2022-2023学年江苏省徐州市高二年级上册学期期末数学试题及答案.pdf

2022-2023学年度第一学期期末抽测高二年级数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .抛物线4），的准线方程是（）A.y=2 B.y=-2 C.y =l D.y =-l【答案】D【解析】【分析】根据抛物线准线方程的概念即可选出选项.【详解】解:由题知无2 =4 ,所以=2，且抛物线开口向上，所以其准线方程为:y =-l.故选:D2 .双曲线九2 -2 1 =1的渐近线方程是（）3Q1A.y =?x B.y=3 x c.y =3 x D.y =-x【答案】B【解析】【分析】由双曲线的标准方程可直接求得双曲线的渐近线的方程.2【详解】在双曲线/-q _ =i中，。=1,b=6,因此，该双曲线的渐近线方程为y =百x.故选：B.【点睛】本题考查利用双曲线的标准方程求渐近线方程，属于基础题.3.在 y 轴上截距为-2,倾斜角为6 0的直线方程为OA.y/3 x-y-2-0C.y/3x-y+2=()【答案】A【解析】【分析】根据斜截式直接整理可得.【详解】因为倾斜角为6 0,所以斜率=B.-伤-2 4=0D.x-/3+2-0由斜截式可得直线方程为：yf x-2,即百光y-2=0.故选：A4.中国古代数学著作 张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里数是前一天的一半，七天一共行走了 70 0 里路，则该马第七天走的里数为()350A.-127【答案】B【解析】70 0B.127140 0127D.280 0127【分析】根据题意可知，每天行走的里程数成等比数列，利用等比数列的前”项和公式即可求得结果.【详解】由题意得，马每天行走的里程数成等比数列，设第天行走的里数为勺，则数列 4 是公比为q=g 的等比数列;由七天一共行走了 70 0 里可得4+/+%=,Ki70 0“4480 0 一一解得。=m,所以%=4|6 4480 0 17(X)_ x_ _2127 64-127即该马第七天走的里数为=.故选：B5.已知函数/(x)=sin 2 x,则l im序可一小()A._ 1 _ 2B.1A xC也2D.G【答案】B【解析】【分析】根据导数的定义以及复合函数的求导法则即可求解.【详解】由导数的定义可知又/(x)=2 c os2x,故嘴=2?；1,故选：B6.已知集合A和B分别是由数列 4 +3 和 3 的 前1 0 0项组成，则AC 8中元素的和为OA.270 B.273 C.363 D.6831【答案】A【解析】【分析】先求出数列 4+3 和 3 的公共项，满足公共项小于等于数列 4+3 的1 0 0项，求出项数,然后再求和.【详解】设数列 4“+3 的第优项与数列 3 的第 页相等，即4?+3 =3 ，所以_(4-1/-3 _ C 型(1)+C：4，T(-1)+C；4-2(一 +C;-4(-1),_|+C；40(-l/-3tn 4 4又因为根,GN*,所以f=2 +l(eN),所以数列 4 +3 与数列 3 的公共项构成的数列为花”.又因为 4 +3 的 第1 0 0项为4 0 3,而3?+i Z,0）的左、右顶点，点P在直线x =。上，直 线 丛 与C的另a-b外 一 个 交 点 为 为 坐 标 原 点，若。尸，8Q,则C的离心率为（）.1 B 1 c e D g32 2 2【答案】C【解析】【分析】由题，设尸（。1）,可得直线雨方程为：y =（x+a）,将其与椭圆方程联立，后利用韦达2a v/定理可表示出Q坐标，后利用O PBQ=0可得答案.【详解】由题，设因4（a,0）,则直线以方程为：-=（X+a.2a 7将其与椭圆方程联立:V=（X +。）bv=,消去y并化简得:（4 2 +r）J +2at2x+err-Aa2b20,由韦达定理有：X xa2（r2-4b2）4b2 +t2.又 与=-a,则XXQa（4/?2-r）4 +t2代入y可得Qa（4/-）4b2+t24th24b2+t27则P Q4fb24b2+t2 4b2+t2,O P=（a,f）.又 O P 上 B Q,uun uuu则 0P B Q =4th2-2ta24 +/=0n f f l li 2 c-a-h-b 1 V2则 e=-=-=?=-a2 a2 2b2 2 2故选：C8 已知a =0.9 9 ln0.9 9,b=l,c=1.0 1 1.0 1 1 nl.0 1,则()A.abc B.c b aC.hca D.ba 0,利用导数可得/(x)在(0,1)上单调递减，从而有/(0.9 9)/(1)=1,即a b；令g(x)=x-x lnx(x 0),利用导数可得g(x)在 工+o。)上单调递减,从而有g(1.0 1)g =1,即c 0,则有f(x)=i一上=二，X X所以当0 x l时，r(x)1时，fx)0 ,/(X)单调递增；所以/(0.9 9)/(1)=1,即有 0.9 9 In 0.9 9 1,故 ab；令g(x)=x-x lnx(x 0),则 g (x)=l-(lnx +l)=-lnx,所以当0元 0,g(x)单调递增；当 1时，g(x)0,g(x)单调递减：所以g(1.0 1)g =1,B P l,0 1-1.0 Unl.0 1 l.故c b,综上所述，则有cb 0,解得 4所以,-i o=1 0-t zz/,l n 4,n G N 所以M 1 0|的前 1 6项和为(1 0-%)+(1 0-%)+(1 0-a,)+(a4-1 0)+(a5-1 0)+(4-1 0)(6+4+2)+(0 +2+4+2 4)=1 2+(+2?二=1 68,故 D 正确,故选：A CD1 1.连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点，拐点在统计学、物理学、经济学等领域都有重要应用.若的 图 象 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线,的 导 函 数/(x)都存在，且/(x)的导函数7 (%)也都存在.若玉。e(a,b)，使得/(X。)=0,且在%的左、右附近,/(X)异号,则称点(毛,/)为曲线 =/(%)的拐点.则以下函数具有唯一拐点的是()A./(x)=(x +l)2 B.f(x)x3+2x2+3xC.f(x)xe D./(x)=l n x+x2+s i n x【答案】BCD【解析】【分析】根据拐点的定义及零点存在定理对选项求二阶导函数，判断其是否有异号零点即可.【详解】关于选项A:x)=(x +l)2,所 以/(x)=2(x+l),(x)=2。(),根据拐点定义可知,y =/(x)没有拐点；关于选项 B：/(x)=f*+2 x2+3 x,所以/(1)=3 X2+4%+3,2即/(%)=6%+4=0,解得彳=-,且XW 卜时,/(x)0,故(一：,/(一。)为 y =/(x)的拐点；关于选项 C:/(x)=x e ,/(x)=(x+l)e”,令 f (x)=(x+2)e*=0,解得 x =2,且x e(y,-2)时,/(%)0,故(-2 J(-2)为y =X)的拐点；关于选项 D:/(x)=l n x+x2+s i n x,/z(x)=+2 x +c o s x,/(%)=-y+2-s i n x,因为/!)=一2 s i n g (),所以骂,使得了(为)=0成立，由 于/(%)在(，+8)是连续不断可导的，所 以/(/)在(0,+e)有异号函数值，故=/(%)存在拐点.故选:BCD2 21 2.在平面直角坐标系x 0 y中，已 知 椭 圆 土+汇=1的左、右焦点分别为耳，居，点A,在椭圆上,4 3且O A J _ O 3,贝U ()A.当P不在x轴上时，后用的周长为6B.使P6玛是直角三角形的点P有4个C.-A B A,c =l,4 3对于A,PF；鸟 的周长为忸制+|。闾+忻 用=2 +2 c =6,故A正确，对于B,当点P在椭圆的上下顶点时，止 匕 时|P制=|P闾=由 周=2,故/月产工=6 0 ,因此当点尸在椭圆上时，N F f K不可能为直角，故当 P6 E为直角三角形时，此时26，耳鸟或P6故满足条件的尸有4个，故B正确，设A 6,y),3(,%),由于。4 O B,则由于。4 O B=+X%=，进而得(又用=(y%丫，即可111 1 1 1 1 1(%)2=9 J 和)1一些),化 简 得;(M+Z。.-意超之片,-I-|-：T-A?OB-+2+2 (2)A：/+3 I-1-x2+32 2 2 23 +上+3 +2 3 +工+3 +2 6 +4 4 =4 4 =小函苧|*+画)(笳焉)，当且仅当，即|Q 4|=|0 B|时取等号，故|A卸347217又A B=xj+必2+x/+乂2=xj+/2 +3%一 工 +3嘉-+6 =7 X22X j2,故当方,2渤 4 松 4，4、一)1 4 4 有 一 个 为0时，|AB|取 最 大 值 为 近，故|AB|i，故C错误,故 选：A B D【点 睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量垂直得坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3.已知直线4 :(?+3)x+5 y=5,：(m +6)x+2 y =8 ,若I J/%,则，的值为.【答 案】-8【解 析】【分 析】根据两直线平行满足的关系即可求解.【详 解】由可得 入/得 加=一8,一8(2 +3)7-5(，”+6)故答案为：-81 4 .已知等差数列 4的 公 差4工()，若4,%，%成等比数列，则幺的值为.d【答 案】【解 析】【分 析】根据等比中项以及等差数列基本量的计算即可化简求解.【详 解】由4，。2 M 6得%之=%4=(4+)2=%(4 +5d)=d =3q,所 以 幺=；,故答案为：31 5.已知函数/(x)=hu o x 1,若恒成立，则 实 数。的 取 值 范 围 为.【答 案】5,+8【解 析】【分 析】x）V 0恒 成 立 即a F 在（0,+8）上恒成立，只需a Nlnx-1即可，构造新函数求导求maxx单调性及最大值即可.【详 解】解:由题知无）。恒成立,印I nx-o v-l 4 0在（0,+8）上恒成立，即。之 色 土 在（0,+8）上恒成立，即a N-,I /max记g（X）=见 上 ，所 以g（x）=上吗二=也X X X当 x 0,e2）时 g（x）0,g（x）单调递增，当x e付+8）时,g x）0,g （x）单调递减，所以 8（力2=8）=2,所以 4Z G 1，+0 0 故答案为：*1 6.已知抛物线E:y 2=4 x的焦点为为后上一点，以线段M尸为直径的圆C与E交于另外一点N,C为圆心，。为坐标原点.当MV O C时，O N的长为，点C到）轴 的 距 离 为.【答 案】.1 .江 叵2【解 析】【分 析】易知焦点厂（1,0）,根 据M,N在抛物线上设出坐标，易知圆心C为M尸的中点即可求出C 七匚，三1，由MN O C利 用 斜 率 相 等 可 得=4,再根据直径所对的圆周角为9 0可得M N工N F,8 2即利用向量数量积为0可 得 为2 y：+1 6 =0,联立及可解得凶2=8+电，根据两点间距离公式可得|QV|=1,点C到y轴的距离为其横坐标的绝对值等于告叵如下图所示:【详解】由题意知M,N在抛物线上，设M 2 人抛物线焦点尸(1,0),圆心C为 的 中 点，所以c2二 匚，二Ay.y,9由 MN/OC 可得 kM N=k ,即 号-=2.2L_22_ 斤+44 4 84 4乂整理可得-=7，即%当=4；y a%y+4又 因 为 为 直 径，且点N在圆C上，所以又因为MN/OC,所以OC_LNE,可得OCFN=0，乂I 3，J 1 4)即 上 山X&T+型1=0,整 理 得%2 y：+i6=0,8 4 2 联立必出=4可得y：16y2-6=0,解得y；=8+46或y：=8 4 6 0 (舍)所 以 五 一 色 一 一所 以4 一 了 一8+4逐一2+逐 因此|ON|=+,%V 2=79-475+4(/5-2)=1;点C到y轴 的 距 离 为C点横坐标的绝对值，即”3 =8 +4，+4=8 8 2故答案为：,1 苴2【点 睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何关系实现从形到数的转化，将直线平行转化成斜率相等，将直径所对的圆周角为直角转化成向量数量积为0,从而得出坐标之间的等量关系在进行计算求解.四、解答题：本题6 小题，共 70分.解答应写出件字说明、证明过程或演算步骤.1 7.在 的=9,S 5=2 0,勺+6=1 3这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差 数 列 4的前项和为5 ,n eN,.(1)求 数 列%的通项公式；(2)设/=-，求 数 列 的前项和Janan+注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.【答 案】(1)an=+1,EN*小T N【解 析】【分 析】(1)根 据 q是等差数列,设出公差为d,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量，写出通项公式；(2)根据(1)中的通项公式，写 出 2的通项，利用裂项相消即可求得前项和Tn.【小 问1详 解】由 于 4等差数列，设 公 差 为d,0g=q +7 d =9S5=5q +10J=2 0=2=1当选时：，解 得 a.a所 以 4的通项公式4,=2+(-l)x l=+l,w N*.%=q +7 d =9%+q)=2 q +9 d =13选 时：，解 得 已a.d=2=1所 以%的通项公式a“=2 +(l)*l=+l,e N*.选时：S5=5q+10 d=20生+佝=2q+9d=134=2，解得L d=1所以 q 的通项公式4=2 +(l)xl=+l,eN”.【小问2详解】由(1)知，%=72+1,Z?GN,1 1 1所以“=-=(,o=T7n+i(+1)(+2)n+1 +2 1 1 _ n2-/1 +2-2(/?+2),18.已知圆 G：x+y+2x 6y+5=0,圆 C?:x+一 10%+5=0.(1)判断C1与C2的位置关系；(2)若过点(3,4)的直线/被G、。2截得的弦长之比为1：2,求直线/的方程.【答案】外 切 x-y +l=O或x+5y-23=0【解析】【分析】(1)计算出|G G|,利用几何法可判断两圆的位置关系；(2)对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，在直线/的斜率不存在时，直线验证即可；在直线/的斜率存在时，设直线/的方程为依-y+4-3%=0,利用勾股定理结合点到直线的距离公式可得出关于攵的方程，解出人的值，即可得出直线/的方程.【小 问1详解】解：圆 匕：(%+1)2+()-3)2=5的圆心为4(1,3),半径为/；=石，圆C2:(x 5+/=20的圆心为C2(5,0),半径为4=2石.因为心。2 1 =J(T-5 p+(3-Op=3石=/+&，所以圆G与圆。2外切.【小问2详解】解：当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=3,直线/与圆G相离，不符合题意;当直线/的斜率存在时，设/的方程为y=%(x-3)+4,即依一y+4-3左=0,|1一4用|2 女+4|则圆心C到直线/的距离为4 =1，圆心G到直线/的距离为&二,，J X+1 ，公+1所以，直线/被圆G截得的弦长为2直线/被圆。2截得的弦长为2,2 0-由题意可得J一 什 的 =即4(1 4 4)2 =(2&+4)2,解得上=1 或&=一(，经检验，左=1或4=；均符合题意.所以直线/的方程为-丁+1=0或x+5y-2 3=0.19.某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化.如图，已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段，的中垂线恰是该抛物线的对称轴，。是的中点.拟在这块地上划出一个等腰梯形A B C D区域种植草坪，其 中 均 在 该 抛 物 线 上.经 测 量，直路AB段长为6 0米，抛物线的顶点尸到直路A B的距离为4 0米.以。为坐标原点，A B所在直线为x轴建立平面直角坐标系x O y.(1)求该段抛物线的方程；(2)当CO长为多少米时，等腰梯形草坪A B C D 面积最大?2【答案】y =x2+4 0,-3 3 04 5(2)2 0米【解析】【分析】（1）卜=依2+，把B（30,0）,P（0,40）两点坐标代入求解即可:c f x,40 x2，由梯形的面积公式，可得梯形A8CD的面积为S=2（x+30）（2 0 x ,0 x 3 0,构造函数/（x）=（x+30）（20 x）,。x 30 ,求导可知当x=10时，该函数/（x）有唯一的极大值点，则改点也是函数的最大值点，即可求解.【小 问1详解】设该抛物线的方程为y=o?+c,由条件知，B（30,0）,P（0,40）,所以c=40”，仆，解得a x 30 +c=40c=402，a=-452故该段抛物线的方程为y=-%2+40,-30%30.45【小问2详解】由（1）可设。乐40一1一），所以梯形ABC。的面积5=1（2x+60）（40-145=2（x+30）（2 0-g 2）0 x 3 0,设/（力=（；1+30）（2（）_ 5/,0 x 3 0,则 r（x）=-，x2-gx+20 =-I _I?!”，令/（x）=0，解得 x=10,当0 x 0J（x）在（0,10）上是增函数；当 10 x 30 时，Z（x）0）处的切线与x轴的交点为（居+1,0）,“e N*,且 =g .（1）求数列 x“的通项公式;（2）设S 为数列 小七 的前项和，求使得S“：成立的正整数的最小值.64【答案】（1）.3（2）8【解析】【分析】（1）根据切线方程的求解得切线方程为y=2怎（x当）+片，y=o得工用=1x（x0）,即可判断为等比数列，进而进行求解，（2）根据错位相减法求解S”，即可根据S“的单调性求解.【小 问1详解】因为 =2,所以y=2x,1、X.1所以曲线C上点（当,券）（工 0）处的切线方程为y=2%（x%）+片.令y=o,得x,用0），即又玉=g,所以 七 是以3为首项，故 七 的通项公式为当【小问2详解】L zn由 知,n-xn=,所以 s“=，+4+.+-,-Sn=-两式相减得，-s =-+4+4+2 n 2 22 23所以 S“=2*因为 元=0，所以S“+1S“，+1 -2 g为公比的等比数列.1-.X2 n一+梦+产1 n 2 2 J n 1 n+2n 2+1-,1 2 向 2 2n+I2 c -7 +2 2 4 7 /2 5 0 _ 8 +2 2 5 1 1 2 5又S，=2-丁=*成立的正整数的最小值为8.6 42 22 1.已知双曲线C:-方=1(4 0油 0)的左、右焦点分别为耳，鸟，且 后 周=4,过G的直线/与C的左支交于A,B两点，当直线/垂直于X轴时，|A 6|=2 e.(1)求C的标准方程；(2)设。为坐标原点，线段A B的中点为E，射线0 E交直线尸一1于点。，点G在射线0 E上，且OGf 2OD-OE,设直线G,gG的斜率分别为匕#2,求尢&的值.2 2【答案】(1)二-匕=12 2(2)1【解析】【分析】(1)根据题意列出关于。功的方程，解出即可得结果；(2)设直线/的方程为了 =阳-2,联立直线与双曲线的方程结合韦达定理求出E点坐标，根据题意得出第，犬,由斜率计算公式即可得结果.【小 问1详解】b2将X =C代入双曲线可得x =幺,aa2+b2=4由条件知2 r解 得 储=2 .二 2 j 2I a2 2所以C的标准方程为2-匕=1.2 2【小问2详解】设直线/的方程为 =加丁-2,联立 2 2 _ _ 2 L =12 2 消去x并整理得，（加2-1）y一4 m），+2 =0,x=m y-2in2-1 0,设 A（x，y）,3（w，y2），则 y+%=rm-ll_ 2m _ 2所以 E=，/=根%2=；m-1 m所以直线o石的方程为y=如，则%=-加,因为|OG=2|8 1|。目，所以=2%=2%=产nT-1 1 一 广91 9 4所 以%=F乂；=；-2-m l-m4m2所以人 内二二/一 /犷=1.%+2%-2%-4 4l-m2【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为（4,y）,（,%）；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于X （或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为玉+、玉2 （或X+%、乂%）的形式；（5）代入韦达定理求解.22.已知函数/（x）=（lnx-izx2-2）x,aeR.（1）当。=0时，求函数/（x）的极小值；（2）若/（X）有两个零点，求”的取值范围.【答案】（1）极小值为Y【解析】【分析】（1）求导，根据导函数的正负即可求解，（2）求导，分类讨论，结合零点存在性定理即可求解.【小 问1详解】当 a =0时,/(x)=(l n x-2)x,/,(x)=l n x-l,令/(x)=0,解得x =e,列表如下：X(0,e)e(e,+o o)/(x)0+“X)极小值所以“X)的极小值为/(e)=-e.【小问2详解】函数/(x)有两个零点即8(%)=或 一 2-2有两个零点.因为 g(x)=-2ax=-L.,X X当a W O时，g(x)0,g(x)在(0,+s)上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意;当a0时，由g(x)=0得x =-=,7 2cl当(之时g(x),g(x)在(吉)上是增函数;当x4=时，g(x)0,g(x)在X,+8上是减函数.7 若。之 击，则g(x)4 gIn I 0,g(l)=-2 0,1 1 5(i i)若a ”1,且g2 e5 y/2a所以g(x)在区间内有一个零点.令(x)=l n%_ x+l,则“(x)=L _ l,当0 v x v 1时，”(x)0,/z(x)在(0,1)上是增函数;当X 1时，(X)0,(X)在(1,+8)上是减函数.所以/?（力/?=0,故I nxd.所以g !=lnL_L_2v_l _ L _ 2 =_3vO,又工,a）a a a a a 72cl所以g（x）在区间（方,）内有一个零点.综上可知：当0。5时，g（x）有两个零点，故。的取值范围为【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；己知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值（极值），解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.