2021-2022学年辽宁省沈阳市高二年级下册学期期中数学试题含答案.pdf

2021-2022学 年 辽 宁 省 沈 阳 市 高 二 下 学 期 期 中 数 学 试 题 一、单 选 题 I.已 知 集 合 A=x|T x 3,x e N,则 A的 子 集 共 有()A.3 个 B.4 个 C.8 个 D.16 个【答 案】C【分 析】根 据 题 意 先 求 得 集 合 A=0,1,2,再 求 子 集 的 个 数 即 可.【详 解】由 4=|-1 0 B.a 0 C.a0 D.a 0时，加+2 0成 立，当 a0.故 选：B3.已 知 函 数 X)的 导 函 数 为 了(X),3(x)=xlnx+3矿，贝 i j/(e)=()【答 案】C【分 析】先 求 出 f(x)=l+lnx+3 r(1),然 后 令 x=l 求 出 尸，然 后 即 可 求 出 r.【详 解】因 为/W=xlnx+30 所 以 尸(x)=l+Inx+3，令 x=l 时 有/=1+3/，所 以 广(1)=g3所 以/(、)=田 11-万 工 所 以/(e)=l+lne 13=1故 选：C4.基 本 再 生 数 凡 与 世 代 间 隔 T是 新 冠 肺 炎 的 流 行 病 学 基 本 参 数.基 本 再 生 数 指 一 个 感 染 者 传 染 的 平 均 人 数，世 代 间 隔 指 相 邻 两 代 间 传 染 所 需 的 平 均 时 间.在 新 冠 肺 炎 疫 情 初 始 阶 段，可 以 用 指 数 模 型 f)=e来 描 述 累 计 感 染 病 例 数/随 时 间 r(单 位：天)的 变 化 规 律，指 数 增 长 率 与 4，7近 似 满 足%=1+，有 学 者 基 于 已 有 数 据 估 计 出 4=3.28,7=6.据 此，在 新 冠 肺 炎 疫 情 初 始 阶 段,累 计 感 染 病 例 数 增 加 2 倍 需 要 的 时 间 约 为()(参 考 数 据：ln3al.O98)A.2 天 B.5 天 C.4 天 D.3 天【答 案】D【分 析】根 据 题 中 所 给 的 函 数 模 型 求 出 指 数 增 长 率 的 值，然 后 根 据”38(，+”)=3*38,求 出 答 案 即 可.【详 解】因 为&=3.28,T=6,4=1+”,则 指 数 增 长 率 r=R-1=3 咚 28-1=0.38T 6设 在 新 冠 肺 炎 疫 情 初 始 阶 段，累 计 感 染 病 例 数 增 加 2 倍 需 要 的 时 间 为 4 天 所 以/=e=产 如,则 编 3即+4)=3g0.38/所 以 产=3,即 0.38 In3.CCIUIn 3 1.098 一 十、所 以 f 1=-H-3(天)0.38 0.38故 选：D5.已 知 函 数 f(x)是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，且 满 足/(x)=-f(x+l),数 列 4 是 首 项 为 1、公 差 为 1的 等 差 数 列，则+/(%)的 值 为()A.-1 B.0 C.1 D.2【答 案】B【分 析】利 用 函 数 的 对 称 性 首 先 求 出 函 数 是 以 2 为 周 期 的 函 数，且/+/(2)=0,而 数 列 的 通 项 公 式 为%=,则 可 将 所 求 转 化 为 25(/(1)+/(2)+/=/(1),再 根 据 函 数 的 奇 偶 性 可 得/(0)=0,从 而 有/(1)=0,即 可 求 得 结 果.V/=-/(x+l),：.f(x+2)=-f(x+l)=f(x),即/(x)是 以 2 为 周 期 的 函 数，而 f(x)=-f(x+D,(1)+/(2)=0,又 V数 列%是 首 项 为 1、公 差 为 1的 等 差 数 列/(1)+/(%)+/(%)+/(%)=/(1)+/(2)+/(3)+/(51)=2 5(/(1)+/(2)+/(1)=/(1),又 是 定 义 在 R上 的 奇 函 数，.0)=0,而 f(x)=-f(x+1),./()+f(1)=0,f(1)=0,；/(4)+/(%)+/(4)+f(%)=0 故 选：B.6.已 知 均 为 等 差 数 列 的,与 4 的 前”项 和 分 别 为 S,1Sn 2n+3 4+r“，且/=4，贝 1 的 值 为()T n+b2+bw7 21-13A.-B.C.4 10 6【答 案】Ae 15D.7【分 析】设 S=h i(2+3),7；=也(+1),由%=S 5-S,4=-7；,即 可 求 解 结 果.a.+凡 2a.a.,Sn 2n+3【详 解】因 为 之 合=太=,，又 因 为=1 不，打+%2b$b T n+所 以 可 设 S,=切(2+3),(=如(+1),贝 l j%=怎-$4=65%-44%=21%,bh=Th-T5=42%30 左=12%a.21 4+4 7所 以,=不，即 六 广=4 12 4+)4故 选：A7.已 知 x)定 义 在 R上 的 奇 函 数，当 x 0时，/(x)=(x-l)3,当 x l,3 时，/(x+z n)0时.，f(x)=(x+l)3,且 在 R 上 单 调 递 增，进 而，当 分 机 4 0 时，/(x+，)4 2 7/(x)恒 成 立；当 机 0时，结 合 单 调 性 将 问 题 转 化 为 x+m+lV 3 x+3在 x e l,3 上 有 解,进 而 得 等 4 3,再 解 不 等 式 即 可 得 最 大 值.【详 解】因 为/(x)定 义 在 R 上 的 奇 函 数，当 x 0时，/(x)=(x-l)3,/(O)=O,所 以 当 x 0 时，/(x)=-/(-x)=-(-x-l)=(X+1)3,所 以 当 X 0 时，函 数/(x)=(x+l)3单 调 递 增,/(X)1,x 0 时，/(x)=(x-l)3单 调 递 增，/(x)0,此 时/(x+m)4 27/(x)恒 成 立，当 相 0 时，x+mx,所 以，当 x e 1,3时，/(x+祖)4 27/(x)有 解 等 价 于(x+机+以 4 27(x+1 丫=(3x+3)3 在 x e 口,3上 有 解，所 以，由 f(x)在 R 上 单 调 递 增 得 x+m+143x+3在 xwl,3上 有 解，即 N v x 在 xei,3上 有 解，所 以 二 2 4 3,即 加 48.2所 以，实 数 机 的 最 大 值 为 8.故 选：A8.已 知。为 函 数 x)=log2X-J的 零 点，b=&,c=匹，则。、b、c的 大 小 关 系 正 确 的 是()A.abc B.b a c C.cah D.bc a【答 案】B【分 析】对 6、。，同 时 进 行 6 次 方 运 算，利 用 y=f 的 单 调 性 比 较 大 小；Q O先 利 用 零 点 存 在 定 理 判 断 出：=/的 单 调 性 比 较 大 小；对“、b,同 时 进 行 平 方 运 算，利 用 y=V 的 单 调 性 比 较 大 小.【详 解】因 为 b=，c=冢,所 以/=(五)=e3(1J=1弓，不=(五)=/。6.因 为 y=Y 在(0,+8)上 单 增，所 以 bc.因 为。为 函 数 f(x)=log2X-g的 零 点，所 以 f(a)=log2a-g=0因 为=log2X为 增 函 数，y=-1 为 增 函 数，所 以/(x)=log2X J 为 增 函 数，所 以 f(x)=log2X-；有 且 仅 有 一 个 零 点 乙 又/(5)=1吗()_=幅 因 为|=(|)3=停),2：=4(，所 以!2三,所 以 同=】陶(4=1%(4 2,所 以 打 皿 2管 卜 上 噫 1讨；由 零 点 存 在 定 理，可 得：|.5所 以(g)3(g)=3.375 7T=c3.因 为 y=d 在(0,+8)上 单 调 递 增，所 以 ac.因 为；“，所 以 2a.所 以 匕 ac.故 选：B二、多 选 题 9.下 列 叙 述 中 正 确 的 是()A.0cNB.若 x eA B,贝 iJxeAUBC.已 知 a e R,则“片”是“4 6 0，的 否 定 是“*,2,4，0”【答 案】ABD【分 析】对 于 A,利 用 子 集 的 定 义 即 可 判 断；对 于 B,利 用 并 集 和 补 集 的 定 义 即 可 判 断；对 于 C,举 反 例 即 可 判 断：对 于 C,全 称 量 词 命 题 的 否 定 是 存 在 量 词 命 题，即 可 判 断【详 解】对 于 A：集 合 N 中 包 括 0,故 0=N,故 A 正 确；对 于 B：若 x e A B,说 明 集 合 A和 B 中 均 包 括 元 素 x,则 x e A U B,故 B 正 确；对 于 C：已 知 a e R,当 6=1,。=一 2时，满 足 从 0,所 以“从/”是 a b 0”的 否 定 是“叫,e Z,片 4 0”,故 D 正 确.故 选：ABD1 0.以 下 结 论 正 确 的 是（）A.具 有 相 关 关 系 的 两 个 变 量 X,），的 一 组 观 测 数 据&,%）,（9，%），L,（乙,券）,由 此 得 到 的 线 性 回 归 方 程 为=氏+3 回 归 直 线 至 少 经 过 点 a，y j,（，%），L，（%）中 的 一 个 点；B.相 关 系 数，的 绝 对 值 越 接 近 于 1,两 个 随 机 变 量 的 线 性 相 关 性 越 强 C.已 知 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 8（”,p）,若（X）=30,（%）=2 0,则 p=gD.设 J 服 从 正 态 分 布 N（0,l）,若 P l）=p,则 p（-l l）=p,贝 I J尸（0 g l）=；-p,所 以 P（_ g 0）=；_ p,故 选 项 D 正 确.故 选：BCD.S 281 1.已 知 S“为 等 差 数 列,的 前”项 和，4=1,-77=,记=（一 1）%3 cn=l g a,其 中 可 是 高 斯 函 数，表 示 不 超 过 X的 最 大 整 数，$nlg0.9=0,lg99=l,则 下 列 说 法 正 确 的 是（）1 1 1 nA a=n R 1-1 1=-“S S2 Sn n+C.4+4+,+4oo=5050 D.q+c2+C 3+,+q（）o o=1893【答 案】ACD【分 析】根 据 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 和 等 差 中 项，可 的 亍*=4，再 根 据 4=1 和 等 差 数 列 通 项 公 式，可 求 出 等 差 数 列 为 的 公 差 为 d,进 而 求 出 勺=，即 可 判 断 选 项 A 正 确；根 据。“=可 得=，即!=_ L）再 利 用 裂 项 相 消 法 即 可 求 出 告+,进 而 判 断 B 是 否 正 确；根 据 4=n 可 得 b2l,=4,邑 _|=-（2-1）?,可 证 数 列 邑 是 首 项 为 3,公 差 为 4 的 等 差 数 列,又 白+么+4 的 相 当 于 数 列 由“+&-前 50项 和，由 此 即 可 求 出 结 果，进 而 判 断 C 是 否 正 确；根 据%=可 得 c“=lg,分 别 求 出 正 自 然 数 在 区 间 1,9,10,99,100,999中 的 通 项 公 式，以 及=1000时 的 值，再 求 q+。2+。3+Gooo，即 可 判 断 D 是 否 正 确.（4+%）x7【详 解】由 s“为 等 差 数 列 叫 的 前 项 和,所 以 包=让 豕=羽=三,即 会=%2/G 4+3d 4又 4=1,设 等 差 数 列 4 的 公 差 为 d,所 以 U=所 以 d=l，所 以 q=，故 A 正 确；由 选 项 A 可 知 S.=手，所 以 2=彘=2 m由 选 项 A 可 知 2=（-1）后 所 以%,=4 2,%1=_（2 1）2,所 以 b2n+如 T=4 _（2-1）2=4-1，即 数 歹 U 邑+%1 是 首 项 为 3,公 差 为 4 的 等 差 数 列,所 以 4+b2+4oo=（4+匕 2）+（4+&）+“,+（%+伪 00）=（3+4x50-1）x 5 0=5（）5 0 故 c 正 确；2由 选 项 A 可 知 c“=lg4/=lg,当 动,9且”eN*时，=0;当 叩 0,99且”eN*时，c=l；当 4100,999 且 eN*时，c0=2；当=1000时，c=3；所 以 q+。2+生+C|（x）o=9x0+90 x1+900 x2+3=1893,故 D 正 确.故 选:ACD.12.关 于 函 数/(力=G|,0 j x W 2,下 列 说 法 正 确 的 是(A.错)“3)B./(1)/()C.不 等 式 力 1的 解 集 为(2,3)D.若 存 在 实 数 a,瓦 c,d,e(a6cd1判 断 选 项 C；作 出 函 数 y=/(x)的 图 象 与 直 线=工，数 形 结 合 计 算 判 断 D 作 答.【详 解】因 函 数=,则/心 斗 sing|=1,/=4-3=1,A 不 正 确；4-x,x 2 2 2/(1)=|siny|=./()=|sin?|=等 B 正 确；(x2当 0 4 x 4 2时，号(x),则 不 等 式 x)1化 为 4 _ x i，解 得 2Vx 1的 解 集 为(2,3),C 正 确；因 存 在 实 数。力,。,乩 6(4匕 46)满 足/(4)=/0)=?)=/()=/,),令 存 a)=t,则 方 程/(X)=，有 4 个 互 异 实 根 a,b,c,d,e,即 函 数 y=/(x)的 图 象 与 直 线 y=f有 4 个 公 共 点，作 出 函 数 y=/(x)的 图 象 与 直 线 V=f,如 图，因 当 0 4 x 4 2 时，00(x)Wl,贝 又，(x)=|sin x|在 0,1 上 的 图 象 关 于 直 线 x 对 称，3在 口,2 上 的 图 象 关 于 直 线 x=2 对 称，因 此 有：a+b=l,c+d=3,e=4-t,2则 W S H/S H O X c H 疗(d)+g(e)=f(8 f),而 函 数 一/+8/在(0,1)上 递 增，则 有 0f(8 f)7,所 以+的 取 值 范 围 为(0,7),D 正 确.故 选：BCD【点 睛】关 键 点 睛：涉 及 用 分 段 函 数 零 点 特 性 求 参 数 范 围 问 题，可 以 先 独 立 分 析 各 段 上 的 零 点，再 综 合 考 查 所 有 零 点 是 解 决 问 题 的 关 键.三、填 空 题 13.设 等 差 数 列%的 前”项 和 为 5“，4+4+4=】2,则$9=.【答 案】36【分 析】根 据 等 差 数 列 的 性 质，可 得%=4,再 利 用 前”项 和 公 式 与 等 差 中 项，即 可 求 得 的 值.【详 解】解：因 为 数 列 4 为 等 差 数 列，所 以 出，。5，“8成 等 差 数 列，所 以 的+私=2%，又 出+为+4=12,即 3%=12,所 以 为=4,则 也”=也 丑 36.2 2故 答 案 为：36.14.函 数 y=0的 零 点 个 数 为【答 案】2【分 析】当 烂 0 时，令 函 数 值 为 零 解 方 程 即 可；当 x 0 时，根 据 零 点 存 在 性 定 理 判 断 即 可.【详 解】当 时，X22.X=OXl=y/2.1,X-=zy/2,0,故 此 时 零 点 为=-0-1；当 x 0 时，y=lgxH_2x3在(O,+8)上 单 调 递 增，当 x=l 时，y 0,故 在(1,2)之 间 有 唯 一 零 点；综 上，函 数 y 在 R 上 共 有 2 个 零 点.故 答 案 为：2.15.已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列“满 足：4=1,前 项 和 为 S“,且 屋-4=2S“T(N 2),数 列 也 满 足 对 于 任 意 正 整 数 加 2 2 均 有 6g+“+川=金，求 数 列 也 的 前 66项 和 为.【答 案】737【分 析】根 据“，S,的 关 系 求 出 数 列 通 项 公 式，再 利 用 等 差 数 列 求 和 公 式 求 解.【详 解】由 d-%=2 S“T(N2)可 得 a3-a“M=2S，两 式 相 减 得，i-+%=2ati,则 有(%+a)(an+i-a-l)=O,因 为%是 各 项 均 为 正 数 的 数 列，所 以。,用+。“寸 0,所 以 4+i-1=0,即。川-%=1，所 以 数 列 4 从 第 二 项 起 为 等 差 数 列，且 a；-a?=2q=2,解 得 出=2,所 以 4,=2+(-2)=“(-2 2),首 项 4=1也 满 足 上 式，所 以 q,=(eN*),因 为 超-i+2”+超+i=4，所 以 数 列 低 的 前 66项 和 为(4+4+3)+(2+&+d)+(打 64+。65+%)=4+。5+a6s，公 22x(2+65)门=2+3+63=-=737,2故 答 案 为：737.四、双 空 题 16.一 般 地,若 f(x)的 定 义 域 为 可,值 域 为 陷 网,则 称 目 为/(X)的“4 倍 跟 随 区 间”：特 别 地，若/(x)的 定 义 域 为。回，值 域 也 为 可,则 称 可 为/(x)的“跟 随 区 间”.(1)若 1,同 为“x)=f-2 x+2 的 跟 随 区 间，则 人=.(2)若 函 数 f(x)=m-/7，i存 在 跟 随 区 间，则 机 的 最 大 值 是.【答 案】2；,；,0【分 析】根 据 所 给 的 定 义，给 合 二 次 函 数 的 性 侦 进 行 求 解 即 可；根 据 所 给 的 定 义，结 合 函 数/(x)=a-而 T 的 单 调 性，通 过 构 造 新 函 数，利 用 新 构 成 函 数 的 性 质 进 行 求 解 即 可.【详 解】因 为 1,为/(尤)=/-2x+2 的 跟 随 区 间，所 以 函 数,(X)=/-2x+2 的 值 域 为 1回，0/U)=X2-2 X+2=(X-1)2+1,对 称 轴 为 x=l,因 此 函 数/(A-)=/-2x+2 在 x w 1,句 上 单 调 递 增，f(.b)=b-2b+2=b因 此 根 据 题 中 所 给 的 定 义 有 1=b=2；/(l)=l2-2xl+2=l函 数 f(x)=/n-Jx+1 的 定 义 域 为:1-1,+),因 为 函 数/。)=?-，7工 1存 在 跟 随 区 间，设 跟 随 区 间 为：可(1 4 a)=m-Jb+1=af(a)=in-Ja+1=b=yjb+ja+1 b a因 为 6 a 2 l,所 以 J/?+l*Ja+1,综 上，J6+l-Ja+1=(/)+l)-(a+l)=(l-+J/+l+Ja+l)n+l+Ja+1=1,所 以 0 4 Ja+1 y/b+T 1,令 c=la+l,d=yjb+l,所 以 04cd41,c+d=,则 有，=a+l=a+1-Ja+1=c?-c,同 理 机 二 片-，设 函 数 h(x)=x2-x(x e 0,1)因 为(x)=-x=(x)-,X G 0,1,2 4所 以(X)mi.=-；,(X)max=。，因 为%=C?-C,所 以 方 程/-X=?在 X 6 0,1 时，有 两 个 不 相 等 的 实 数 根.因 此 直 线=机 与 函 数/i(x)=%2-%(xeO,l)的 图 象 有 两 个 交 点，因 此 有 机 40.4故 答 案 为：2；【点 睛】关 键 点 睛：一 是 利 用 因 式 分 解 法 由 花 工-而 1=b-4 得 到 国 1+而 1=1；二 是 由 切=。2-,加=屋-4/得 到 方 程/-=加 在 了 0,1时，有 两 个 不 相 等 的 实 数 根.五、解 答 题 17.已 知 函 数/(x)=(kg3X)2-叫 好-3,xGg,9.当。=0 时，求 函 数 兀 V)的 值 域；(2)若 函 数/U)的 最 小 值 为-6,求 实 数。的 值.【答 案】-3,1-2或 6【分 析】(1)由 题 意 可 得/(x)=(log/f-3,结 合 定 义 域，逐 步 可 得 函 数 的 值 域；(2)利 用 换 元 法 转 化 为 二 次 函 数 的 值 域 问 题，分 类 讨 论 即 可 得 到 结 果.【详 解】当“=0 时，/(x)=(log3X)2-3,9.log,x 6-1,2,(fog,x)2 e0,4,/(X)=(log,X)2-3 e-3,1,函 数 人 x)的 值 域 为 卜 3,1；(2)令 log.4e-1,2,即 函 数 g(t)=r-2at-3,te-1,2的 最 小 值 为-6,函 数 g(r)=r-2at-3图 象 的 对 称 轴 为 f=“，当 aW-l 时，g0)mM=g(T)=2a-2=-6,解 得 a=-2；当 一/a 2 时，=g(a)=-3-/=-6解 得 a=6;当 a N 2 时,g（）M=g（2）=l-4a=-6,解 得 一 7（舍）；综 上，实 数 a 的 值 为-2或 6.18.为 实 施 乡 村 振 兴，科 技 兴 农，某 村 建 起 了 田 园 综 合 体，并 从 省 城 请 来 专 家 进 行 技 术 指 导.根 据 统 计，该 田 园 综 合 体 西 红 柿 亩 产 量 的 增 加 量 y（千 克）与 某 种 液 体 肥 料 每 亩 使 用 量 x（千 克）之 间 的 对 应 数 据 如 下.X（千 克）2 4 5 6 8）（千 克）300 400 400 400 500（1）由 上 表 数 据 可 知，可 用 线 性 回 归 模 型 拟 合 y 与 X 的 关 系，请 计 算 相 关 系 数 厂 并 加 以 说 明（若 H0.75,则 线 性 相 关 程 度 很 高，可 用 线 性 回 归 模 型 拟 合）；（2）求 关 于 x 的 回 归 方 程，并 预 测 当 液 体 肥 料 每 亩 使 用 量 为 15千 克 时,为 多 少 千 克？附：相 关 系 数 公 式=-;-，参 考 数 据：Vio3.i6.V 1=1 1=1力 卜,-对 回 归 方 程$=队+中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为。=毛 一 卯-/=1西 红 柿 亩 产 量 的 增 加 量 约 卜-亍）_.2，=y-x-x）【答 案】（1）0.95,答 案 见 解 析；700千 克.【分 析】（1）根 据 表 中 的 数 据 先 求 出 最 5,再 求（*-r=l后 利 用 公 式 求 出 相 关 系，再 作 判 断 即 可，（2）根 据 线 性 回 归 方 程 公 式 求 出 回 归 方 程，然 后 将 r加 量【详 解】解：（1）由 已 知 数 据 可 得 1=2t4+；6+8=-300+400+400+400+500y=-=400,5所 以 H）（.K _ 5）=（3）X（1OO）+（1）X O+O X O+：,=I二）（-），J为（%-，,然=15代 入 回 归 方 程 中 可 求 得 西 红 柿 亩 产 量 的 增：5,1x0+3x100=600,+02+12+32=2后,(-100)2+02+02+02+1002=1000,所 以 相 关 系 数 厂=5，二)(、，-亍 600 3=7=-尸=一=恕 0.952V5X100V2 V10因 为 r0.75,所 以 可 用 线 性 回 归 模 型 拟 合 V 与 x 的 关 系.b=之)(一)/=1_(四 i=l等=30,=400-5x30=250)所 以 回 归 方 程 为 y=30X+250.当 x=15时，y=30 x15+250=70()，即 当 液 体 肥 料 每 亩 使 用 量 为 15千 克 时，西 红 柿 由 产 量 的 增 加 量 约 为 700千 克.19.已 知 数 列%为 等 差 数 列，S“是 数 列 4 的 前 项 和，且/=3,S$=25,数 列 也 满 足 01bl+02b2 4-卜 ajyn=(2n3)x2+3.求 数 列、也 的 通 项 公 式；(2)令%=长,证 明：C,+,+?6.【答 案】b=2-(2)证 明 见 解 析【分 析】利 用 等 差 数 列 基 本 量 代 换 求 出 4=2-1,利 用 前 项 和 的 定 义 求 出 勿=2，(2)用 错 位 相 减 法 求 和 后 即 可 证 明.【详 解】(1)设 等 差 数 列%的 公 差 为 d%=4+d=3因 为 处=3,S$=25,所 以,。5x4,=5q H-d=25解 得：匕 二，所 以 q=q+(一 1 二 2-1.4=2因 为 数 列 满 足 44+见 优+anbn=（2-3）x 2+3,所 以=1时，有 地=（2x1-3）x21+3=1,解 得：=1.当“22 时，a也=（2-3）X 2+3（2 5）X2T+3=（2 1）X 2T,因 为 a“=2-lw0,所 以=2 j经 检 验，=2T对=1也 成 立，所 以=2，(2)由(1)知，c“=a=2n-lb 2T1 3下+3+.记】是 数 列%的 前.项 和.式 同 乘 以 3 得：;(=+*+2 2n-l/F-=6-2ft 1.-才，2/7 1 分+，2 2n-l贝|北=C|+2+q=+2+32因 为“c N*,所 以 竽 0,所 以(=6-等 6.20.2022年 2 月 6 日，中 国 女 足 在 两 球 落 后 的 情 况 下，以 3 比 2 逆 转 击 败 韩 国 女 足，成 功 夺 得 亚 洲 杯 冠 军，在 之 前 的 半 决 赛 中，中 国 女 足 通 过 点 球 大 战 6:5惊 险 战 胜 日 本 女 足，其 中 门 将 朱 铳 两 度 扑 出 日 本 队 员 的 点 球，表 现 神 勇.(1)扑 点 球 的 难 度 一 般 比 较 大，假 设 罚 点 球 的 球 员 会 等 可 能 地 随 机 选 择 球 门 的 左、中、右 三 个 方 向 射 门，门 将 也 会 等 可 能 地 随 机 选 择 球 门 的 左、中、右 三 个 方 向 来 扑 点 球，而 且 门 将 即 使 方 向 判 断 正 确 也 有 g 的 可 能 性 扑 不 到 球.不 考 虑 其 它 因 素，在 一 次 点 球 大 战 中，求 门 将 在 前 三 次 扑 出 点 球 的 个 数 X 的 分 布 列 和 期 望；(2)好 成 绩 的 取 得 离 不 开 平 时 的 努 力 训 练，甲、乙、丙、丁 4 名 女 足 队 员 在 某 次 传 接 球 的 训 练 中，球 从 甲 脚 下 开 始，等 可 能 地 随 机 传 向 另 外 3 人 中 的 1人，接 球 者 接 到 球 后 再 等 可 能 地 随 机 传 向 另 外 3人 中 的 1人，如 此 不 停 地 传 下 去，假 设 传 出 的 球 都 能 接 住.记 第 次 传 球 之 前 球 在 甲 脚 下 的 概 率 为 P,易 知 Pl=1 P2=。.试 证 明 卜 为 等 比 数 列;设 第 n 次 传 球 之 前 球 在 乙 脚 下 的 概 率 为 公，比 较 P,o与 薪 的 大 小.【答 案】分 布 列 见 解 析，（X）=E 证 明 见 解 析；|。4 x 3 x!=，门 将 在 前 三 次 扑 出 点 球 的 个 数 X3 3 2 6可 能 的 取 值 为 0,1,2,3,易 知 p（x=k）=C；x（品 工，A:=0,1,2,3.X 的 分 布 列 为:X 0 1 2 3P12521625725721216期 望 E(X)=3 x，=：o 2（2）解 析：递 推 求 解 第 次 传 球 之 前 球 在 甲 脚 下 的 概 率 为 P,，则 当 2 2 时，第 n-1次 传 球 之 前 球 在 甲 脚 下 的 概 率 为 P”T，第 n 1次 传 球 之 前 球 不 在 甲 脚 下 的 概 率 为 1-P.T，则 P,.=P,7 0+（1-凡 一 I）g=-；P,z+；，从 而=又=.P,-；，是 以 1 为 首 项.公 比 为 的 等 比 数 列.4 47 4 4 I 4J 4 3 由 可 知 p+；,io，00=,（1一 10），故 Pio Go.21.已 知 等 比 数 列 4 的 各 项 均 为 正 数，2%,4,4%成 等 差 数 列，4=4嫉，数 列 仇,的 前 项 和 5=包*（*），且=1.求,和 的 通 项 公 式；（2）设 C=/”：3）。（e“）,记 数 列%的 前”项 和 为 A”.求 证：A,0,由 2%,%，4/成 等 差 数 列，解 得 4.由%=4；，利 用 通 项 公 式 解 得 可,可 得 为.由 数 列 或 的 前 项 和 5,=券 且 4=1,4.2时，bn=S f i,化 简 整 理 即 可 得 出 瓦；（2）c=+4）.（；）”,1,利 用 裂 项 求 和 方 法、数 列 的 单 调 性 即 可 证 明 结 论.26（2+2）小 2（+12向【详 解】（1）设 等 比 数 列 的 公 比 为 9。，2%,%，4/成 等 差 数 列,2%=2%+4 6,即。4=4”244/,化 为：2/+4 一 1=0,解 得 4=5.%=4；，.4=4 6,即 g=4x x(g)2,解 得 q=；,数 列 数 的 前 项 和 S=e M),且 4=1,”.2时，b,=S,-Sn_x=bn-bi t_x,化 为：组=维 2 2 n n-h h?=1,数 歹 UZ是 每 项 都 为 1 的 常 数 列，1 nh=i f 化 为 b”=*n 证 明：,_，“2n-(2n+2)n-2(n+l)-2,+l歹 U c 的 H H n 工 币/口 为 A=-H-+-i-2)，这 些 球 除 颜 色 外 全 部 相 同.现 将 口 袋 中 的 球 随 机 的 逐 个 取 出，并 放 入 如 图 所 示 的 编 号 为 1 2 3,，m+n 的 抽 屉 内，其 中 第 k 次 取 球 放 入 编 号 为 k 的 抽 屉(k=l,2,3,.,m+n).1 2 3 m+n(1)试 求 编 号 为 2 的 抽 屉 内 放 的 是 黑 球 的 概 率 p;(2)随 机 变 量 x 表 示 最 后 一 个 取 出 的 黑 球 所 在 抽 屉 编 号 的 倒 数，E(x)是 x 的 数 学 期 望，证 明 nE(X)-(/?/+/?)(-1)【答 案】(1)(2)见 解 析 帆+n【详 解】试 题 分 析：(1)根 据 条 件 先 确 定 总 事 件 数 为 第“而 编 号 为 2 的 抽 屉 内 放 的 是 黑 球 的 事 件 数 为 C 1“T，最 后 根 据 古 典 概 型 的 概 率 公 式 即 可 求 概 率；(2)先 确 定 最 后 一 个 取 出 的 黑 球 所 在 抽 屉 编 号 的 倒 数 为;，所 对 应 的 概 率 KC 3c：,+再 根 据 数 学 期 望 公 式 得 E(X),利 用 性 质 进 行 放 缩 变 形：卑 定=。耳，最 后 利 用 组 合 数 性 质 k k-n-C+c 3=c 3 化 简，可 得 结 论.试 题 解 析：解：(i)编 号 为 2 的 抽 屉 内 放 的 是 黑 球 的 概 率 P 为：。=与 4=JC；m+n(2)随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 为:Xn177+1+2 I1mnPc：+空 c：+C：；C 3C 3c：+J”+所 ic：,+随 机 变 量 X 的 期 望 为:/xx y l C-；1 y 1(I)!“)h k C(一 I)*-”)!，.(%-2)!1 竿(2)!所 以“)!+c i)=高 不(+F Jy)=，L(C-2)lT)J+.C；1,2 3 4,.,(-1)1“(wz+n)(n-l)(X)7 夫 7(/n+n)(n-l)点 睛:求 解 离 散 型 随 机 变 量 的 数 学 期 望 的 一 般 步 骤 为：(1)“判 断 取 值”，即 判 断 随 机 变 量 的 所 有 可 能 取 值，以 及 取 每 个 值 所 表 示 的 意 义；(2)“探 求 概 率”，即 利 用 排 列 组 合、枚 举 法、概 率 公 式(常 见 的 有 古 典 概 型 公 式、几 何 概 型 公 式、互 斥 事 件 的 概 率 和 公 式、独 立 事 件 的 概 率 积 公 式，以 及 对 立 事 件 的 概 率 公 式 等)，求 出 随 机 变 量 取 每 个 值 时 的 概 率；(3)“写 分 布 列”，即 按 规 范 形 式 写 出 分 布 列，并 注 意 用 分 布 列 的 性 质 检 验 所 求 的 分 布 列 或 某 事 件 的 概 率 是 否 正 确；(4)“求 期 望 值”，一 般 利 用 离 散 型 随 机 变 量 的 数 学 期 望 的 定 义 求 期 望 的 值，对 于 有 些 实 际 问 题 中 的 随 机 变 量，如 果 能 够 断 定 它 服 从 某 常 见 的 典 型 分 布(如 二 项 分 布 X 3(”,p),则 此 随 机 变 量 的 期 望 可 直 接 利 用 这 种 典 型 分 布 的 期 望 公 式(E(X)=p)求 得.因 此，应 熟 记 常 见 的 典 型 分 布 的 期 望 公 式，可 加 快 解 题 速 度.