2022-2023学年江苏省南京市高二年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

2022-2023学年江苏省南京市高二上学期期末数学试题一、单选题1.椭圆工+亡=1的短轴的长是（）16 9A.3 B.4 C.6 D.8【答案】C【分析】根据椭圆方程确定其焦点位置，再根据短轴长的定义确定其短轴长.【详解】椭圆+=1的。=4,b=3,且焦点在X轴上，16 9所以椭圆的短轴长为4=6,故选：C.2.过抛物线/=4 x的焦点作直线/交抛物线于4,B 两点,若线段A 8中点的横坐标为3,则恒.等于（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【分析】根据抛物线方程得它的准线为/：x=-l,从而得到线段A 8中点M到准线的距离等于4.过A、B分别作A C、3。与/垂直，垂足分别为C、。，根据梯形中位线定理算出|4C|+IBD|=2|仞V|=8,结合抛物线的定义即可算出A B的长.【详解】解：抛物线方程为 2=4x,.抛物线的焦点为尸（1,。），准线为/:x =-l设线段A 3的中点为M（3,%）,则航到准线的距离为：|M V|=3-（-l）=4,过A、8分别作A C、与/垂直，垂足分别为C、D,根据梯形中位线定理，可得|4C|+|B 0=2|仞V|=8,再由抛物线的定义知：|AF|=|AC|,I8FHBDI,.A8|=|AF|+|BFH AC|+|BD|=8.故选：D.111c c3.已知等比数列 的前项和为S，若7 +丁+7 =2,出=2,则 邑=()A.8 B.7 C.6 D.4【答案】A【分析】结合等比数列性质化简已知条件，由此可求邑.【详解】已知 ,为等比数列，4“3=42，且%=2,1 1 1 4+4 1 工-所以一+=-+=-一 1=乎=2,则 3=8.4 a2 a3 ata3 a-,a2 4故选：A.4.若曲线y=a(x-l)-ln x 在x=2处的切线垂直于直线y=-2 x+2,则 =()A.2 B.1 C.4 D.3【答案】B【分析】求导，利用导函数的几何意义得到切线斜率，根据两直线垂直得到斜率乘积为-1,列出方程，求出的值.【详解】/(x)=J/(2)=-1,由题意得：=解得：“=1故选：B5.我国古代数学著作 张丘建算经记载如下问题：“今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱,次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？”意思是：“某人赠与若干人钱，第一人赠与3 钱，第二人赠与4 钱，第三人赠与5 钱，继续依次递增1钱赠与其他人，若将所赠钱数加起来再平均分配，则每人得100钱，问一共赠钱给多少人？”在上述问题中,获得赠与的人数为()A.191 B.193 C.195 D.197【答案】C【分析】利用等差数列前”项和公式求解.【详解】设有人，第人赠与钱数为凡,仅“是等差数列，4=3,公差d=i,则5,=3 +皿 二 =1 0 0，”=1 9 5,2故选：C.【答案】A【分析】令 g(x)=/s i n x+J,易知g(x)是奇函数，则 x)的 图 象 关 于 点 对 称，排除部分选项，然后再利用特殊值法确定.【详解】因为g(-x)=x 2 s i n(-x)+j =-(x 2 s i n x+g)=g(x),所以g(x)是奇函数，所以“x)=g(x)-5 的图象关于点(0,一 5 对称，排除B、C两个选项,又/(万)=0,当x e(0,;r)时，x2s i n x 0,X 71所以/(x)0,排除D.故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了理解辨析，转化求解问题的能力，属于中档题.7 .若 双 曲 线 -=1（。0 乃0）的一条渐近线被圆0+3）2 +丁=4 所截得的弦长为2,过右焦点且a b垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,8两 点.设 A,B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8,则双曲线的方程为（）【答案】C【分析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为云-欧=0,根据被圆。+3 尸+丁=4 所截得的弦长为2,利用弦长公式求得d b的关系，再根据A,8到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8,由右焦点到渐近线的距离为A,8到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线求解.【详解】不妨设双曲线5-，=1（。0 8 0）的一条渐近线方程为法-=0,、一1 3b 3b圆（x+3）2 +V=4的圆心到渐近线的距离为d=下+1=y因为被圆*+3）2 +/=4所截得的弦长为2,所以（，J+1 =4,即 3/=。2,即 2 =/右焦点到渐近线的距离=7 =b,因为A,B到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8,且右焦点到渐近线的距离为A,2到双曲线的同一条渐近线的距离的中位线，所以b =4,则/=3 2,所以双曲线的方程为片-亡=1,3 2 1 6故选：C8 .己知&=2 如，b =L2 4 i,c =2.r 2,则a，b,c 的大小关系为（）A.b c a B.b a c C.abc D.a c b【答案】B【分析】由于=2.1 2=4.4 1 如，进而结合幕函数y=在（0,+e）上单调递减比较大小即可.【详解】解：C=2.1 F 2=（2.1）1 ，=4.4 1 如，因为幕函数丫 =皿 在（0,转）上单调递减，1.2 2.1 2.产 4.4 1 如，即匕a c.故选：B二、多选题9.设函数丫=力在?上可导，其导函数为y=/(x),且函数y=(l-x)/(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A.函数y=/(x)在(Y O,-2)上递减，在(2,+8)上递减B.函数y=/(x)在(,-2)上递增，在(2,y)上递增C.函数y=X)有极大值”2)和极小值/(-2)D.函数y=/(x)有极大值/(-2)和极小值/(2)【答案】B D【分析】结合函数图象，对x 分区间讨论/(X)与0 大小关系，从而推导出f(x)在区间上的单调性即可；【详解】解：由图可知：当x0,l-x0 n/(x)0,故/(x)在(-8,-2)上单调递增；当一2 a1 时 y0 n r(x)0,故/(X)在(-2,1)上单调递减；当 1 X 0,l-xv 0=r(x)2 时 0,l-x/(x)0,故/*)在(2,+8)上单调递增；故 函 数 在 x=-2 时取得极大值，在x=2 时取得极小值，即函数y=/(x)有极大值-2)和极小值 2)；故选：B D.1 0.等差数列%中，前”项和为S“，S1 2S)4,则下列命题中真命题的是()A.公差d 0B.九 S2C.小 是各项中最大的项D.力 是 S”中最大的值【答案】A B D【分析】由 几 几 得：1 30,1 4 0,进而结合等差数列的性质逐个判断即可【详解】因岳2 5 1 4,所以4 3 0，卬 4 0，所以公差”0 成立，所以A正确，因为公差”0,所以等差数列/为递减数列，所以各项中4是最大的项，C错误，因为 S I 5 -S I 2 =1 5 +”1 4 +”1 3 =3。4 0 ,所以 S 5 S,.f a,.,s ，故1a 0，又等差数列 a,为递减数列，且,0，卬 0，所以=1 3,即 以 是 中最大的值,D 正确.故选：A B D.11.下列命题中是真命题有()A.若/(%)=0,则一是函数 x)的极值点B.函数y =x)的切线与函数可以有两个公共点C.函数y =/(x)在x =l 处的切线方程为2x-y =o,则当0时，./二/(1 +-)=12 A rD.若函数y =x)的导数r(x)x+l 的解集是(y,l)【答案】B D【分析】利用极值点的定义，举例判断A；举例判断B；利用导数的极限定义判断C;构造函数，利用单调性解不等式.【详解】A：例如/(x)=V在x =0 处导数/(。)=0,但当x 0 时,函数“X)也单调递增，故0 不是函数/(x)的极值点，故 A选项错误；B：例如x)=s i n x,x e 0,3句，在点()的切线y =1与 x)有两个交点，故正确；C：根据导数的定义可知Ax 7 0,尸(1)=/+例二/=2,即-0,/二/1少)=_ l,v 7 Ztv 2 Ax故错误；D：令g(x)=/(x)-x-l,则有g，(x)=,/(x)-l 0的解集是（e,l）,故x）x+l的解集是（7,1）,正确：故选：BD.2 21 2.已知%是公比为q的等比数列，且q=l,曲线C“：三+工=1,e N*.（）an 4+1A.若4。且4#1,则C“是椭圆B.若存在w N 使得C.表示离心率为3的椭圆，则4C.若存在GN*,使得C,表示渐近线方程为x2y=0的双曲线，则4=-:D.若4=一2,或表示双曲线C,的实轴长，则4+d+%=6138【答案】ACD【分析】由等比数列的定义判断项的正负，并结合椭圆、双曲线的方程及其几何性质，逐项判定,即可求解.【详解】因为g。且4,所 以 为 0,且%,尸 为，所以C“表示椭圆，所以A正确.当C.表示椭圆时，显然4 0且q w l,若4 1,贝1 4=；,解得4=;,令若0 q l,则0=归 十誓=历，令g=；，解得4=5，所以故B错误.若C“表示双曲线.显然4 0,故双曲线C.的一条渐近线方程为），=，父=日 孙令 日=；,解得4=-；，所以C正确.若q=-2,当 为偶数时，“0,双曲线C”的焦点在 轴上，则4=2向;；当为奇数时，0,a+l/+-+7 )+2(7 +7 +i)=4(+-2+2y/1 _6。=4x-2+2xlx210=3x2,-6 =6138,所以 D 正确.1-2【点睛】方法点睛：解决本题的关键有两个：（1）能根据公比q的取值情况判断。向，的正负；（2）能根据椭圆、双曲线的方程和几何性质建立。，用，,的数量关系.三、填空题13.写出一个满足以下三个条件的椭圆的方程：.中心为坐标原点；焦点在坐标轴上;离 心 率 为【答案】+(=1(答案不唯一)【分析】根据题干要求得到椭圆方程，要满足82=沥2,答案不唯一【详解】只要椭圆方程形如二+上=1(相 0)或 +三=1(?0)即可.9m 8/n 9 m 8 7故 答 案 为:卷+.”(答案不唯一)14 .现有一根长为81米的圆柱形铁棒，第 1天截取铁棒长度的g,从第2 天开始每天截取前一天剩下长度的;，则第5天截取的长度是 米.【答案】y【分析】设第 天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为%,由等比数列计算为，进而可求解出答【详解】设第天截取铁棒的长度与原铁棒长度的比值为劣，由题意，数列 4 是首项为:，公比为目的等比数列，J 。/、4 ,则%故第5 天截取的长度是竽x8 1 若 米.故答案为：1 5 .已知函数/(x)=+柩+(。-6)/在(；,+co)上是增函数，则实数。的取值范围是.【答案】e-2 9+8)【分析】由题意得到r(x)=x+1 +a-e.0(x3 恒成立，利用分离参数法和基本不等式即可求出。的取值范围.【详解】解：=心+(a-e)x在(g,+8)上是增函数，fXx)=x+a-e.0(x ),x 2.一。+6,（X +）m i n，X由基本不等式得：X+-.2（当且仅当x=,，即x=l时取“=”），X Xe（X +）m i n =2，X一 +g,2 ,角 军 得a.e-2 ,故答案为：丘-2,+孙1 6.如图，抛物线此 丁=4元的焦点为尸，点时 与尸关于坐标原点。对称，过产的直线与抛物线交于A8两点，使得A3_ L 8M ,又A点在x轴上的投影为C,则+AC-BF-BC=【答案】4【分析】由题意结合抛物线的性质和点的坐标分别求得|A F|-|5 F|的 值 和 的 值 即 可 确 定gq-忸尸卜忸q的值.【详解】设Aa，x）,B（孙 力），对于一般的抛物线方程丁=2 p x和过焦点的直线方程X=如+勺联立直线方程与抛物线方程有：y2-2 pm y-p2=0,则x%=-p2,林=再 手=。，2 2 4据此可得本题中与=1，又得8在以何尸为直径的圆上，得 1-X 2?=必2 =4*2 ,又|4/|一|8 尸|=1 +X -(1 +%,)=%1-=2-=4 ,则%=:=有+2,从而可得：A（石8 脂 一 2,一 2,6一 2 卜由1-=4%,可得：x2=/5 2 （负值舍去），+2,2 1 6+2 卜注意到C（石+2,0）,据此可得：,。2 _ 网=4（6+2 卜卜2+4（6-2）=0,则 照 _|明=0,故|+M q-忸尸卜忸C|=4【点睛】本题主要考查抛物线的性质，抛物线定义的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.四、解答题1 7.在等差数列数,中,已知=1 2,阳=3 6.（I）求数列%的通项公式4;（2）若,求数列也,的前“项和S”.4在2=-，=（-1）、,=2%吗这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求+i解.【答案】（1）a=2 n,n&N*.（2）答案见解析.【分析】（1）设等差数列%的公差为d,然后根据条件建立方程组求解即可；（2）若选条件，用裂项相消法求解，若选条件，用分组求和法求解，若选条件，用错位相减法求解.【详解】（1）由题意，设等差数列,J 的公差为d,则4+5 d =1 2q+皿=3 6 解得4=2d=2:.an=2+(n-l)x 2 =2/i,ZIGN*.(2)方案一：选条件L4 4 1由(1)知不 二;=菰 诉=而 石 s“=4+&+di i 1=-1-F H-1x2 2x3 (+l)1 1 1 1 1=1-1-F.H-2 2 3 n n+1=1n+1n-n+T-方案二：选条件由(1)知，2=(-1).4=(-1).2,Sn=b、+b,+.+bn=2+4 6+8 .+(1)*2/2,当为偶数时，5.=仄+瓦+b”=-2+4-6+8-+(-1)2，=(-2+4)+(-6+8)+.+-25 1)+2川=2+2+.+2=4 22=，当为奇数时，n-l为偶数，s”=4+4+=2+4 6+81)9=(-2+4)+(-6+8)+.+2(-2)+25 1)一2=2+2+.+2 27 2 _ 1 _ _=-x 2 2n2=n 1 ,=,为偶数，为奇数方案三：选条件由(1)知,6=2”=22”2”=2M,=4+4 +6“=2x4+4x4+6x4,+2 x4”,4S=2x42+4x4,+.+2(n-l)x4+2nx4tl,两式相减，可得-3 S=2 x4 +2 x42+2 x43+.+2 x4n-2/?x4n+,=8 x(l+4 +4?+4 7)-2 x4 il-4,r=8X=-2X4”M1-4=2(1 3).什 83 3,.0 0 寸，若/*)的最小值为0,证明：H+卑 l n(+l)5w M).1n【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)先求函数的导数，然后结合定义域分类讨论；M _1_ 1(2)由得 a=l,从而 f 一 xNlnx,令元=-N ,有n竽 l n 卓)=l n(+l)-I n”，由不等式的可加性可获得证明.【详解】(1)由题意函数 x)的定义域为(0,+8),f x）=2 x-a1+a2/一依/（2%+）（冗 一 ）x当 4 0 时，X G（O,）,/，（X）o,所以/(X)在(0M)上单调递减，在(凡收)上单调递增;当V。时，a,4-0 02)，尸(力 0,所以f(x)在I。,-1)上单调递减上单调递增.（2）由（1）知=.f（a）=-a2 1 n a=0,所以/（力=/一 x-l n x 2 0,即V-x N l n x,对于任意x 0 恒成立，当且仅当x =l 时，等号成立,令x =生吐 1,”e N*,则整理得 l nI n（7 7 +1）-I n n ,所以+*H-h-(l n 2-l n l)+(l n 3-l n 2)+?-+l n(/2+l)-l n J =l n(/i +l).【点睛】关键点睛：含有参数的单调性讨论，一般要注意定义和找准临介值，证明和数列有关的不等式，一是要注意结合单调性和最值找到恰当的不等式，二是不等式可加性或可乘性的运用.