2023届河南省顶级名校高三上学期第一次月考试题数学（理）试题（解析版）.pdf

2023届河南省顶级名校高三上学期第一次月考试题数学（理）试题一、单选题1.已知集合？=M l o g 2 X l,Q=x|言4。,贝 1 J（4P）I。=（）A.-2,2 B.（-2,2|C.0,2 D.（0,2【答案】B【分析】利用对数不等式及分式不等式的解法求出集合P，。，结合集合的补集及交集的定义即可求解.【详解】由l o g 2 尤 1,得 x2,所以尸=x|x 2,QP=x|x 2.由 急 40,得-2 x V 3,所以。=卜|一2 4 3,所以母 P）n =x|x 4 2 n M _2 2-m+nim,neR）,aa）2=（x+y i）（，w+i）=（，n r-政）+（n r+殁）i,所以，=（a-肛）。+（依+，）=!m2x2+n2y2+n2x2+m2y2=，卜2+）2）+叫=.|匈，设z2 =a+6 i（a,6 eR）,则 Z z=a-b i,所以，|z2|=V2+b2=|z2|,因为 Z 2*。，则,2 1 T z2 1 0,i|zi,Z2|=|Z|-|z2|=2|Z2|故=2.故选：B.3.若小或是夹角为6（T的两个单位向量，则 =2 1+0 2 与各=一3 1+2 4 的夹角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】C【分析】先求得蔡的值，根据数量积的运算法则求得7 5 以及7 坂 的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意可得1 =lxlxcos60=g,故。=（261+/）（-34+2/）=-6e：+6 /+2/2 1 -7=6H F 2=,2 2故 cos 出 =_7a-b _ 2 _ 1.一77.77一 一5由于 4历 0,乃,故 4,5=120。,故选：C4.执行如图所示的程序框图，如果输出s=3,那么判断框内应填入的条件是（）/输 出_ J _ 结束）A.k6?B.k&7?C.fc8?D.k log,(8)=3故可知判断框内应填入的条件是:47?故选:B.【点睛】本题考查了根据输出结果求判断框应填入的条件，解题关键是掌握根据框图计算的方法和对数运算法则，考查了计算能力和分析能力,属于基础题.5.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P 会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数f之间的函数关系式为P=(g)!(其中。为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半 衰 期 若 2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的7 5%,则可推断该文物属于()参考数据：1 鸣 0-75N-0.4参考时间轴：-475-2H121-202(1-1-1)2 2 0 618 907 960 1279 公元2021年1-1-1 H-1-*战国 汉 唐 宋A.宋 B.唐 C.汉 D.战国【答案】D【分析】根据给定条件可得函数关系P=g)5 7 3。，取尸=0.75即可计算得解.【详解】依题意，当，=5730时，P，而 P 与死亡年数/之间的函数关系式为=(；)(,1 1 5730 z x 则有(=9=，解得a=5 7 3 0,于是得P=/0,当 P=0.75 时，山 沟=0.7 5,于是得：=log,0.75=-log,0.75=0.4,解得2 2)I J)2r=5730 x0.4=2292,由2021-2292=-271得，对应朝代为战国，所以可推断该文物属于战国.故选：D6.红海行动是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事.撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E、尸必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有A.240 种 B.188 种 C.156 种 D.120 种【答案】D【详解】当 E,F排在前三位时，乂=(8 用 血=24,当 下排后三位时，N2=(C；4)(A；&)=7 2,当 E,F 排 3,4 位时，M=(C；A；)&A；=24,N=120 种，选 D.7.函数.x)=2 s in(s+0 (。0 且0 3 兀)在一个周期内的图象如图所示，将函数 y=/(x)图象上的点的横坐标伸长为原来的2 倍，再向右平移:个单位长度，得到函数 y=g(x)的图象，贝()ykA.y/3 B.1 C.-1 D.y/3【答案】A【分析】由图象得f(x)的解析式，再由三角函数的图象变换可得函数g(x)的解析式，即可求g 1).【详解】解：由图象可知：T=?5一 冗 三冗=?7 T ，则7=兀.由7=2三7r，得。=2.2 8 8 2 3则/(x)=2sin(2x+e).:点在函数图象上，,2=2sin(2x1+9 j,二 e =2ht+：,Z eZ.；0 *it,：.0,0,/,(x)0,当x e(-l,0)时，ln(l+x)0,史 0,.r(x)0,故 x)在(0,+a)单调递增，在(T O)单调递减，A 错误；当x=0 时，0)=0,当-l x 0时，ln(l+x)0,当x 0 时，ln(l+x)0,x)0,所 以 只 有 x=0 一个零点，B 错误；令；，r(-=l n|-l =-l n 2-l,故曲线y=/(x)在点处切线的斜率为一l-ln 2,C 正确；由函数的定义域为(-1,内)，不关于原点对称知，.f(x)不是偶函数，D 错误.故选：C.9.已知A,B是抛物线C:y?=4x上两动点，F 为抛物线C 的焦点，则下列说法错误的是()A.直线钻过焦点厂时，最小值为4B.直线A 8过焦点尸且倾斜角为60。时(点 A在第一象限)，AF =2 BF C.若 4 8 中点的横坐标为3,则|A网最大值为8D.点 A坐标(4,4),且直线AT,A 8斜率之和为0,AF与抛物线的另一交点为O,则直线3 0 方程为：4x+8)，+7=0【答案】B【分析】对于A,易知当4 8垂直于x轴时，|A用取最小值4,故A正确；对于B,联立方程求得心与乙，从而得到|4尸|=3忸尸|,故8错误；对于C,由|阴4|/回+忸丹可推得当直线A3过焦点产时，|AB|最大值为8,故C正确;对于D,利 用 条 件 分 别 求 出 的 坐 标，从而求得直线8 0的方程，故D正确.【详解】依题意得，抛物线C：V=4x的焦点为尸(1,0),准线为x=-l,。=2对 于A,直线A8过焦点尸，|阴=4+/+2=/+/+2,当A8垂直于x轴时，|AB|取最小值，此时|隅=1+1 +2=4,故A正确；对 于B,由题可知，直线A8为y=G(x-l),代入y 2=4 x,整 理 得 犷-10 x+3=0,解得x=g或x=3,所 以 朋=3+勺4,网号+片；即 朋=3网，故B错误;对于C,由于A,5为两动点，所以|明4同刊+忸同=%+/+2 =8,当且仅当直线A3过焦点产时等号成立，故C正确；k-4 _乃-%_ 以-%一 4/.、对于 D,依题意，3 xA-xD yA+yD 故=T，即-4 r同 理 可 得 子,-7),故直线瓦)方程为4x+8y+7=0,故D正确.故选：B.1 0.在三棱锥尸-ABC中，平面ABC,AB=2,AABC与尸A3的外接圆圆心分别为。1 ,O2,若三棱锥P-A B C的外接球的表面积为16乃，设A=。，O?A=匕，贝I 的最大值是()A.旧 B.V10 C.2石 D.2亚【答案】B【分析】由题可得抬=5/。，然后利用球的性质可得04=，储+62_1,进而可得/+匕2=5,再利用基本不等式即求.【详解】；%_!平面A8C,PAA.AB,则PA8为直角三角形，其外心。为P8的中点，AABC的外心。.:.PB=2OA=2b,又 A B =2,4=(-4 =2扬 一1，设三棱锥P-A B C的外接球的为。，连接。则。平面A8C,.OQ JLQA,，OA=J o W+(；可 =yla2+b2-l,又三棱锥尸-AB C的外接球的表面积为16%,4万(/+-1)=16万，Bp a2+b2=5 由 /+/2 2 ,可得2(/+h2a1+b2+2 ab-(a+b,：.a+b/10.故选：B.1 1.蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡建成的，从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是109 28，这样的设计含有深刻的数学原理.我著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构，著有 谈谈与蜂房结构有关的数学问题一书用数学的眼光去看蜂巢的结构，如图，在六棱柱A B C Q E F-A8CF 的三个顶点A C E处 分 别 用 平 面，平面8 0 0，平面。FW截掉三个相等的三棱锥M-A B R O-B C),N-)E F,平面平面BD O,平面。FN交于点P,就形成了蜂巢的结构.如图，设平面P3OO与正六边形底面所成的二面角的大小为。，则()tan54 44tan54 44tan54 44立333-eet a nc o sA.c【答案】C 分析】利用 MB的面积与A B C D的面积比可求cos。的值.【详解】解：先证明一个结论：如图，AA3C在平面a 内的射影为VABC,证明：如图，在平面夕内作C E _ L M,垂足为E,连接EC.,因为AABC在平面a 内的射影为VABC,故CC a,因为A B u a,故CC_LA8,因为CEcA8=E,故 A8J_平面ECC.因为E C u 平面ECC,故C Z _L A B,所以NCEC为二面角的平面角，所以NCEC=，.在直角三角形CEC中，cosNCEC，=cos9=嗫EC=芍S皿.ECS由题设中的第二图可得：8$夕=产.ZDBO设正六边形的边长为。，则YDBC 2 2 4如图，在 ZMO中，取 5。的中点为W,连接0 W,则OW LBO,且 BD=扃,NBOD=10928,故 0W=2x2tan 54 44故S.1tan 54443 2 1a x-；-4 tan 54 44故 cos 0=tan 54 44.3故选：C.【点睛】1 2.已知函数 x)=vxlnx,x0,0,x=0,则下列说法正确的是()；/(x +l),x-e t 设奴x)=e(x 0),利用导数可得其在(0,+8)上是增函数,X所以得aW xlnx对任意的xN e恒成立，再由 x)=xlnx的单调性可得结果.【详解】对 于 ,当 3,-2,.x+3e(0,l,f(x+3)=(x+3)ln(x+3),V/(x)=l/(x+l)=/(x+2)=1/(x+3),二/(x)=*+3)ln(x+3),正确；o对于，当x N l时，由得相 土 也，令 8(X)=业”(犬*1),x+1 x+1则 g(x)=(x+1)(1+lnx)-xlnx(X+丁x+lnx+1(X+l0(x21),所以g(x)在1,W)上单调递增，因为不等式/(x)-w-m 0 至少有3 个正整数解,所以不等式司-皿-机g(3)=苧，所以错误，对于，设切点丁优,),则=/(%)，x()In 4 _，1 n X+,即 d%+lnx+1 =0,i/?(x)=e2x+ln x+l,当x 0 时，X0+2(x)是单调递增函数，心)=0 最多只有一个根，又心卜2 +哈+1 =0,；.与=|,由/(与)=一1得切线方程是x+y+1 =0,故正确；对于，由题意泌匚111工 2标.设 8(力=广炉(0),贝!/(x)=(x+l)e*0,于是Q(x)X在(0,+8)上是增函数.0,lnx0,xInx,即。对任意的xN e恒成立，因此只需。工(x ln x L.当xNe时，由/(%)=xlnx,/(x)=lnx+l 0,/(%)在e,+oo)上为增函数，./(x)n,n=/(e)=e,a e,即。的最大值是e,正确.故选：A.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是根据题意构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性分析判断，考查数学计算能力和分析问题的能力，属于难题.二、填空题1 3 .(x-2 y +z的 展 开 式 中 的 系 数 是 (用数字作答).【答案】-4 4 8 0【分析】(x-2 y+z=(x-2 y)+z 8,把三项式转化成二项式，利用二项式定理求解.【详解】解：(x-2 y +z)8=K x-2 y)+z，其展开式的通项为令厂=2,则8-厂=6,(x-2 y)6的通项为心尸C*7(_ 2=C：(-2)“产 沙，令&=3,xV的系数为(-2)3 =-1 6 0.所以(x-2 y +z)8的展开式中3 y 3 z 2的系数是C；x-1 6 0=-4 4 8 0.故答案为：-4 4 8 01 4 .过点尸(2,2)作圆一+丁=4的两条切线，切点分别为A、B,则直线A3的方程为【答案】x+y-2=Q【分析】由题知A(),2)、8(2,0),进而求解方程即可.【详解】解：方 法1：由题知，圆Y +y 2=4的圆心为(0,0),半径为厂=2,所以过点户(2,2)作 圆/+丫2=4的两条切线，切点分别为A(),2)、8(2,0),所以MB=T，所以直线A3的方程为y =-x+2,即x+y-2 =0；x；+y；=4方法2：设A(XQJ,8(,%)，则由 乂-2 ,可得占+乂=2,-.-=1W x,-2同理可得%+%=2,所以直线A8的方程为x+y-2 =0.故答案为：x+y-2 =01 5.已知函数，(3)=/+如(2 犬+1)有两个不同的极值点4、/，且 占-g,则函数g(x)在-；,+()上有两个不等的零点，所以,解得0 a 八。)两个焦点分别为爪-c，0),g(c,0)(c 0),P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点MPM是 耳 巴 的 内 心，连接PM并延长交耳写于点N,则扁.【答案】往上12【分析】可利用“月鸟和 P 片人 的 面 积 比 先 求 出MN时，进 一 步 再 求 出PM扁.【详解】因为尸，M,N三点共线，故 可 先 求MN岗，再 求 出PM局如图，连接 K，MF2,设尸到X轴距离为dp,M到X轴距离为4,贝喘先著设小尸格内切圆的半径为，则 心 鹏=#用，=S 4 PFM =S 4 MFF?+S 4 MPR+=g忻 用r+；W+#即百周+卜(|S|+|P段)J 1 c=2 c r+广2。2 2=(。+。)广.|MN|=4 SMg cr c.|P N|dp S F、F2(c+)r c+a不 妨 设|例=cm,则 网=(c+d)m不 0),：.PM=PN-MN=am(m 0)#PM _ am _ a _ 1 _ 2 _ V5+1MN cm c e/5-l 2故答案为：叵 止.2三、解答题1 7.已知数列同满北：；滥 记=%,，写出A也，并求出数列也 的通项公式;(2)求数列a,的前2022项和邑叱.【答案】(1)4=1,仇=2,b,=T S 2 侬=2 2-2【分析】（1）根据%的定义求得仇,与，求出,=2 b,i，由等比数列通项公式可得结论;（2）由女得%,，”2,1，然后用并项求和法结合等比数列前项和公式计算.【详解】（1）4=/=4 =1，b2=ai=a3=2 a2=2bn=a2 n=a2 n-l=2 a2 n-2 =2 bn-l，又a=1I（2）a2 n=2 ,则 a2 n_t=a2 n=2 1a2 n-+a2 n=25 B 2 2 =2,+2?+2 2（1-2）1-2=2,0|2-218.如图，圆台下底面圆。的直径为A 3,C 是圆。上异于AB的点，且 N B A C =30,M N为上底面圆O 的一条直径，A V t A C 是边长为2 百的等边三角形，M B =4.（1）证明：B C_L 平面M 4 C；（2）求平面M A C和平面2 A B 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 干【分析】（1）线线垂直从而证明线面垂直.（2）利用向量法，即可求二面角的余弦值.【详解】（I）：A 8 为圆台下底面圆。的直径，C 是圆。上异于4 8的点,故 Z A C3=9 0又：/B A C=30,A C =2 y/3,AB =4=M BV AC=MC,BC=BC:.AABC*M B C,ZBCM=90A B C A.M C,又：8C_LAC,AC?MC C,AC,M C u平面M4C8C_L 平面 MAC(2)取AC的中点，连接。力O,则M_LAC,由可知，BC 1D MV ACBC=C,.I Q/W J_平面 ABC,又：8 LA C.以。为原点，D 4为X轴，。为y轴，D M为Z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得 A(G,0,0),8(-6,2,0),0。J_平面 ABC,；.DM/OO,四 边 形 为 矩 形，.N(0,2,3)平面MAC的一个法向量为1=(0,1,0).设平面N钻的一条法向量为后=(x,y,z),AB=(-2 7 3,2,0).而=(-6,2,3)由，n2AB=0匕 而=0得-2 G x+2y=0 _r令x=6,则y=3,3x+2y+3z=0z=l平面NA3的一个法向量为%=(/3,3,-1)入屋|3则平面M 4C与平面NAB的夹角的余弦值为占m=人 一闷 同 3+9+1135/1313平面MAC和平面N4B夹角的余弦值为主叵131 9.根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为:X1230概率a7a(l-p)2其中a O,O p l .每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为g且相互独立，事件A,表示一个家庭有i 个孩子（i =0,12 3）,事件B 表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多）.（1）若 P=；，求。和 P（B）；（2）为了调控未来人口结构，其中参数P 受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等）.若希望P（X=2）增大，如何调控。的值？是否存在。的值使得E（X）=g,请说明理由.4 7【答案】（l）a=百，P（B）=-;增加P 的取值；不存在，理由见解析.【分析】根据条件概率计算方法求出P（B l A）（i=L 2,3）,再根据3P（B）=ZP（81 A）P（A）即可计算求值；/=0（2）根据分布列的概率和为1 得 到,与 p的关系，构造函数 p）=p 2-3 p +,+3,利a p用导数判断其单调性，求出其./（P）单调性，从而可判断P（X =2）=a 的单调性，从而得到结果；根据分布列概率和为1 及 E（X）=g列出关于2的方程，判断方程是否有解即可.详解（1）由题意得：+a +a（1+=2a+a+-a +a=-a =,4所以a =P（B|A）=c：g，利 他）=c；（|,p（用3由全概率公式，得尸（B）=Z P（例 4）尸（4）/=0卷+唱&+(J+唱 P)=；F +；&+；a(l_ p)，又 P=:，则 P(B)=a =；乙P 7 乙 2 2.3由4 +a+a(l-p)+a(l-p)2=1,=p2-3p+3,P a pi己/()=/-3p+3,()/?!,则/(p)=2/-)记g(P)=2 p J3 p 2-l,则gp)=622-6p=6P(p-l)。，故g(P)在(0,1)单调递减.V.?(0)=-l,.-.g(p)0,：.f(p)0)I4.F=L 0,F(2)=-3 1 n 2 0F(l)F(2)0故 F(X)必然存在零点看,且%e(L2)又因为 F(x)=/l n x g l,当)时，F(x)0当 x e(0,2)时，令 k(x)=2 x-x2=x(2-x)(x +=1故p(x)=-I n x 1 I n x 1 1 I n x 1=I n x 0 时 g (x)。，g(x)递增；x),g(x)设 2-x 的交点为(/，%),由(2)中可知x e(l,2)心)=e当工(0,无)时，m)=g(x)(x)=g(x)一 =(x+l)l n x-i r2,h(x)=nx+x+-2 tx由题意得：(力2 0 在x e(0,x。)时恒成立，即有2 Y?+l+；叱+1 +4 在x w(0,x)上最值为2+1 +占X X X()“0故2 d g+工与 与-当 X(X o，+8)时，m(x)=/(x)/?(%)=f(x)-tx2=-t x2,/?(x)=M 2,x)_ 2/xec由题意得：(耳2 0 在(%,+8)时恒成立，即有2 d M令)=一，则九(1)=一 可 得 函 数 在(3,+8)递增，在(%,3)上递减，即可知在X =3e e处取得极小值，且为最小值e综上所述：2/一 y ,B|j t J-1X-2 2.在平面直角坐标系x O y 中，曲线C的参数方程为 o s/(/为参数，吟以t a n/2 2y=-2坐标原点为极点，X 轴正半轴为极轴建立极坐标系，己知直线/的极坐标方程为/j c o s(9-5)+/7c o s 0-l =0(w?e R).(1)写出/的直角坐标方程；(2)若/与C有两个公共点，求实数机的取值范围.【答案】（l）2，nr+y-2 =0 x=夕 cos。【分析】（1）利用 .A进行代换即可得到直线的直角坐标方程；（2）先将曲线C 的直角坐标方程求出，再和直线方程联立，从而将问题转化为二次方程在（0,+8）有两个解的问题，进而求解.【详解】（1）由夕cos（6 -.J+m-p c o se-l=0 得，/?cose+；夕sin e-l=0,又2 Jx=pcosOy=psin0，所以/的直角坐标方程为犹+；y T =0,即2mx+y 2=0.1x=，（2）由曲线C 的参数方程 cost a 为参数，T r 。，玉 +x2=-r 0,1 一 1 6 17 n书=一 匚 前解得 近，4 4故实数?的取值范围为，平）.2 3.已知正数a,b,c 满足4+27；b+c ac a+h-正访+至“而【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）根据3 个数的不等式关系即可求解,（2）根据基本不等式即可求解.【详解】（1）因为。也 c 均为正数，所以1 二,a b c v abc则J 27.abc 27当且仅当。=b =c =3 时，取得等号.(2)由基本不等式可知，h+c 2ybc,a+c 14cic,a+h 2Jab,LL9 h+c a+c a+h 2ybc 2lac 2fab 2abc lyjabc 2abc所以一 +之 =+=-+.yja ylb/c Ja yjb lc a b c=2labc（，+!）=2,当且仅当。=8=c =3 时，取得等号.故.b石+c+/a+c +a+b屈