2022-2023学年江苏省南京市高二年级上册学期1月阶段测试数学试题含答案.pdf

2022-2023学年江苏省南京市高二上学期1月阶段测试数学试题一、单选题1.过点“（4,一 3）,且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（）A.x-y-7=0B x+y-l=0Q x-y-7 =0 或X +y-l =0D x-y-7 =0rj x +y-l=0 +4y=0【答案】D【分析】直线过原点求出直线方程，直线不过原点设出直线方程，利用待定系数法求解.3y X【详解】当此直线过原点时，直线方程为 4,化为3x +4 y =0；当此直线不过原点时，设直线的方程为x+y =j 或x-y=6,把点“（4 3）分别代入可得4-3=，或4+3=6,解得。=1,b=7.直 线 的 方 程 为 户 1或x-y =7.综上可知：直线的方程为1了-1 =0 或x r-7 =0,3x +4 y =0.故选：D.2 2上-匕=12.已 知 双 曲 线/b2 的焦距等于实轴长的2 倍，则其渐近线的方程为（）,7 3 1吁+、后 v-+2x N =了 =不 A.B.y-Zx c.3 D.2【答案】Ab _【解析】根据离心率，由双曲线的性质，求出。，即可得出渐近线方程.=-4=1 ;5 7 =1 （a 0,6 0）【详解】因为双曲线，匕 的焦距等于实轴长的2 倍，所以双曲线/b2 的离心率为2,e=-=2 =4 g 2+Z 2-/|所以 a,则/，即 小 ，*=3 2 =G所以,，即。，因此所求渐近线方程为：y =G x.故选：A.3.已知函数/。)=/+办 2+法+在 工=1处取得极值为I。，贝 心=()A.4 或一3 B.4 或一11 C.4 D.-3【答案】C【分析】根据函数x)=/+凉+乐+/在 =1处有极值10,可知/(1)=0 和/(1)=1 0,可求出a.【详解】由/。)=/+苏+云+/,得八工)=3/+20%+/,函数 X)=+/+6 x +?在x =1处取得极值1 o,(1)=,，(1)=1,j 2a+b +3=0.a2+a+b+=i0(a=4 J a=-3,认=-11或 6 =3,ja=-3当1=3时，ra)=3a-i)22o,.在x=i 处不存在极值;(a=4当 b =-11 时，ff(x)=3x2+8 x -11=(3x +1 l)(x -1)1),r(x)0,符合题意.故选：c【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堵发明的.明万历十二年(公元15 8 4 年)，他写成 律学新说，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响.十二平均律的数学意义是：在 1 和 2 之间插入11个正数，使包 含 1和 2 的 这 13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第4个数应为()I I A.2 彳 B.25 C.2 百 D.2 石【答案】B【分析】利用等比数列的通项公式即可求得 =2,从 而 求 得 牝 即 可.【详解】根据题意，不妨设这13 个数组成依次递增的等比数列为%,公比为九7 2=至=2 则4=1，%=2,所以 4 ,即4 =2 1（JL、4 1a5=%q4=212=所以新插入的第4个数为 I 故选：B.5.若圆G：（x-2）.+Q +l）-=4与圆C?关于直线x+y-3 =对称，圆G上任意一点河 均满足|A/4+W=1,其中4 0,2）,。为坐标原点，则圆G和圆G的公切线有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【答案】C【分析】由圆G（x 2）-+（y +i）-=4,可得圆心G,半径上设圆心G关于直线x+y-3 =。的对称点为G（m，），根据已知可列出方程组，解出机，.再根据半径为2,可得圆G的方程.设根据|历彳+|0=10,整理可得圆G的方程，判定两圆的位置关系即可得出两圆的公切线的条数.【详解】圆|：。-2）-+。+1）-=4的圆心为6（2,-1）,半径为耳=2,设圆心G（2，T）关于直线x+y _3 =0的对称点为G（%），j（T）=Tm-2）m+2 1 -1 3 Q fm=4则有I 2 +2 ,解得1 =1 ,所以G（4）又圆G的半径0=2,则圆G的半径2 =4 =2,所 以 圆 的 方 程为（x-4 f+（y-l）2=4设则四=-2+&-2丫 ,MO=yx2+y2乂|M 4+|M 9=10 W|JX2+（-2）2+X2+/=10整理可得，V+3-1）2 =4,圆G的方程为+（y-l）2=4,圆心03（0，1）,4=2则圆G和圆G圆心距CG I=J（4-0）+0-1）=4,又弓+4 =4,则|。2。3 1=+4所以，圆G和圆C,外切，所以两圆的公切线有3条.故选：C./（x）=x3 x2+a x+46.若函数 3 2 在区间（0,4）上不单调，则实数a的取值范围为（）A.L。B,L 4 c.I。D.I。【答案】C【解析】求出/（X）的导数，先求出 X）在区间（0,4）上单调的。的范围，即/（x）N 或/（x）在（M）恒成立，即可得出不单调的a的取值范围./（x）=x2-3 x+a =f x-+a【详解】可知 I 2 J 4 ,f（x）=%3 x2+a x+4若函数 3 2 在区间（0,4）上单调，则广（X）*或/（X）在（，9恒成立，卜”拄 或/（4）=4 +。4 0,心？解得4-4 或 4,f（x）=x X2+a x+4 函 数 3 2 在区间（0,4）上不单调，4.故选：C.【点睛】本题考查导数与函数单调性的关系，属于基础题.7.已 知 圆 一+/-6 歹+9-/=0 与直线），=岳+1有两个交点，则正实数机的值可以为灰 6A.2 B.2 C.1 D.血【答案】D【详解】圆 一+/一 6 了 +9-5 2=0 化 为 标 准 方 程 即*+&-3）-=吟 由 题 意，圆心到直线的距离d=H L i加2 ,结合选项，可得D正确，故选D.8.定义在R 上的函数“X）满足e （x+2）=/（-x）,且对任意的x 2 1 都有/（x）+/（x）0（其中/（X）为/（x）的导数），则下列判断正确的是（）A.炉(3)八)C e4/(3)/(-l)D.eV(3)，构造函数尸(x)=e x),利用导数可得尸(x)在x 2 时单调递增.由e”f/(x+2)=-x)注意到尸(x+2)=e 0.则/(x)。，则在口，+8)上单调递增；则 F(x+2)=上钊./(x +2),F(-x)=e-1-f(-x).因为 e2 +D/(x+2)=/(-x),e(,+2)-e f(x+2)=f(-x),eu+2 -f(x+2)=b f(-x).尸(x +2)=产(-x),所以尸(x)关于x =l 对称，1,F(x)在口,+8)上单调递增；尸(3)尸(2),所以(3)(2),e-/(3)/(2)所以A错误;尸(2),乂由对称性矢J”尸(),/(。)才(1),e./(O)e./(l)即 叭 1)F(3)F(4)=F(-2).F(-2)F(3)e 2-/(-2)e3/(3)；所以 口 正确.故选：D.二、多选题9.(多选)已知等差数列 的 公 差 前 项 和 是 S”，则下列四个结论中正确的是()A.数列也.是递增数列 B.数列%是递增数列C.数列 J是递增数列 D.数 列 是 递 增 数 列【答案】AD【分析】对于A,数列 J是递增数列，故A正确；对于B,不能判断数列 的单调性，故B错误；H对于C,数列%=d+1,IMI J的通项公式为“，显 然 当 时，数 列 是 常 数 列，故C错误;对于D,数 列 图 的 通 项 公 式为 如，而 所 以 数 列 图 是 递 增 数 列,故D正确.【详解】对于A,因 为 所 以 数 列%是递增数列，故A正确.ISM=nax+-n（n-d=-n2d+n（2 a,-J）对于B,因为数列M J是等差数列，所以 2 2 2，.因此可以把S”看成关于的二次函数，能确定图象的开口方向，但是不能确定对称轴的位置，故不能判断数列 S,的单调性，故B错误.对于C,因为数列也J是等差数列，所 以%=%+（T）d=d+a.因 此 数 列 的 通 项 公 式=d+d,|为，显 然 当 时，数 列 是 常 数 列，故C错误.L I Sn=na-n（n-d=-n2d+n-（2 a-d 对于D,因为数列出工是等差数列，所以 2 v 7 2 2 因此数列11J 的通项公式为2 =L d+（2q-d）-d 0 I 12 2、,，而2，所 以 数 列 是 递 增 数 列，故D正确.故选：AD.1 0.已知尸是抛物线C：V=16x的焦点，是C上一点，&W的延长线交V轴于点N.若M为由 的 中 点，则（）A.C的准线方程为x=-4 B.尸点的坐标为（4）C.M =12 D.三角形0%尸的面积为16及（0为坐标原点）【答案】A C D【分析】先求C 的准线方程x =-4,再求焦点尸的坐标为（4,）,接着求出M M =4 F F|=8,中位线忸+m=6 FN-n S-I 6J 22 ,最 后 求 出 归 1 2,建。*-1 6/2 即可得到答案【详解】如图，不妨设点 位于第一象限，设抛物线的准线/与x 轴交于点尸，作 M8_L/于点B,于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x =-4,尸点的坐标为区 ）,则 刖=4,|田=8,八 皿，忸在 直 角 梯 形 小 中，中位线I 2 ,由 抛 物 线 的 定 义 有 此 值 阴=6,结合题意，有|A/M T M =6,|F 7 V|=FM+NM=6+6=1 2|O2 V|=V 1 22-42=85/2 =g x 8 及 x 4=1 6&故选：A CD.【点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.I I.已知直线4：-y+l=0,/2：x +a y +l=0,ae R,以下结论正确的是（）.A.不论。为何值时，4 与4 都互相垂直B.直线4 过定点（，1）,4 过定点（-L 0）C.如果4 与4 交 于 点 则 点 M 的轨迹方程为f+/+x-y=D.如果4 与 2 交 于 点 ，贝 的 最 大 值 是&【答案】A B D【分析】A.根据两直线垂直的公式，即可判断;B.根据含参直线过定点问题，即可判断;C.取特殊点（0 ）,即可判断；D.首先求交点M的坐标，代入两点间距离公式，即可判断.【详解】对于A,a x l+（-l）x =恒成立，乙与右互相垂直恒成立，故A正确;对于B,无论。为何值，直线4过定点（，1）,4过定点（-L 0）,故B正确；对于c,（0,0）能使方程/+/+工-丁=成立，但不能使直线方程成立，故C不正确;X =u+1ax-y+l=0 _一。+1 -a +l)对于D,联立x+砂+i=,解 得y/+i,即故选：AB D.，所以MS的最大值是拉，故D正确.1 2.将数列%中的所有项排成如下数阵:已知从第二行开始每一行比上一行多两项，第一列数，的，牝，成等差数列，且/=4,%=1 0.从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成以5为公比的等比数列，则（）*=（3 -2）0广A.B.%。2 2在第 8 5 歹ij C.D.（2）【答案】A C D【分析】由已知，根据条件，选项A,设第一列数所组成的等差数列公差为，根据%=4吗.=1 0求解公差，然后再求解q即可验证；根据数阵的规律，先计算第”行共有（2 一1）项，然后再总结前行共有/项，先计算前4 4行共有1 9 3 6项，然后用2 0 2 2 T 9 3 6 =8 6,即可判断选项B；选 项D,先计算第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：3 -2,然后再根据每一行中的数按从左到右的顺序均构成以5为公比的等比数列，利用等比数列通项公式即可求解通项；选项C,先表示出a,=3+1 a,=3 +l 袂厂r 人/(A*)?(e N)g(n)=3n+3(nGN4)八 汩，-+I,然后可令、a、，4分别判断数列的单调性，求解出对应的最大值与最小值，比较即可判断.【详解】由已知，第一列数间2M5,成等差数列，且出=4%=10,d=%。-=10-4=3设第一列数所组成的等差数列公差为4则 2 2所以q=%-d =4 3=1,选项A正确；第一行共有1项，第二行共有3 项，第三行共有5 项，第行共有(2 一 1)项，所以前一行共有仔项，前二行共有22项，前三行共有32项，前行共有I 项，所以前44行共有442=1936项，而2022-1936=86,所以2022位于第45 行 86列，故选项B 错误；第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：1 +(7“=3-2,2且每一行中的数按从左到右的顺序均构成以5 为公比的等比数列，所 以 第 行 的 数 构 成 以-2)为首项，公比为3 的等比数列，(3-2乂 邛-2所 以 J ,故选项D正确；因为第一列数所组成的等差数列第行的第一项为：l+(T)=3-2,彳匚ci 1 3 +1所 以 -+i人/()=(3-2)(；)(eN+)/(+l)-/(M)=(3n+l)-_(3-2 吗)=(9-9 叫)当且“eN*时，/(+1)/()4 ,所 以/=2)=1,所 以/(需=1而令 V ),在 e N 上单调递增,所以g(L=g O)=6,所以J 0 解集是_.【答案】（2,+o o）【分析】根据不等式判断函数的单调性，结合奇函数的性质、单调性进行求解即可./（）一/（.0./式埒【详解】不妨设a b,由 b V 7 V 所 以/（X）在 R上单调递增；又“X）为奇函数；.由/（机 +2）+/（?-6）0 得，f（m +2）-f（m-6）=f（6-m）.加 +2 6 加；解得，m 2.原不等式的解集为（2,+8）.故答案为：+8）.四、解答题1 7.已知圆。经过点（1 0）,巩 2,2）,并且直线m 3 x _ 2 y =0 平分圆C.求圆C 的方程：（2）若直线/i=履+2 与圆C 交 于 两 点，是否存在直线/,使 得 丽 丽=6 （。为坐标原点）,若存在，求出上的值；若不存在，请说明理由.【答案】（x-2）+（六3）=（2）不存在直线/,理由见解析.【分析】（1）由弦的中垂线必过圆心，所以求出线段的中垂线，与3-2了 =0的交点即为圆心，由两点间距离公式求圆的半径;设“（3 必）&，%）,由向量的数量积坐标表示可知再 +M%=6,直线与圆组方程组，利用韦达定理代入上式,可求得人同时检验判别式.3 5&3-2,【详解】（1）线段4 8的 中 点（2 2九A B-2 ,5 3v =x 故线段9的 中 垂 线 方 程 为.2 2,即x-y +l=O.因为圆C经过4 8两点，故圆心在线段4 8的中垂线上.又因为直线加：3x-2y=平分圆c,所以直线机经过圆心.jx-y+1=0 jx=2由13x-2y=0,解 得 产3,即圆心的坐标为。（2,3）而 圆 的 半 径 忸 斗 胆-2）2+（2-3）,所以圆C的方程为：（-2）+（六3丫=1（2）设“（X”M），N（X 2，%）,将y=A x+2代入方程（x-2）一+。-3）一 =1,得（x-2）-+（区-1）=1即（1 +公）2-侬+4）x+4=0（*）4由A=（2%+4）-16（l+”,得_ 3、侬。,解 得 1）,前项和为S ,等比数列 的公比为q,且为=如d=q,（1）求数列%,例 的通项公式.C=%（2）记“b-,求数列也，,的前项和1.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）见 解 析（2）见解析【解析】三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可，（2）数列 是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决。【详解】方案一：选条件Q）二%=5，为，的 与 6 仇 a=b d=q d 1jq +2 d=52 q +5 d=6 q dI 2 5Pl=1解得l =2 或 11 2 （舍去）二”l1 二2an=cr1+（/2-l）J=2/7-1bn二b尸：C-=T-（2）b，%=奔=（2-1）X（；）T.U=1 +3X；+5X（；）+（2 _3）x（g）+（2 -l）x（；）T,=3+3X|+5X(+(2-3 叫 十(2 一 1咱$7 =2 g+(|+.+(-(2-1”出2M Y=l+2 x _j_J-(2 -l)x l-l1-2=3-(2n+3)x W.7；=6-(2 +3)X|方案二：选条件()/b?2,。3 +%=3b3，ci=b,d=q,d 1J%d=2 j2 q+5 d =3q/ad=22a1+5d=6d解 得 H =2或 H =-2(舍去)q=2/.an=a+(一 )d=2n-l尸=2”-Cn=T-(2)6 c,=?=(2-l)x(g)TI,=l+3xg+5x(g)+.+(2 _3)X(|+(2 _1)X(；)I+5X(|+(2-3)x(|+(2 一1 鸣亭=1 +2；+因+(5-(2 -1)x(3 _2=l+2 x-nr=3-(2 +3)x(g).7；=6-(2+3)X(|w-1方案三：选条件S3 =9,4 +%=86 2 M l=b,d=q,d 1J q +d=32 q +7d=8q d解得6=1d=2或2 1a,=1 83a=8(舍去)4 =1q=2/.an=a+(-l)d=2 -101=2】/cn=(2)包c“=2/h7-1 =(八2 T)、x(j1JY=l +3 x g +5 x(g)+(2“-3)x(g)+-1)x(；)1 l=；+3 x|+5 x(/+(2-3)x)+(2 一 1)x(1=3 (2 +3)x.U=6-(2+3)X(|【点睛】此题考查等差等比数列综合应用，掌握乘公比错位相减求和的题型特点，属于较易题目。/(x)=-x3+x2+3x+a1 9.已知函数 3.(1)求/(X)的单调区间；7若八幻在区间-3,刃 上 的 最 小 值 为 求。的值.【答案】单调减区间为(-8,T 和 3,+8),单调增区间为(-L 3)(2)4【分析】求出导数，令/(x)0,得-l x 3；令/(x)0,得x 3,所求/(x)的单调减区间为(y,T 和 3,+8),单调增区间为Q B).(2)由函数在区间卜3,3 内的列表可知:X-(-3,-1(T 3)3J-0+0./,/递减极小值递增极大值函数/（x）在（一 3，-1）上是减函数，在（-L3）上是增函数.I ,、7F 1 3 +。=，3 3 ,.4 =42 0.已知数歹修的前项和S，=2 a,+2(1)求 0 力的通项公式；b.=l1 oga,-l,Q 7 -1 4 /1 an-12-+l og2 +%+l og2 令 3 9 5 9 i 9【答案】北=刍+i求的前项和【分析】（1）根据吗，的关系可得M，T 为等比数列，进而可求通项，1 勺-1 _噫3 一=（2）根据对数的运算性质得 3 9,进而根据等差数列求和公式以及裂项相消即可求解.【详解】（1）数列SJ的前项和5=-2见+2%则：当时,S i +2 0 -得：为=1-2%+2 a,-所 以:3 凡=2%+12敕利/月（T）=,QTT）整理得：3所以：岸二淮数）a,n （n n 2为公比的等比数列所以：数列 ）是以（-D 为首项，3当=时，q=7所以：-TJ所以数列的通项公式为：用+1l og,l og,（2）根 据（I）得：3 9 3空 6 石 厂 所以：2 +=噌二3 二 20，bn+n +l,T=1+%+=2 窗-b.b,b I+di-0，、C:-（a 0,b 0）2 1.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，己知双曲线/扶 的左顶点为A ,右焦点为下；点尸（2,3）在双曲线C上，直线/与双曲线C交于河，N两点，且当直线M4的斜率为1 时，MF=AF（1）求双曲线C的方程；（2）若1 O N ,求 到直线/的距离.V九1【答案】3 ；显（2）2.【分析】（1）根据给定条件可得山尸为等腰直角三角形，由此导出a,b的关系，再由点P在双曲线上即可计算作答.（2）当直线/斜率存在时，设出其方程，再与双曲线C的方程联立，借助韦达定理及点到直线距离计算得解，当直线/斜率不存在时，利用对称性即可计算作答.【详解】（1）依题意，4-。，）,口化，0）,其中c =2+,当 直 线 的 斜 率 为 1 时，即N K 4 F =4 5。，又|心|=|用，则 广 为 等 腰 直 角 三 角 形，且MF 上 AF,（A J a+c=-,/r于是有。，且 a“，化简得。=2 ，b=S a,色一2=1而点尸（2,3）在双曲线C上，即/,解得。=1,b=6 ,c=2,/工1所以双曲线的方程为 3 .（2）设“（再，必），（9,%）,当直线血的斜率不存在时，M ,关于x 轴对称，y2 _2 k.=J X2=由 M _ L 0 N,可得1 乂1=1为|,且 3 ,解得2,则直线MN 的方程为X 二 X|,l x|=必则到直线MN 的 距 离 为 一彳，当直线N 的斜率存在时，设直线MN 的方程为了=丘+,y=kx+t由1 3 工 2-y=3 消去y 并整理得：(3-k2)x2-2 ktx-r-3 =0 ,3-F W 0,2 kt 3 +12A =4 2/十4(3 -)(3+产)=1 2(3 +/_-)o,西+工 2=菰 淳，斗弓二一百户，、，/、2 ,2 3 +2 kt 2 3(-左2)yy2=(A x,+t)(kx2+t)=k x,x2+kt(x+x2)+t =-k+p-+/=3 T;3 +-3(：-F)2=3 2因0W_ L 0N,则有中2+必必=0,即-3-公+3-k -,化简得/-5 十|f|V6 1 +J 6因此。到直线 =履+的距离为瓦4 2 2,V6综上得，。到直线/的距离为2 ./（x）=-X-ax22 2.已知函数./x +2 ,其中ae E.0）若”=1 时，求函数/CO 的零点；Q）当。时，求证：函数,（X）在（叶 8）内有且仅有一个零点.【答案】（1）当。=1 时，函数/（X）的零点为x =,或x =-1-播，或x =-1 +应；（2）见解析.【分析】（1）若=1 时，X+2 ,通分求解方程的根即为函数的零点.（2）当。时，,由函数/G）=转化为证明方程a f+2-1 =有唯一的零点，根据二次函数的单调性和在y轴上的截距说明有唯一零点./i f（）=-X2【详解】当。=1 时，函数 x +2 ,X令=可得可得x =0,或i+2 x-l =0,解得x =。，或x =7-&,或x =-l +3.综上可得，当。=1时，函数/G）的零点为x =,或x =-l-&，或x =-l +&证明：.当。0时,x 0,由函数/（x）=得：ax2+2 ax-l=0,记g（x）=2+2 ax-l ,则g（x）的图象是开口朝上的抛物线，由g（O）=-l 0开口向上，a 0开口向下，函数与x的交点为函数的零点，对称轴的左右两侧的单调性相反，最低点的坐标为（一!？二 一）