2021年北京市西城区高考数学一模试卷.pdf

2021年北京市西城区高考数学一模试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共4 0分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.（4 分）（20 21 西城区一模）已知集合4=*|1）,=-1 ,0,1,2,则 A 0B=（）A.2 B.1 ,2）C.0,1,2 D.x|x.-l2.（4 分）（20 21 西城区一模）己知复数z 满足彳-z=2 i,则 z 的虚部是（）A.-1 B.1 C.-I D./3.（4 分）（20 21 西城区一模）在（x-）6的展开式中，常数项为（）x-A.1 5 B.-1 5 C.30 D.-304.（4 分）（20 21 西城区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）正（主）视图（左）视图俯视图A.1 2 B.8+夜 C.1 6 D.8+4 05.(4 分)(20 21 西城区一 模)已知函数f(x)=-log,x,则不等式f(x)0 的解集是(X)A.(0,1)B.(-oo,2)C.(2,4oo)D.(0,2)6.(4 分)(20 21 西城区一模)在 AAB C 中，C =90。，A C =4,3 C =3,点 P 是 4?的中点，则尸=（）9 9A.-B.4 C.-D.64 27.（4 分）（20 21 西城区一模）在 A A B C 中，C =60,a +2/?=8,s i n A=6s i n 3,则 c =()A.735B.5C.6D.58.（4 分）（20 21 西城区一模）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图，从抛物线y2=4x的焦点厂发出的两条光线a,b 分别经抛物线上的A,8 两点反射，已知两条入射光线与x 轴所成锐角均为60。，则两条反射光线d 和之间的距离为（）A 2百 R 8 4百 口 8百A -D.-lx -U -3 3 3 39.（4分）（20 21 西 城 区 一 模）在 无 穷 等 差 数 列 ,中，记Tn=at-a2+（-a4+a5-.+（-l）n+1an（n =l,2,.）则“存在，“e N*,使得 7m工 什？”是“他”为递增数列”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件1 0.（4 分）（20 21 西城区一模）若非空实数集X中存在最大元素M 和最小元素小，则记（X）=M-m.下列命题中正确的是（）A.已知 x=-i,1 ,y=0,b,且（x）=z（y）,则。=2B.已知 X=a,a+2,Y y yx2,x e X,则存在实数 a,使得 ）l,则的最大值为一.1 4.（5 分）（2 0 2 1 西 城 区 一 模）已 知 函 数/（x）=s i n x ,若 对 任 意 xeR都有./（X）+f（x +加）=c（c为常数），则 常 数 机 的 一 个 取 值 为.1 5.（5分）（2 0 2 1 西城区一模）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用 蓄 满 指 数（蓄满指数=空警空犁x 1 0 0）来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下：水库总蓄水量（i ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间 0,1 0 0 ;（i i）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（i i i）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.记 x 为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：1_ x _ y=-x2+6 x;y =10&：y =1 0 5。；y=l O O s i n-x.2 0 2 0 0则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是.三、解答题共6 小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。1 6.（1 3 分）（2 0 2 1 西城区一模）如图，在正方体A B C Z J-A g G 中，E为 OR的中点.（I ）求证：8R平面A C E；（I I）求 直 线 与 平 面 A C E 所成角的正弦值.A _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ D1 7.(1 3 分)(2 0 2 1 西城区一模)已知函数/(x)=A s i n G y x +e X A A O,t y A O J e K ),K/(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为工，再从条件、条件、条件中选择两个作为一2组己知条件.(I )确定/(%)的解析式：(I I)若“X)图象的对称轴只有一条落在区间 0,上，求。的取值范围.条件：f(x)的最小值为-2；条件：f(x)图象的一个对称中心为(葛，0)；条件：f(x)的图象经过点(生，-1).61 8.(1 4分)(2 0 2 1 西城区一模)天文学上用星等表示星体亮度，星等的数值越小、星体越亮.视星等是指观测者用肉眼所看到的星体亮度；绝对星等是假定把恒星成放在距地球3 2.6光年的地方测得的恒星的亮度，反映恒星的真实发光本领.如表列出了(除太阳外)视星等数值最小的1 0颗最充恒星的相关数据，其中a e 0,1.3 .星名天狼星 老人星 南门二 大角星 织女一 五车二 参宿七 南河三 水委一 参宿四*视星等-1.4 7-0.7 2-0.2 7-0.0 40.0 30.0 80.1 20.3 80.4 6a绝对星等1.4 2-5.5 34.4-0.3 80.60.1-6.982.6 7-2.7 8-5.8 5赤纬-1 6.7 -5 2.7 -6 0.8 1 9.2 3 8.8 4 6-8.2 5.2-5 7.2 7.4(I)从表中随机选择一颗恒星，求它的绝对星等的数值小于视星等的数值的概率；(I I)已知北京的纬度是北纬4 0。，当且仅当一颗恒星的“赤纬”数值大于-5 0。时，能在北京的夜空中看到它，现从这1 0颗恒星中随机选择4颗，记其中能在北京的夜空中看到的数量为X颗，求X的分布列和数学期望；(III)记“=0时1 0颗恒星的视星等的方差为s；,记“=1.3时1 0颗恒星的视星等的方差为s；,判断s；与s；之间的大小关系.(结论不需要证明)1 9.(1 5 分)(2 0 2 1西城区一模)已知函数/(x)=e*(/”x-a).(I)若a =l,求曲线y =/(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(H)若求证：函数f(x)存在极小值；(Ill)若对任意的实数X W 口，+),f(x)-1 恒成立，求实数4的取值范围.2 22 0.(1 5 分)(2 0 2 1 西城区一模)已知椭圆C:=+匕=l(a 0)的焦点在x 轴上，且经过点a 3(1,-),左顶点为。，右焦点为尸.2(I )求椭圆C的离心率和A D F 的面积；(II)已知直线 =后+1 与椭圆C交于A,8两点.过点8作直线y =w/)的垂线，垂足为G.判断是否存在常数f,使得直线4G经过y 轴上的定点？若存在，求f的值；若不存在，请说明理由.2 1.(1 5 分)(2 0 2 1 西城区一模)已知数列A q,a2.即(N.3)的各项均为正整数，设集合T =x|x =啜N ,记T的元素个数为尸(T).(I )若数列A:l,2,4,3,求集合T,并写出P(T)的值；(I I)若 A是递增数列，求证：“P(T)=N-的充要条件是“A为等差数列”；(I I I)若 N=2 +l,数列A由 1.,2,3,，2 这+1 个数组成，且这 +1 个数在数列A中每个至少出现一次，求 P(T)的取值个数.2021年北京市西城区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.（4 分）（2 02 1 西城区一模）已知集合 A =x|x.l ,3 =-1,0,1,2 ,则 B=（）A.2 B.1 ,2 C.0,1,2 D.x|x.-l【解答】解：根据题意，集合A =x|x.l ,B =1,0,1,2 ,则 A f ,2 ,故选：B.2.（4分）（2 02 1 西城区一模）己知复数z 满足彳z =2 i,则 z 的虚部是（）A.-1 B.1 C.-i D.i【解答】解：设 2 =4 +次，因为三一z =2 i,则有a-bi （a+bi）=2 i,即-2 W =2 i,所以6 =-1,故复数z 的虚部为-1.故选：A.3.（4分）（2 02 1 西城区一模）在（-二）6 的展开式中，常数项为（）XA.1 5 B.-1 5 C.3 0 D.-3 0【解答】解：展开式的通项公式为加=2尸（_与）=禺（_1 尸,，X令 6 3 r =0,解得/=2,所 以 展 开 式 的 常 数 项 为=1 5 ,故选：A .4.（4分）（2 02 1 西城区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）正(主)视 图ffi (左)视图A.12 B.8+72 C.16D.8+4夜【解答】解：由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面,画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的表面积为:S -S正方形Age。+SPAB+SAPAO+SPBC+APCD=22+-X2X2+-X2X2+-X2 X2+-X2/2X2=8+4/2.2 2 2 2故选：D.5.(4 分)(2021西城区一模)已知函数/Xx)=士-l o g,x,则不等式f(x)0 的解集是(x)A.(0,1)B.(一 ,2)C.(2,+)D.(0,2)【解答】解：根据题意，函数f(x)=2-l o g,x,其定义域为(0,R),X又由y=-和函数y=-log,%都是区间(0,内)上的减函数，则/(%)=-log,x 在(0,物)上也XX是减函数，又由/(2)=1-1=0,则不等式/(x)0 的解集是(0,2),故选：D.6.（4 分）（2021西城区一模）在 AA5C中，C=90。，AC=4,BC=3,点P 是他的中点，贝 l|C8=（）9 9A.-B.4 C.-D.64 2【解答】解：在 AABC中，C=90。，则 CB.CA=0,因为点P 是 AB的中点，所以CP=g（CB+G4）,c r iu1 1 2 1 1 2 1 ,9所以 C8.CP=C8-_（CB+C4）=_CB+-C B CA=-C B =-C B=.2 2 2 2故选：c.7.（4 分）（2021 西城区一模）在 AABC 中，C=60。，a+2h=S,sinA=6 s in 8,则c=（）A.735 B.百 C.6 D.5【解答】解：在 AABC中，sinA=6sin8,利用正弦定理得：a=6b,b,、J a +26=8,z a=6所以 八 ，解 得，a=6b/?=1利用余弦定理，=6Z24-Z?2-2 COSC=364-1-2X1X6X-1=31,2故 c=.故选：B.8.（4 分）（2021西城区一模）抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴.该性质在实际生产中应用非常广泛.如图，从抛物线y?=4x的焦点厂发出的两条光线。，人分别经抛物线上的A,5 两点反射，已知两条入射光线与x 轴所成锐角均为60。，则两条反射光线a 和之间的距离为（）A273 R 8 4 g3 3 3【解答】解：由V=4 x,得 F（1,O）,又 NO网=60。，所以直线4=的方程为y-0 =-G（x-l）,即y=-G x+G ,联立卜：-&+凡得（力）2=旦y2=4x V3 3所以y=羊 或 必=一 2石（舍去），n即n力=亍，同理直线B F的方程为y-0 =/3（x-l）,即 y=，。苧联 立 卜=岛-8,得（与2=3，y2=4x V3 3所以为 =2 G 或%=-臂 （舍去），即%=2/5,所以I”一为=2 1 3-=,即两条反射光线的距离为速，3故选：C.9.（4分）（2021 西 城 区 一 模）在 无 穷 等 差 数 列a中，记Tn=at-a2+03-a4+a5-.+(-)n+an(n=l,2,.),则“存在m w N*,使得，,+2是“4 为递增数列”的()A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解答】解：若a,为递增数列,又Tm+2=Tm+(-1)F +(-1严&4，当，为奇数时，Tm+2=Tm-am+l+alll+2,/递增数列，-7；*2北，即 报 w N+,使 若 报 e A T,使%7；“，由/2 =图+(T 严%+(-1产 4+2，即(T 产+(-1 严 3aM 0,当为 m 奇数时，-a,+1+am+2 0,a0,+24+i，；-q 递增数列，当为偶数时，4的一4.+2 0,册，.4递减数列，综上所述，3 m e N*,使图+27；是 4 为递增数列必要不充分条件，故选：B.10.(4 分)(2021西城区一 模)若非空实数集X 中存在最大元素用和最小元素机，则记(X)=M-m.下列命题中正确的是()A.已知 x =-i,1,y=0,b,且(x)=z(y),贝心=2B.已知 X=a,a+2,Y =yly=x2,x e X ,则存在实数 a,使得(Y)1C.已知 X=x(x).g(x),x e-l,1 ,若(X)=2,则对任意1,都有f(x).g(x)D.已知X=a,a+2,Y =b ,h+3,则对任意的实数。，总存在实数6,使得(x jy),3【解答】解：对于A,因为(X)=2,A(X)=A(y),所以(丫)=2,于是。=2 或 2,未必。=2,所以A 错；对于8,假设存在实数a,使若 a.0,(X)=(a+2)2-a2=4(a+1).4,矛盾,若 a+2,0，(丫)=。2(。+2)2=-4(a+1).4,矛盾，若一la 1,矛盾,右 2 a 1,矛盾，若 a=T,(卜)=1-0=1,矛盾，所以8 错；对于C,取/(x)=|x|,g(x)=l,则(X)=2,但对任意1,/(x).g(x)不成立,所以C 错；对于。，对任意的实数”，只须6 满足a,a+2 u 6,人+3,就有X|jy =y，从而(x j y)=A(D =3 3,所以。对.故选：D.二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25分。11.(5 分)(2021 西城区一模)函数/(x)=/x+J 匚耳的定义域是 _|0,1 x.0解得0 X,l;函数/(x)的定义域为x0 x,1.故答案为：x|0X,1.2 212.(5 分)(2021西 城 区 一 模)已 知 双 曲 线 C:三-二=1,则。的渐近线方程是8 4y=x；过 C 的左焦点且与x 轴垂直的直线交其渐近线于M,N两点,O 为坐标原2-点，则AO/WN的 面 积 是.【解答】解：双曲线C：-$=1,可得a=2应，b =2,则 C 的渐近线方程双曲线的左8 4焦点坐标(-2石，0),过 C 的左焦点且与x 轴垂直的直线交其渐近线于M,N 两点，则 M(-2 g,76),N J2&,-扃,所以OMN 的面积：-x2x/3x276=672.2故答案为：y=x;6啦.1 3.(5 分)(2 0 2 1 西城区一模)在等比数列 ,中，4+%=10，生+%=-5,则公比 l,则”的 最 大 值 为.【解答】解：根据题意，等比数列 ,中，q+%=10,生+4=-5,若 6+%=1 0,即4+：4=10,解可得4 =8,则 an=a q T =8 X (J )=(-1 严 x 24-，若%1 ,即(-1 严 x 2 1,必有 =1 或 3,即的最大值为3,故答案为：-，3.21 4.(5分)(2 0 2 1 西 城 区 一 模)已 知 函 数/(x)=s in x ,若 对 任 意 xeA 都有/(x)+/(x +/%)=c(。为常数)，则常数团的一个取值为冗(答案不唯一，只要是(2 2 +1 R即 可).【解 答】解：f(x)+f(x+m)=s in A;+s in(x +in)=2 s in(x +)c o s()=2 s in(x +)c o s(y)=c(c 为常数)，所以c o s(勺=0,于是=2+4？，加=(2 4+1)万，2 2 2所以常数，的一个取值为万(答案不唯一，只要是(2&+1)万即可).故答案为：7T(答案不唯一，只要是(2 Z +1 次即可).1 5.(5 分)(2 0 2 1 西城区一模)长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数(蓄满指数=在赞续隼x 1 0 0)来衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下：水库总蓄水重(i )调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间0,1 0 0;(i i )调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；(i i i)调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x 的函数解析式：11 4 y =-x2+6 x;y =1 0 j x；y =l(T；y=l O O s i n-x.2 0 2 0 0则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 .【解答】解：由联合调度要求可知，y的定义域为 0，1 0 0 ，值域为 0,1 0 0 ,y.x对任意的x e 0,1 0 0 恒成立且在 0,1 0 0 上单调递增.,=-*+6*=-,。-6 0)2 +1 8 在 0,1 0 0 上不是单调函数 故选项错误；了二厢 在 0,1 0 0 J 上单调递增，值域为 0,1 0 0 J,又因为10-工=(1 0-五).0 对任意的工 0 ,1 0 0 恒成立，所以y.x对任意的X O,1 0 0 恒成立，故选项正确；x50 =1 0 牝/对 任意的x e 0,1 0 0 不恒成立，比如1 0 布=1 0 则当xe(0,x0)时，f M 0,则 f(x)单调递增，当 xe(x0,1 0 0)时，f (x)/平面ACE.(5分)(H)解：不妨设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系A-*.则 4(0,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),E(0,2,1),所以 A0=(0,2,0),AC=(2,2,0),AE=(0,2,l).(8 分)设平面ACE的法向量为=(x,y,z),所以卜“c=，所 以 产+2尸0,即.a。分)n-AE=0,2y+z=0,z=-2y,令 y=-l,贝Ux=l,z=2,于是=(1,-1,2).(11 分)设直线A D与平面ACE所成角为0,则 sin。=|cosAZj,|=,.(13 分)|AD|-|n|2V6 6所以直线4)与平面ACE所成角的正弦值为 酉.17.（13 分）（2 0 2 1西城区一模）已知函数/。）=4$皿（5 +0）缶0,0 0,|以9,且 f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为工，再从条件、条件、条件中选择两个作为一2组已知条件.（I ）确定了（x）的解析式：（II）若“X）图象的对称轴只有一条落在区间 0,a 上，求。的取值范围.条件：f（x的最小值为-2 ；条件：/（x）图象的一个对称中心为（葛，0）；条件：/（x）的图象经过点（巨，-1）.6【解答】解：（I ）由于函数/（X）图象上两相邻对称轴之间的距离为5，所以/（X）的最小正周期T =2 x =；r,0 =2.此时/（x）=As i n（2 x+e）.选条件：因为/（x）的最小值为-A,所以A =2.因为/（x）图象的一个对称中心为（著,0）,sn所以2 乂 f+9 =攵 4（2 Z）,所以9 =攵 万一葛（A w Z）,因为19 k 所以9 =看，此时左=1,r r所以/（x）=2 s i n（2 x +）.6选条件：因为/（幻的最小值为 A,所以A =2.因为函数“X）的图象过点（二，-1）,6贝 lj y（-）=-1,即 2 s i n（+（p）=-，s i n（+）=-.6 3 3 2因为1例 工，所以上工，2 6 3 6所以0+2=匕 夕=工，3 6 60 r W/（x）=2 s i n（2 x +）.6选条件：因为函数/*）的一个对称中心为（!|,0）,s 乃所以2 x 五+9 =攵乃（攵EZ）,所以夕=攵万一葛（攵 w Z）.因为|0|工，所以9 =工，此时攵=1.2 6J T所以/（x）=As i n（2 x 4）.6因为函数/（X）的图象过点（笆，-1）,6所以/（苗）=一1，B P As i n（+-）=-1,As i n=-1,所以A =2，所以 f（x）=2 s i n（2 x +-）.6（H）因为x w O,a ,所以2 x +e 工，2 a +巳,6 6 6因为/（x）图象的对称轴只有一条落在区间 0,0上，匚 u I、I 7C -7T 3 兀所以一,2 t z +,2 6 2z g TC 2 7 r得一 a Cvi4o 2乙P(X=4)=C .C 1，3 6所以随机变量X的分布列为:X1234所以X的数学期望为E(X)=l x +2xa +3 x+4 x 4=6；3 0 1 0 2 6 5P13 03T o26(I I I)结论：s；s j.1 9.(1 5 分)(2 0 2 1 西城区一模)已知函数f(x)=e*(阮V-4).(1)若。=1,求曲线y =/(x)在点(1,/(1)处的切线方程；(I I)若a l,求证：函数f(x)存在极小值；(H I)若 对 任 意 的 实 数,-K o),f(x)-1 恒成立，求实数的取值范围.【解答】解：(I )当。=1 时，f(x)=e(lnx-),所以 f x)=e(lnx-1)+e =e(lnx+-1)x x所以/(1)-e,f(1)0 1曲线y =/(x)在点(1 ,.f (1)处的切线方程为丁=e.(I I )由/(x)=e*(/x-a),得 f(x)=e*Q nx+L _&),x令 h(x)=I nx+-a,则 h(x)=v =土，x x x x当 0 x 1 时，(x)1 时,h(x)0，所以(x)在区间(0,1)上是减函数，在区间(1,+o o)上是增函数.所以(x)的最小值为6 (1)=l-a,当。1 时，h(1)=1 a 0,又(x)在(1,+0 0)单调递增，故存在 x。e (1,ea),使得 h(x0)=0,所以在区间(1,巾)上/i(x)0,所以在区间(l,x 0)上尸(x)0,所以在区间(1,%)上 f(x)单调递减，在区间(玉,+8)上/(X)单调递增，故函数/(X)存在极小值.(n i)对任意的实数xwu,+o o),f(x)一 恒成立等价于fx的最小值大于或等于-1 .当4,1时,h(1)=l-a.O,由(I I)得以劝.0,所以尸(幻.0.所以/(X)在 1,+8)上单调递增，所以/(九)的最小值为/(1)=-ae,由 ae.1,得“，工，满足题意，e当a l时，由(I I)知，/(幻在(l,x 0)上单调递减，所以在(1,与)上(1)=-ae 0)的焦点在x轴上，且经过点a 3E(l,|),左顶点为。，右焦点为F.(I )求椭圆C的离心率和A D砂 的 面 积；(I I)已知直线y =履+1与椭圆C交于A ,B两点.过点5作直线y =f(r /5)的垂线，垂足为G.判断是否存在常数f,使得直线AG经过y轴上的定点？若存在，求f的值；若不存在，请说明理由.【解答】解：(I )依题意，4 +-=1-解得a =2.a2 4因为/=/-/=4-3=1,即 c =l,所以。(一2,0),尸(1,0),所以离心率e=，a 2所以ADE F的面积5=X3X3 =2.2 2 4(I I)由已知，直线DE的方程为y=g x +l,当 A(-2,0),G(1 J)时，直线AG的方程为y=g(x +2),交y轴于点(0,全)，当 A(l g,8(-2,0),G(-2,t)时，I-3-直线AG的方程为y-=-2-U-1),交y轴于点(0,出)，2 3 3若直线AG经过y 轴上定点，则g r =*,即f =3,直线AG交 y 轴于点(0,2).下面证明存在实数f =3,使得直线AG经过y 轴上定点(0,2),y=kx+,联 立(炉 y2 消 y 整理，得(4公+3)*+8 h-8 =0,-F =11 4 3设 A(x，yj,B(X2,y2),贝lj玉+七=8k4k?+3 )也 一 4 7+3 设点G(x 2,3),所以直线AG的方程：y-3 =(x-x,),再一 W令x =0,得)，=一 期 X+3%+3 =3/-X=3%一(+1)=3 r 一 工 2 一质声2%一/X 一 天玉一七因为kxR=玉+W，所以 =3 再一一(3+)=2 为-2 =2 ,X y-X2 X X2所以直线AG过定点(0,2),综上，存在实数/=3,使得直线AG经过)，轴上定点(0,2).2 1.(1 5分)(2 02 1 西城区一模)己知数列A:q,a2,q M.3)的各项均为正整数,设集合T =x|x =%-q,啜N,记T的元素个数为P(T).(I)若数列A:l,2,4,3,求集合T,并写出P(T)的值；(I I )若 A是递增数列，求证：“P(T)=N-的充要条件是“A为等差数列”；(I I I)若 N =2 +l,数列A由 1.,2,3,n,2 这”+1 个数组成，且这 +1 个数在数列A中每个至少出现一次，求尸(T)的取值个数.【解答】(I)解：因为 4=1,a2 2,%=4，a4=3 ,所以T =1,2,3,-1 ,P(T)=4；(I I)证明：充分性：若 A是等差数列，设公差为d.因为数列A是递增数列，所以d 0.则当/i 时，-a；=(j -i)d.所以T =d,2d,(N-l)d,P(T)=N-1,必要性：若 P(T)=N-1.因为A是递增数列，所以电一4 4 一 4 v VN，所以。2-4，生一 生，aN-aA&T,且互不相等.所以丁=伍2-4，%-a1,aN-1 .又 -%.即 一 1 a2 ciN-a2 1,此时T =0,1,2,3,2n-,-1,-2,，-n,l-2n,P(T)=3n；再把一个2移为2的后一项：得到数列A?：1，2,3,3,4,4,.n,n,I n 2,1,此时T =0,1,2,3,2 一1,-1 ,-2,，1-/2,1-2/7,2-2 ,P(T)=3 +1；依此类推最后把一个移为2的后一项：得到数列4：1,2,3,4,”，2，n,n-1,.2,1,此时T =0,1,2,3,，2 n-l .-1,-2,-n,-2n,2-2n.-n,P(T)=4-1.综上所述，P(T)可以取到从2到4-1的所有2个整数值，所以尸(T)的取值个数为2 .