2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期数学期末试题（解析版）.pdf

2022-2023学年北京市朝阳区高二上学期数学期末试题一、单选题I.已知%为等差数列，4=4，则%+%=()A.4 B.6 C.8 D.10【答案】C【分析】由等差数列性质，。4+4 =2%，求出式子的值.【详解】因为 ,是等差数列，所 以%+4 =2%=2x4=8.故选：C.2.已知点3 2)(a 0)到直线/:x-y+3 =O的距离为1,则。等 于()A.夜 B.2-V 2 C.a-1 D.互+1【答案】C【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案.【详解】解：由 题 意 得 与 苧=1.解得a=-1 +或a=-1-.,.a0,a=+/2 故选：C.3.设函数/(x)=x+ln x,则曲线)，=/(幻 在点(1J(1)处的切线方程为()A.x-y-l=0 B.2 x-y-l=0 C.x-y-2 =O D.2 x-y-2 =0【答案】B【分析】利用导数的几何意义求在x=l处切线的斜率，进而即可得切线方程.【详解】因为/(x)=x+ln x,所以r*)=l+L所以，=2,X即y=f(x)在x=1处切线方程的斜率为2,又因为/=1,所以切线方程为y-l=2(x-l),整理得2 x-y-l=0,故选：B4.已知产是抛物线C:y?=4 x的焦点，点尸(3,%)在抛物线。上，则|户用=()A.2月 B.2百+1 C.3 D.4【答案】D【分析】根据抛物线的定义可得：P F=X p+,代入数据即可求解.【详解】因为抛物线方程为C：V=4x,所以5=1,又因为点P（3,%）在抛物线C上，由抛物线的定义可得:P F=xp+-=3+1 =4,故选：D.5.已知直线4：x+ay+l =0,直线，2：(a+2)x+3 y l=0,则“a=l”是的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据直线的平行的判定即可求解.【详解】/等 价 于 力 士 占解得“2+2 4-3 =0,所以(+3)伍-1)=0,解得。=-3 或a当 a=3 时，/1:X 3 y+1 =0 ,/,:x+3 y 1 =0 ,此时4 4重合,故“a=1 ”是F 4”的充分必要条件.故选：C.6.如图，在四面体O 4 B C 中，G是 3c的中点,设 O A =a，O B b O C =c,则 A G =()A.a-b-c2 2B.-a+-b+-c2 2C.-a+b+c21 一 一 一D.-a-h-c2【答案】B【分析】根据三角形法则先求得向量而、AC,进而求得而.【详解】解：A C =O C-O A =c-aAB=O B O A=b a，一1A G =-2+石+c)=-a一 +1 b1 +1 c一.2 2故选：B.7 .已知函数/*）=*3+公2+1（即有两个极值点大,工2（不），则（）A.a 百 B.X 1 是/（x）的极小值点 C.%,+X2=1 D.x（x2=-1【答案】A【分析】根据函数/（x）=xi+ax2+x+l（a e R）有两个极值点,则导数为。有两个根，由单调性及根与系数的关系等逐个判断即可.【详解】因为函数/。）=/+6 2 +x+i（e R）有 两 个 极 值 点（占 x2）,所以/。）=3*2+2%+1=0 有两个根西,（4 电），所 以 玉=去演 =g，故C D选项错误；因为f（x）=3x2+2ax+1=0 有两个根石,天（与 0,即得合-3 0,解得a 6,故 A选项正确；因为/（*）=3 x2+2 ar+l=0 有两个根西,（与 “用,则 周 一|“闻=%=2，4 6=2。=2，/+/=2 6,因为砺说=0,所以行，由勾股定理得|岫（+MF2f=忻用=2，联立可得四用=君+1,MF2 =45-i,所以S的涧周=2,故选：B9.如图，平面a,平面4，。口 =/,A,B 是直线/上的两点，C,。是平面夕内的两点，且 D4，/,C BLI,04=4,AB =6,C B=8,若平面a 内的动点满足NAP=N8PC,则四棱锥P ABCD【答案】C【分析】根据已知可得5仞8=3 6,则当四棱锥的高最大，即AW的高PE最大即可.根据面面垂直的性质得出线线垂直关系结合NA/r=/B P C,可得BP=2AP设 NAP8=6,A P =m,在4P8根据余弦定理结合面积公式得出/?=#-20丫+2 5 6 由三边关系得到2 m 6,即可得到h 中，tan/A 户。=6.在RtAaBC中，tan ZBPC=.又 Z A P D =A B PC,所 以4笔0=卷nr，所 以A P若 A=n器 A.或I，即3P=2如设 NAP8=6,A P =m,在A V B 中，由余弦定理可得cos。=叱+叱 一 二 5”二362 A P B P 4m2因为sin。0,所以sinO=J l-c o s*=6=J (苏-2 0)+256,则 SVPAB=P A P B sin 6=#(-2 0)2+256,又 SypAB=AB-h=3h,所以，=20)2+256.根据三角形三边关系可得P A+P B A B 6P A-P B AB6叱(3m6 6所以2 机 6,4 /7?2 2时，工=E i+K.若耳。0=+?+.+，则，=（）F,”A.98 B.99 C.100 D.101【答案】B【分析】根据题意推出（工,+E,i）=向-”工1,再利用累加法化简即可求出?的值.【详解】由题意得，尸=死 耳，因为所以6 2=6(居-耳)=巴鸟一鸟耳，F/=F3(F4-F2)=F3F4-F3F2,L,F：=E“(E,+i-E”-i)=F，Fm+-E”E,i，累加得U +8 +因为玲 =外+收+斤+唐区，所以,“=600当 2 2,e N*,工=*+P-2&,但 是递增数列.所以加+1=1 0 0,所以，=99.故选：B.二、填空题11.函数/(x)=xe*的导函数/。)=.【答案】(x+V)-ex【分析】利用乘积导数运算法则，即可得到结果.【详解】：fx)=xex,f(x)=ex+xex=(x+l)e.故答案为：(x+l),e.12.己知平面a的法向量为7=(1,2,-2),直线/的方向向量为7=(-2,肛4),且/_ L a,则实数m =.【答案】-4【分析】根据直线与平面垂直可得直线/的方向向量与平面a的法向量平行，利用两向量平行的充要条件即可求解.【详解】因为平面a的法向量为5=(1,2,-2),直线/的方向向量为)=(-2,肛4),且/_ L a,所以浦/,则存在实数力使得5=2,也即（2,加,4）=（几,2彳,-22）,解得：A=2,m =4,故答案为：-4.13.过圆C:（x+y2=l 的圆心且与直线x-y =O平行的直线的方程是【答案】x-y+l=O【分析】设出与直线x-y =o平行的直线，将圆心代入即可.【详解】由C:（x+l）2+y 2=l的圆心为（一 l,0）,设与直线x-y =o 平行的直线为：x-y+a=O,因为x-y +a=O过圆心（-1,0）,所以 1 O+a=O=a=l,故所求直线为：x-y+l =O,故答案为：x-y +l=O.14.已知%是首项为负数，公比为q 的等比数列，若对任意的正整数，2%恒成立,则q的值可以是.（只需写出一个）【答案】-3（答案不唯一，g 0 恒成立，进而得到4+2 0,q 0可得，2atq2-2+“整启=a-2（+2）0 恒成立，因 为 0,显然有力-2=（尸）20,又q 0,所以q+2 0,q=0.当”=1时，给出下列四个结论：曲线。不经过第三象限；曲线。关于直线丁 =光轴对称；对任意Z e R,曲线。与直线=-工+女一定有公共点；对任意k e R,曲线。与直线=左一定有公共点.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答案】【分析】当x,y3 _ 3 孙=0当x,y 0 时，V+y3 _ 3 .一 3 =，可得*3 +左3 _ 3 政=0 有解，y=k设X”3+左 3 3 M,r （x）=3d-3 左=,当火 0 时，/（X）在（7,-）,（我,一）单调递增，卜单调递减,值域为R所以（）=0 成立，当A =0 时r（0）=0 成立.当人0,f（x）单调递增，（一%）=&3+氏 3 +3%2 0/（左）=/+&3 _ 3/0,所 以*（%,-%）,毛）=0 成立，所以曲线。与直线y=Z 一定有公共点故选项正确.故答案为：.三、双空题1 6.设点,玲分别为椭圆C：+y2=l的左、右焦点，则椭圆C的离心率为；经过原点且斜率不为。的直线/与椭圆C交于P,Q两点，当四边形P K。鸟的面积最大时，底 PE,=.【答案】；0.2【分析】根据已知求出。也C的值，即可得到离心率；根据对称性可得，SPFIQF2=2SFIF 2=2yn,所以P,。为短轴顶点.写出P，耳，心的坐标，即可得到结果.【详解】由已知可得，a=应,b=,所以c=l,则离心率e=变.a 2根据椭圆的对称性可得，P,Q点关于原点对称，设尸(匹,人)，2(-x0,-y0).旦=25皿与=2 x|闾 闾=2闾，当|%|最大时，面积最大，则此时尸，。为短轴顶点.不妨设P(O,1).(-1,O),巴(1,0),所 以 所=(T,T),P =(l,-1),所 以 西 西=-1x1+(l)x(-l)=0.故答案为：；0.2四、解答题1 7.设函数./()=；1-%：!-3+1.求/(x)的单调区间；(2)当xe0,4时，求/(x)的最大值与最小值.【答案】(1)单调递增区间是(,-1,3,E),单调递减区间是(-1,3)最大值0)=1,最小值 3)=-8【分析】(I)利用导数和函数单调性的关系，求函数的单调区间；(2)利用函数的单调性，列表求函数的最值.【详解】(1)/，()=-2-3=(+1)(-3)-当，。)之0,解得：x 2 3或X 4-1,所以函数的单调递增区间是(9,-1,3,+8),当/(x)8 C,N A B C =5 ,所以O E _L他，由（1）可知：P O J：平面4 8 C Q,而 A 8,O E u平面4?C）,所以 P O _L O E,尸O _L A B,因此建立如图所示的空间直角坐标系，P(0,0,2&),。(0,0,0),4(-1,0,0),0(-1,3,0),C(l,1,0),8(1,0,0),因为平面P 4 3J _平面A B C。，平面PAB c平面A 3 C O=A 3,O E V A B,所以O E _L平面P A O,因此平面A PO的法向量为OE=(0,1,0),设平面 D P O 的法向量为力=(x,y,z),O P =(0,0,2V 2),0 5=(-1,3,0),2A/2Z=0 -c 1 c、=n=(3,1,0),-x+3y +z=0O E n 1 V 5二面角A-PO-D的余弦值为：时|=2向,+1 后品。尸=0_,=b 0）的长轴长为4,且 点 不 同 在椭圆C 上.求椭圆C 的方程；过点M（4,0）的直线/椭圆C 交于人（不）,8 仇,必）两点，且 X V 2 Ho.问：x 轴上是否存在点N使得直线N4,直线N 5与 y 轴围成的三角形始终是底边在y 轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由.【答案】二+2=14 存在，N（l,0）【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解；（2）转化为浮人+心8=0 后，根据直线与椭圆联立即可求解.【详解】（1）因为 P Fi+P F2 =2a=4,解得a =2.在 椭 圆C上.b=l.从 而a2=4.2C:+/=1.4 （2）显 然 直 线I的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y =4）.设 4（3,山）,5（天,为）.假设存在点N(/,0),因 为 直 线 N A N B 与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形,&N K +“N B =0,即&WI +KMB,V,f%=/-4)+无(-4)=k 2中2(7 +4)(历+)+8/=0Xft X|t X2-t(X-。(-f)即 2%|(r+4)(%|+x,)+8r =0.y =A(x-4),由“+y-=14 -消去 丫 并整理，得(1 +4二)/一3 2公x+64/-4=0.由 A =(32k2)2-4(1 +4 A r2)(6 4 A:2-4)0,求 得0炉 上,X +x23 2公 64k2-44记书所 以2 x64k2-41 +4 32k21 +4?则+8z =0,解 得 t=.于 是 在X轴上存在定点N(1,O),使得直线N A,N B 与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形.21.在无穷数列 4“中，q=&,%=l,a“+2=|%+4 j，eN.求，与S的值；证明：数列 ,中有无穷多项不为0；(3)证明：数列%中的所有项都不为0.【答案】%=0-1,生=a-1(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】(1)利用递推公式求处,%的值即可;（2）假设数列 q中有限个项不为0,然后推出与题意矛盾即可求证；（3）由（2）可得在无穷处能找到一个可H0,利用递推公式可得数列 “呈周期变化,an+34+69 an+9，。/1+1 2，。+3&工 0伏e N）令“-3%=1,2,3即可证明.【详解】由4 =&,%=1 4+2 =|a“+i-a.|,w e N*可得,%=|%-a j =0-1,%=|4一 七|=2-亚，火=卜4-蜀=3-2 0,4 =|6 _%卜 拒 _1,%=|必一。5|=3亚-4,所 以 幺=立 出=&一1,生=述 亍 =后-1.（2）假设数列 4中有限个项不为0,则会存在一个数团，当今Nm时,“=0,则勺=。向=，由4+i =k“一 4“T I 可得=：由 a,“=|“_|一。吁2 1可得a,n-2 =,由4=1%-力 可 得4=0,与题意矛盾，故假设不成立，所以数列 4中有无穷多项不为0（3）由（2）可得在无穷处能找到一个4,4 0,因为 为=|%T-。”一2 1，所以 I 二 4,-2，所以由%=an_2-a,可得4,-3丰。，同理可得 a吁 6，%一9，*2,，*i 二 0 （-3 k 0 M e N）,当-3氏=1即/=1 +3&时，因为&eN,且“产,所以数列 4 +所有项都不为0，当3%=2即“=2+3左时，因为keN,且生4，所以数列 为一 所有项都不为0,当-3 A =3即=3+3%时，因为&eN,且用二。，所以数列 所有项都不为0,综上可得数列%中的所有项都不为0.【点睛】关键点睛：第（3）问一开始用到了第（2）问的结论，关键是利用递推数列能得到数列的周期变化，考查分析问题与解决问题的能力.