2022-2023学年北京市密云区高一上学期（12月）数学期末试题（解析版）.pdf

2022-2023学 年 北 京 市 密 云 区 高 一 上 学 期（12月）数 学 期 末 试 题 一、单 选 题 1.已 知 集 合 4=目-1。42,3=-1,0,1,2,则 A C|8=（）A.-1,0,1,2 B.0,1 C.0,1,2 D.-1,0,1）【答 案】C【分 析】由 交 集 的 定 义 求 解 即 可【详 解】因 为 A=x|-1,0,1,2,所 以 4 0 3=0,1,2,故 选：C2.设 命 题 P：3neN,n22n+5,则 P 的 否 定 为（）A.Vn e N,n2 2/7+5 B.Vn e N,n2 2n+5C.3zi e N,n2 2n+5,所 以 夕 的 否 定 f：V/2G/V,n2 0,sin9 0,则 角 0是（）A.第 一 象 限 角 B.第 二 象 限 角 C.第 三 象 限 角 D.第 四 象 限 角【答 案】D【分 析】利 用 三 角 函 数 的 定 义，可 确 定 y。，进 而 可 知 e 在 第 四 象 限.【详 解】根 据 三 角 函 数 的 定 义 有 sin，=2,cos0=2（r0）,所 以 x0,y0,r r所 以 e 在 第 四 象 限，故 选 D.【点 睛】当 夕 的 终 边 在 不 同 象 限 的 时 候，其 三 个 三 角 函 数 值 的 符 号 也 发 生 变 化，记 忆 的 口 诀 是“全 正 切 余 即：第 一 象 限 全 为 正，第 二 象 限 正 弦 正，第 三 象 限 切 为 正，第 四 象 限 余 弦 正.4.下 列 函 数 中，既 是 奇 函 数，又 在（o,y）上 单 调 递 减 的 是（）A.y=-B.y=sinx C.y=x 2 D.y=ex+e-xx【答 案】A【分 析 1 根 据 奇 偶 性 定 义、事 函 数、正 弦 函 数 单 调 性 依 次 判 断 各 个 选 项 即 可.【详 解】对 于 A,令 X)=L 则 其 定 义 域 为 x|x x o,又.-=，为 奇 函 数；X X X由 基 函 数 性 质 知：y=g=/在(0,+8)上 单 调 递 减，A 正 确；对 于 B,当 时，y=s in x为 增 函 数，B 错 误；对 于 C,令 g(x)=x-2=5，则 其 定 义 域 为 x|x*o,又 g(-x)=g(x),，y=x-2为 偶 函 数，C错 误；对 于 D,令(x)=e*+eT,则 其 定 义 域 为 R,又(-x)=e-“+e*=/i(x),y=e*+0 为 偶 函 数，D错 误.故 选：A.5.下 列 不 等 式 成 立 的 是()A.若 a 6 0,贝 Ia。?be?B.若 a b,则(？v/C.若 人 0,则(?b，则【答 案】B【分 析】通 过 反 例 可 知 A D错 误；利 用 作 差 法 可 知 C 错 误；根 据 幕 函 数 单 调 性 可 知 B 正 确.【详 解】对 于 A,若 c=0,则 农 2=a 2,A 错 误；对 于 B,.y=x 在 R上 单 调 递 增，当 时，a3 B 正 确；对 于 C,-.-ab-a2=a(b-a)0,h2-a b=h(h-a)0,b2 a h a2,C 错 误；对 于 D,当 a=l,8=一 2 时，a2 D 错 误.故 选：B.6.在 平 面 直 角 坐 标 系 xO v中，角 a 以 射 线 3 为 始 边，终 边 与 单 位 圆 的 交 点 位 于 第 四 象 限，且 横 坐 标 为，贝 ijsin(7 t+a)的 值 为()A.-B.-C.-D.-5 5 5 5【答 案】A【分 析】根 据 三 角 函 数 定 义 和 同 角 三 角 函 数 关 系 可 得 s i n a,利 用 诱 导 公 式 可 求 得 结 果.【详 解】由 题 意 知：cosa=-,又 a 为 第 四 象 限 角，.sina=J l c o s 2 a=g,/.sin(TT+a)=-sin a=.故 选：A.47.已 知 函 数=%+-(x2),则 此 函 数 的 最 小 值 等 于()%2【答 案】D【分 析】将 函 数 配 凑 为 y=x-2+4+2,利 用 基 本 不 等 式 可 求 得 结 果.x-2【详 解】：x 2,.,.x-20,y=x+=x-2+22.（x-2）+2=6（当 且 仅 当 x-2=,即 x=4B|取 等 一 号），x-2 x-2 V x-2 x-24:.y=x+（x2）的 最 小 值 为 6.故 选：D.8.“x 是 第 一 象 限 角”是“y=8 s x 是 单 调 减 函 数”的（）A.充 分 不 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】D【分 析】通 过 反 例 可 说 明 充 分 性 不 成 立；由 余 弦 函 数 的 单 调 递 减 区 间 可 知 必 要 性 不 成 立，由 此 可 得 结 论.【详 解】若 X2=y,此 时 且 芭,电 均 为 第 一 象 限 角，此 时 COS%=COS X?,不 满 足 单 调 减 函 数 定 义，充 分 性 不 成 立；若=8$X 为 单 调 减 函 数，则 2E4xM7t+2E（Z e Z）,此 时 x 未 必 为 第 一 象 限 角，必 要 性 不 成 立；综 上 所 述：“x 是 第 一 象 限 角”是“y=cosx是 单 调 减 函 数，的 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件.故 选：D.9.香 农 定 理 是 通 信 制 式 的 基 本 原 理.定 理 用 公 式 表 达 为：C=81og2（l+?），其 中 C 为 信 道 容 量（单 位:bps）,B 为 信 道 带 宽（单 位：H z）,三 为 信 噪 比.通 常 音 频 电 话 连 接 支 持 的 信 道 带 宽 3=3000,N信 噪 比 三=1000.在 下 面 四 个 选 项 给 出 的 数 值 中，与 音 频 电 话 连 接 支 持 的 信 道 容 量。最 接 近 的 值 是 N（）A.3(XXX)B.22000 C.20000 D.18000【答 案】A【分 析】将 民 q代 入 公 式 中，根 据 对 数 运 算 法 则 和 近 似 值 可 求 得 结 果.N【详 解】由 题 意 知：C=3000 x log,(1+1000)=3000X log,1001 3000 xlog21024=3000 x log,210=30000.故 选：A.1 0.定 义 在 R上 的 奇 函 数/(x),满 足/(l)=0且 对 任 意 的 正 数 4。(4 工)，有“A，0,则 a-h不 等 式 的 解 集 是()X-1A.(2,0)o(l,-Ko)B.(2)J(2,+8)C.(f o,0)U(2,+)D.(-oo,0)o(l,+oo)【答 案】C【分 析】根 据 函 数 单 调 性 定 义 可 知/(x)在(0,+8)上 单 调 递 减，结 合 奇 偶 性 可 知/(X)在(-8,0)上 单 调 递 减 且/(-1)=0；分 别 在 X-1 0的 情 况 下，利 用 单 调 性 解 不 等 式 即 可.【详 解】对 任 意 的 正 数 有?/叽 0,/(x)在(0,+8)上 单 调 递 减；“X)为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，/(x)在(-取 0)上 单 调 递 减 且 0)=0；.4 1)=0,4 1)=0；当 x 1 0时，以 1)0=/(T),解 得：x 0 时，1)0可 化 为/(l)2；x-综 上 所 述：不 等 式 小 二。0 的 解 集 为(,0)U(2,4w).x-1故 选：C.【点 睛】方 法 点 睛：本 题 考 查 利 用 函 数 单 调 性 和 奇 偶 性 求 解 函 数 不 等 式 的 问 题，解 决 此 类 问 题 中，奇 偶 性 和 单 调 性 的 作 用 如 下：(1)奇 偶 性：统 一 不 等 式 两 侧 符 号，同 时 根 据 奇 偶 函 数 的 对 称 性 确 定 对 称 区 间 的 单 调 性；(2)单 调 性：将 函 数 值 的 大 小 关 系 转 化 为 自 变 量 之 间 的 大 小 关 系.二、填 空 题11.函 数 y=Jx-1+二 的 定 义 域 为 _.x-2【答 案】1，2)D(2,Y)【解 析】根 据 解 析 式 列 出 不 等 式，求 出 使 解 析 式 有 意 义 的 自 变 量 的 范 围，即 可 得 出 结 果.x-0【详 解】由)八 解 得 且 xw2,工 一 2.0即 函 数 y=/7TT+”的 定 义 域 为 1,2)5 2,位).故 答 案 为：1,2)=(2,4W).12.计 算：Ig2+lg5-log24-倍=.(用 数 字 作 答)7【答 案】4【分 析】根 据 对 数 运 算 和 指 数 运 算 法 则 直 接 计 算 即 可.1 详 解 Ig2+lg5-log24-2=l g l 0-2-=l-2-|=-.7故 答 案 为：13.混 沌 理 论 在 生 物 学、经 济 学 和 社 会 学 领 域 都 有 重 要 作 用.在 混 沌 理 论 中，函 数 的 周 期 点 是 一 个 关 键 概 念，定 义 如 下：设/(X)是 定 义 在 R 上 的 函 数，对 于/e R,令 x,=x,i)(=l,2,3)，若 及 e N/N 2)使 得=且 当 j e N 时，马 力%,则 称%是 x)的 一 个 周 期 为 k 的 周 期 点.给 出 下 列 四 个 结 论:)若 x)=2(l-x),则 彳 是 周 期 为 2 的 周 期 点;若/（）=2x,x 2,则|是/(X)周 期 为 2 的 周 期 点;2(1),哩 若 x）=2x,x-若/(x)=x(l-x),贝 I JX/M N*,3 都 不 是/(x)的 周 期 为 的 周 期 点 其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是【答 案】7【分 析】当=2时，由%=/(x _J可 知/=不=，不 符 合 定 义，知 错 误；假 设!是“X)周 期 2 4为 2 的 周 期 点，验 证 可 知 工 2=0=1，芯 工 题 成 乂，知 正 确；令 玉)=5，可 得 刍 二%，工 产 与，工 工 0，知 正 确；由 二 次 函 数 值 域 知 恒 成 立，从 而 得 到 正 确.【详 解】对 于，当=2时，x2=xQf.=/(为)=/(%)=/(2-2与)=2-2(2-2%)=4%-2=%,解 得：x0=|,4 2又 再=/(%)=2-2/=2-大=1,玉=,不 满 足 当。/&,1 N 时，Xj x0,.不 是/(力 周 期 为 2 的 周 期 点；2 2对 于，假 设 二 是/(%)周 期 为 2 的 周 期 点，则 需 W=%=M，x产 与；,王=/(%)=/(|)=片/，&=/(xJ=/()=|=Xo，.假 设 成 立，正 确；对 于,当 天=时，%=/(%)=/(、)=畀%,*2=/(0)=噌)=|x%，匕=当)=/(|)=/，.是/(X)周 期 为 3的 周 期 点，正 确；对 于，./(x)=x(l-x)=-x2+x=-(x-g)+；,恒 成 立，.不 存 在 X“=/(；)=：的 情 况，即 V eN.，3 都 不 是“X)的 周 期 为 的 周 期 点，正 确.故 答 案 为：.【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 考 查 函 数 中 的 新 定 义 问 题，解 题 关 键 是 明 确 是/(x)的 一 个 周 期 为 女 的 周 期 点 的 定 义，即 需 同 时 满 足 x*=%和 与 X%的 条 件，根 据 递 推 关 系 式 验 证 是 否 满 足 定 义 即 可 得 到 结 论.三、双 空 题 14.已 知 扇 形 的 圆 心 角 是 2弧 度，半 径 为 1,则 扇 形 的 弧 长 为,面 积 为【答 案】2 1【分 析】根 据 扇 形 弧 长 和 面 积 公 式 直 接 求 解 即 可.【详 解】扇 形 弧 长 f；扇 形 面 积 S=故 答 案 为：2；1.15.函 数 y=2tan（x-1）的 定 义 域 是，最 小 正 周 期 是.【答 案】卜|尤.即+也 卜 人 2）n【分 析】由 伏 Z）可 解 得 函 数 的 定 义 域；由 正 切 型 函 数 最 小 正 周 期 求 法 可 求 得 结 果.【详 解】由 x-1 K 5+而 小 Z）得：x-+kjtk e Z）,丫=212111一 方）的 定 义 域 为 卜 付 力 朗+也（壮 2）；y=2tan（x-）的 最 小 正 周 期 T=7t.故 答 案 为：与+（A e Z）；71.四、解 答 题 16.已 知 集 合 M=呜 N=x|-lx4.当 a=l时，求 M c N,M D N；当 a=0时，求 M C(CRN)；(3)当 N=M 时，求。的 取 值 范 围.【答 案】(l)A/nN=x24x4,M U N=X|X N-1 例 n(CRN)=x|x【分 析】（1）化 简 集 合 M,即 可 得 到 M c N,M u N（2）化 简 集 合 M,求 出 CRN,即 可 得 到 M C（C”）（3）化 简 集 合/，根 据 N=即 可 求 出。的 取 值 范 围【详 解】（1）由 题 意 在 加=卜 弓 2“和 N=x|-14x4中，2MCN=x|24xv4,UN=x|xZ-l(2)由 题 意 及(1)得 在 M=卜 弓 2“和 N=x|-14x 0 CRN=X|X 4(3)由 题 意 及(1)(2)得 在 加=卜 弓 2 4和=幻 lVx2a:N q M：.2a-解 得：aa 的 取 值 范 围 为 1-8,-；17.已 知 函 数/(x)=-V+4,g(x)=|/(x)|.(2)写 出 函 数 g(x)的 单 调 增 区 间 和 值 域；(3)若 方 程 g(x)-。=0有 四 个 不 相 等 的 实 数 根，写 出 实 数。的 取 值 范 围.【答 案】(l)g(3)=5,g(；)=；图 象 见 解 析(2)单 调 增 区 间 为 2,0,2,物)；值 域 为 0,+8)(3)(0,4)【分 析】(1)根 据 解 析 式 可 直 接 求 得 函 数 值；将/(X)在 X 轴 下 方 的 图 象 翻 折 到 X轴 上 方 即 可 得 到 g(x)的 图 象；(2)根 据 图 象 可 直 接 得 到 单 调 增 区 间 和 值 域；(3)将 问 题 转 化 为 g(x)图 象 与 y 有 四 个 不 同 的 交 点，结 合 图 象 可 得 结 果.【详 解】(1)-/(3)=-9+4=-5,/)=一：+4=?,.g(3)=if(3)i=5,g(x)图 象 如 下 图 所 示，(2)由 图 象 可 知：g(x)的 单 调 增 区 间 为-2,0,2,E)；8(力 的 值 域 为 0,+8).(3)若 g(x)-。=0 有 四 个 不 相 等 的 实 数 根，则 g(x)图 象 与 有 四 个 不 同 的 交 点,结 合 g(x)图 象 可 知：0 4,即 实 数。的 取 值 范 围 为(0,4).18.设 函 数/(x)=o?_2x-l,关 于 x 的 不 等 式 以 2_2x-140的 解 集 为 S.当 a=3时，求 函 数 y=/(x)的 零 点;(2)当 a=8时，求 解 集 S；(3)是 否 存 在 实 数“，使 得 S=(-8,-2U-|，+8)?若 存 在，求 出。的 值；若 不 存 在，说 明 理 由.【答 案】(l)x=-g 和 x=l 卜 1泊 3 存 在 实 数。=-:4【分 析】(1)令/(x)=0,解 方 程 即 可 求 得 零 点；(2)解 一 元 二 次 不 等 式 即 可 求 得 解 集 S；(3)根 据 一 元 二 次 不 等 式 的 解 集 与 一 元 二 次 方 程 根 的 关 系，结 合 韦 达 定 理 可 构 造 方 程 组 求 得。的 值.【详 解】(1)当=3时，/(X)=3X2-2X-1；令/(司=3/-2x-l=0,解 得：x=或 x=l,/(X)的 零 点 为 x=-和 x=l.(2)当 a=8时，tir2-2x-l=8x2-2x-l=(4x+l)(2x-l)0,解 得：即(3)假 设 存 在 实 数。，使 得 S=(f,-2U1|,+8),a02 2 2则 a0,00,09兀)在 一 个 周 期 内 的 图 象 如 图 所 示.求 函 数/（X）的 解 析 式 和 最 小 正 周 期；27r 求 函 数/（X）在 区 间 0,y 上 的 最 值 及 对 应 的 X 的 取 值;当 XW 0,1 时，写 出 函 数/（X）的 单 调 区 间.【答 案】x）=2sin（2x+，兀（2）答 案 见 解 析（3）减 区 间 0,.；增 区 间 游【分 析】（1）由 函 数 的 图 象 的 最 值 点 坐 标 求 出 A,由 周 期 求 出。，由 五 点 法 作 图 求 出 3 的 值，可 得 函 数 的 解 析 式.2元 2兀 2九 2冗（2）0,y=2x+yS可,2兀，根 据 正 弦 函 数 性 质 求 得 函 数/（X）在 区 间 0,y 上 的 最 值 及 对 应 的 X 的 取 值；j r（3）当 xe 0,-时，分 两 种 情 况 讨 论，可 写 出 函 数/（X）的 单 调 区 间.【详 解】（1）由 函 数/（力=4 向（5+0 缶 0,。0,。兀）在 一 个 周 期 内 的 图 象 可 得：再 根 据 五 点 法 作 图 可 得(n 7 1 2 兀 2兀 兀 2V 12 J+=2,/,=T,A=2 s i nl2 x+T jT=T=7t,(2)a/二 2/0 兀=sin(2x+/)-1,-=/(X)E-2,百,27rx=0时，函 数 f(x)在 区 间 0,上 的 最 大 值 为 gx=时，函 数 f(x)在 区 间 0,上 的 最 小 值 为-2(3)x e 0,=2x+e,故 函 数/(x)的 单 调 减 区 间 是 0,x e+e,故 函 数/(x)的 单 调 增 区 间 是；JL/4 J J 乙 乙 20.已 知 函 数 f(x)=log3(9-x2).求 函 数/(x)的 定 义 域；(2)判 断 函 数/(x)的 奇 偶 性，并 证 明 你 的 结 论；(3)若/(x)4k)g3(，nr+10)对 于 xe(O,2)恒 成 立，求 实 数 机 的 最 小 值.【答 案】(D(3,3)(2)偶 函 数，证 明 见 解 析 一 2【分 析】(1)根 据 对 数 真 数 大 于 零 可 直 接 解 不 等 式 求 得 定 义 域；(2)根 据 奇 偶 性 的 定 义 直 接 判 断 即 可 得 到 结 论；(3)由 对 数 真 数 大 于 零 首 先 确 定，nx+100恒 成 立 时 用 的 范 围；由 对 数 不 等 式 可 得 9-丁 4 如+10,采 用 分 离 变 量 法，结 合 对 勾 函 数 性 质 可 求 得 机 的 范 围；综 合 即 可 得 到 加 的 最 小 值.【详 解】(1)由 9一、2()得：f9,._3X 0恒 成 立，则 当 相 之 0时，AHT+10 100,满 足 题 意；当 相 0,解 得：5v/nv0；由/(x)Wlog3(m+10)得：9-x2 2L J max综 上 所 述：实 数 团 的 最 小 值 为-2.21.已 知 集 合 A N*,规 定:集 合 A 中 元 素 的 个 数 为，且 2 2.若 B=z|z=x+y,xeA,yeAx*y,则 称 集 合 B 是 集 合 A 的 衍 生 和 集.当 A=123,4,&=1,2,4,7时，分 别 写 出 集 合 3,4 的 衍 生 和 集；(2)当=6 时，求 集 合 A 的 衍 生 和 集 B的 元 素 个 数 的 最 大 值 和 最 小 值.【答 案】4 的 衍 生 和 集 4=3,4,5,6,7；4 的 衍 生 和 集 为=3,5,6,8,9,11 最 大 值 为 1 5,最 小 值 为 9【分 析】(1)由 衍 生 和 集 定 义 可 直 接 写 出 结 果；(2)设 人 二 也,%。“%，%，/4%/，列 举 得 到 所 有 必 然 不 相 等 的 两 个 元 素 之 和 的 情 况，由 此 得 到 最 小 值；假 设 任 意 两 个 元 素 之 和 都 不 相 等，可 确 定 最 大 值.【详 解】(1)由 衍 生 和 集 的 定 义 知：集 合 A 的 衍 生 和 集 耳=3,4,5,6,7；集 合&的 衍 生 和 集 为=3,5,6,8,9,11.(2)当=6 时，设 集 合 人 二 储,%,%,/，%，at,a2,a3,a4,a5,a6 e N*且 1 4 q 生%/%4;al+a2al+a3ai+a4al+asal+a6a2+aba3+af ia4+a(ia5+a6,，集 合 A 的 衍 生 和 集 B的 元 素 个 数 的 最 小 值 为 9;若 集 合 A 中 任 意 两 个 元 素 的 和 不 相 等，则 衍 生 和 集 B 的 元 素 个 数 取 得 最 大 值，最 大 值 为 15；二 最 大 值 为 1 5,最 小 值 为 9.【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 考 查 集 合 中 的 新 定 义 问 题，解 题 关 键 是 明 确 衍 生 和 集 的 本 质 是 集 合 中 两 个 元 素 之 和，根 据 集 合 中 元 素 的 互 异 性 可 确 定 衍 生 和 集 中 元 素 个 数 最 小 和 最 大 的 情 况.