2022年高考全国甲卷数学（理）真题试卷(含详解).pdf

绝密启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1 .答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.Z1若2=-1+后，则行一1 ()A.1 +B.-1 yfii C.H i D.-i3 3 3 32.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：95%90%流85%每80%田75%70%65%.*.*.*.*-.*讲座前.*.讲 座 后 则(.*-.-*.*.水.123456789 10居民编号A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3 .设全集U =-2,1,0,1,2,3 ,集合A=T,2 ,8 =x|/一 以+3 =0 卜 则()A.1,3 B.0,3 C.-2,1 D.-2,0 4 .如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为5 .函数y=(3*-3 7)c osx在 区 间 一5,!的图象大致为()XA.-1 B.C.|D.1 7.在长方体4 BCD-A4G。中，已知片。与平面A B C。和平面A446所成的角均为3 0。，则()A.A B =2 A DB.A B与平面A BCtD所成的角为3 0 c.A C=C 5,D.g。与平面34CC所成的角为4 5。8 .沈 括 的 梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是以。为圆心，0 4为半径的圆弧，C是A B的中点，。在A8上，C D 1 A B.“会圆术”给出AB的弧CD2长的近似值s的计算公式：s=A B +.当。4 =2,N A O B =6 0 时，s=()0 A9 .甲、乙两个圆锥 母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为%和勿.若=2 ,则 色=()3乙 V乙A.亚 B.2 V2 c.5 D.42 21 0.桶 圆C:+2r=l(a b 0)的左顶点为A,点P,Q均在C上，且关于y轴对称.若直线ARAQa b-的斜率之积为1，则C的离心率为()4A与 B.也TC.2D.231 1.设函数/(x)=sin在区间(0,无)恰有三个极值点、两个零点，则0的取值范围是()A.5 1 3、L一3 ,6)B.苣%(U 8D.3 6 JLz.6 31 6飞_3 1 112 已知。=一,/?=co s ,c=3 2 4=4s i n,则(4)A.c b a B.h a cc.abcD.a c b二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13 .设 向 量 坂 的 夹 角 的 余 弦 值 为 g,且 同=1,M=3,则（2 +万）彳=.丫 214.若双曲线丁一一 二 1（根 0）的渐近线与圆x 2+y 2-4 y +3 =。相切，则加=.m15 .从正方体的8 个顶点中任选4 个，则这4 个 点 在 同 一 个 平 面 的 概 率 为.A T16.已知AABC中，点。边 8 c 上，Z A D B=12 0,A D =2,CD=2 B D .当，取得最小值时，A BB D =.三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17.记 S“为数列 a“的前项和.已知 卫+=2 4 +1.n（1）证明：a,是等差数列；（2）若&，%，/成等比数列，求 S”的最小值.18 .在四棱锥 P-AB C。中，尸。，底面4 3。,。43,4）=。=。？=1,48 =2,。2=百.（1）证明：B D L P A -.（2）求 PO与平面R1 6 所成的角的正弦值.19 .甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.己知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X表示乙学校的总得分，求 X的分布列与期望.2 0 .设抛物线C:）a=2 p x（p0）焦点为F,点）（p,0）,过尸的直线交C 于例，N 两点.当直线MQ垂直于x 轴时，|M F|=3.(1)求C的方程;(2)设直线MRN O与C的另一个交点分别为A,B,记 直 线 的 倾 斜 角 分 别 为 生，.当。一取得最大值时，求直线A B的方程.X2 1.已知函数/(x)=-l n x +x-a.(1)若/(x 0,求”的取值范围；(2)证明：若/(x)有两个零点内,%，贝 口 也 1.(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程-2+/X 2 2.在直角坐标系x O y中，曲线G的参数方程为J 6 C 为参数)，曲线G的参数方程为2+sx=-s i n 6 =0,求C3与G交点的直角坐标，及G与交点的直角坐标.选修4-5：不等式选讲2 3.已知a,b,c均为正数，且/+/+4。2=3,证明：(1)a+Z?+2 c 70%,所以A错;2讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%=20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%20%,所以D错.故选:B.3.设全集。=-2,-1,0,1,2,3,集合A=-l,2,8=x|2-4+3=0 ,则(ADB)=()A.1,3 B.0,3 C.-2,1 D.-2,0【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，8=*,2 _以+3 =（）=1,3 ,所以Au3=-1,1,2,3 ,所以 0（AD5）=-2,0.故选：D.4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为A.8【答案】B【解析】【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体，如图，zlY 则该直四棱柱的体积丫=2 x 2 x 2 =1 22故选：B.5.函数y =（3,3-0c o s x在 区 间 一的图象大致为（）A.B.12 C.16 D.20一 三 0/三 X2【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令/(x)=(3，-3 f co s x”,则 f(-x)=(3-3*)co s (-x)=-(3*-3 T)co s x =-/(x),所以/(x)为奇函数，排除BD；又当时，3v-3-v0,co s x 0,所以/(x)0,排除 C.故选：A.6当x =l时，函数/1(幻=的m +取得最大值一2,则 八2)=()X1 1A.1 B.C.-D.122【答案】B【解析】【分析】根据题意可知/(I)=-2,/(1)=0即 可 解 得 再 根 据/(X)即可解出.【详解】因为函数“X)定义域为(0,+8),所以依题可知，/(1)=-2,/(1)=0,而1。/(x)=-?,所以。=-2,a-/?=0,即4 =一2,/?=-2,所以/(1)=+,因此函数/(x)在（0）上递增，在。,内）上递减，=1时取最大值，满足题意，即有r（2）=i+g=g.故选：B.7.在长方体ABCQ-ABCQ中，已知耳。与平面A3CD和 平 面 所 成 的 角 均 为30。，则（）A.A6=2AD B.AB与平面ABC。所成的角为30C.AC=CBt D,用。与平面BBC。所成的角为45【答案】D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出.【详解】如图所示：依题以及长方体的结构特征可知,与平面A8CO所成角为/g D 8,瓦。与平面A4g 8所成角为NO a A,所以c b I _sin3=-z-=-,即Z?=c,BQ =2c=a?+b?+c2，解得Q=V5C.!ZJ 1 /J 1对于 A,AB-a,AD-b,AB=4AD,A 错误;对于B,过B作8E_L A 4于 后，易知平面ABC。，所以A 3与 平 面 所 成 角 为4 4 ，因为 tan N BAE=、一，所以 ZBAER30，B 错误；对于 C,AC=ya2+b2=c a 2CB=y/b+c2=V2c，AC 丰 CB,c 错误;对于D,用。与平面BBC。所成角为NO 6 C，sin NDBC-CD a 0而0 /力4。b 0）的左顶点为4,点尸，。均在C上，且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为工，则C的离心率为（）4A.B B.C.；D.-2 2 2 3【答案】A【解析】【分析】设P（%，X）,则Q（一 办,）1）,根据斜率公式结合题意可得一?7=1,再根据+ci 42 2工+”=1,将,用X 1表示，整理，再结合离心率公式即可得解.a b【详解】解 法1：设而不求设p（%,y）,则Q（F，X）则由心P 心2=（得:kAp-kAQ=-玉+aX _ 靖=1_X j +Q _%2 +Q_ 4由 +4 =1,得 城（一:）,所以I 12 卜2 71 2-二C l V n-%,2+a 2 4A即2所以椭圆。的离心率e =、1 X=3,故选A.a a2 2解法2：第三定义设右端点为B,连接P B,由椭圆的对称性知：kPH=-kAQ故 A P ,“A Q =二 一 W由椭圆第三定义得：kP A-kA Q=-,故 小4所以椭圆c的离心率6=、二5=且，故选A.a a2 211.设函数/（x）=s i n o x+g）在区间（0,无）恰有三个极值点、两个零点，则。的取值范围是（）【答案】C【解析】7C【分析】由X的取值范围得到。x+1的取值范围,再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：依题意可得。（）,因为x e（O,），所以。x+，S r+J,要使函数在区间（0,%）恰有三个极值点、两个零点，又丫=4 11%，万）的图象如下所示:故选：C.31 1 112.已知。=一,/?=c o s ,c =4 s i n,则()32 4 4A.c b a B.h a c C.a h c D.a o h【答案】A【解析】c11【分析】由=4tan-结合三角函数的性质可得c b;构造函数/（x）=COSJC+/x?一 1,（0,+。），利用导数可得b a,即可得解.【详解】解 法1：构造函数因为当 x e（0,/）,x 1,故所以c；b 4 b,1 2设/(%)=COS X+X-1,X G(0,+O0),/W =-s in x+x 0,所以f(x)在(0,+oo)单调递增,故 J（丁 /（。）二 ,所以 cos-0,4 32所以所以故选A解法2：不等式放缩因为当工 0,5），sinx x,1 1 l-2 -=一，故8 4 8 324sinFcos-=y/11 sin F 6?,其中 一,且 sin =-,cos cp -=4 4 U )I 2 j,V17 V17当 4 sin F cos =J17 时，卜(p=一,及 cp 二-4 4 4 2 2 4此时s in L c o s展二，c o s L s in展I4 V17 4 V17故 cs =I I-sin 4sin,故方 8 a,故选A解法3：泰勒展开设x=0.2 5,则。=31=1 0 25232 2ZJ=COS-1-4O R20.2544-4!.IA.1 S in4,0.252 0.254 曰,“小c=4sin-=-+-,计算得c Z?a,故选A.4 1 3!5!4解法4：构造函数因为 =4tan，因为当xe 0,2,sinx x,，即 1,所以c/；设b 4 I 2)4 4/(x)=cosx+x2 l,xe(0,+oo)/(x)=-sin x+x 0,所以f(x)在(0,+8)单调递增，则/!/(0)=0,所以cos，-卫 0,所以人“，所以c b a,4 32故选：A.解 法5：【最优解】不等式放缩因为 =4 ta n,，因为当二,sinxx,，即 1,所以/?；因为当b 4 2；4 4x e jo,g),sin x ，所以c Z?a.故选:I 2；8 4 8 32A.【整体点评】法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；法5：利用二倍角公式以及不等式x e(0,),sinxx0）的 渐 近线为y =，即x m y =O,m-m不 妨 取x +m y =O,圆Y+j 4 y +3 =。，即f+（,一2 7 =,所以圆心为（0,2）,半 径 厂=1,依题意圆心（0,2）到 渐 近 线x+m y =0的 距 离d=-L =1,yjl+m2解 得 加=是 或 m =.（舍 去）.3 3故答案为：也31 5 .从 正 方 体 的8个 顶 点 中 任 选4个，则 这4个点在同一个平面的概率为【答 案】金【解 析】【分 析】根据古典概型的概率公式即可求出.【详 解】从正方体的8个顶点中任取4个，有=C；=7 0个结果，这4个点在同一个平面的有7 7 7 1 9 6a=6+6 =1 2个，故 所 求 概 率P=.n 7 0 3 5故答案为：AC1 6 .已 知A BC中，点。在 边B C上，Z A D B =1 2 0 ,A D =2,C D =2 B D .当 吐 取 得 最 小 值 时,A BBD=.【答 案】V3-l#-l+V3【解 析】人0 2【分析】设C D =2 BO =2 2 0,利用余弦定理表示出勺三后，结合基本不等式即可得解.AB-【详解】方 法1：（余弦定理）设 C D =2 B D=2m 。,则在中，A B2=B D2+A D2-2 B D-A Dc o sZ A D B=z n2+4+2m.在 AAC D中，A C2=C D2+A D2-2 CD-A D c o s Z A D C=W +4 -4 m-A C2 _ 4 m2+4-4/7?所以益7-/荷+4 +2+4 +2，)一1 2(1 +/%)12m2+4 +2 m(,3(J+1)+-m+4-1 22.(m+1)-V m +1=4-2g3当且仅当加+1=即加=6-1时，等号成立,m +1AC所 以 当 布 取最小值时，Z =6-1.故答案为：V3-1.方法二2：（建系法）令BD=t,以D为原点，0 C为x轴，建立平面直角坐标系.则 C(2 t,0),A (1,也),B(-t,0)士=(2 f+3 =4 i+4=4 _ _ 1 2 _I _2 6A B (+1)一+3 r+2 t+4(r +l)+3 方法三3：(余弦定理)z +1当且仅当f +l =K，即时等号成立。设BD=x,CD=2 x.由余弦定理得c1=寸 +4+2 xb2=4 +4X2-4X2 c 2 +h2=1 2 +6 x2，-x2+4+2xb2=4+4 f -A xA C=12+6/，令 瓦”则 2/+产/=1 2 +6通2 12+6x2 12+6x2/r +2=弓=-=6c x+2x+42x+1)+36-273,x+17*2 2百,3当且仅当x+l=，即x=6 +l 时等号成立.X+1解法4：基本不等式设 BD=x,则 C)=2x在AB 中，AB2=BD2+AD2-2BD-ADcosZADB=x2+4+2x在 AACD中，AC2=CD2+AD1-2CD-ADcos ZADC 4x2+4-4x)AC2 _ 4x2+4-4x _ 4(x2+4+2x)-12(l+x)所以商7-f+4 +2xx+4+2x=4(”+1)+3x+1 4-122、(x+l=4-2733X+13当且仅当x+l=即X=6-1 时，等号成立，X+1A(J所以当法取最小值时，X =G-1，即80=6 1.解法5：判别式法设 B0=x,则 8=2x在AB中，AB2=BD2+AD2-2BD ADCOSZADB=X2+4+2X在AACD中，AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosZADC=4x2+4-4x)AC-4x-+4-4x、r 4x-+4-4x所以一 7=-，记r=；-AB x+4+2x jr+4+2 龙则(4 T)f -(4+2r)x+(4-4r)=0由方程有解得：=(4+2。2-4(4。(4 旬 20即*8 r +4w。，解得：4-2 6 4 r 44+26所以g n =4 28，此时-=6-1n u n4 T Q所 以 当 屋 取最小值时，x =V 3-l.即8 0 =6-1-解法6：设 C D =2 B D=2 m0,则在A B)中，A B2=B D2+A D2-2 B D-ADcosZADB=m2+4+2m.在AAC D中，A C2=C D2+A D2-2 C D A Dc o sZ A D C=4 m2+4-4m)A C2 _ 4/+4-4?_ 4(疗+4 +2 4)-1 2(1 +痴)_ /1 2所以 A B2 w2+4 +2 m/n2+4 +2 m 4 i I2-=4 2 82.(rn+1)-V m +13当且仅当加+1=即m=Gi时，等号成立，m +1 Q所以当下一取最小值时，m=6-1.故答案为：V3-1.3m+l)+m+1解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 60分.2 s1 7.记S“为数列 4 的前项和.已知一+=2 4 +1.n(1)证明：q是等差数列；(2)若%,外,。9成等比数列，求s”的最小值.【答案】(1)证明见解析;（2）-78.【解析】2 S,H =1【分析】依 题 意 可 得2S,+2=2%+，根据q 力 作差即可得到4 -a,i=l,-S,T，2 2从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项 性质求出,即可得到 4,的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得.【小 问1详解】25因为-+n=2an+1,即 2s“+=+，n当2时，2S._+（-1）2=2（/i-l）a,1_l+（_1），一得，2s“+-2S“_-1）=2ntz“+-2（“-1）,即 2a“+2 1=2na“2（1）a“_ 1 +1，即2（-1）。“一=2（-1）,所以a“一2且 eN*,所以 6,是以1为公差的等差数列.【小问2详解】方法一:二次函数的性质由（1）可得%=6+3,“7=4+6，佝=q+8,又4，%,旬成等比数列，所以=4,&），即（4+6）2=（4+3（4+8）,解得q=-12,所 以%=n-13,所以S“nn-12n+2一马25n-226252278所以，当 =12或=13时，（S.L=-7 8.方法二:【最优解】邻项变号法由（1）可得%=%+3,%=%+6，佝=。|+8，又，7%成等比数列，所 以%即（q+6）2 =（4+3（4+8）,解得q=-12,所以-1 3 ,即有q 。12 =6.（1）证明：B D L P A -.（2）求P D与平面j R 46所成的角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；好.5【解析】【分析】（1）作于E，C F L A B于F，利用勾股定理证明A。，8 0,根据线面垂直的性质可得 P D 上B D，从而可得6 0,平面P A D，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点。为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.【小问1详解】证明：在四边形A B C。中，作O E L A B于E，C F 上A B 于 F，因为 8/A B,A O =Cr =CB =l,A B =2,所以四边形A B C。为等腰梯形,I h _所以A E=B F=5，故O E=，BD=JDE2+BE2 =6,2 2所以 A 2 +8 2 =A S 2，所以 A D _L B O,因为B O _L平面A 3 C Q，BD u平面A B C。,所以 D_L B Q，又 PDcAD=D，所以8。_L 平面P A。，又因为P4 u平面P A ，所以【小问2详解】解：如图，以点。为原点建立空间直角坐标系,BD=y/3，则 A(i,o,o)“,G,o),p(o,o,6),则/=(1,0,6),丽=倒,66),丽=(0,0,司,设平面A钻 的 法向量3 =(x,y,z),n-AP=-x +6 z -0 _/广、则有 一 厂，可取=6,1,1 ,n-BP=-y/3y+y/3z=0 则3 伍 丽）=瑞V 55，所以PD 与平面。钻 所成角的正弦值为1 9.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1 0 分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.【答案】（1）0.6；（2）分布列见解析，E（X）=1 3.【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A8,C，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，X的可能取值为0,1 0,2 0,3 0,再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望.【小 问1详解】设 甲 在 三 个 项 目 中 获 胜 的 事 件 依 次 记 为 所 以 甲 学 校 获 得 冠 军 的 概 率 为P P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）=0.5 x 0.4 x 0.8 +0.5 x 0.4 x 0.8 +0.5 x 0.6 x 0.8 +0.5 x 0.4 x 0.2 =0.1 6 +0.1 6+0.2 4 +0.0 4 =0.6.【小问2详解】依题可知，X的可能取值为0/0,2 0,3 0,所以，p（X=0）=0.5 X 0.4 X 0.8 =0.1 6,P（X=1 0）=0.5 X 0.4 X 0.8+0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2 =0.4 4,P（X=2 0）=0.5 x 0.6 x 0.8+0.5 x 0.4 x 0.2+0.5 x 0.6 x 0.2 =0.3 4,产（X=3 0）=0.5 x 0.6 x 0.2 =0.0 6.即X的分布列为X01 02 03 0P0.1 60.4 40.3 40.0 6期望 E（X）=0 x 0.1 6 +1 0 x 0.4 4+2 0 x 0.3 4+3 0 x 0.0 6 =1 3.2 0.设抛物线。：丁=2网0）的焦点为尸，点。（,0）,过尸的直线交C于M,N两 点.当直线垂直于x轴时，|M F|=3.（I）求c的方程；（2）设直线与c的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为a,/?.当。一取得最大值时，求直线AB的方程.【答案】（1）y 2=4 x；（2）AB:x=V2y+4.【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得|MF|=p+g,即可得解；（2）法一：设点的坐标及直线N:x =my+1 ,由 韦 达 定 理 及 斜 率 公 式 可 得=2%，再由差角的正切公式及基本不等式可得心8=孝，设直线4 8:=也），+，结合韦达定理可解.【小 问1详解】抛物线的准线为x=-5,当与x轴垂直时，点M的横坐标为p,MF=p+y =3,所以 p=2,所以抛物线C的方程为y 2 =4X；【小问2详解】方法一:【最优解】直线方程横截式设 加 停,/）,资,必,A但,为，8 卷，%，直线MN:x=my+l,x=my+1 今由 2 ；可得/_ 4碎 尸4=0,A 0,=-4,y=4xk r X 4:）0 4由 斜 率 公 式 可 得.一._ 一 乂 +%,一 片 _ 旦 一 力+”，4 4 4 4直线M。：x=0二2.y+2,代入抛物线方程可得y2.y-8=0,%,0,乂%=-8,所以=2%，同理可得=2%，.4 4所以心/?=-7-=T 7 _ 7_ =必 +4 2（必 +%）2又因为直线MM AB的倾斜角分别为%,所以6=tanp=g =4,若要使a-尸 最大，则 e（0,、），设 右=2B=2 左 0,则_/2-4，1历当且仅当一=2攵即左=在 时，等号成立,k 2所以当a-尸最大时，原芋，设直线A B:x =J y +,代入抛物线方程可得y 2 -4&y-4 =0 ,A 0,y3y4=-An=Ayy2=-1 6,所以=4,所以直线A 8:x =J y +4.方法二:直线方程点斜式由题可知，直线MN的斜率存在.设”（百,y）,N（w,必）,A（玉,%），8（*），直线 MV：V =M%T）由,2）；D 得:/f _ 0左2+4）+4公=0 ,X Z=4,同理，弘必二-4 直线M。：丫=三（无-2）,代入抛物线方程可得：%七=4,同理，x2x4=4.X 2代入抛物线方程可得:x%=-8,所以为=2%，同理可得=2 y ,k由斜率公式可得：A B3 412伉_%)X2 X 7（下同方法一）若要使。一4最大，则/e 0,设 MN=2%=2 4 0 ,则，心一夕)-t an a-t an 尸_ 1 =1 +t an。t an 1 1 +2 Z 1+2&ok 24 ，1J?当且仅当一=2 Z即左=在 时，等号成立,k 2所以当a一 最大时，M号,设直线4 8:%=收 +，代入抛物线方程可得2 40y 4 =O,0,%”=-4 =4乂 乂=-1 6,所以 =4,所以直线A B:x=0y+4.方法三:三点共线设,N（半为 ,A，力,4号 为，设 P（r,O）,若 p、M、N三点共线，由 两=（1_/,凹）,丽=?,必/2 A/2 所 以 1 一t y2=-t y,化简得x%=-4 f,I 4 7 1 4 7反之，若 y%=-4/，可得MN过定点（r,0）因此，由M、N、F三点共线，得乂必二-4，由M、。、A 三点共线，得%=-8,由N、D、B 三点共线，得%4=-8,则%”=4乂%=-1 6,A B 过 定 点（4,0）（下同方法一）若要使。一，最大，则夕箱-t a n a-t a n -一 一 _ 1 0,则 I 7 l+t a n a t a n 1 +2 /1+2k （TT 4 ，%2 kIE当且仅当丁=2 攵即左=在 时，等号成立，k2所以当a-尸最大时，1=与,所以直线A B:x =J y +4.【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线MN,A B 的斜率关系，由基本不等式即可求出直线A 8 的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线A 3过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法.2 1.已 知 函 数=l n x +x-a.(1)若(尤经0,求。的取值范围；(2)证明：若/(X)有两个零点占,工2，则斗 1.【答案】(1)(-0 0,+1(2)证明见的解析【解析】【分析】(1)由导数确定函数单调性及最值，即可得解；(2)利用分析法，转化要证明条件为上一x e；-2x _ 2 x【小 问1详解】解 法1：常规求导/(X)的定义域为(。,+。)，则 f x)=|-y -+1 I 1-X X J X XJ令/(x)=0,得 X =1当 X G(0,1),f x)0 J(x)单调递增/(x)/(I)=e +1 a ,若/(x)N 0,则 e+l-a N O,即 a e +l所以。的取值范围为(-8,e+1 解法2：同构处理由/(x)2 0 得：f-|n v+j r+x-l n%-a 0令 =x-l n x,r 2 1,则/(r)=d +/-a N O 即令 g(r)=e +r,/e l,+o o),则 g(，)=+1 0故g(r)=e +r在区间。,物)上是增函数故g(，L i n =g(l)=e+L 即a W e +1所以”的取值范围为(-8,e+l 小问2详解】解 法1：构造函数由题知,/（x）一个零点小于1,一个零点大于1,不妨设内1%21要证无押2 1，即证王 一1(1 A因为王,一6(0,1),即证工2 X2J(1、又因为/(%)=/(9),故只需证./(%)/kX2 7ex-1即证-nx-x-xex-I nx 0,x e (l,+o o)x x即证-e-x-xex-2 In x I fx 1 0下面证明%1时，-e-x-xex1 0,l n x I f x 1 )1,x所以9（力 以1）=6，而，x -1 f cx-/ex/t/(1 1)三 1 e设 夕 a)=I(x)()=一/卜X-l exv 0nX所以h e，0,所以g (x)0X所以g（x）在（1,行）单调递增即g(x)g =0,所以 x N 0X卜生3=用。所以在a,-）单调递减即 h(x)/z(l)=0,所以 In 九 一；0,所以玉龙2 1,则/(r)=t+l n r a,/(/)=1+-0所以/(r)=r+l n r a在(l,+o o)上单调递增，故Xt/。)=0只有.1 个解PX pX 又因为 x)=+l n-a有两个零点方,超，故/=X Xx x2I I X 一 1两边取对数得：内-1 哼=”，即Et又 因 为 同 1nH(*),故斥 1,即王 1下证 ；:二：_(*)In 玉-In x2因为 J r 1 v-In x.-l n x9 X In l,则只需证2 1 n r 1,则 )=一1 一-=-1 1-I 0故(，)=2 山 一，+；在(1,+0)上单调递减故(/)/?(1)=(),即 2 1 n f 0）;（2）G，G的 交 点 坐 标 为（1,2），。3，。2的交点坐标为H，-l）,【解析】【分析】（1）消去心 即可得到的普通方程；（2）将曲线。2，6的方程化成普通方程，联立求解即解出.【小 问1详解】因为X=岁，丫 =&,所以x =2上 匚，即G的普通方程为y 2=6 x 2（y N 0）.6 6【小问2详解】2 +c 1因为X=-,y=-y/s,所以6 x =-2-丁，即C,的普通方程为y 2=_6 x-2（y 2 p c o s 9-x?s i n e=0,即 C 3的普通方程为2 x-y =0.联立，=6 x-2（v 0）、）,解得：1X 2或 X-_2,即交点坐标为（;,1，。，2）；2 x-y=0y =ly联立=-6 x-2(y 0)U),解得：2 x-y =01x=2或4=Tx =T（,，即交点坐标为 丁 =-2 1(T-2)选修4-5:不等式选讲2 3.已知a,b,c均为正数，且4+4。2=3,证明:(1)a+b+2 c 3；（2）若b=2 c,则工+2 2 3.a c【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）方法一：根据。2+/+4 0 2=/+/+（2 0）2,利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合己知可得0 （+/?+2C）2,所以。+匕+2。4 3,当且仅当。=2 c =l时，取等号，所以Q+/?+2C4 3.方法二:基 本 不等式由 a?+/2 2 ab，b1+4 c2 4 bc，a2+4 c2 4 a c，（Q+Z?+2C）2 =a2+Z?2+4 c2+2 ab+4 hc+4 ac0,b 0,c 0,由（1）得Q+/?+2C=Q+4C 3,即0。+4 c -,。+4 c 3由权方和不等式知工+!=上+”2（+2）=9 2 3,a c a 4 c。+4 c a+4 c1?1当且仅当一=一，即。=1,。=一时取等号，a 4 c 2所以I N 3.a c【点睛】（1）方法一：利用柯西不等式证明，简洁高效，是该题的最优解；方法二：对于柯西不等式不作为必须掌握内容的地区同学，采用基本不等式累加，也是不错的方法.