贝 UAE=AQ,FAE=FAQ=A5,APE=AJQ=45,利 用 全 等 三 角 形 的 性 质，证 明 所=/。，再 利 用 勾 股 定 理，可 得 结 论.【详 解 详 析】问 题 背 景：证 明：如 图 1中，图 1延 长 F D 到 点 P 使 D P=B E,连 接 AP,正 方 形 4BCDDAB=AD,ADP=ABE=90,在 RfLJZBE和 m 4)P 中，AB=AD,ZABE=ZADPfBE=DPDRtQABEURtQADP(SAS),QAE=APf DBAE=DAP,)+BAE=90f Z)JE+DZ)JP=90,JF=45,QHEAF=JE4P=45f在/尸 和 一 尸 尸 中，AE=AP ZEAF=乙 FAPAF=AFnO A E F W A P F(S4S),口 EF=PF,口 DP=BE,EF=BE+DF.变 式 探 究 1：结 论：BE=2EC.理 由：如 图 2 中，分 别 取 Z 5,Z E的 中 点 A/,T,连 接 并 延 长 A/7交 8 于 N,连 接 7F,图 2MT BE,MT=|BE,ULMA/N=90=.DAM=D,四 边 形 是 矩 形，QAD=2DF,AB=2AD,B J DF：AD：A B=：2：4,矩 形 AM ND是 正 方 形，设 D F=m,AD=2m=D N,口 及 4户=4 5。，由(1)知，FT=DF+TM,M T=g BE,设 BE=2x,FT=DF+TM=x+m,在 R 2 F T N 中,FT2=FM+TN(x+?)2=nr+(2 m-x)2,、42x=m934B E=m,3E C=B C-B E=-m,3BE=2EC.变 式 探 究 2：结 论：EF-=2DF-+2BE2.理 由：如 图 3 中，作 直 线 E F交/。的 延 长 线 于 交 的 延 长 线 于 P.图 3、！,J口 四 边 形 4 3 8 是 矩 形，QLPAJ=ADF=JDF=90f E FC=D D/V=45,nUDJF=DDFJ=45,口 DF=DJ,F J=2D Ff 4/P=M=4 5。，4BE=LJPBE=90。,B E P=D P=45,BE=BP,EP=V 2 BE,4/P=Z 尸=4 5。，4P=AJ,将 力 尸 E绕 点/顺 时 针 旋 转 90。得 到 2 2 4 7 0,连 接 0尸，则 JE4E=UE4Q=45f UAPE=UAJQ=45,nAF=AF,在 匚 力 尸 E 和 口/尸 0 中，AF=AF ZFAE=ZFAQAE=AQULAFE AFQ(SAS),口 EF=FQ,4/尸=4/。=45。，QLFJQ=90fFQ2=FJ2+QJ2,EF=FQ,JQ=PE=yf2BE,F J=D F,E尸=2。产+280.【名 师 指 路】本 题 属 于 四 边 形 综 合 题，主 要 考 查 了 正 方 形 的 判 定 和 性 质，矩 形 的 判 定 和 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质，勾 股 定 理 等 知 识，解 题 的 关 键 是 学 会 利 用 参 数 建 立 方 程 解 决 问 题，学 会 添 加 常 用 辅 助 线，构 造 全 等 三 角 形 解 决 问 题.13.（2021江 苏 高 港 实 验 学 校 八 年 级 月 考）如 图 1,在 四 边 形 ABC。中，如 果 对 角 线 A C和 BO相 交 并 且 相 等，那 么 我 们 把 这 样 的 四 边 形 称 为 等 角 线 四 边 形.（1）二 在“平 行 四 边 形、矩 形、菱 形 中，一 定 是 等 角 线 四 边 形（填 写 图 形 名 称）；若 M、N、P、Q分 别 是 等 角 线 四 边 形 ABC。四 边 A B、BC、CD、D A的 中 点，当 对 角 线 A C、BD还 要 满 足 时，四 边 形 MNPQ是 正 方 形.（2）如 图 2,已 知 在 A 3C中，ZABC=90,AB=4,BC=3,。为 平 面 内 一 点.口 若 四 边 形 4 3 c o是 等 角 线 四 边 形，且 4）=班）,求 符 合 条 件 的 等 角 线 四 边 形 的 面 积.口 设 点 E是.ABC所 在 平 面 上 的 任 意 一 点 且 C E=1,若 四 边 形 AB即 是 等 角 线 四 边 形，求 出 四 边 形 ABEO面 积 的 最 大 值，并 说 明 理 由.图 1 图 2【标 准 答 案】（1）矩 形；ACJ.BD-（2）3+2;1 8,理 由 见 解 析【思 路 指 引】（1）匚 在“平 行 四 边 形、矩 形、菱 形 中，只 有 矩 形 的 对 角 线 相 等，所 以 矩 形 是 等 角 线 四 边 形；口 当 ACIBDtb,四 边 形 MNPQ是 正 方 形，首 先 证 明 四 边 形 MNP。是 菱 形，再 证 明 有 一 个 角 是 直 角 即 可；（2）如 图 2 中，作 于 E.根 据 S四 边 琢 皿=5惭+5tM.c 计 算，求 出 相 关 线 段 即 可：汝（1图 3中，设 AE与 BO相 交 于 点 Q,连 接 C E,只 要 证 明 当 ACL8D且 A、C、共 线 时，四 边 形 A8EZ）的 面 积 最 大 即 可.【详 解 详 析】解：（1）1在“平 行 四 边 形、矩 形、菱 形”中，；矩 形 的 对 角 线 相 等，二 矩 形 一 定 是 等 角 线 四 边 形，故 答 案 为：矩 形；当 AC，9 时，四 边 形 MNP。是 正 方 形.理 由：如 图 1,图 1M、N、P、。分 别 是 等 角 线 四 边 形 ABCD四 边 A B、B C、C D、O A 的 中 点,.-.PQ=MN=A C,PN=QM=3 B D,P Q/A C,M Q/B D,AC=B D,：.MN=NP=PQ=QM,，四 边 形 MNP。是 菱 形，Z1=Z2,/2=/3,Zl=90,.N3=90,四 边 形 MWP Q 是 正 方 形.故 答 案 为：ACS.BD-(2)如 图 2,作 DE_LAB：T-E.AC=V32+42=5-,A D=B D,DEA.AB,:.A E=BE=2,V 四 边 形 4 8 8 是 等 角 线 四 边 形,:.B D A C=AD=5,在 RtABDE 中，DE=yBD2-BE2=5，m iftAB CD=M D E+5梯 彩 DEBC=A E D E+DE+BC)BE=-x 2 x 721+-(5/21+3)x22 2=3+2瓶.四 边 形 A B C D 的 面 积 为 3+2V2T；如 图 3 中，设 A E 与 B O 相 交 于 点。，连 接 CE,作 WJ_AE 于，B G L A E 于 G.则。,小，BG BQ,.四 边 形 4 3 a 是 等 角 线 四 边 形，/.AE=B D，S喃 脐 皿=SM B E+S E=.A E D H+A E B G=A E(G B+D H)A E(B Q+QD),艮 I S四 边 形 ABm”2 A?，BD f 当 G、”重 合 时，即 时，等 号 成 立，,AE=BD,*0*S四 边 伤 WED，/A一，即 线 段 A E 最 大 时，四 边 形 45石。的 面 积 最 大，但,AC+CE,但,5+1,?.但,6,二.A E 的 最 大 值 为 6,当 A、C、E 共 线 时，取 等 号，四 边 形 ABE力 的 面 积 的 最 大 值 为 gx62=18.故 答 案 为：18.【名 师 指 路】本 题 考 查 四 边 形 综 合 题、中 点 四 边 形、三 角 形 中 位 线 定 理、正 方 形 的 判 定 和 性 质、圆 等 知 识，解 题 的 关 键 是 理 解 等 角 线 四 边 形 的 定 义，学 会 添 加 常 用 辅 助 线，灵 活 运 用 所 学 知 识 解 决 问 题，属 于 中 考 压 轴 题.14.(2021江 苏 仪 征 市 第 三 中 学 八 年 级 期 末)【问 题 情 境】：如 图 1,点 E 为 正 方 形 Z8C D内 一 点，A E=2,BE=4,QAEB90,将 直 角 三 角 形/8 E 绕 点/逆 时 针 方 向 旋 转 a 度(0W aW 180。)点 8、E 的 对 应 点 分 别 为 点、夕；【问 题 解 决 工(1)如 图 2,在 旋 转 的 过 程 中，点 8,落 在 了 NC上，求 此 时 C 2的 长；(2)若 a=90。，如 图 3,得 到 C 4 D?(此 时 田 与。重 合)，延 长 8E交 8 F 于 点 尸，口 试 判 断 四 边 形/E F f的 形 状，并 说 明 理 由；口 连 接 C E,求 CE的 长；(3)在 直 角 三 角 形/8 E 绕 点 4 逆 时 针 方 向 旋 转 过 程 中，直 接 写 出 线 段 CE长 度 的 取 值 范 围【标 准 答 案】(1)2屈-2 6(2)匚 四 边 形 是 正 方 形，理 由 见 解 析；匚 2遂；(3)2 5/5/10+2【思 路 指 引】(1)连 接 4 C,先 利 用 勾 股 定 理 求 出 8,Z C的 长 即 可 得 到 3C=A C-A 3的 值；(2)根 据 旋 转 的 性 质=ZEAE=a=9ff N