2022-2023学年广东省广州市高二年级上册学期期末数学试题5含答案.pdf

2022-2023学年广东省广州市高二上学期期末数学试题一、单选题1.若向量3=（1,1,0）,5=（-1,0）2）（则 如 可=（）A.岳 B.4 C.5 D.如【答案】D【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可.【详解】解析：由题意，得 3。+5=（2,3,2）,|35+司=722+32+22=V17故选：D.2.在等比数列也 中，”2+“3 =1，%+4=2,则4+%=（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】A 分析根据为+%=仅2+%）求 出%再 根 据%+%=（%+%）可得答案.【详解】设等比数列的公比为九由%+%=式%+。3）,可得 g =2,所以 4+%=夕（3+%）=4.故选：A.止 上.I3.双 曲 线 4 9 的渐近线方程是（）J.4 +9 3y=：x y=ax 昨 ：x y=-xA.3 B.9 C.4 D.2【答案】D【分析】依据双曲线性质，即可求出.片上1 ,【详解】由双曲线4 9 得，a-=4,b-=9,即a=21=3,/_ 1 .b,3所以双曲线4 9 的 渐 近 线 方 程 是,a 2,故选：D.片 一 片=1【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线/b2 的渐近线方程,b y2 x2 ay=-x -=1 y=-x是 a；双 曲 线 少方 的渐近线方程是 b.4 .圆C：x 2+V+6 x-8 y +24 =0 关于直线y=x 对称的圆的方程为（）A.（XT?+0+3）2 =1 B（x-4）2+&-3）2=4 9C.（x+4）2+（y-3）2 =1 口（x+4）2+3 +3）2 =4 9【答案】A【分析】求出所求圆的圆心坐标与半径，即可得出所求圆的标准方程.【详解】圆C的标准方程为6+3）-+3-4）=1,该圆圆心为（一 3,4）,半径为1,故所求圆的圆心坐标为（4一 3）,半径为1,因此，所求圆的方程为（“一 4）一+&+3）一=1.故 选：A.5 .在数列 中,a=2,%+口”=见 T ,a2 0 2 2 =（）_ 1 _A.2 B.1 C.2 D.-1【答案】D【分析】结合递推公式可求得数列&是周期为3 的周期数列，然后利用递推数列求出第3 项即可求解.【详解】由题意,故+I ，+/故数列%是周期为3的周期数列，从而“2022=a673x3+3=。3,f1 1 ,1 ,a2=I-=I-=-1由 4=2 知，2,a2,故 限”产 T.故选：D.6.如图，在平行六面体/8 C O-4 8 C Z 中，与8。的交点为。，点w在8 c 上，且BW =2M C，则下列向量中与两相等的向量是（）-A B+-A D+-_B.2 6 3 AA-A 8 +-Z D +-一D.2 6 3 AA【答案】D【分析】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果.【详解】因为平行六面体中，点 在 8 C 上，且回/=2MC，故可得=OB+BM=-D B+-:-；2 3 8 c 2、J 3 AD，在+_L而+2 一八 r 3（AD+AA）2 6 3 AA故选：D.7.直线/沙=-+与 曲 线、二斤手有两个公共点，则实数m 的取值范围是（）.A.-2,2及）B.（一2 一2C.（-2立2 D.I 及）【答案】D【分析】把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合得答案.【详解】由x=J 4-V ,得/+=4 3 ）,如图，当直线/：V =-x+加与/+/=4（x20）相切时，m=2 叵当直线/：y=-x+机 过 点（0,2）时，有两个交点，若直线/：y=T +m与曲线x=斤子有两个公共点,则实数机的取值范围是 2 2 0）.故选：D./v2f +J =l（a b。）M8.已知椭圆。b1 经过点/人 当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时,其标准方程为（）A.1 2 4B.1 5 1 5X。7/-1-=1C.1 6 1 6D.-1-=11 8 2【答案】A【分析】把点）代入椭圆方程得=1/,写出椭圆顶点坐标，计算四边形周长讨论它取最小值时的条件即得解.2+-L=i【详解】依 题 意 得/+乒 一，椭圆的四个顶点为（0，），（廿，顺次连接这四个点所得四边形为菱形，其周长为4户”,4 1/+/=4=4加+/+a24 J 1 0 +2.*=169b2，当且仅当再 即12=3 b2 时取9 1 -r T 1,a b x2 y2由 ”=功 得求=12,=4,所求标准方程为12 4.故选：A【点睛】给定两个正数和（两个正数倒数和）为定值，求这两个正数倒数和（两个正数和）的最值问题,可借助基本不等式中“1”的妙用解答.二、多选题9.已知叽是互不重合的直线，见夕是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（）A.若机，u a,则B.若加/a,z n/p,a c/7 =,则加Q 若加_L a,加-L/,贝 汁 /4D 若阳 JLa,JL,m JL“，则【答案】BD【解析】根据空间中直线、平面的位置关系逐项进行分析判断，由此确定出正确的选项.【详解】A.若切，u a,此时凡a 可能平行或异面，故 A 错误；B.根据“若一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线”，可知B 正确；C.若 m L a,1n L,a/0,此时“u 分或/,故 c 错误；D.选取犯上的方向向量a，,则0】为名夕的一个法向量，又 打 所以。,尸，可知D 正确,故选：BD.【点睛】方法点睛：判断符号语言描述的空间中位置关系的命题的真假：（1）利用定理、定义、公理等直接判断；（2）作出简单图示，利用图示进行说明；（3）将规则几何体作为模型，取其中的部分位置关系进行分析.1 0.下列关于抛物线V=l x 的说法正确的是（）A.焦点在x 轴上B.焦点到准线的距离等于107c.抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于5D.由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为（2 ）【答案】A C D【分析】根据抛物线的定义和性质逐项进项检验即可.【详解】抛物线丁=1 、的焦点在x 轴上，P=5,A正确，B错误；设四（3。）是V=l x上的-点，K l J =1 +T=1 +2 =2 ,所以C正确；2仅,。了 =小 厂，由于抛物线V =1 0*的焦点为12九 过 该焦点的直线方程为 I 2）,若由原点向该直线作垂线，垂足为（2 1）时，则=-2,此时存在符合题意的垂线，所以D正确.故选：A C D1 1.圆/+/-2=0 和圆：/+/+2 一匕=的交点为/,&则 有（）A.公共弦N 8所在直线方程为+2 丁 =B.线 段 中 垂 线 方 程 为 2 x+N-2 =2.C.公 共 弦 的 长 为 丁21D.P为圆Q 上一动点，则尸到 直 线 距 离 的 最 大 值 为 5【答案】B D【分析】根据圆与圆的位置关系，两圆的方程作出得出公共弦所在直线方程，判断选项A；利用公共弦的中垂线过圆心即可求出线段的中垂线方程，判断选项B；利用垂径定理和点到直线的距离公式可判断选项C ；利用点到直线的距离即可判断选项D .详解对于A,由圆Q：一+/_ 2 工=0 与圆0 入/+/+2 _ 8、=0 的交点为4 以两式作差可得4 戈 一 8 了 =0,即公 共 弦 所 在 直 线 方 程 为 x-2），=0,故A错误；对于B,圆外 -2 x=0 的圆心为0,0）,一 万,则线段N 8中垂线斜率为-2,即线段8中垂线方程为：-0 =-2 x（x-l）整理可得2 x+y-2 =0,故 B正确：二卜。1对于C,圆在 X2+/-2X=0；圆心GO，。）到x-2 y=0 的距离为 6+（-2 尸5，半径MW考厂=1,所以 丫 1 3,故C 不正确；对于D,尸为圆。|上一动点，圆心 0，)到x-2 y =的距离为 5,半径尸=1,即 p 到直线4 5 距离的最大值为5,故 D 正确.故选：BD.H _%+2a2 +2%1 2.对于数列SJ,定 义。一 为 依 的“优值”.现已知数列“的优值”。=2,记数列 0“-2 0 的前项和为则下列说法正确 的 是()A.%=2 +2 B.S.=-19 c.Ss=S9 D.的最小值为一62【答案】AC【分析】由题可得+2“2+2 进而可得，判断A,再由等差数列求和公式求出S判断B,由“-2 0 4 分析数列 4-2 0 的 项 的 符 号 变 化 情 况 判 断 求 出 反 判 断 口.H=q+2&=2,+i +1【详解】由题意知，一 一 ，则囚+2。2+-+2%“=-2&,当=时，a=2N lxl=4)当22 时，+2%+2一，_|=(-12，一得，2 ，=.2向 一(12,解得%=2(+1),当”=1时也成立，.%=2 +2,4 正确;S =q-20+4 -20+-20=q+%+%-20=2xl+2+2x2+2+,+2x +2 20/1=2(1+2+,+)+2 20=(+1)-18 =n2-17，B 错误./-2 0 =2-18,当q,_ 2 0 4 0 时，即 9,且佝-20=0,故当 =8或 9 时，匕，-20 的前项和E,取最小值，9x(-1 6 +0)-最小值为 2C正确，D错误.故选：A C.三、填空题1 3 .已知l =(L%3),b=(-2,4,y 若则x +j=.【答案】-8【分析】根据空间共线向量的坐标表示计算即可得出结果.A=2 A,=2=4 ),则-=口=4-+(2 a +l =出 a、2 a+2 =3,解得。=1,则圆c的方程为(x-i f+(y-2)2=9.所以所求圆的方程是ai r+3 2)2=9选条件设所求圆的方程为（x-a+3-6）2=9,由题意得：（l-a）2+（-l-6）2=9.（1-。）2+（5-嫌=9 ,解得。=1,6=2,所以所求圆的方程是（X-1）2 +3 -2尸=9（2）因为点尸 J）在圆外，切线斜率不存在时，切线方程为x=4,圆心到直线的距离为d=4-l=3=r,满足条件.切线斜率存在时，设切线/：N-3 =MX-4）,即米_”4A +3=0,3 J k_ 4则圆心c到切线的距离,解得一一,则切线的方程为:4x4-37-2 5=0所以过点尸GJ的圆C的切线方程为：x-4=0或4x+3y-2 5=02 0.如图，在四棱雉S-/8C 0中，底面CD满足A B 1 B C ,S/J _底面/S C O,且SA =A B=B C=2,A D=1（1）求证：平面”8,平面S 8C；（2）求平面S C D与平面S A B的夹角余弦值.【答案】（1）证明见解析V6 3【分析】（1）由线面垂直得“BC,即可进一步证8 c l平面”8,最后证平面S/8 J.平面S8 C；（2）由线面垂直证S A V AD,即可以4 3,A B,所在直线为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系，由向量法求平面SC。与平面”8的夹角余弦值.【详解】（1）;J底面4 8 cD,8 C u平面4 8 cD,E C.v AB BC,SA c AB=4,SA、4 5 u 平面 S8,8C_L 平面”8,8Cu平面SBC,.平面S/8,平面SBC；(2)；S4 _ 1底面 Z8CZ),AB、NZ)u 平面 Z8CZ),SA 1 AB t SA 1 AD t又/18_L/ID,.以点/为原点，分别以ZO,AB,4S所在直线为x轴、轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则/（0,0,0）,8（0,2,0）,C（2,2,0）,（1,0,0）S（0,0,2）,女=（2,2,-2）,SO=（1,0,-2）n-SC=0（2x+2y-2z=0设平面SCO的法向量是万=（z）,则1万 加=0,即IL2Z=0,令z=l,则x=2,7=-,于是历=（2，T，1）,由(1)知8 C 1平面”8,故可取平面 8的法向量为设平面SC。与平面S/15的夹角为锐角a,/.cosa=|cos（丽，万）|=m-n _|2xl-lx0+lx0|2 _ V6|w II|1X722+（-1）2+12 V6 3V6平面SC。与平面3 8的夹角的余弦值为3.2 1.设数列 J的前项和为S”，j=2%-1(1)求 “的通项公式；6“=1呜%(2)若 数 列“、,求 色，的前”项和，【答案】=2_ _ 277-1T=2.-2【分析】(1)当”=1时，可求得q=1；当2 2,由a“二S-ST可证得数列“为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果;(2)由(1)可得，利用错位相减法可求得结果.【详解】(1)当 =1时，q=H=2 q-l,解得：4=1；当 2 2 时，%二 S“-S _ i =2%-1 一 2 an_+1 =2 an-2。,一，即。=2 an_ 数列“是以1为首项，2为公比的等比数列，二。=2 b J 7(2)由(1)得：2一，.012u=m+m+尹+1111=1-一2 n-+H-H-2“T 2,1 2 n-2=1-2-12-1 2-12-12 一12-22 2.在平面直角坐标系上0伊中，动点P与定点歹(2,0)的距离和它到定直线/：=3“一5的距离之比是27 3常 数3 ,记尸的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设过点/(右，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M,N(异于点，求证：直 线 过定点.X2 2 1-y=1【答案】3 (2)证明见解析3X=【分析】(1)设尸(x,y),由尸与定点尸(2,0)的距离和它到定直线/：2的距离之比是常数2 G亍 求 解；(2)直线A/N斜率不存在时，由直线4 N分别为y=x-G,y=艮求得与双曲线的交k,w 点即可；直 线 斜 率 存 在 时，设其方程为尸=云+加，(3),与双曲线方程联立，根据AM L AN,结合韦达定理得到A,m的关系即可.【详解】(1)解：设P(x,夕)，3 2石X=-因为尸与定点(2,0)的距离和它到定直线/：2的距离之比是常数37(X-2)2+/27 33 亍X 所以 2,F 2 1-y=1化 简 得3 ,X2 2 1-y=1所以曲线的方程为3 .(2)设 M g,力),N(X2,)，当直线aw斜率不存在，直线/”，A N分别为y=x-G,了=-+石，X2 2 _分别联立3 ),解得M(2石，G),屐6-V 3),此时直线M N的方程为x =2 6,过点(2 6,0);由 yy=kx+m,消去)，得(1 3 4 2)工2 _ 3机2 3 =0 ,所以 =(一6卜w)2-4(1 -3 k2)(-3 w2 3)0 ,即加2 +1 _ 3 4 2 o ,6km-3 m2 3%1+X)=-r X.X2=-2 1-3 k2,1 2 I-3 k2,因为/MJ L4 N,所以 X,-A/3 X2-y/3,即 X%=-6*2-0),即(kx+m)(kx2+M =-G-百*2 -百)即 k2x1x2+k m 8 +x2)+m2=x,x2+6(须 +x2)-36km _-3 m2-3将、+七一1-3公,3 k2 代入化简得:m +3 6 k m+6k2=Q,所以 加=-6 k或用=-2 上,当加=-6%时，直线M N方程为了=履-6,不符合题意舍去)，当机=-2尿 时，直 线 方 程 为 =代工-2 6)，M V恒过定点(2 6,0),综上所述直线M N过定点(2 6,0).