2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷文科）数学含解析.pdf

2022年普通高等学校招生全国统一考试（甲卷文科）数学题号二三总分得分一、单项选择题（本大题共12小题，共 60.0分）1.设集合4=-2,1,0,1,2,B=x|0 x 7 0 位,所 以A错；2讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%4个8 5%,剩下全部大于等于9 0%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于8 5%所以8 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散，所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，所以C错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100殄-80%=2 0%,讲座前问卷答题的正确率的极差为9560%=35%2 0%,所以D 错.3.若z=1+i,则|iz+3司=()A.4V5 B.4A/2 C.25 D.2y/2【答案】D【解析】【分析】本题主要考查复数的模的运算以及共挽复数，复数的加减以及乘法运算，属于基础题.【解答】解：由 z=1+i,故 iz+35=i(l+i)+3(1 i)=2-2i,iz+3z|=|2-2i|=2V2.4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为()第 2 页，共 16页A.8B.12C.16D.20【答案】B【解析】【分析】本题考查三视图还原几何体，及棱柱体积的求法，属于基础题.【解答】解：由三视图还原几何体，如图，5.将函数/（x）=sin（3X+金（3 0）的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称，则3的最小值是（）A.B.；C.D.；6 4 3 2【答案】C【解析】【分析】本题考查三角函数的平移变换，难度一般.【解答】解：记g(x)为f(x)向左平移5个单位后得到的曲线，则 gQ)=曲Muw+，+J),由g(x)关于y轴对称,可得：於+=也+akZ,故有3=，+2k,3 0,所以3的最小值为6.从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.i B.i C.I D.|【答案】C【解析】【分析】本题考查古典概型的概率计算，属于基础题.【解答】解：无放回随机抽取2张方法有 1,2;1,3;1,4;1,5;1,6;2,3;2,4;2,5;2,6;3,4;3,5;3,6;4,5;4,6;5,6;共15种，其中数字之积为4的倍数的是1,4;2,4;2,6;3,4;4,5;4,6洪 6种,P=卷=|7.函数、=(3 3-*)(:皿 在 区 间 卜 黑 的 图 象 大 致 为()第4页，共16页【解析】【分析】本题考查函数图象的辨别，是基础题.【解答】解：令/(%)=(3*-3-x)cosx,x -酬 ,则 f(x)=(3-x 3x)cos(%)=一 (3%3-x)cosx=/(%),所以/(%)为奇函数，排除8D；又当入 时，3-3T O,cosx 0,所以/(%)0,排除C.8.当 =1时，函数/(x)=alnx+：取得最大值一2,则(2)=()A.-1 B.|C.|D.1【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的最值问题，属于中档题.【解答】解：因 为 函 数/(%)定 义 域 为(0,+8),所以依题可知，/(I)=-2 ,f(l)=0 ,而/(x)=所以 b=2,a b=0，即 a=2,b=2，所以 f(x)=|+备,因 此 函 数/(x)在(0,1)上 递增，在(1,+8)上递减，X=1时取最大值，满足题 意，即有 r(2)=-l+1 =-i.9.在长方体A BCD-4B1 G D 1中，已知Bi。与平面4BCD和平面44道 避 所成的角均为3 0 。，则()A.A B =2ADB.AB与平面4B1 G D所成的角为3 0 C.A C =C BiD.Bi。与平面BBiG C所成的角为45【答 案】D【解 析】【分 析】本题主要考查线面角的求解，属中档题.作出线面夹角的平面角，通过解三角形求出即可.【解 答】解：如图所示:不妨设4B=a,AD =b,AAx=c,依题意及长方体的结构特征可知，Bi。与平面ABCD所r h成角为4当。8,当。与平面44遇 道 所成角为乙。/4所以s in 3 0。=布=.，即b =c,B1D =2c=7 a 2+匕2 +”,解得Q=V 2 c.对于4 A B=a,A D=h,A B =AD,A 错 误；第6页，共16页对于B,过8作BE _ L AB于E,易知BE _ L平面力8心。，所以AB与平面A B C。所成角为/.BAE,因为t a n N B4E=区 所以/BAE K 3 0 ,8 错误；a 2对于C,AC =y/a2+b2=V 3 c，C B1=y/b2+c2=V 2 c,AC 丰 CB rC错误;对于D,Bi。与平面BBiG C所成角为N D BiC,smD B1C =-BD 2.C 2而0 乙 D BC 9 0,所以 b 0)的 离 心 率 为a,&分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若西瓦石=-1,贝U C的 方 程 为()A.江+艺=118 16【答案】B【解 析】【分 析】本题主要考查根据椭圆的性质求椭圆的方程，属于中档题.【解 答】由题意，A-a,0),4式a,0),B(0,b)，所 以 西=(-a,-b),砒=(a,-b),B A -B A =-a2+b2=-1.又1-浮力即接42,代 入 式 解 得 2 =9 ,b2=8 ,所 以C的 方 程 为 三+”=1 .9 81 2 .已知97n=1 0,a =1 0 m-1 1,b =8m-9,则()A.a 0 b B.a b 0 C.b a 0 D.b 0 a【答 案】【解 析】【分 析】本题考查指数对数变换比较大小，属于中档题.【解 答】解：由9 m =1 0 ,可得 m=l o g91 0 e (1,1.5).根据 a ,b 的形式构造函数/(x)=xm-X-l(x 1),则/z(x)=7n xm-1-1 ,令 f W=0 ,解得 X。=疝 三，由 m =l o g91 0 e (1,1.5)知 x0 e (0,1).f(x)在(l,+8)上单调递增，所 以y(1 0)/(8),即a b ,又因为/(9)=9 g 9 1 0-1 0 =0 ,所以 a 0 b .二、填 空 题(本 大 题 共4小 题，共2 0.0分)1 3 .己知向量五=(m,3),方=+1).若五1石，则m =.【答 案】【解 析】第8页，共16页【分析】本题考查向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，属于基础题.【解答】解：a l bm+3(m+1)=0,解得 m=1 4.设点M在直线2%+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在。M上，则。M的方程为【答案】(x-I)2+(y+=5【解析】【分析】本题主要考查圆的方程的知识，属于基础题.【解答】设圆心 M(a,1-2 d)则 r2=(a-3)2+(1-2a)2=(a-0)2+(1-2a-I)2,解 得a=1.从 而 得。M的方程为(x-I)2+(y+=5.1 5.记双曲线=l(a 0,b 0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的 一 个 值.【答案】2(答案不唯一)【解析】【分析】本题考查双曲线的基本概念，属于基础题.【解答】解：因为双曲线C的渐近线方程为y=：x,要使直线y=2x与C无公共点，则只需要2 T即可，由g 4 2律萨4 4,所以2=盘45,解得 1 e 0 ,则在回 4 8。中，A B2=B D2+A D2-2 BD -ADCOSLADB=m2+4 +2m,在团 4CD中，A C2=C D2+A D2-2C D -ADCOS/LADC=4 m2+4-4m,所 以 痂 一 而+4+2m-mZ+4+21n-M)+高 4-I?=4-2 V 32如+1)品,当且仅当巾+1=高 即 巾=百 一1时，等号成立，所以当笠取最小值时，m=V 3-l.三、解 答 题(本 大 题 共7小 题，共80.0分)1 7.甲、乙两城之间的长途客车均由4和B两家公司运营，为了了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数 未准点班次数A24020B21030第10页，共16页(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有9 0%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.附.K2=_会但_ _ _ _,r (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2k)0.1 0 00.0 5 0 0.0 1 0k2.7 0 6 3.8 4 16.6 3 5【答案】解：(1)4 公司一共调查了2 6 0 辆车,其中有2 4 0 辆准点，得A 公司准点的概率=赛=0.9 2 3,B 公司一共调查了2 4 0 辆，其中有2 1 0 辆准点，则B 公 司 准 点 的 概 率=芸=0.8 7 5.(2):由题意得2 x 2 列联表:准点班次数未准点班次数合计A2 4 02 02 6 0B2 1 03 02 4 0合计4 5 05 05 0 0._ nad-be)2 _ 5 0 0(2 4 0 X 3 0 -2 1 0 X 2 0)2 _ 3 之？7(a+f e)(c +d)(a +c)(b +d)2 6 0 x 2 4 0 x 4 5 0 x 5 0所以有9 0%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关【解析】本题考查独立性检验的应用，频率与概率的关系，属于中档题.1 8.记又为数列 册 的前n项 和.已 知?+7 1 =2 即+1.(1)证明：斯 是等差数列；(2)若。好。7,成等比数列，求右的最小值.【答案】解：(1)因 为?+n =2 c 1n+1,BR 2 Sn+n2=2nan+n(T),当n 2 2 时，2 S n-i +(n l)2=2(n l)an_1+(n 1)(2),(T)得，2 sz i+n2-2 Sn_ 1 一(n l)2 2?i Qn+2(九一l)an_ (n -1),即 2 册+2 n -1 =2nan-2(n 1)。九 一 1 +1,即2(几-l)an-2(n-1)%1T=2(n -1),所以l-an_x=1,n 2 且九 6 N*,所 以 是 以 1 为公差的等差数列.(2)由(1)可得&4=%+3,a 7=%+6,a g =at+8,又。4，a?,。9成等比数列，所以a 72 =aa 9，即(+6)2=(%+3)(%+8),解得出=-1 2,所以。门二九一1 3,所以S n =2 n +n(n-l)=工 2 _ 竺“=约)一 经，n2 2 2 2 2/8所以，当n =1 2或 n =1 3 时(S n)m i n =-78.【解析】本题考查等差数列的判定与等比数列性质、等差数列前n项和最值问题.1 9.小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒.包装盒如图所示：底面4BCD是边长为8(单位：c m)的正方形，EA B,FBC,A GCD,HZX 4均为正三角形，且它们所在的平面都与平面4BC。垂直.(1)证明：EF平面4BCD;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).【答案】(1)过点E作EE 1 4B于点E,过点F作FF _ L BC于点F,连接EF.底面4BCD是边长为8的正方形，E48、A F8C均为正三角形,且它们所在的平面都与平面4BCD垂直，EE=FF,又平面区4B n平面2 BCD=A B,平面尸BC CI平面4BCD=BC,EE1 平面A BC。，FFJ_平面4BC0,EE/FF,则四边形EEFF为平行四边形，:EF/EF,第12页，共16页 EFu平面A BC。，E F U平面A BCD,EF 平面 4BCD.(2)同理，过点 G,H 分别作 GGI CD,HH I D A,交 C D,DA于点 G,H,连接尸 G,G H,H E ,A C,由(1)及题意可知，G,H分别为CD,ZM的中点，EFGH EFGH为长方体，故该包装盒可看成由一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成.由底面4BC0是边长为8的正方形可得：EF=H E =AC=4V2,由线面垂直可知四棱锥的高为:A C,4.所求该包装盒的容积为V=E F GH-E iF iGiHi+A-E E fHfH,1 1=EF x EH x EE+4 x x SE E,H,H x-AC11=4V2 x 4V2 x 4V3 +4 x -x 4/2 x 4/3 x -x 8V23 4_ 640遍-3,【解析】本题主要考查线面平行的判定，面面垂直的性质以及组合体的体积求法，属于中档题.2 0.已知函数/(x)=/一%,g(x)=%2 +a,曲线y =f(x)在点(X i，/Q i)处的切线也是曲线y =g(x)的切线.(1)若=求a;(2)求a的取值范围.【答案】解：(1)丁广(乃=3%2 1,.尸(-1)=2,且f(-l)=0故y =f(x)在点(一1,0)处的切线方程为y =2 x +2又y =2x+2与y =g(x)相切，将直线y =2x+2代入y =g(x)=x2+a得/-2x+a-2=0由 A =4 4a +8=0得a =3(2)f (x)=3 x2-1,曲线y =f(x)在点。i，f(x。)处的切线方程为y(X j3%!)=(3/2 _ l)(x x1),即y =(3/2 l)x 2久J；由 9(x)=x2+a 得g(x)=2x,设y =g(x)在点(犯，9(X 2)处的切线方程为y -(到？+a)=2%2(x -x2)-即 y =2X2X x22+Q,.p%12-1 =2X2-2xr3=a -x22，a=x22 2xr3=(9xx4 6%/+1).令九(i)=9%i4 6 xt2+1,则九(1)=3 6 x J _ 2 4XJ -1 2 rl=1)(3/+1)当/一 或0%i 1 时，九(%i)1 时，九 (%1)0,此时函数y =九(%1)单调递增1 2 n又九(一,)=九(0)=1，%(1)=-4,h(Xi)m i n =h(1)=-4 1-aT =-1故a1【解析】本题考查利用导数研究函数的切线方程，属于较难题.2 1.设抛物线C:y 2 =2px(p 0)的焦点为凡点。(p,0),过/；1 的直线交C 于M,N 两点.当直线MD 垂直于x轴时，|M F|=3.(1)求C 的方程；(2)设直线M D,N D 与C 的另一个交点分别为4,B,记直线M N,A B 的倾斜角分别为a,.当a-取得最大值时，求 直 线 的 方 程.【答案】解：(1)抛物线的准线为=当例。与x轴垂直时，点M的横坐标为p,此时|M F|=p +：=3,所以p =2,所以抛物线C 的方程为y 2 =4x；(2)设M(?,y i),N(竿,、2)，做苧,丫3)，8,旷 4)，直线M N:x=z n y +1,由；2 二1 土 1 可得好 一 4 r n y -4 =0,A 0,=-4,由斜率公式可得k“N 一显芷 一 不 不，以B 一 丈|一式痴；，4 4 4 4直线M D:x=3二 y +2,代入抛物线方程可得y 2 -忠 3 4 8 =0,yi y i 0iiAiF3=-8,所以为=2 丫 2，同理可得%=2 y i，所以以8 =-.=八A B 乃+九 2(y 1+y2)2第1 4 页，共1 6 页又因为直线MN、4 8的倾斜角分别为a,/7,所以心 B =t an S =等,若要使a-/?最 大,则 今,/a、_ t an a-t an /?_ k _ 1 1 _ 2设*M N=2 k 8 =2k 0,则 a”(a p)+t an at an p i+2k2-+2k、？h 7.4 k 2 辰 2k当且仅当器=2k即k=争寸,等号成立，所以当a 一夕最大时，kA B=设直线A B:%=鱼7 +九，代入抛物线方程可得y 2 4 V2 y 4 n =0 1A 0,Jsi/4=-in =4)2=161 所以?i =4,所以直线A B:x=&y+4.【解析】本题主要考查抛物线的定义与方程，以及直线与抛物线的位置及应用，属于难题.(1)利用抛物线的定义，求出p,即可求C的方程；(2)解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简，利用韦达定理得出坐标间的关系.1_ 2 +t=丁(t为参数)，曲线。2的参数方程y =Vt2+sX=-为 6。为参数).y=-Vs(i)写出G的普通方程；(2)以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2 c o s 8-s i n。=0,求C3与G交点的直角坐标，及C3与。2交点的直角坐标.【答案】解：(1)因为苫=华，y=yt,所以x=竽，即G的普通方程为必=6%2 Q N 0).6 6(2)因为x=言4=一代，所以6 x=2 y2,即C2的普通方程为必=一6%O2(y 2 p c o s 0 p s i n 0 =0,即C3的普通方程为2%y =0.联立=221/管 里 解 得：二朝即交点坐标为(泊，(L2)；联立解得：；二科;二;，即交点坐标为KT，(-1,-2).【解析】本题考查参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程，及联立方程求交点坐标问题，属于中档题.2 3.已知a,b,c 均为正数，且a2 +b2 +4 c 2 =3,证明：(l)n +b+2c W 3 ；(2)若b=2 c,则；+2 3.【答案】证 明:(1)由柯西不等式有a2 +b2+(2C)2(12+l2+l2)(a+/+2 c，所以a+b+2 c 0,b 0,c 0,由(1)得Q+b+2 c=Q+4c W 3,即0 V a+4c W 3,所 以:3ga+4c 3由权方和不等式知三+-=-+-如 空=3,a c a 4c Q+4c a+4c当且仅当2=擀，即a=l,c=树取等号，a 4c 2所以工+工23.a c【解析】本题考查不等式的证明，柯西不等式与权方和不等式的应用，为中档题.第16页，共16页