2022-2023学年山西省联考高二年级上册学期期末数学试题解析版.pdf

2022-2023学年山西省联考高二上学期期末数学试题解析版一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合N 中元素x满足2 x -a ,且1史4 2G/,则（）A.。4 B.c2 a4 D.2 a 4【答案】D【解析】【分析】由已知条件列出不等式求解即可.【详解】解得又，：2 e A,二 2 x 2 a0,解得 a 4,2 W a 歹”是“3”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据必要不充分条件的概念判断即可.【详解】解：当x =L y=-2时，满足x ,但不满足x|y 故充分性不成立，当x|川 时，一定有x v,故必要性成立，所以,“X V ”是“X H川”的必要不充分条件.故选：Bz（6 +8 i）=s i n 6 +i c o s，n C,/!ABX所以异面直线8c和 所 成 角 即 为N48 C.在三角形/8 C中，易得AB】=瓜B=2,AC=2c o s 4 q C =g 3 =由余弦定理可得 2,6 x 2 4故选：A.5.若两平行直线+2 3;+加=0,(%0)与*_ 号 _3 =0之 间 的 距 离 是 石，则加+=()A.0 B.1 C.-1 D.-2【答案】A【解析】【分析】由两直线平行的性质可得一=2,再由平行线间的距离公式可得加，即可得解.详解 由直线+2歹+加=0，(“)与_ 町;_3 =0平行可得_ =2即=_ 2,则直线x +2 y+m =,(m)与x +2 y 3 =的 距 离 为 石，塔 到 二 不所 以J F+2 2 ,解得相=2或加=一8 (舍去)，所以加+=2 +(-2)=0故选：A.【点睛】本题考查了直线位置关系的应用及平行线间距离公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.6.设厂为抛物线C：/=4 x的焦点，过厂的直线交抛物线c于a 8两点，且“尸=3 8尸，。为坐标原点，则O/B的面积为（）3 百 9A/3 2A/3 4A/3A.4 B.8 c.3 D.3【答案】D【解析】【分析】设出直线Z 3的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理及由“尸=3 8斤得到的%=一3%，求 出 直 线 的 斜 率，即可求解三角形的面积.【详解】由已知得焦点坐标为尸（L ）,由题意可知直线4 B的斜率存在且不为0,因此设直线Z 8的方程为=/（x7）,koO,42 _ A y y _ 4=0与抛物线的方程丁=4x联立，化简得 仁4,设/（和必）”&,%）,则中必一因 为/=3 8尸，故乂=一3%，4 2-3%+%=7，3%=-4则 k解得A=6，因/“则1/。成（沙卜地+1 6=殍故选：D.7.过坐标原点0作直线/：（2）x +（l-6-6 =0的垂线，若垂足在圆.r+2=厂2（尸0）上，则,的取值范围是（）A.（。冏 B.（0,2 C.Qq D,（0,4【答案】C【解析】【分析】由题设直线/与一+产=N（）相切，利用点线距离公式得到 关于。的表达式，即可得范围.【详解】因 为 垂 足 在 圆/+/=/（厂0）上，即直线/与该圆相切，67(a +2)2+(l-a)2e(0,2 7 2 6/口 +3+；所以故选：c1 2 a-+-8.设且2 a+6 =1,则 a a+3 b5 +2逐A.有最小值为 35-2 瓜C.有最大值为 3【答案】A【解析】5-2 瓜B.有最小值为 35 +2指D.有最大值为 31 2 a【分析】对&。+3 b变形得到a a+3 b 3 3 a。+3 6 ,利用基本不等式求出最小值.【详解】因为 力 ,1 2 a 3(2 a +b)2 a 5 Q+3 b 2 a 5 c la+3 b 2 a所以 a +3 6 3 a a+3 b 3 3 a a+3 6 3 v 3 a a+3 h5 、2 5 +2 7 6=-+2J=-3 V 3 3a+3 b _ 2 a/-当且仅当 3 a a +3 b +,故 6 a +3 6 =(5 +C)a =3 ,3 b G l即 5 +7 6 5 +C取等号.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.工+工=19.若曲线C：9 k-k,下列结论正确的是()A.若曲线c是椭圆，则1%9C.若曲线C是椭圆，则焦距为4 048B.若曲线C是双曲线，则1%9D.若曲线C是双曲线，则焦距为【答案】B C D【解析】【分析】根据方程表示椭圆、双曲线的条件对选项逐一分析，由此确定正确选项【详解】对于A,1%9时，-系数为正数，歹2系数为负数，曲线C不是椭圆，故不正确；对于B,若曲线0为双曲线，则（9一 女）（1 一 左）0,解得1%si n l440 3 0,B.co s5 1 0 co s 1 45 lo g?0.3 lo g 1 0.7D.2【答案】A C【解析】【分析】由，=si n x在712,7 1上单调递减，即可判断A；由歹=csx在712,71上单调递减，即可判断B；由函数丁 =2、在R上单调递增，即可判断c；由lo g3 0.3 02 ,即可判断D.71一，兀【详解】对于A,V =si n x在_2 上单调递减，因为1 43。1 5 si n l443 0 ,故 A 正确；71一，兀对于B,co s5 1 0 =co sl5 0 t y =co sx在12 上单调递减，因为1 5 0。1 45。，所以co s 1 5 0 co s 1 45 ,即 co s 5 1 0 0 0广即,故c正确：因为0.9 0.7,所以2 2 7,lo g30.3 lo g,1 =0 lo g30.3 lo g,0.7对于D,2 5 ,故 2 故D错误,故选：A C.1 1.已知抛物线C：=4 x 的焦点为尸、准线为/,过 点 尸 的 直 线 与 抛 物 线 交 于/J,（X2，%）两点，点 p在/上的射影为“，则（）A,若 玉+=6,则|P0|二8B,以。为直径的圆与准线/相切c,设、（0,2）,则 1 尸 即+四|之 力D.过点M（，2）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2 条【答案】A B C【解析】【分析】利用抛物线焦点弦长公式可判断A选项；设 N为 0 中点，点 N在/上的射影为明=丝/力,可得 2即可判断B选项；利用抛物线的定义结合三点共线可判断C选项；求 出 过 点 与 抛 物 线 C有且仅有一个公共点的直线的方程，可判断D选项.【详解】对于A,因为夕=2,所以归。|=占+%+2,又%+吃=6,所以|尸。|=8,故A正确；对于B,设 N为 。中点，点N在/上 的 射 影 为 点 0在/上的射影为2,则由梯形；PP/QQ PF+QF=PQ性质可得 2 2 2,故 B正确；对于C,因为尸（1，）,所以修什阀+以 小=右，（当 巴乂,尸三点共线时取等号），故 C正确；对于D,显然直线x =，V =2 与抛物线只有一个公共点，当直线的斜率存在且不为0时，设过M的直线为V =履+2,y=kx+2AB c 3s-2S PMN DMN 1【答案】A B D【解析】【分析】设点0（），利用点到直线的距离公式可判断A选项；分析可知、A、P、8四点共圆，利用圆的几何性质可判断B选项；求出AP/B、APA/N的面积，可判断C选项；利用余弦定理结合基本不等式可判断D选项.【详解】对于A选 项,设 点。（加 ）,则病一3 2=3,尸 土 与双曲线c的渐近线方程为-3 ,即、6=,所以,l/M V 3|陷附=Jm+V 3/?|w2-3/72|32 4 4 ,A 对;对于B选项，由题意可知产工0 4,P B 1O B ,则、A、尸、B四点共圆,且。P为该圆的一条直径，为该圆的一条弦，故l P以 叫，B对；7 1所以，双曲线C两渐近线的夹角为3,由B选项可知,S*AB=-|P|-|P5|s i n NAP B=.3.=迪PA B 21 1 1 1 2 4 2 1 6四1=粤P A/4 P M A =-s i n-因为则 3,因为4工。4,则 3 ,同理,网=粤s i n 3s 的=；I 尸叫 I P M s i n 乙 M P N=g .粤.粤s i n s i n 所以，3 3则3 s&8 *2s PMN,c 错:对于D选项，由C选项可知,=四华1 =1s i n2 3兀Z M P N =-且 3 ,由余弦定理可得+|PN一2|丹4网.C O S/M PN =四+网2 72 2 1 P M 网-1 =1当且仅当归=i时，等号成立，口对.故选：A B D.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .已知两个向量”=若a 13,则机的值为.【答案】-1【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示列式计算求解即可.【详解】因为aB,所以%=1 +2，+1 =,解得”,=-1.故答案为：T.1 4 .已知数列血 的前项和S,=2 2 +4 ,则 2 答案【解析】【分析】分=】和？2两种情况，根 据%与S,的关系即可求得数列 qJ的通项公式.详解当=1时，q=5=6；an=Sn-Sn.=2n2+4-2（n-l +41=4n-2当22时，a L v 7 J ,由于=1时q的值不适合22的通项公式，6,”=1Q =的通项公式为 1 4一2,“2.6,=1故答案为：一2,2 21 5.已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为E（2，0）,该椭圆被直线+3歹一4 二 所截得弦的中点的横坐标为1,则 该 椭 圆 的 标 准 方 程 为.一1【答案】6 2【解析】【分析】由点差法可得彳3=/,则。2=3/2,又/一 =4,联立解得/,，即可得出椭圆方程.亡 +%=1（。0）【详解】设 椭 圆 的 标 准 方 程 为 如 力，由题意，椭圆被直线x +34 =所 截 得 弦 的 中 点 的 坐 标 为（1），设Z（X 1,必）,8（工2，%）,则X+=2,弘+%=2 ,b2x+a2=a2b2由+/=/，得&+）（再一马）+/（弘+y2）（凹 一%）=,k J 即2/（西一）+2/（%一8）=,则吸a1 3,即/=3，又/_/=4,所以/=6,=2,二 +其=1故椭圆的标准方程为6 2.一+产-1故答案为：6 2.7 1AB=2,B=“。7 716.已知在菱形4BCD中，3,平面ABCD外一点尸满足 =273,P +P B +P D =40,则四棱锥尸一Z8CZ）体积的最大值为.返2月【答案】3#3【解析】分析设。口BD=O,由 Z.POC+Z.POA=兀，则 cosZ.POC+cosZ.POA=0,结合余弦定理得尸4=20尸2一1 0,同理/8 2+尸。2=2 0尸2+6,结合已知条件可得0P=M .当尸工平面NBC。，四棱锥P N8CZ体积取到最大值，利用体积公式求解即可得出答案.AB=2,5=r【详解】由于四边形N8CD为菱形，3,则=2,8。=25/3,设4 0 0 8 0 =。，连接OP,由于 Z.POC+Z.POA=兀，则 cos Z.POC+cos Z.POA=0,OP2+OC2-PC2 OP2+OA2-PA2 八-+-=0由余弦定理得2 0 P o e2OPOAO P2+1-1 2 O P2+i-P A2 c则 2 0 P-1-2 O P=0,整理得：P0A1=2 O-P-1 0.同理由 N PO B +N PO D =7 i,可得P B?+PD2=2 O P2+6,于是 P A2+P B2+PD2=4 0 0 2 一4 =4 0 ,解得。尸=而，；当尸工平面A B C D,四棱锥P-Z 8 C D体积取到最大值，V=-SA B C D-OP =-2 y/3-y/U=-.四棱锥产一8 8体积的最大值 3 3 3 .2 底故答案为：3 .四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.1 7.已知直线4为曲线夕=/+x-2在点(1,0)处的切线，4为该曲线的另一条切线，且L 皿,求直线4的方程.经案3 x +9 j v +2 2 =0【解析】【分析】利用导数求出曲线在点(L)处的切线4的方程，再结合4工4即可求出切线4的方程.【详解】因为V=2 x +1,所以4T=3,所以直线4的方程为y =3(x _ l),即y =3 x _ 3,设直线1 2与曲线相切于点。国 片+“。一2),则直线4的方程为N 一 6 +%-2)=(2/+l)(x-/)因为4,2,所以 3,解得 3 ,所以直线,2的方程为3 x +9歹+2 2 =01 8.已知等差数列 中，3出+。6=2 0,且前9项和$9 =81(1)求数列J的通项公式；(2)若“毋 用,求数列 也 的前n项和.【答案】(1)%=2 Tn(2)2M+1【解析】【分析】（1）根据等差数列%中%2+4 =2 0,S g=81,列出关于首项生、公差d的方程组，解方程组可得力与的值，从而可得数列S的通项公式；.1 1 1 0,sin C 02sin A sin4 八 1-；-=-cos B=则 sin C sin C cos B,gp 2,B=又B E。，兀)，则 3.【小问2详解】由方。平 分/46C,BD=2,S 糜=S ABD+5 BCD1 .2兀 1 c .兀 1 c .兀 aesm =x 2 x。sin +x 2 x。sin 一则有：2 3 2 3 2 3,即QC=2Q+2C,.2 2 2 c 27 To ci+c 2cic cos在“8C中，由余弦定理可得：3,又b=4亚,则有：a2+c2+ac=80,ac=2a+2c -11/7/-8=0（1）证明：不论机为何实数，直线/都与圆C相交；（2）当直线/被圆C截得的弦长最小时，求直线/的方程；2 2（3）已知点P（X J）在圆C上，求 的 最 大 值.【答案】（1）证明见解析（2）x+y_8=0（3）45+20【解析】【分析】（1）把直线/的方程变形后，根据直线/恒过定点，得到关于x与卜的二元一次方程组，求出方程组的解即为直线/恒过的定点坐标，然后利用两点间的距离公式求出此点到圆心的距离d,发现d小于圆的半径，得到此点在圆内，故直线/与圆恒交于两点；(2)根据直线与圆相交弦长公式2犷牙，可确定当圆心到直线的距离最大值时，弦长最小，即直线/与CM垂直时，求得直线方程；2 2(3)*+7表示圆C上的点(X/)至I J(，)的距离的平方，求其最值即转化为点(，)与圆上的点的距离最大值的平方，结合圆的性质可求.【小 问1详解】证明：因为/：(2 z +l)x+(?+l)y _l l 2_8 =0,所以(2x+j _l l)加+(x+j _8)=0,J 2x+y -1 1 =0 J x=3令 x+y-8 =0解 得 在=5,所以直线/过定点(3,5),而(3-2)2+(5 4)2 /5 ,=（5+2V5）2=45+20V5所以、.2 1.如图，在四棱锥尸一NBC。中，平面平面A B C D,P A =A D =2,BD=4,AB=2 有,8。是的平分线，且 8Q_L8C（1）棱尸。上是否存在点E,使 8E 平面P/O?若存在，求出点E 的位置；若不存在,请说明理由；（2）若四棱锥一4 6 c o 的体积为io,求 平 面 与 平 面 PC。的夹角的余弦值.【答案】（I）存在，点 后为。中点3（2）5【解析】【分析】（I）点 E 为 P C 中点时，BE/平面P 4 D .延长C&D 4 交于点尸，连接P E,证明8E 尸E 即可；（2）由题意得 得/B D A =N B D C =60,则氏4J_ 平面PZZ）,作PO L A D,则P O 1 平面由四棱锥P _ 4 8 C D 体积求得PO=G,则刃。为正三角形，根据以上信息建立空间直角坐标系，求出平面尸8。和平面PC。的法向量，用向量夹角公式解决问题.【小 问 1详解】点E 为PC中点时，BE 平面P A D .延长交于点R连接尸尸，在ACOE中，8。是N/Q C 的平分线，且 5OJ.BC,.CDb 是等腰三角形，点 8 是 C户的中点，又Y E 是 尸。的中点，.B E 尸又P F u平面PAD,B E Z过平面P A D ,8E 平面 PNO.【小问2 详解】在N 6Z）中，A D =2,BD=4,AB=2也,满足力O?+工公=0 2,则 N B A D=90 ,即 8/JL A D ,i /R D 4 _ 2百，百由 s m 一 丁 一 得 N B D 4 =N B D C =60 ,则 C O =8,BC =4&,-C SAAO+S RNC=x 2x273+x4 x4 73=1 0 73四边形Z B C Q的面积为 22,又平面P A D 1平面ABCD,BA u平面A B C D,平面P A D n平面A B C D =A D,所以历I J_平面P/O,又 P 4 u 平面P 4 D ,则作P O L ZD,垂足为o,平面P A D 平面ABCD,P O u平面PAD,平面P A D n平面A B C D =A D ,则0 0 1平面力8。，则四棱锥尸一48 8体积为3，解得尸O =J3,N P/Z）=60。，又PA =A D =2,所以APZ。为正三角形，建立如图所示的空间直角坐标系。一被z,则 4（1,0,0）,82百,0）。65,4百,0）。（-1,0,0）1 G,0,百）所 以 加=。,0,6）丽=2,-2 6,0）D C =4,4 6,0）设加=（再,乂,z J,=&,%，z?）分别为平面P8 O和平面PC。的法向量，in-D P=0 X +V Jz =0则比,8。=0,即 一2西一2退M=0,取 弘=，则?=（月,一1,一1）n D P=0 x2+V3Z2=0 _ _ _ 6 0）P p e=上22.已知椭圆 匕 的左焦点为尸】，右焦点为冬，离心率 2,过月的直线交椭圆于尸，。两点，且AP O Q的周长为8.（1）求椭圆E的方程；（2）已知过点7（4，）与椭圆E相切的直线分别为人4，直线/：V=x+与椭圆E相交于A,8两点，与4 4分别交于点，N,若M H 8 N|,求，的值=1【答案】（1）4 3_7（2）4【解析】e _1【分析】（1）由题意知，A。鸟的周长为4a=8,又 2,求得a,c,再由0,b,c的关系得到从进而得到椭圆的方程：（2）设过点7（4，）的直线方程为=叩+4,联立直线方程和椭圆方程，由A=0求得直线4,4的方程.由得X/+XB=X,”+XN,结合韦达定理即可得到答案.【小 问1详解】由题意知，AP Q E的 周 长 为 囱+1叫+依 用+1。用=4 8,所以。=2,e=l,c=l又 2,所以a 2,所以=2 2 1 =3,所以椭圆E的方程为4 3.【小问2详解】设过点T（4，）的直线方程为*=冲+4,x=加歹+4V Y/皿 一、工=彳 +刀=1 ,（3/+4）y2+24切+36=0联立方程14 3,得1）-,由V）,得阳=2,所以直线4,4的方程分别为x+2y=4,x-2y=4.由M A/|=|8N|,得4 8与 N的中点重合，从 而%+X&=XM+XNy=x+f 工+片=1由14 3,可得 7 x?+8fx+4r-12=0,4由A W-2 8（4*T 2）0 7,从 而 巴+37,_ 4-2/又 由 x+2y=4,可得X-3,y=x+t又 由 X 2y=4,可得x,v=-2f-4,一8,一 8X、+%N=从而 3.8/8/8 7所 以7 3,解得4.