2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区九年级（上）第一次月考数学试卷.pdf

2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区新建路中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选 择 题（共 8 小题，每小题3 分，计 24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1.（3 分）下列方程中是一元二次方程的是（）91A.x=l B.*-2=0 C.x+y2 D.-=2x2.（3 分）将方程f+l=2 x 化为一元二次方程的一般形式，正确的是（）A./+2x+l=0 B./-2 x+l=0 C./=2 x+l D.x2=2x-13.（3 分）如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M 与点C 被湖隔开.若测得A8的长为12版，则 M,C 两点间的距离为（）A.3km B.4km C.5km D.6km4.（3 分）关于x 的方程/-3日-2=0 实数根的情况，下列判断正确的是（）A.有两个相等实数根 B.有两个不相等实数根C.没有实数根 D.有一个实数根5.（3 分）设 a,0 是一元二次方程7+5 x-9 9=0 的两个根，则 a 邛 的 值 是（）A.5 B.-5 C.99 D.-996.（3 分）如图，在矩形中，AC、8。相交于点O,若 AB=6,A O=5,则矩形ABC。的面积为（）A.24B.30C.48D.607.（3 分）某校组织学生到一片荒地上进行植树活动.原计划植树8 行 10歹 U，后来增加了4 0棵树，为了美观起见，要求增加的行数、列数相同，设增加了 x行，根据题意，所列方程正确的是()A.(8 -x)(1 0-x)=8 X1 0-4 0 B.(8 -x)(1 0-%)=8 X1 0+4 0C.(8+x)(1 0+x)=8 X1 0-4 0 D.(8+x)(1 0+x)=8 X1 0+4 08.(3分)如 图，在四边形A B C。中，AB=AD,BC=DC,AC,B D交于点O.关于四边形A B C。的形状，甲、乙、丙三人的说法如下：甲：若添加“A 8 C ，则四边形A B C。是菱形；乙：若添加“/曲。=9 0 ”，则四边形A B C C是矩形；丙：若添加“N A 8 C=N B C D=N 9 0 ”,则四边形A B C。是正方形.则说法正确的是()A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.甲、乙、丙二、填 空 题(共5小题，每小题3分，计15分)9.(3分)已知关于x的一元二次方程/+公-2=0的一个根为2,则的值是.1 0.(3分)一元二次方程x2-4 x+3=0配 方 为(x-2)2=k,则k的值是.1 1.(3分)如 图，正方形A B C。的边长为2,对角线A C,8。交于点。，E是8 c边上的任意一点，过 点E分别向BD,A C作垂线，垂足分别为F,G,则四边形O F E G的周长是.1 2.(3分)我国南宋数学家杨辉所著 田亩比类乘除捷法中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步.”其大意为：一个矩形的面积为8 64平方步，宽比长少1 2步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，根据题意，可列方程为.1 3.（3分）如图，四边形A B C。为菱形，N A 8 C=8 0 ,延 长8 C到E,在/D C E内作射线C M,使得N E C M=3 0 ,过 点。作。F L C M,垂足为F,若。尸=3,则对角线8。三、解 答 题（共13小题，计81分.解答应写出过程）1 4.（5分）用因式分解法解方程：（x+1）2-3 （x+1）=0.1 5.（5分）用公式法解方程：7-2 x-5=0.1 6.（5分）如图，点E为矩形A B C。内一点，且E A=E B.求证：ED=EC.1 7.（5 分）已知关于 x 的方程 7-2 （A-3）x+l-4k-1=0.（1）若这个方程有实数根，求上的取值范围；（2）若这个方程有一个根为-1,求Z的值.1 8.（5分）如图，已知平行四边形A 8 C。的对角线A C,8。相交于点O,N O B C=N O C B.（1）如果,那么四边形A 8 C 为正方形（请你填上能使结论成立的一个条件）;（2）根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明.1 9.（5分）已知关于x的一元二次方程/+3 x+A-2=0有实数根.（1）求实数4的取值范围.（2）设方程的两个实数根分别为制，双，若（xi+1）（%2+1）=-1,求人的值.2 0.（5分）如图，在菱形488 中，点E,尸分别在边A B,B C上，AE=CF,D E,。厂分别与A C交于点M,N.求证：D M=D N.D2 1.（6分）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加.某地区高效节能灯的年销售量2 0 1 9 年 为 1 0 万只，预 计 2 0 2 1 年将达到1 2.1 万只.求该地区2 0 1 9 年 到 2 0 2 1年高效节能灯年销售量的平均增长率.2 2.（7分）如图，在正方形A B C。中，P是对角线AC上的一点，点 E在 BC的延长线上,连接 P B、P D、P E,且 PE=PB.（1）求证：B C P 丝 O C P；（2）若 P C=C E,求/C P 的度数.2 3.（7分）某地疫情爆发，防护服极度匮乏，许多企业都积极地生产防护服以应对疫情.某工厂原有1 条生产线，现决定新增若干条防护服生产线.经调查发现：1 条防护服生产线的产能是8 0 0 件/天，每新增1 条生产线，每条生产线的产能将减少2 0 件/天.设该工厂新增x 条生产线.（1）新增生产线后，每条生产线的产能是 件/天；（用含x 的代数式表示）（2）若该工厂新增生产线后，每天的产能恰好是6 6 0 0 件，为了尽量控制成本（生产线越多，成本越大），该工厂新增了多少条生产线？2 4.（8 分）如图，在平行四边形A 8 C。中，过点力作。E J _ A B 于点E,点 F 在 边 上，1.F C=A E,连接 4 尸、BF.（1）求证：四边形。E B 尸是矩形；（2）若 AF 平分/D 4 8,FC=3,D F=5,求 的长.2 5.（8分）准备在一块长为3 0米，宽为2 4米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子，（如图所示）在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米.（1）花园内的道路面积为 平 方 米（用x的代数式表示）.（2）若草坪面积为6 6 7.2平方米时，求这时道路宽度x的值.2 6.（1 0分）如图，点E是矩形A 8 C。的边A 8的中点，点G是边A。上一动点，连接B G,若点H为B G的中点，连 接 连 接 即 并延长交边C 于点F,过点A作A P L 8 G,垂足为点M，交E F于点、P.（1）求证：A H=H G；（2）连接B P、P G,若B P S G,请判断四边形A a P G是什么特殊四边形，并证明.BDFC2022-2023学年陕西省宝鸡市渭滨区新建路中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选 择 题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）1.（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）71A.x=l B.*-2=0 C.x+y=2 D.=2【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程.【解答】解：A.是一元一次方程，故本选项不合题意；B.是一元二次方程，故本选项符合题意；C.是二元一次方程，故本选项不合题意；D.是分式方程，故本选项不合题意；故 选:B.2.（3分）将方程/+I=2 x化为一元二次方程的一般形式，正确的是（）A.JT+2X+1=0 B.J?-2X+1=0 C.J?=2X+1 D.x1=2x-1【分析】根据一元二次方程的一般形式，进行计算即可解答.【解答】解：将方程/+1=公化为一元二次方程的一般形式，即：/-Z r+1=0,故选：B.3.（3分）如图，公路4C,BC互相垂直，公路A8的中点M与点C被湖隔开.若测得A8的长为12%?，则M,C两点间的距离为（）A.3km B.4km C.5km D.6km【分析】根据直角三角形斜边上的中线，进行计算即可解答.【解答】解：ACL8C,A ZACB=90,.点M 是 AB的中点，：.CMAB=6（千米），故选：D.4.（3 分）关于x 的 方 程 3h-2=0 实数根的情况，下列判断正确的是（）A.有两个相等实数根 B.有两个不相等实数根C.没有实数根 D.有一个实数根【分析】由根的判别式的符号来判定原方程的根的情况.【解答】解：关于x 的方程7-3 融-2=0 根的判别式=（-3 2-4 X lX （-2）=9 必+80,./-3kx-2=0 有两个不相等实数根，故选：B.5.（3 分）设 a,0 是一元二次方程/+5 x-9 9=0 的两个根，则 a 邛 的 值 是（）A.5 B.-5 C.99 D.-99【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求值即可.【解答】解：；a,B 是一元二次方程/+5 x-9 9=0 的两个根，A ap=-99,故选：D.6.（3 分）如图，在矩形A8C。中，AC、8。相交于点O,若 48=6,A O=5,则矩形ABC。的面积为（）A.24 B.30 C.48 D.60【分析】由矩形的性质得出4 c=2OA=10,/A 8 c=90,由勾股定理求出B C,进而可以解决问题.【解答】解：四边形ABC。是矩形，：.AC=2 OA=0,ZABC=90 ,：A B=6,：.BC=y/AC2-A B2=8,二矩形A B C。的面积=A B*8 C=6 X 8=4 8.故选：C.7.(3分)某校组织学生到一片荒地上进行植树活动.原计划植树8行1 0歹U，后来增加了4 0棵树，为了美观起见，要求增加的行数、列数相同，设增加了 x行，根据题意，所列方程正确的是()A.(8 -x)(1 0-x)=8 X 1 0-4 0 B.(8 -%)(1 0-%)=8 X 1 0+4 0C.(8+x)(1 0+x)=8 X 1 0-4 0 D.(8+x)(1 0+x)=8 X 1 0+4 0【分析】由增加了 x行可得出后来共种了(8+x)行、(1 0+x)歹根据后来种植的树共(8 X 1 0+4 0)棵，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.【解答】解：增加了 x行，,后来共种了(8+x)行,(1 0+x)列.依题意得：(8+x)(1 0+x)=8 X 1 0+4 0.故选：D.8.(3分)如 图，在四边形A 8 C O中，AB=AD,HC=DC,AC,B D 交于点O.关于四边形A B C。的形状，甲、乙、丙三人的说法如下：甲：若添加“4 8。”，则四边形A 3 C。是菱形；乙：若添加“/胡。=9 0 ”，则四边形A 8 C Q是矩形；丙：若添加“N A B C=N B C D=N 9 0 ”，则四边形A 8 C O是正方形.则说法正确的是()A.甲、乙 B.甲、丙 C.乙、丙 D.甲、乙、丙【分析】根 据A 8=A O,B C=D C,可以得到4c垂 直 平 分 然 后 再 根 据 各 个 选 项 中的条件，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题.【解答】解：AB=AD,BC=DC,；.4C 垂直平分BD,当添加：“ABC，fiZABD=ZBDC,：ZBDCZDBC,：.NABO=NCBO,又；8。=8。，NBOA=NBOC,:.A B gX C B O （ASA）,：.BA=BC,：.ABBCCD=DA,四边形ABC。是菱形，故甲说法正确；当添加“NBAQ=90。，无法证明四边形ABC。是矩形，故乙说法错误；当添加条件“/A 8C=/B C O=90”时，则/ABC+/BC=180,：.AB/CD,由证选项A 可知四边形ABCD是菱形，：ZABC=90,.四边形A8CD是正方形，故丙说法正确；故 选:B.二、填 空 题（共 5 小题，每小题3 分，计 15分）9.（3 分）已知关于x 的一元二次方程/+汝-2=0 的一个根为2,则 6 的值是-1【分析】根据方程解的定义，将已知的方程解代入方程求解即可.【解答】解：因为关于x 的一元二次方程f+云-2=0 的一个根为2,所以将工=2 代入方程可得：4+2Z?-2=0,解得b=-1.故答案为：-1 .10.（3 分）一元二次方程x2-4x+3=0配 方 为（x-2）2=k,则 Z的值是 1.【分析】根据配方法可以将题目中方程变形，然后即可得到女的值.【解答】解：/-4;什3=0,Ax2-4x=-3,Ax2-4x+4=-3+4,（X-2）2=1,.,一元二次方程/-4x+3=0 配 方 为(x-2)2=k,：.k=,故答案为：1.11.(3 分)如 图，正方形A8C。的边长为2,对角线AC,BD交于点、0,E 是 8 c 边上的任意一点，过 点 E 分别向BD,AC作垂线，垂 足 分 别 为 凡 G,则四边形OFEG的周长是2V2_.【分析】证明四边形OFEG的周长=0 8+0 C 即可解决问题.【解答】解：四边形ABCC是正方形，AB=2,：.ACBD,OB=OC=V2,Z O B C ZOCB=45Q,：EF1.0B,EGA,OC,：.NEFO=NFOG=ZEGO=90,四边形OFEG是矩形，：.OF=EG,EF=OG,:2EFB,ZEGC都是等腰直角三角形，：.EF=FB,GE=GC,：.四边形 OFEG 的周长=OF+FE+OG+GE=OF+FB+OG+GC=OB+OC=2或，故答案为2 a.12.(3 分)我国南宋数学家杨辉所著 田亩比类乘除捷法中记载了这样一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步.”其大意为：一个矩形的面积为 864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x 步，根据题意，可列方程为 x(x+12)=864.【分析】由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为(x+12)步，再利用矩形的面积公式即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解.【解答】解：；矩形的宽为x 步，且宽比长少12步，二矩形的长为(x+12)步.依题意，得：x(x+12)=864.故答案为：x(x+12)=864.13.(3 分)如 图，四边形ABC。为菱形，ZABC=80,延长8 c 到 E,在内作射线C M,使得/ECM=30,过 点D作D F L C M,垂足为F,若D F=3,则对角线BD的长为 6.【分析】连接AC交 8 0 于 H,证明OC”丝)(?/,得出。”的长度，再根据菱形的性质得出B D的长度.【解答】解：如图，连接4 c 交 8 0 于点H,由菱形的性质得NAOC=N48C=80,ZDCE=80,ZDWC=90,又：/后 皿 二？。，/.Z D C F=50,；D F L C M,；.NCFD=90 ,：.ZCDF=40 ,又；四边形ABC。是菱形，.3。平分/AOC,A ZHDC=40 ,在C O 4和(?)/中，Z C H D =ACFD乙 H DC=乙 FDC,DC=DC：./CDH/CDF(M 5),：.DH=DF=3,：.DB=2DH=6.故答案为：6.三、解 答 题(共 13小题，计 81分.解答应写出过程)14.(5分)用因式分解法解方程：(x+1)2-3 (x+1)=0.【分析】直接利用提取公因式法分解因式进而求出答案.【解答】解：(x+1)2-3 (x+1)=0,(x+1)(x+1-3)=0,x+l=0 或 x+1-3=0,所以 x i =-1,X2=2.15.(5分)用公式法解方程：7-2 x-5=0.【分析】利用解一元二次方程-公式法，进行计算即可解答.【解答】解：?-2 x-5=0,：b=(-2)2-4 X l X (-5)=4+2 0=2 4 0,.*整=宇=1 土 倔.X 1 1+V 6,X2 1 -V 6.16.(5分)如 图，点E为矩形A B C D内一点，且E 4=E 8.求证：ED=EC.【分析】根据矩形的性质和S A S证明和a B C E全等，进而利用全等三角形的性质解答即可.【解答】证明：4=仍，:*N E A B=N E B A,在矩形 A B C D 中，N D A B=/C B A =90 ,AD=BC,:.Z D A B -Z E A B=Z C B A -NEBA,即 N E 4 )=N E 8 C,在ADE和BCE中,AD=BCZ.DAE=Z.CBE.EA=EB.AOE丝BCE(SAS).：.ED=EC.17.(5 分)已知关于x 的方程7-2 (h 3)x+必-4 k-1=0.(1)若这个方程有实数根，求 k 的取值范围；(2)若这个方程有一个根为-1,求 k 的值.【分析】(1)根据方程的系数结合根的判别式()，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出左的取值范围；(2)把 x=-1代入原方程，求出4 的值即可；【解答】解：(1)关于x 的方程/-2 (A-3)x+必-软-1=0有实数根，A A=-2 (*-3)2-4 X lX (必-4 k-1)-0,解得：kW5.(2)把 x=-1 代入原方程得，l+2A-6+d-4Z-1=0,解得：k=士木,所以，当方程有一个根为-1,4 的值为1+位 或 1-V7.18.(5 分)如图，已知平行四边形ABCC的对角线AC,BO相交于点0,ZOBC=ZOCB.(1)如果 AB=A(或答案不唯一)，那么四边形ABCO为正方形(请你填上能使结论成立的一个条件)；(2)根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明.【分析】(1)根据题意添加条件即可；(2)根据平行四边形对角线互相平分可得。4=0C,O B=OD,根据等角对等边可得。8=0 C,然后求出4 c=3。，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明，根据正方形的判定方法即可得到结论.【解答】解：(1)如果48=4。(或 ACL8。，答案不唯一)那么四边形ABCO为正方形；故答案为：A B=A D（或A C L B O,答案不唯一）；（2）证明：四边形A B C Z）是平行四边形，；.O A =O C,O B=O D,：Z O B C=Z O C B,：.OB=OC,：.ACBD,.“A B C。是矩形，添加条件AB=AD,:四边形A B C。是矩形，又；4 3=A ）,二四边形A 8 C。是正方形.；四边形A B C D是矩形，又mm四边形A B C。是正方形.19.（5分）已知关于x的一元二次方程/+3 x+A-2=0有实数根.（1）求实数上的取值范围.（2）设方程的两个实数根分别为制，X 2,若（制+1）（&+D =-1,求k的值.【分析】（1）根据一元二次方程f+3 x+k-2=0有实数根，可知与0,即可求得左的取值范围；（2）根据根与系数的关系和（x i+1）（X 2+1）=-1,可以求得上的值.【解答】解：（1）关于x的一元二次方程/+3 x+k-2=0有实数根，/.-32-4 X l X （）1-2）2 0,解得k芋，即无的取值范围是k W孝；（2）.方程7+3 x+左-2=0的两个实数根分别为肛，血，.x i+x i=-3,xX2=k-2,/（x i +1）（X 2+1）=-1，/.X 1 X 2+（X 1+X 2）+1=-L：.k-2+(-3)+1=-解得k=3,即 的值是3.20.（5分）如图，在菱形ABC。中，点E,b分别在边48,8 c上，AE=CF,DE,D F分别 与 交 于 点M,N.求证：DM=DN.【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定S A S,可以证明再利用等腰三角形的性质，可以得到OE=Z)F,DM=DN.【解答】证明：四边形A 8c。是菱形，：.DA=DC,ZD A E=ZD C F9 AB=CB,：BE=BF,:.AE=CF,在ADE 和C。/7 中，DA=DC.DAE=/LDCF,AE=CF：./A D E/C D F (SAS)；:,ZAD M=N C D N,DE=DF,四边形A8CD是菱形，,.ZDAM=NDCN,*/A D M=/C D N,ZD M A=ZD N C,：/D M N=/D N M,:DM=DN.21.（6分）随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加.某地区高效节能灯的年销售量2019年 为10万只，预 计2021年将达到12.1万只.求该地区2019年 到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率.【分析】设该地区2 0 1 9 年到2 0 2 1 年高效节能灯年销售量的平均增长率为x,利 用 2 0 2 1年的年销售量=2 0 1 9 年的年销售X (1+年销售量的平均增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.【解答】解：设该地区2 0 1 9 年到2 0 2 1 年高效节能灯年销售量的平均增长率为x,依题意得：1 0 (1+x)2=1 2.1,解得：x i=0.1 =1 0%,X 2=-2.1 (不合题意，舍去).答：该地区2 0 1 9 年到2 0 2 1 年高效节能灯年销售量的平均增长率为1 0%.2 2.(7 分)如 图，在正方形A B C O 中，P是对角线4c上的一点，点 E在 8C的延长线上,连接尸 8、P D、PE,K PE=PB.(1)求证：4 B C P冬 A D C P；(2)若P C=C E,求/。尸的度数.【分析】(1)由S A S 证明4 B C P空/XDCP即可；(2)B C P 丝 O C P,得 出BP=DP,N C B P=/C D P,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出/。?尸=/2：8=/。/=2 2.5,即可得出结果.【解答】(I)证明：；四边形A 8 C O 是正方形，：.A B=B C C D=A D,Z B C P=ZDCP=45 ,N B C D=N D C E=90 ,：.ZPCE=45+9 0 =1 3 5 ,在 B C P 和(7 2 中，BC=DC乙 BCP=Z.DCP,CP=CP:.4 B C P m 4 D C P(S A S)；(2)解：,:/XBCP9 tXDCP,:.BP=DP,N C B P=NCDP,:PE=PB,PC=CE,1：.PD=PE,N C B P=N P E B=/C P E=/x（1 8 0 7 3 5 ）=2 2.5 ,A ZCDP=2 2.5.2 3.（7分）某地疫情爆发，防护服极度匮乏，许多企业都积极地生产防护服以应对疫情.某工厂原有1 条生产线，现决定新增若干条防护服生产线.经调查发现：1 条防护服生产线的产能是8 0 0 件/天，每新增I 条生产线，每条生产线的产能将减少2 0 件/天.设该工厂新增无条生产线.（1）新增生产线后，每条生产线的产能是（8 0 0 -2 0 x）件/天:（用含x的代数式表示）（2）若该工厂新增生产线后，每天的产能恰好是6 6 0 0 件，为了尽量控制 成 本（生产线越多，成本越大），该工厂新增了多少条生产线？【分析】（1）利用每条生产线的产能=8 0 0-2 0 X 新增生产线的数量，即可用含x的代数式表示出每条生产线的产能；（2）根据每天的产能恰好是6 6 0 0 件，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，再结合为了尽量控制成本，即可得出该工厂新增了 1 0 条生产线.【解答】解：（1）VI条防护服生产线的产能是8 0 0 件/天，每新增1 条生产线，每条生产线的产能将减少2 0 件/天，该工厂新增x条生产线后，每条生产线的产能是（8 0 0-2 0%）件/天.故答案为：（8 0 0-2 0 x）.（2）依题意得:（8 0 0-2 0 x）（1+x）=6 6 0 0,整理得：/-3 9 x+2 9 0=0,解得：JCI 1 0 X2 2 9,又；为了尽量控制成本，.x=1 0.答：该工厂新增了 1 0 条生产线.2 4.（8 分）如图，在平行四边形A 8 C O 中，过点。作。E _ L A B 于点E,点尸在边CD上，K F C=A E,连接 A F、BF.（1）求证：四边形O E B 尸是矩形；（2）若 AF平分N D 4 B,FC=3,D F=5,求 的长.【分析】（1）先证四边形。E B F 是平行四边形，再证N E B=9 0 ,即可得出结论；（2）证 AO=QF=5,再由勾股定理求出。E=4,然后由矩形的性质即可求解.【解答】（1）证明：；四边形A 8 C Z）是平行四边形，J.DC/AB,DC=AB,；FC=AE,：.C D -F C=A B -AE,即 DF=BE,四边形C E 8 F 是平行四边形，又A B,：.ZDEB=90 ,.平行四边形D E B F是矩形；（2）解：平分/D 4 B,:.N D A F=Z B A F,:DC/AB,:./D F A=N B A F,：.Z D F A Z D A F,：.AD=DF=5,在 R t Z X A E D 中，由勾股定理得：D E=y/AD2-A E2=V 52-32=4,由（1）得:四边形Q E B F 是矩形，：.BF=DE=4.2 5.（8分）准备在一块长为3 0 米，宽为2 4 米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子，（如图所示）在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米.（1）花园内的道路面积为（5 4 X-1 0 X2）平 方 米（用 x的代数式表示）.（2）若草坪面积为6 6 7.2 平方米时，求这时道路宽度x的值.【分析】(1)由题意列出代数式可得出答案；(2)由题意列出方程可得出(5 x)2+(-1 0.r2+5 4 x)+6 6 7.2=3 0 X 2 4,解方程可得出答案.【解答】解：(1)设小路宽度为x 米，花园内的道路面积为x (3 0-5 x)+x (2 4 -5 x)=5 4 x 7 0/(平方米)，故答案为：(5 4 x-1 0?)；(2)由题意得，(5 x)2+(-1 0?+5 4 x)+6 6 7.2=3 0 X 2 4,.2 2 4A x i=g-,X2=5，计 告 不 合 题意，舍去，._ 4 .X-5，4即道路宽度x的值是J2 6.(1 0 分)如图，点 E是矩形A 8C。的边A8 的中点，点 G 是边AO上一动点，连接8G,若点，为 BG 的中点，连接AH,连接E4并 延 长 交 边 于 点 凡 过 点 A作 A P J _B G,垂 足 为 点 交 EF于点P.(1)求证：A H=H G；(2)连接B P、P G,若 B P 2 P G,请判断四边形A H P G 是什么特殊四边形，并证明.【分析】(1)由四边形A B C D是矩形，得/区4。=90 ,AB=CD,A B/C D,又 E、F是矩形A B C。对边A&CO的中点，即得四边形A E F D 是矩形，EF/AD,可得A H=%G=H G；(2)设 BG 交 AP 于 M,由 BP_LPG,得 PH=，G=HG,P H=A H,即得NHAP=NH P A,所以N G 4P=N/M P,可证例G(ASA),得 AH=AG,P H=A G,故四边形A”PG为菱形.【解答】(1)证明：四边形ABC。是矩形，A Z BAD=90 ,ABCD,AB/CD,:E、尸是矩形A8C。对边A8、CO的中点，：.AE=%B=CD=DF,二四边形AEFD是矩形，：.EF/AD,又E是4B中点，是BG的中点，VZBAD=90,：.AH=3BG=HG；(2)解：四边形AHPG为菱形，证明：由(1)知AH=HG,为BG中点，,：BPLPG,1:PH=BG=HG,:PH=AH,：.ZHAP=ZHPA,9：ZGAP=ZHPA,：.ZG AP=ZH APf在AM”和AMG中，NHAM=Z.GAMAM=AM,=Z.AMG：.(ASA),：.AH=AG,:,PH=AG,YPH/AG,AH=PH,四边形AbPG为菱形.