2023年全国硕士研究生考试考研数学一试题真题（含答案详解）.pdf

2023年全国硕士研究生招生考试 数学一真题试卷【完整版】一、选择题：110小题，每小题5 分，共 50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。1.曲线 =尤1!1(6+-的渐近线方程为()。A.y=x+eB.y=x+1/eC.y=xD.y=x 1/e2.已知微分方程式y+ay叶 b y=0 的 解 在（一 8,十8）上有界，则（）。A.a0B.a0,b0C.a=0,b0D.a=0,b0 x=2z+|r|3,设 函 数 y=f（x）由 一 门 确 定，则（）。y=MsinfA.f(x)连续，f (0)不存在B.f(0)存在，f(x)在 x=0 处不连续C.f (x)连续，f (0)不存在D.f(0)存在，r (x)在 x=0 处不连续4.已知anV bn(n=l,2,.),若级数工。”与 均 收 敛，则 级 数 绝 对 收 敛”是“Z 绝对收敛”的()。A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.已知n 阶矩阵A,B,C 满足ABC=0,E为 n 阶单位矩阵,记矩阵0 EAB 0的秩分别为丫1,丫2,丫3,则()oA.B.C.D.丫 忘 丫2 0 3y iW y 3Y2丫3勺忘丫216.下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是()。,1 1oA.0 2 203,1 1oB.1 2 003,1 1a、C.0 2 00)是未知参数，若 b =4 X|-X 2|为。的无偏估计，则 2=()oA.TB.2%2C.D.二、填空题：1116小题，每小题5 分，共 30分。11.当 x-0 时，函数 f(x)=a x+b x2+ln(l+x)与 g(x)=e，-c o s x 是等价无穷小，则 ab=L12.曲面z=x+2y+ln(l+x2+y2)在 点(0,0,0)处的切平面方程为 L13.设 f(x)为周期为 2 的周期函数，且 f(x)=1 x,xe0,1,若=&+ac o s m x，2 =00则 Z a2n=131 4.设连续函数f(x)满足f(x+2)-f (x)=x,J：/(%声=。，则 J：/(工 班=15.已知向量叫,Y=kiai+k2a2+k3a3,若 yiai=Wai(i=1,2,3),则 kl2+k22+k33=.16.设随机变量X 与 Y 相互独立，且 XB(1,1/3),Y-B (2,1/2)则 P X=Y=;三、解答题：1722小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本题满分10分)设曲线y=y(x)(x 0)经 过 点(1,2),该曲线上任一点P(x,y)到 y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距.(1)求 y(x)；(2)求函数 x)=在(0,+)上的最大值.18.(本题满分12分)求函数 f(x,y)=(yx2)(yx3)的极值.19.(本 题 满 分 12分)设空间有界区域。中，柱面x2+y2=l与平面z=0 和 x+z=l围成，E 为。边界的外侧，计算曲面积分J J 2 x z d)d z +xz c o s y d z d y +3 y z d x d y.220.(本题满分12分)设函数f(x)在a,a上具有2 阶连续倒数，证明：(1)若 f(x)=0,则存在(-a,a)使得了 信)=/(。)+/(-a);(2)若 f(x)在(-a,a)内取得极值，则 存 在 昨(-a,a),使得|/5),*/(。)一/(一。)卜21.(本题满分12分)已知二次型 f(X|,X2,X3)=X12+2X22+2X32+2X|X2-2X)X3，g(丫 1，y2,Y3)=yi2+y22+y32+2y2y3。(1)求可逆变换 x=P y,将 f(xi,X2,X3)化为 g(yi,yi,ya)；(2)是否存在正交变换x=Q y,将 f(xi,X2,X3)化为g(yi,ya,y3)。22.(本题满分12分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为4/（x，y）=J 万o,其它（1）求 X 与 Y 的方差；（2）求 X 与 Y 是否相互独立；（3）求 Z=X2+Y2的概率密度.答案及解析一、选择题：110小题，每小题5 分，共 50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置。1.【答案】Bxln e+-(、解析I k-lim =lim-.-=lim ne-|=1,Xf8 尤 XT8 X X T8 I X-)-limxIn 1 +-=lim2-=-*T8 e(x-l)e所以斜渐近线方程为y=x+l/e.2.【答案】C【解析】微分方程y+ay，+b y=0 的特征方程为入?+a入+b=0,当 A=a24b 0 时，特征方程有两个不同的实根入1,入 2,则入2至少有一个不等于零,若 Ci,C2都不为零，则微分方程的解y=G *+G /在（8,+8）无界；当 A=a2-4 b=0 时，特征方程有两个相同的实根Xi,2=-a/2,若 C 2#0,则微分方程的解旷=。他%+。2以”在（-8,4-00）无界；当 A=a24b0.3.【答案】C-【解析】t2 0 时，,得 y=f s i n;tVO 时;，得丫=xsinx；y=rsinr 3 3 1y=Tsin?5综上，y=03 3-xsinx,x 得 y （0）=0；于是y =03 3 9 30,尤=0,得y连续;-sinx-xcos x,x0 10-1(3 1 -9 -1 J0 0 1 1?故(xi,X2,yi,y2)T=c(-3,1,-1,1)T,cG R所以 r=cp i+cp 2=c(1,5,-8)T =-C(1,5,8)T=k (1,5,8)T,k e R8.【答案】CI v _ n【解析】由题可知E X=1,所以|X=I 一 ，11 1X-1,X=1,2,故00E|x EX|=1.PX=O +Z(Z T)P X =4k=1 s=-+Z(I)P X=%-(0-l)P X=0e k=01 I 2=-+E(X-l)-(0-l)-=-e e e故 选(C).9.【答案】D【解析】Xi,1 _ 2X2.Xn 的样本方差 S；=_Yi.Y2,Yn的样本方差s；=匕6(工一夕则(上)江力2 (_ 1),也二P (加一),两个样本相互独立(y 2 b(T)S；所以(y/(-1)S；d(z-l)S；-S；/2/(m-l)2S2,-,22a2故 选(D).10.【答案】A【解析】由题可知X1-X2N(0,2o2).7令 Y=X iX 2,则 Y 的概率密度厂 二厂e 22b ，I l+x+y +x+y J即 在 点（0,0,0）处的法向量为（1,2,1）,即切平面方程为x+2yz=0.13.【答案】0【解析】由 f(x)展开为余弦级数知，f(x)为偶函数.由傅里叶系数计算公式有8=2a=2co s n/rxdx,oco s njrxdx-J。xco s nrxdx21-J,01771 0 1 .s i n nnxn兀xd s i n/wx72 f i .-xd s i n nnxn兀J o2n九2 r1=s i n nTVxdxJ xsinnjrxis i n njrxdx-2 2n九-2 2n 7iCOSco s zvr-1)故 w(cos 2 乃-1)=-1)=0.2rr 兀-14.【答案】1/2【解析】x)d x=J(x)d r +J：=/(%比 +/(，+2粒(令龙=，+2)=J；x)d x+J；%+2)d x=ji2/(x)d x+/(x)+xd xJ：y(x)d x+J：x)d x+J H=Q W dr+J：xdx=xdxJo215.【答案】11/9【解析】YTai=pTai=1=kiaiTai+k2a2Ta2+k33Ta3=1=ki 3+析 0+k3 0=l=ki=l/3.同理 k2=1,k3=-1/3.所以，ki2+k22+k33=ll/9.916.【答案】1/3【解析】因为X B(1,1/3),所以X=0,1；Y B(2,1/2),所以Y=0,1,2.又因为X与Y相互独立，所以px=y=px=o,y=o+px=i,y=i=px=opy=o+px=1叩=1三、解答题：17 22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本题满分10分)设曲线y=y(x)(x 0)经 过 点(1,2),该曲线上任一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距.(1)求 y(x)；(2)求函数/()=”粒 在(0,+)上的最大值.【解析】(1)设 点(x,y)处的切线方程为Yy=y，(Xx),故y轴的截距为y-y，x,贝ij x=yy，x,解得 y=x(CInx),其中 C 为任意常数.由 y(1)=C=2,故 y(x)=x(2Inx).(2)由(1)知/(x)=(/(2-lnf)dr,故 F(x)X (2Inx)=0,则驻点为 x=e?.当OVxVe?时，f(x)0；当xe?时，f(x)0,故f(x)在乂=2处取得极大值，同时也取得最大值，且最大值为/(e2)=x(2-lnx)dx=e4-1.18.(本 题 满 分12分)求函数 f(x,y)=(yx2)(yx3)的极值./：=-x(2y+3到-5 0=0【解析】得驻点为(0,0),(1,1),(2/3,10/27).f；2 y-x2-x30 xx=(2y+3xy5x3)x(3y15x2),产xy=x(2+3x),fyy2.A =0代 入(0,0),0),f(x,y)=(yx2)(yx3)=kx3x2+(k 1)x3=kx5+o(x5),f(x,y)kx5+o(x5)则lim，匚 =lim-4 =左 0,由极限的局部保号性：存在3 0,当xe(-5,0)时,x-0 x-0 -7 0,f(x,y)0,f(x,y)0=f(0,0),x x故(0,0)不是极值点；H2代 入(1,1),(8=/；=5,则A C-B 2 0 且 A0,故(2/3,10/2 7)是极小值点;3C =&=2故 f (2/3,10/2 7)=-4/7 2 9 为极小值.19.(本题满分12 分)设空间有界区域C中，柱面x2+y2=l 与平面z=0 和 x+z=l 围成，为。边界的外侧，计算曲面积分/=j j 2xzdydz+xz cos)dzdy+3yzdxdy.【解析】由高斯公式可得：=J J J(2 z-xzsi n y+3ysi n x)dVc=j 2 zdy=J J dxdy2 zdzj j(l-x)2dxdy(Orv:x2+/1)%J J (1-2 x+xdxdy=+j j(x2+y2)d.rdy%2%1.2%二 乃 十 一2 J o2 0.(本 题 满 分 12 分)设函数f (x)在 a,a 上具有2阶连续倒数，证明：(1)若 f (x)=0,则存在 j e (-a,a)使得了(4)=J /(a)+/(a)：(2)若 f (x)在(-a,a)内取得极值，则存在口6 (-a,a),使得()|之一”一。)卜【解析】(1)证明：/(X)=/(o)+r(o)x+勺Df=/，(0)%+勺 2,四介于。与 x 之间，则/(“)=/(。)(a)+/4 a)=r (-4)+,一4%0 2+得：/+/(。)=3 (7)+电)又 F (x)在“，r)i 上连续，则必有最大值M 与最小值m,即 mW P (川)W M；mW 产(“)W M；11从而(明M；2由介值定理得：存在匕”，M u (-a,a),有一(7)；/_()=/(,代入得：f (a)+f (-a)=a 2 即/)=)+/(“)a(2)证明：设 f (x)在 x=x()(a,a)取极值，且 f (x)在 x=xo可导，则？(xo)=0.又/(月=/(%)+:()(%-%)+；导(一%)2=/(%)+卷2(%-40)2，丫介于0与*之间，则/(_ 4)=/(/)+(_ 4 _/)2,47 1 y2,y 3)=yi2+yi2+ys2+2y2y3=yi2+(y a+y s)2令，z2=yi+yy3 则 g外 y 3)=ZI2+Z22.=%即 Z 2 =0010 p,、1 y2，使得g(y i，y2 y 3)=ZI2+Z22.1人N从而有于 是 可 得 赴yP y2j l,其中P=0,0110、70,00 0、1 10 b100-110p0为所求矩阵,7可将 f (xi，X 2，X3)化为 g (y p y2，y 3).120(2)二次型 f(xi，X 2，X3)和 g(yi，y2.y3)的矩阵分别为A=11-1-102、,B=7100011011、7由题意知，若存在正交变换乂=()丫，则 QiAQ=Q-1AQ=B,可得A 和 B 相似.易知tr(A)=5,tr(B)=3,从而A 和 B 不相似，于是不存在正交变换x=Q y,使得f(x，x2,x3)化为g(yi,丫3)2 2.(本题满分12分)设二维随机变量(X,Y)的概率密度为2(3)71 /,%2+9 j0,其它(1)求 X 与 Y 的方差；(2)求 X 与 Y 是否相互独立；(3)求 Z=X2+Y2的概率密度.【解析】(X)=J jx-(x2+y2)do-=0;八冗13E(X2)=jjx2(x2+y2)dcr=4jj x2(x2+/)dcrD 冗 D九=Jj，+打而=f2d fr5dr=-.乃 J o J o 3所以 D(X)=1/3.同理，得 D(Y)=1/3./x(x)=j*/2)如 T X 1a其他-(1+2x?)J l-x?,1 x 10,其他./、(1+2y2)s/1 y,1 y 1同理，得:同(y)=3%0,其他因为，fx(x)fY(y)#f(x,y),所以X与Y不相互独立.(3)Fz(z)=PZ Wz=PX2+Y 2Wz 当 z 0 时，Fz(z)=0；当0 W z l时，初 z)=pT+y2)d(T=2 rd 可 r3dr=z2；当 zl 时,Fz(z)=1；所以，Z的概率密度为_/z(z)=2z,0 z 10,其他14