2022-2023学年山西省晋城市高二年级上册学期期末考试数学试题含答案.pdf

山西省2022-2023学年第一学期高二期末考试数学全卷满分150分.考试用时120分钟第 I卷（选择题60分）一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线3 x +4yT=的一个方向向量是（）A.（4,3）B,（4，一3）C.（一3,4）D,（3,4）【答案】B【解析】【分析】直线N x +W+C =可知，直线的方向向量为（民一力），代入直线方程即可.【详解】由直线x +8+C =可知，直线的方向向量为（8,一/），则直线3+4夕一1 =的方向向量为（4,-3）故选：B2 .有一机器人的运动方程为s ）=J+6/,（/是时间，s是位移），则该机器人在时刻，=2时的瞬时速度为（）A.5 B.7 C.10 D.13【答案】C【解析】【分析】对运动方程求导，根据导数的意义，将 工=2代入导函数即可求解.【详解】因为s（）=/+6/,所以s（/）=2/+6,则 s（2）=2 x 2 +6 =10所以该机器人在时刻，=2时的瞬时速度为10,故选：C.3 .若直线歹=履+4经过第四象限，且被圆0-2）2+3-4）2=4截得的弦长为2,则该直线的倾斜角为()兀 兀 2兀 5兀A.6 B.3 C.3 D.6【答案】C【解析】【分析】先得到人,利用垂径定理结合点到直线距离公式得到=一百，得到倾斜角.【详解】因为直线=6+4经过第四象限，故0,因为直线被圆(X -2)2+3-4)2=4截得的弦长为2,设圆心到直线距离为4,d =故=4,又2|2 左+4-4|_ 2 k71+Pi+k2所以,结合，左,解得：k=-6设 该 直 线 的 倾 斜 角 为 寸,故t a n。=-百0 解得：3 ,2兀所以该直线的倾斜角为3 ；故选：C4.与 椭 圆3 4 焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是()4 4 X2-4 y2=1 4 x2y2=1A.3B.3 y2-4 x2=1C.3，4 y 2 -X2=1D.3【答案】D【解析】【分析】根据椭圆方程求得c,离心率和焦点的位置，然后再根据椭圆与双曲线的关系求解.X2 y2_ _ 1-1-1 c 【详解】由椭圆3 4 ,得c =l,2 ,焦点在N轴上.由题意得双曲线c =l,焦点在轴上，e =2,c c 1Q C l =一所以 a ,e 2b2=c2-a2=所以 44 y2-x2=1所以双曲线方程为 3故选：D5.设等差数列 的前项和为S，若 生=3,a +a 5 T 6,则 品=（）A.6 0 B.8 0 C.9 0 D.100【答案】D【解析】【分析】由题设条件求出，从而可求E。.【详解】设公差为,J q+2 =3 J a,=1因为=3,%+%=1 6,故（2%+7 d =16,解得j d =2,1 Ax QSI 0=10 x l+-x 2 =100故2 ,故选：D.6.在正方体 3 C Q 一 MG中，M为棱GA的中点，则 直 线 与 平 面B 8 Q Q所成角的正弦值为（）72V2AB.2V2V3C.3D.3【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，计算平面。的法向量，利用线面角的向量公式即得解.【详解】解：不妨设正方体0。一44G2的棱长为2,连接N C,以。为坐标原点如图建立空间直角坐标系。一切z,则 4(2,0,0)；C(0；2,0)M(0,1,2),AC =(-2,2,0)(A M=(-2,1,2)由于。A，平面4 8 C D,4Cu平面Z 3 C Z),故又正方形BCD,故A C,B D,DDBD=D DD、8 0匚 平面 8 8 QQ故4 C _L平面8 8 QQ,所 以 祝 为 平 面BBD、D的一个法向量，/彳“A C-A M 6 5/28噌5町=同同=皿=彳也故 直 线 与 平 面8 8 Q Q所成角的正弦值为2 .故选：B.e八 6.e八 7 e*ci b=-c 7.设 3 6,4 9,6 4,则气6,。的大小关系为A.abc B b a c Q cb a【答案】C【解析】c ab【详解】试题分析:e8 2 e7 e7 e7 e7 2 e6 2 e6 e6-=-=-由 e 2河得 6 4 6 4 32 49,49 49 7 2 36,故选 c.考点：指数函数性质8 .已 知 函 数 /。(的图象如图所示，则 不 等 式 一1 的解集为()y=fw1-2二13/X1(oc,0)U,2A.、/,【答案】D【解析】D.1)-00 U2)0,2)OZB.（T/）U（1，3）【分析】原不等式等价于根据k/3MR）的图象判断函数的单调性，可得x 1 0 x -1 0/取）和/（、）0的解集，再分情况 或（力解不等式即可求解.【详解】由函数、=/（x）（xeR）的图象可知：。0 -,2V =/（x）在I 可 和（2,+）上单调递增，在12,J上单调递减，所 以 当I 2）时，/安）；当2 J时，/（x）。；/(x)由xT可得(1)/)1 卜 1-x 2 取 卜即12 或I H /1X 一,解得：l x o,解得 J 5 或 g=-i （舍），所以数列%为单调递减数列，A错误，B正确：5则 2 -3,易得：牝 1,4 1,所 以 看 的 最 大 值 为C正确，D错误.故选：BC./（.）=+2 111.已知函数 产,则下列结论正确的是（）.A.函数/（X）有极小值B.函数/（X）在=0处的切线与直线9歹一+1 =0垂直C.若/（）=有三个实根，则力的取值范围为I D若x e 0,4时，/max（x）e 3,则/的最小值为3【答案】A D【解析】【分析】对函数求导，利用极小值的定义、导数的儿何意义逐一判断即可.心 （2-2）-6+21卜 J,【详解】由已知.*e 2*/，/）=n x =3,当x 3时，/0）0,-3 x 3时，所以（X）在（一8,一3）和（3,+8）上递减，在（一3,3）上递增，/（”）极小值为/（一3）=一403,/（x）极大/（3）=4值为,A正确；切线斜率勺=/（0）=9,直线9夕7+i=o斜率%2=（桃，-，两直线不垂直，B错误；时，/G A+8 X f+8 时，/W=,/O）右、有二个实根，则I e3/当-4 e2 A-(0,0,0)4 0,0,1)B,(1,1,1)C,(0,1,1)A(0,0,1)哈 L。)、,对于A 选项，2=(/，/、)，AF=|-1 1 2 A|则DD 1 4F=2 0所以，直 线 与 直 线 4 厂不垂直，A 错;对于B 选项，设平面4 E E 的法向量为“=（X%z）匹 提 可,而=（-；词rh-AE=-x+y=0m-EF=x+z=0 /则1 2 2 ,取 工=2,可得加=(2 4,2),A0,1,XG=因为4 G(Z平面N E尸，4 G 平面工所，B对;,所以，而 福=1一1 =0,即 前，而对于C选项，连 接 皿、R F、BC,因为、尸分别为8 C、CG的中点，则E F/g,:AB/CR且AB=C R,所以，四边形明。为平行四边形，则4 Vg,所以，EFIIAD,所以，E、F、A、4四点共面,故平面AEF截正方体A BC D 一4 4 GA所得截面为ARFEEFyCE2+CF2=AE=D,F=_/r 且2 ,同理可得 2 ,肛 2丰EF所以，四 边 形 为 等 腰 梯 形,分别过点E、E在平面。尸石内作 尸N_L2,垂足分别为、N,如下图所示:因为 N E =。尸，NEAM=4FDN,NEMA=4FND、=9 0 所以，R t 如 血 R t D、FN,故 AM=D、N,EM=FNMN=EF=二因为EFMMN,EM 1.MN,EN工MN,则四边形 加以为矩形，所以，2 ,AM=DN=A D _ E F=EM=ylAE2-A M2=2 4,故 4,(EF+ADX)-EM 9故 梯 形 如 用 的 面 积 为“形“=2 7，c对；眼.司 _ 2同3（1 d -_=-,0,0 ，1-1 3对于D选项，1 2 ）,则点C到平面/EE的距离为 I Id 二而=（L ，）,则点G到平面A E F的距离为所以，点C与点G到平面NW的距离不相等，D错.故选：B C.第II卷（非选择题90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.1 3.若直线2、-（加+1 一2 =0与直线（/+l）x 2/叫一3=0垂直，则“尸【答案】-1【解析】【分析】根据两直线垂直的充要条件列出方程，解之即可求解.详解因为直线2 x（z +l）歹 2 =0与直线（m +l）x_ 2 少一3=0垂直，所以2（?+1）+2?（加 +1）=。，解得：加=-1.故答案为：T.-11 4.椭 圆2 5 1 6 的左、右焦点为品、&，点尸在椭圆上，若 R3RP F 2,则点P到x轴 的 距 离 为.1 6 1 6【答案】5或3【解析】【分析】点尸（“），易得点p到x轴的距离为3,然后分/尸肝2=9 0。或/与 耳=9 0。，；尸居=9 0。，三种情况结合椭圆的定义求解.【详解】设点尸（X=）,则到x轴的距离为川，因为a=5 ,b =4,c =3当乙空 工=9 0。或N P/y；=9 0。时,、2 16（1）=则=3,得 N=2 5 25,.16 16/.|y=5,即尸到x 轴的距离为5.当 今 尸 鸟=90。时，阀|+|*=10则 附+附=62,1 、.I 尸 用 陷|=却。2-62）=321 对 11Pgi=：|6 1 3,16.3=丁，16 16由（1）（2）知：P 到x 轴的距 离 为 5 或 3,16 16故答案为：5 或 3.15.己知向量”G户+1,），=（2 /,-x）,若函数/（x）=。%区间CM）上单调递增，则实数t的 取 值 范 围 为.【答案】L【解析】【分析】利用向量数量积的坐标公式可得/（X）,利用导数确定参数范围.【详解】由已知 得 彳）=石 石=注（2-）+1）7 2=-丁+。+比+/,则/6）=-3/+2+所以/（X）=-3 2 +2x+/2 0 在（0,1）上恒成立，即f 2 3/_ 2 x 恒成立，设 I 3 j 3,x e（O），当x=l 时，g ）=l,则 g（x）l,故 til.故答案为：1 +8）.1 6.已知抛物线 5”,点48在抛物线上且位于X轴两侧，若。N 瓦=1 4 （。为坐标原点），则 AOB面 积 的 最 小 值 为.【答案】4 桓【解析】【分析】设直线力5的方程为：x =w +W ）,联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得%=s=T,由 应 无3可得进而可得卜 疗即s.AO B=t-yx-y2由 2 求解即可.【详解】解：由题意可得直线48不与X轴平行，设 直 线 的 方 程 为：x=m y +t（t O）tx=my +1y 2 _ 1 y-2 -1 m y-1t=Q由1 2 ,可得 2 2 ,1 ,=-/M2+2Z0则有 4 ,设 N（X1，M）,8（X2，%卜则有1 1y +%=/机，乂 歹2 =一5所 以 否%=2弘（2%）=4（乂）=，O A -O B Xj X2+yxy2 t2所以L=1 427t-解得：2（舍），/=4,所 以 直 线 的 方 程 为：X=沙+4,乂%=一 个=-2I 乂-8 1=+%r 外 跖=1/7 m +8所以 丫4 ,=:T,一%1=2 1 必一8 1=2 7m：+8 =J /+3 2所以 2 V 4 ,所以当a=时，,“o s取最小值为：40故答案为：4 6【点睛】方法点睛：对于直线与圆锥曲线类的题，常用的方法是联立直线与圆锥曲线方程，再结合韦达定理求解即可.四、解答题：本大题共70分.1 7.已知各项均不相等的等差数列J的前4项和为国=1 4,且，。3，。7成等比数列.(1)求数列 4的通项公式；1(2)求数列 J的前项和北.【答案】%=+1T=-2(+2)【解析】【分析】(1)设公差为之利用基本量代换联立方程组解得1 =1,%=2,即可求出/=+(2)利用裂项相消法求和即可.【小 问1详解】4%+6 =1 4设公差为d.由已知得0+2 )=%(%+6 ),解得d=l或d=0 (舍去)，所以=2,故/=+1【小问2详解】,-1-1 -1 -1-a“a“+i(+1)(+2)+1 7 7 +218.已知三角形Z8C的内角4 B,C的对边分别为a,b,c,且acosB+bcosZ=2ccos8.(1)求 角&(2)若 4,角8的角平分线交/C于点。，BD=6,求 的长.B=-【答案】3(2)CD=6-1【解析】cos B=B=【分析】(1)根据正弦定理边角互化得 2,进而得 3.(2)根据题意得8C=80=0,进而在8CO中，由余弦定理即可得答案.【小 问1详解】因为 a cos 8+入cos 4=2ccos 5,所以由正弦定理可得sin 4 cos8+sin8 cos/=2sinCeos8,所以sin(4+B)=2sinCcos8,即sinC=2sinCcos8,cos B 因为 C 0,故 2,B=因为0 8 =VJ-1.ABD、x a 1 1j（x）I-i n x I 、1 9.已知函数 4 x ,其中awR,且曲线y =x）在点（I J）处的切线垂直于直线1V=X2（1）求a的值.（2）求函数x）的单调区间与极值;5C I 【答案】（1）4 增 区 间 为 母+）,减区间（，5）；极小值一5 M 1没有极大值.【解析】/（X）=+3 _ 1 n x一 I =f=_-【分析】（1）由4 x 4 x2 x ,而曲线V =/（x）在点（1，/。）处的切线垂直于 2 ,所 以/（1）=-2,解方程可得a的值;X?4 x 5 由 的 结 果 知 I n x -1 =/(x)=4/，于是可用导函数求/（X）的单调区间与极值;【小 问1详解】对 小）求 导 得 八、）4一 1由/（）在点（1/0）处切线垂直于直线1V=X2/r(l)=2,a=知 4 解得 4 ；【小问2详解】x 5/(x)=-+-l n x-1由(1)知 4 4 x ,则 4 4 x x 4 x令/(x)=0,解得=一1或x =5.因x=l不在/(x)的定义域(，+8)内，故舍去业 X E(0,5)什(x)0,故/(x)在(5,+0 0)内为增函数；f(YY _ (5)=I n 5所以函数I”在x =5时取得极小值 2 ，没有极大值.2 0.如图，在四棱锥尸一 B C D中，侧面底面/B C D,A。/。是以为斜边的等腰直角三角形,B C /A D 9 C D A D f 4 D =2 D C =2 C B,点、E 为 4 P 的中点.(1)证明：BE 平面P C D ；(2)求二面角2一80一 E的余弦值.【答案】(1)见解析；5底(2)33.【解析】【分析】(1)用线线平行证明线面平行，,在平面P C D内作5 E的平行线即可；(2)求二面角的大小，可以用空间向量进行求解，根据已知条件，以NO中点。为原点，OB,AD,0 P分别为x、y、z轴建立坐标系.【小 问1详解】如图，取 P O 中 点 凡 连 接 EE F C .是“尸中点，.EF 1 L2-AD,由题知8G1 2 4。，.B CU E F,芯是平行四边形，又 CR=平面PCD BE平面PCA,.BE平面PCD；【小问2 详解】取/。中点为0,连接OP,0B,是 以 为 斜 边 的 等 腰 直 角 三 角 形，又平面P 4 D L 平面4SC。，平 面 尸 平 面 4 5。=力。，J.OPV-ABC D,V ABC D,：.OPOB,由 8 c/。，C D L AD,/D=28C 知 O8_LO。，：.OP.O B、0。两两垂直，故以。为原点，O B、OD,0 P 分别为x、八 z 轴，建立空间直角坐标系Oxyz,如图：1 1-，设 18cl=1,则 8(1,0,0),0(0,I,0),(0,2 2),尸(0,。，(),B E=,1则I1 _1T-r2 2,P 等。3 1T -f-2 2丽(-1 0 1)加(0 -11)设平面B E D的法向量为?=&必 马)，平 面 的 法 向 量 为 =(彻y2 z2)m -B E=010 一 片-z.则 和。=0玩=(1 1 3),取n-BP=0_.=1 2=历 Z)n D P=0 -取 万=(1 M)m nH-H-3 5 屈设二面角尸一8。一E 的大小为优 则 c o s 6=I 研 同 VH-V 3 332 1.已知数列包1 的前项和为S,”且满足4=3 Sn-2(*N)(1)求数列血 的通项公式:(2)求数列3 T)。的前项和T.(2)J【答案】(1)1 +-3【解析】a【分析】(1)根据S,=l0,_S“_”N 2 计算即可;(3-1)%=(3-1 (-(2)根 据(1)的结论得出：2 ，则数列1 2 的前项和可用错位相减法求得.【小 问 1 详解】当=1,q =3S|-2 =3 q-2 ,解得q=l当 时,4=3 S“2 a“_|=3S,i 2两式相减得 一%T =3%,化简得5 I所以数列“是首项为i,公 比 为5的等比数列,所以【小问2详解】由 可 得 万一乂 产1n+3n-122,设函数/（x）=2+（2 -l）x lnx（c R）（1）讨论/（X）的单调性；（2）若函数8（）=/口）一（2。一1A一1有两个零点入1,4,求实数q的范围.【答案】当。0时，/G）在区间（,+）上单调递减；当时，单调递减区间I 2 a）,单调递增区间12a 人e0 a (2)2【解析】【分析】（1）求出函数/（X）的导数，分类讨论。的取值范围，根据导数的正负，即可得答案;（2）分类讨论。的取值，确定gG）的单调性，若gG）为单调函数，不可能有两个零点;当gG）先减后增时.，要使g（“）有两个零点，需要其最小值小于0,求得。的取值范围，再证明g D确实有两个零点.【小 问1详解】由于“x）=-+（2 a-l）x-Inx（awR）,则定义域为（0,+町ff(x)=2ax+(2 a-l)-=可得：xlax1+(2(7-1)X-1(x+l)(2ax 1)XX当a W0时，0,故/（X）在区间+）上单调递减;1 1当。0时，；x0,.由*）。可得”2a,由广（x）。得“2a故/（X）在区间上单调递减，在区间1,4-002a上单调递增.【小问2详解】2QX 1g(x=ax1-lnx-1gx)=2ax-当时，g（x）4Og（x）为单调函数，不可能有两个零点，舍去;x=-2a或i2a(舍去)./x e 0,当X 当。0时,由g ）=得当所以当时，g 6）为减函数,g时取得最小值时，g（x）0,且 为增函数,=-ln 2 a-要使g（x）有两个零点X,入2,需要0 ln2a-0,222,即220Q 0a47且_L IT II）2 e N2a,所以8 在（2 e 2。J上有唯一的零点令 Mx）=x-ln x-l/（x）=-7 ,当x4 ，l）时，/7。）0,*x）为增函数，所以当=1时取得最小值 1）=,故即x ln x 1 2 0（当且仅当x=l时取等号）,0 a -/综上:当 2时，有两个零点【点睛】方法点睛：利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法：（1）将函数可方程变形构建新函数g G）,利用导数研究函数g（x）的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号（或变化趋势）等，画出8（“）的图象草图，数形结合求解函数零点的个数.（2）利用零点存在性定理，先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.