2023年中考数学压轴题31三角形与新定义综合问题（教师版含解析）.pdf

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）专题31三角形与新定义综合问题典例剖析_ _ _ _ _ _ _ _ _ _【例1】（2 0 2 2淮安区模拟）我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（c a）,如 图1,在 A B C中，A B=A C,底角NB的 邻 对 记 作 这 时 点 8=底边二匹.容腰 A B易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：（1）ca n 30=_如_,若 ca B=l,则 N B=60 .（2）如图 2,在A B C 中，A B=A C,ca B=旦,SAABC=4 8,求A B C 的周长.AB C B 皿 0图1 图2【分析】（1）根据定义，要求或3 0。的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点4作A O _ L 8C,垂足为O,根据N 8=3 0 ,可得：B D=AB,再利用等腰三角形2的三线合一性质，求出8 c即可解答，根据定义，ca n B=l,可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得N8=60 :（2）根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作A O L 8 C,垂足为。，ca n B=,所以设8c=8x,A B=5 x,然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用SA5ABC=4 8,列出关于x的方程即可解答.【解答】解：（1）如图：过点A作垂足为。，：.BC=2BD,VZB=30，：.BD=ABcos300=返 48,2:.BC=2BD=MAB,.can30=幽=愿 杷=愿,A B A B若 canB=1,BC=AB,U：AB=AC.；AB=BC=AC,.ABC是等边三角形，：.ZB=60,故答案为：A/3,60；（2）过点A作垂足为）,:canB=3,5.B C=8 而 后 ,设 BC=8JG AB=5xtAB=AC,ADBC,/.BD=BC=4xf2.AO=JA B2_BD2=3X,*.*&ABC=48,：.BCAD=48,2,8x*3x=48,2x2:=4,：.x=2（负值舍去），.x=2,.*.A B=A C=1 0,BC=16,，A B C的周长为3 6,答：A B C的周长为3 6.【例 2】（2 0 2 2 柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为 标准三角形”.如：在A B C,CD _ L A B 于 点。，A B C D,则 A B C为标准三角形.【概念感知】判断：对的打“J”，错的打“X”.（1）等腰直角三角形是标准三角形.J（2）顶角为3 0 的等腰三角形是标准三角形.X【概念理解】若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为 1：1：料 或 赤：瓜2 .【概念应用】（1）如图，若AABC 为标准三角形，于点。，A B=C D=,求 C 4+C B 的最小值.（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的代倍，求最小角的正弦值.【分析】【概念感知】（1）根据等腰直角三角形的两条直角边互相垂直且相等，即可判断；（2）作出图形，分别对底边上的高和腰上的高进行讨论，即可求解；【概念理解】当 A B C是等腰直角三角形时，A C：A B：8 c=1：1：&；当 4B C是等腰三角形，AB=AC,AE1BC,AE=BC,B E=x,则 A E=2 x,求出 则 A 8：A C：B C ys：A/5：2；【概念应用】（1）过 C 点作4 8 的平行线，作 4 点关于该平行线的对称点4,连接AB,当A 、B、C 三点共线时，AC+BC=AB,此时A C+B C 的值最小，求出4 8 即可；（2）分两种情况讨论：当A C=4 5 A B时，A C=y/5 C D,过 点B作B E 1 A C交 于E,设 C O=AB=m 则由等积法求出B E=。,用勾股定理分别求出AD=2a,5BD=a,B C=&a,则可求 s in/8 C E=-；当 B C=A 8 时，8C=F。C,过点8 作 8EJ_AC交于E,设 C O=A 8=a,则 8c=&a,由勾股定理分别求出8。=2小A D=3，A C=m”，再由等积法求出3 E=H“，即可求sinNBCE=Y2.10 10【解答】解：【概念感知】(1)如 图 1：等腰直角三角形ABC中，ABAC,：AB=AC,等腰直角三角形是标准三角形，故答案为：J;(2)如图 2,在等腰三角形 ABC 中，ZBAC=30,AB=AC,CD1AB,V ZA=30,：.C D=A C,2：CA=AB,：.CD=AB,2.ABC不是标准三角形；如图3,在等腰三角形ABC中，/84C=30,AB=AC,AELBC,此时AEBC,.A8C不是标准三角形；故答案为：X；【概念理解】如 图 1,当A8C是等腰直角三角形时，A C：A B：B C=：I：&；如图4,当ABC是等腰三角形，AB=AC,AEVBC,AE=BC,：.B E=E C=2 8 C=L E,2 2设 B E=x,则 4E=2x,在 RtZXABE 中，AB=y/5x,：.AB：A C：B C=8 A/5：2；故答案为：i：i：，或VB：2；【概念应用】(1)如图5,过 C 点作A 8 的平行线，作 A 点关于该平行线的对称点4,连接8,当4、B、C 三点共线时，AC+BCAB,此时AC+3C的值最小，：AB=CD=,：.AA=2,在 RtzABA中，AB=j5,.C+B C 的最小值为 代：(2)在ABC 中，ABCD,AB LCD,：.ACCD,BCCD,：.ACAB,BCAB,.ABC的最小角为NACB,如图 6,当 4 C=/A B 时，AC yfsC D,过点8 作 BE_L4c交于E,设 C O=4B=a,则 AC=Va,：SABC=XABXCD=XACXBE,2 2；.B E=-a,5在 RtZXACD 中，AD=2a,：.BD=AD-A Ba,在 RtZ8C 中，B C=&a,在 RtZBCE 中，s in/B C E=Y i；10如图7,当 8 C=J 4 8 时，8C=遥。C,过点B 作 BELAC交于E,设 C D=A B=a,则 BC=y/5a,在 RtZBC。中，BD=2a,.AD=3af在 RtZAC 中，AC=V10o,SABC=ABXCD=.XACXBE,2 2能噜在 RtZXBCE 中，sin/B C E=Y:10综上所述：最小角的正弦值 为 亚 或画.10 10E图4图3【例3】（2 0 2 0五华区校级三模）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”.如 图（1）、图（2）、图（3）中，A M.B N是A 8 C的中线，A M L B N于点、P,像A 8 C这样的三角形均 为，中垂三角形，.设B C=a,A C=b,A B=c.【特例探究】（1）如图 1,当N相8=45,c=4&时，。=4粕，b=4J 5;如图 2,当N%B=3 0 ,c=2 时，c+b2=2 0 ；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想/、庐、?三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论.【拓展证明】（3）如图4,在团A B C D中，F分别是A。、B C的三等分点，且A =3A E,BC=3BF,连接 A F、BE、C E,且 B _ L CE 于 E,A尸与 B E 相交点 G,A D=3娓,A B=3,求 A F的长.【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质分别求出出、P B,根据三角形中位线定理得到M N/AB,根据相似三角形的性质分别求出PM、P N,根据勾股定理计算即可；（2）连接MN,设PN=x,P M y,利用勾股定理分别用x、y 表示出a、b、c,得到答案；（3）取 A8 的中点H,连 接 并 延 长 交 D 4 的延长线于点P,证明 48F 为“中垂三角形”，根 据（2）中结论计算即可.【解答】解：（1）在 R t Z A P 8 中，N B 4B=45,c=J5,则 PA=PB=-=-c=A,2V M.N分别为CB、C A的中点,:.MN=LAB=2近,MN/AB,2：.APBsAMPN,.P N一 -_ P M ,-_-M N-_ 1,P B P A A B 2：.PM=PN=2,BM=7PB2+PM2=2 遥，.,.a=2BM=4ys，同理：b2AN4y5如图2,连接MM在 R t Z A P 8 中，Z B 4B=3O ,c=2,2附 c2_ p g2 V s ,:.PN=L,2知=返_,2 2.8M=PB2+PM2=9,A/V=7P A2+P N2=2/11,byj 13)，/+庐=20,故答案为：4/5；4/5；20；(2)a2+h2=5c2,理由如下：如图3,连接A/N,设 P N=x,P M=y,则 PB=2PN=2x,RA=2PM=2y,B W=pB2+pH2=4 x2+y2,A/V=V P A2+P N2=V x2+4y21a=2 4 J +y 2,=2,J +4y2,，/+12=2()(7+)2),VC-2=B 42+P B2=4(x2+y2),/.6Z2+Z?2=5C2；(3)取A B 的中点，连接/并延长交D A 的延长线于点P,/四边形ABCD为平行四边形，：.AD/BC,AD=BC,：.AHPsXBHF,A P _ A H -,丽 丽，；AP=BF,VAD=3AEf BC=3BF,4拉=3 ,:.AE=BF=娓,：.PE=FC,：.四边形PFCE为平行四边形，V B E 1CE,:BGIFH,AE/BF,AE=BF,；AG=GF,A 3尸为“中垂三角形”，产=58尸 2,即 3)+A 产=5 X(V 5)2,解得：AF=4.图3【例4】(20 20岳麓区校级二模)定义：在 4B C中，若有两条中线互相垂直，则称a A B C为中垂三角形，并且把A B2+B C2+CA2叫做A B C的方周长，记作L,即L=A B2+B C2+CA2.(1)如 图1,已知 A B C是中垂三角形，BD,A E分别是A C,B C边上的中线，若A C=B C,求证：A O B是等腰直角三角形；(2)如图2,在中垂三角形A B C中，AE,8。分别是边B C,A C上的中线，且于点O,试探究a A B C的方周长L与A B?之间的数量关系，并加以证明；(3)如图3,已知抛物线y=-a x 2 2 a x-2 a与x轴正半轴相交于点A，与y轴相交16 4于点B,经过点B的直线与该抛物线相交于点C,与x轴负半轴相交于点D,且BD=CD,连接A C交y轴于点E.求证：A B C是中垂三角形；若 A B C为直角三角形，求A A B C的方周长乙的值.【分析】(1)先利用&45证明4 8 4 g 2 4 8 然后根据 A 8C是中垂三角形即可证明；(2)先判断出A C=2A ,B C=2B E,再利用勾股定理，即可得出结论；(3)利用二次函数先求出点8、点4和 点C的坐标，然后根据点4和 点C的坐标确定E是A C的中点，最后根据中垂三角形的定义即可证明；先由点 A (4,0),B(0,-2a),C(-4,2 a)的坐标得到履8=上“，kAc=-a,2 4kBC=-a,然后分情况讨论即可求解；或结合射影定理分情况讨论进行求解即可.【解答】(I)证明：AC=BC,BD,A E分别是A C,8 c边上的中线，：.AD=BE,NBAD=NABE,:.BAD安lkB E(S A S),:.NABD=NBAE,：.OA=OB.A B C是中垂三角形，B.AC=BC,：.ZAOB=90,.A O B是等腰直角三角形.(2)L=6AB2.证明：如图，连接：AE,8。分别是边8C,A C上的中线，：.AC2AD,BC=2BE,2：.AC2=4AD2,B d=4B烂,D E2=AAB2.4在 R t Z 4O 中，40 2=0 42+0 0 2,在 R t Z 80 E 中，BE2=OB2+OE2,：.AC2+BC2 4 (AD2+BE2)=4(O/A2+O D2+O B2+O E2)=4(AB2+DE2)4 kAEp-+AB1)4=5AB2,：.L=AB2+AC2+BC2=AB2+5AB2=6AB2.(3)证明：在 y=-a x 2 ax-2a 中，当 x=0 时，y=-2”，16 4二点 B(0,-2a).y=0 时，-a x2-4-ax-2a=0,16 4整理得 3，-4 x-32=0,解得x i=-(舍)，X2=4,3.点 A(4,0).,:BD=CD,y c-yB=2a,将 y2a 代人-ax2-ax2a，16 4解得 X l=2 g (舍)，X2=-4,3：.C(-4,2a).由点A(4,0),C(-4,2 a)可知，E 是AC的中点.又,：BD=CD,：.AD,8E都是ABC的中线.又,./AOB=90,：.ADLBE,.A8C是中垂三角形.解法一：由点 A(4,0),B(0,-2a),C(-4,2 a)可得 kAB=a,kAC=-24kBC-a，V ZC ZAOB,NCW900.当 NABC=90 时，kABkBC=-h解得a=(负值舍去)，点 8(0,-2 V 2),：.L=6AB2=6X24=44.当N8AC=90 时，kAB-kcA=-L解得4=2五 (负值舍去)，:.点 B(0,-4 折，.,.L=6A B2=6X 48=288.综上所述，A 8C的方周长L的值为144或 288.解法二：由点 A (4,0),8(0,-2a),C(-4,2a),.点。是 BC 的中点，点 E是 AC 的中点，:.点 D(-2,0),E(0,a).：Z C 5 4),N A B C=5 4 .求出N B P C的度数.(用含，的式子表示)【分析】(1)分 B 是邻45的三分线和8。是邻BC的三分线两种情况解答即可；(2)由N 8 PC=i 4 0 ,得NPBC+NPCB=40 ,故A./A B C+l/A C B=4 0 ,可 得/3 3A B C+Z A C B=120,从而 N A=6 0 ；（3）分四种情况分别解答即可.【解答】解：（1）当 8 是“邻 48三分线”时，/A 8 O=2/A 8 C=1 5 ,3则N 8 D C=N A 8 D+/4=1 5 +8 0 =9 5 ,当 B D 是“邻 B C 三分线”时，NABD=2乙4 8 c=3 0 ,3则C=N A B D +N A=3 0 +8 0 =1 1 0 ,综上所述，N8Q C的度数为9 5 或 1 1 0 ；（2）V Z B P C=1 4 0 ,A ZPB C+ZPC B=4 0 ,BP,C P分别是NA3C的邻8c三分线和NAC3的邻BC三分线，：.ZPBC=ZABC,ZPCB=ZACB,3 3.二/ABC+NACB=40。,3 3ZABC+ZACB=120,乙4=60；(3)如图：V Z A=mc,NABC=54,ZACD=(w+54)0,当BP是邻4 8的三等分线，AP是邻AC的三等分线时，N P B C=2/4 B C=3 6。,ZP C D=ZA C D (2?+36),3 3 3/.ZBPC=ZPCD-ZP B C=m ；3 当BP是邻A B的三等分线，A P是邻C D的三等分线时，N P B C=Z/A B C=36,ZPCD=AZACD=(Xn+18),3 3 3/.ZBPC=ZPCD-ZPBC=(in-18)；3 当BP是邻BC的三等分线，AP是邻A C的三等分线时，ZPBC=ZA B C=,N P C D=2/A C D=(2m+36),3 3 3/.ZBPC=ZPCD-ZPBC=(2 m+18)；3 当BP是邻BC的三等分线，A P是邻CD的三等分线时，/P 8 C=N4BC=18,Z P C D Z A C D=(上?+18),3 3 3A ZBPC=ZPCD-ZPBC=m；3综上所述，/B P C度数为21或上S -18或2m+18或工?.3 3 3 3A3.(2022春石嘴山校级期末)问题情境我们知道：在平面直角坐标系中有不重合的两点A (xi,y i)和点B (必y2),若xi=x2,则A 8y轴，且线段A B的长度为|y i-*|；若y i=，则A B x轴，且线段A B的长度为 拓展现在，若规定：平面直角坐标系中任意不重合的两点M(X I,y i)、N(X 2,”)之间的折线距离为 N)=|xi -x2+yi-J 2|.例如：图中，点 M(-1,1)与点 N(l,-2).之间的折线距离 d CM,N)=|-I-1|+|1-(-2)|=2+3=5,应用解决下列问题：(1)已知点 E(3,2),点 F(l.-2),求 d(E,F)的值；(2)已知点 E(3,1),H (-1,)，若 d(E,H)=6,求 的 值；(3)已知点P(3,4),点。在y轴上，。为坐标系原点，且 OPQ的面积是4.5,求d(P，。)的值.I-i-一i ii-i-r-i i ii-i-r-r r -一 -n 一 r 一 r-rriiir-in-ir-154 一B 一r r-一ririririr)ri-ri-ni ri-r ri ri ri-ri r)-ri ri i-一i i-一i i-一)L1r-ir-*ir-k-a-4 一-rk1ninirit-2 ni ri-ri1 ri ri ri4-1-1 1-1-1 1-一1Al备用图【分析】(1)根 据 折 线 距 离 为N)=田-X 2|+|y i-”|计算即可;(2)根据折线距离为d (A f,N)=|xi -X 2|+|y i -y 2|,构建方程求解即可;(3)设Q(0,m),利用三角形的面积公式求出桁的值，再根据折线距离为d(M,N)=|x i -X 2|+|y i -计算即可求解.【解答】解：(1)；点E(3,2),点 尸(1,-2),：.d(,尸)=|3-1|+|2-(-2)|=6；(2)：E(3,1),W (-1,n),d(,H)=6,：.d(,H)=|3-(-1)|+|l-川=6,解得：=-1或3；由题意，-,|m|,2=4.5,解得m+3,：.Q(0,3)或(0,-3),当。(0,3)时，d(P,。)=|3-01+14-3|=4,当。(0,-3)B t,d(P,Q)=|3-0|+|4-(-3)|=10,：.d(尸，Q)=4 或 10.4.(2022春镇江期末)定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角 ，这个三角形叫做“开 心 三 角 形 例 如：在 A B C中，/4=7 0,N B=35,则/A与NB互 为“开心角”，A A B C为“开心三角形”.【理解】(1)若A B C为开心三角形，ZA=144,则这个三角形中最小的内角为 12 ；(2)若B C为开心三角形，N A =7 0 ,则这个三角形中最小的内角为 3 5或110。._ _ 3-(3)已知/A是开心 A B C中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定/A的取值范围，并说明理由；【应用】如图，AO平分 A B C的内角/5 4 C,交B C于点E,C 平分a A B C的外角/B C凡 延长B A和。C交于点P,已知/尸=30 ,若N B A E是开心A A B E中的一个开心角，设/B A E=Z a,求Na 的度数.【分析】（1）设最小角为a,由题意可得a+2a=36 ,求出a 即为所求；（2）当NA是“开心角”，则最小角为35 ；当NA不是“开心角”,设最小角为a,a+2a（3）三角形另一个开心角是2 NA,第三个内角是180 -3 Z A,再由N A W 180-3 ZA,可得/A W 4 5；【应用】由题意可得/租C=180 -2 Z a,设/P C 4=x,则 x=2N a-30 ,N A E B=24 0 -3Za,Z A B E=2 Z a-60 ,分两种情况讨论：当N 8 A E 与乙4 8 E 互为开心角时，或求得N a=4 0:当 N B A E 与N A E 3 互为2开心角，或/8 A E=2 N A E 8 （舍），求得N a=4 8.2【解答】解：（I）设最小角为a,：A B C为开心三角形，Z A =14 4 ,；.a+2a=180-14 4 =36 ,；.a=12,故答案为：12；（2）当/A是“开心角”，则最小角为35 ；当NA不 是“开心角”，设最小角为a,.,.a+2a=180-7 0=110,a (11)(X 一)f3故答案为：35或1竺3（3）/A是开心 4 8C中最小的内角，并且是其中的一个开心角,.另一个开心角是2N A,第三个内角是180 -3/4NA是最小内角，NAW 1800-3NA,NAW450；【应用】9：AD平分ABC的内角NBAC,：.ZCAE=ZBAE=Za,：.ZPAC=lS00-2Za,设 NPC4=x,CQ平分ABC的外角/DCF,:/BCD=/CDF=x,NAC8=180-2x,VZP=30,/.180-2Za+x=150,Ax=2Za-30,A ZAB=Za+180-2x=240-3Za,A ZABE=S00-N a-(240-3Za)=2Z a-60,当NBAE与NA8E互为开心角时，NBAEQ/A B E 或/BAE=2/ABE,2/.Z a=A(2Z a-60)或Na=2(2Z a-60),2解得Na=40；当NBAE与NAEB互为开心角,NBAE=Z/AEB 或/BAE=2NAEB,2NAEB=ZEAC+ZACE,ZEAC=A BAE,；.NBAE=2NAEB 舍去,：.Z a=(2400-3Za),2解得/a=48,综上所述：40或48.5.(2022春崇川区期末)定义：如果三角形的两个内角a与0满足a+2B=100,那么我们称这样的三角形为“奇妙三角形”.(1)如图 1,ABC 中，NACB=80,80 平分NA8C.求证：AB。为“奇妙三角形”(2)若ABC为“奇妙三角形，且NC=80.求证：ABC是直角三角形;(3)如图2,/XABC中，BO平分乙4BC,若为“奇妙三角形，且乙4=40,直接写出/C的度数.【分析】根 据“奇妙三角形”的定义，在ABD中，NA+2/A8D=100,即证明 A BD为“奇妙三角形(2)由三角形的内角和知，A+NB=100,由A8C为“奇妙三角形”得出/C+2/8=100或+2乙4=100两种情况，计算得/8=9 0 或乙4=90,从而证明ABC是直角三角形.(3)由三角形的内角和知，Z A D B+Z A B D=1 4 0,由ABC为“奇妙三角形得出乙4+2ZABD=100 或 2NA+NABO=1(X)两种情况，求得NC=80 或 100.【解答】(1)证明：。平分/A 8C,二 Z A B C=2 Z A B D.在ABC 中，V ZACB=80,.乙4+NA8C=l80-ZA CB=S0-80=100,即/A+2NAB=100,.A8O为“奇妙三角形”.(2)证明：在ABC 中，V Z C=80,.N A+/B=100,:ABC为“奇妙三角形”，./C+2NB=100 或NC+2/A=100,.ZB=10 或/A=1 0 ,当N 8=1 0 时，/A=9 0 ,4 8C是直角三角形.当N A=1 0 时，N8=90,A8C是直角三角形.由此证得，ABC是直角三角形.(3)解：平分NABC,Z A B C 2 Z A B D,；AAB D 为“奇妙三角形”，/.ZA+2ZABD=100 或 2NA+NA8Z)=100,当/A+2NAB=100 时，N A B D=(100-40)+2=30,A ZABC=2ZABD=60 ,；./C=80；当 2N A+/A B O=100 时，ZA B D=1000-2ZA=20 ,N A 8C=2N A B O=4 0 ,.*.ZC=100 ；综上得出：NC的度数为80或100 .6.(2022春亭湖区校级月考)定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1,A 8 C中，点。是8 c边上一点，连接A D,A D2=B D-C D,则称点。是A A BC中B C边上的“好点”.(1)如 图2,ZV IBC的顶点是4 X 3网格图的格点，请仅用直尺画出(或在图中直接描出)A B边上的所有“好点”点 ；(2)A BC 中，BC=7,t a n B=t a n C=1,点。是 8 C 边 上 的“好点”，求线段 BO4的长；(3)如图3,Zi A BC是。的内接三角形，点”在A B上，连 结C”并延长交。于点D.若点H 是A B C D中C D边上的“好点求证：O _LA B；若 O H/B D,。的半径为r,且r=3。”，求&旦的值.D H【分析】(1)直角三角形的“好点”是斜边的中点，作斜边上的高，垂足也为“好点”,即可得答案；(2)作4E_LBC,解斜 A BC,设B =a,根据4)2=。+4 2=8。式。列方程求得;(3)由得，CHHD=AH,BH,结合 B m=C H H D,得证；先确定AD是直径，然后求出A H、B H、B D、B H、C H,从而求出比值.【解答】解：(I)如 图1,Bc斜边AB的中点D与斜边A B上的高CO的垂足。均为A8边长的(2)如图2,A“好点”.图2作 AEJ_ 5c 于 E,在 Rt/XABE 中，tan B=3 ,BE 4.设 A=3a,BE=4a,lanC=-=i,CE 1:CE=AE=3a,.3a+4a=7,。=1,；AE=CE=3,BE=4,：.AB=5,设 BD=x,：.DE=4-xf在RlZAOE中，由勾股定理得,AIJr=DE1+AE1 (4-x)2+32,.点。是8 c边 上 的“好点”，：.AD2=BDCD=X/2 a-：AH=BH=2V 2 a-OA=OD,：.BD=2a,在中，由勾股定理得，=7BH2+B D2=2V 3 a，由 BH2=CH-M 得：（Wa）2=CH（2 a），4 CH 彦 /,丽=2畲a而，7.(2021秋如皋市期末)【了解概念】定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，这条中线叫这条边的半线.【理解运用】(1)如 图1,在 A BC中，AB=AC,ZBA C=120 ,试判断 A BC是否为半线三角形，并说明理由；【拓展提升】(2)如图2,在 A 8 C中，A B=A C,。为 的 中 点，M为 A BC外一点，连接M B,M C,若A BC和 M BC均为半线三角形，且4力和 分 别 为 这 两 个 三 角 形B C边的半线，求N A M C的度数；(3)在(2)的条件下，若M Z)=旦，A M=1,直 接 写 出 的 长.【分析】(1)根据半线三角形的定义进行判断即可；(2)过点A作A NJ _A M交MC于点N,可证明M 48丝 M 4C,则所以三角形M 4 V是等腰直角三角形，由此可解答；(3)在(2)的基础上可知，M B=N C,A M=A N=1,在R t Z M BC中，由勾股定理可得，M B2+M C2 B C2,由 此 可 得 的 长.【解答】解：(1)ZV IBC是半线三角形，理由如下：取8 c得中点。，连接A O,：A 8=A C,点D为B C的中点,：.ADBC,：48=A C,/8 A C=120 ,.NB=NC=30,在 RtZiABO 中，ZB=30,：.AD=AB,2.二 ABC是半线三角形.(2)过点4 作 4MLAM交 MC于点N,如图,为M 8C的 8 c 边的半线，：.M D=HC=BD=CD,2，NDBM=ZDMB,NDMC=NDCM,：.ZBMC=90,同理/8A C=90,又；/M 08=N A 0C,；.NMBA=/M C 4,：ZM AN=ZBAC=1),:.NM AB=4NAC.：AB=AC,：./M A B/N A C (ASA),：.AM=AN,又,：NMAN=90,.N4W C=N4VM=45.(3)由题意可知，8c=2M D=3,由(2)知也MAC CASA),：.MB=NC,AM=AN=l,:.M N=M，在 RtZM8C中，由勾股定理可得，MB2+MC2=BC2,：.MB2+(如+MB)2=32,解得，M 8=2-亚(负值舍去).2故 M B的值为2-返.28.(2021秋顺义区期末)我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度.如 图1,在 A BC中，A B=A C,鲤的值为 A BC的正度.BC已知：在 A BC中，A B=A C,若。是A 8 C边上的动点(。与A,B,C不重合).(1)若/A=9 0,则 A BC的正度为 叵；一 2 一(2)在 图1,当点Q在腰4 5上(。与A、8不重合)时，请用尺规作出等腰A C。，保留作图痕迹；若A C。的 正 度 是 返，求N A的度数.2(3)若/A是钝角，如图2,Z A BC的正度为3,A A B C的周长为22,是否存在点 ,5使 A 8具有正度？若存在，求出A CZ)的正度；若不存在，说明理由.【分析】(1)由等腰直角三角形的性质可得出答案；(2)作A C的中垂线交A 8于点。，交A C于点 设A O=&x,A E=x,求出4O=x,则可得出%后是等腰直角三角形，则可得出答案；(3)设A 8=3x,B C=5 x,贝U A C=3工由三角形的周长求出x=2,得出A 8=6,4c=6,8 c=1 0,作A H_LBC于 ，P liJ B H=C H=5,由勾股定理求出A H,分两种情况：当AC=O C时，当AC=C=6时，可求出答案.【解答】解：(1)若/A=9 0 ,坐 己，则 AB C的正度为亚，B C 2 2故答案为：亚；2(2)用尺规作出等腰4(：/),如 图1,4图1作A C的中垂线交A 8于点/),交A C于点E.：.AD=CD,DEAC,AC=2AE.AC。的正度是乂2,2.AD V 2 i 1AC 2.AD V 2 -.2AE 2.AD V 2 ,-AE 1在 RtZAQE 中，设 AE=x,DEWAD 2-AE 2=V2x2-x2=x：.DEAE.ACE是等腰宜角三角形.NA=45.（3）存在点。，使AC。具有正度.ABC的正度为与，ABC的周长为22,5 .A B 一 3-.B C 5设 AB=3x,B C=5 x,则 AC=3x.ABC的周长为22,3x+5x+3x=22.，x=2.：.AB6,AC=6,8 c=10,作 A H I B C 于 H,则 B H=C H=5,A/=VAC2-HC2=VU-设 AO=OC=y,则”=5-y,由 A序+HE2=A 2,得 A+（5-y）2=/.解得y=2 ，5即AO=.5，AC。的正度 为 坦 工 4-6屈.AC 5 0 5当A C=O C=6时，如图 3 所示，D H=D C-C H=6-5=,DA=VAH2+D H2=V 1 1+1 =V 1 2=2 3./.A A C D的正度为空=小 旧 A D芽综上所述，a A c。的正度为3或近.59.(20 21秋丹阳市期末)梅涅劳斯(Men ela us)是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如 图(I),如果一条直线与 AB C的三边AB,BC,C 4或它们的延长线交于R D、E 三点、,那么一定有空丝 奥=1F B D C E A下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程:证明：如 图(2),过点4作AG B C,交。尸的延长线于点G,则 有 空 望，患 二1,F B B D E A AG.AF B D C E AG B D C D _,-1 .F B D C E A B D D C AG请用上述定理的证明方法解决以下问题：(1)如 图(3),AB C三 边C B,A B,4C的延长线分别交直线/于X,Y,Z三点，证明：M.CZ.AY=1.X C Z A Y B请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：(2)如图(4),等边AB C的边长为2,点。为B C的中点，点尸在A B上，且C F与A。交于点E,则A E的长为 返.-2 一(3)如 图(5),AB C的面积为2,P为A B中点，延长B C至。，使 C D=B C,连接F C交A C于E,则四边形B C E F的面积为 匡.-3 一【分析】（1）过点C作C N X Z交AY于点N,根据平行线截线段成比例的知识解答即可;（2）根据梅涅劳斯定理进行推理;（3）根据梅涅劳斯定理得，迪.BD .C&.=，则 煦=JL,由面积公式得S8CEF=SA8C7,+SFB DC EA EA 2CEF,即可得出答案.【解答】（1）证明：如答图1,过 点C作C N X Z交AY于点M故.BX.CZ.AY=B Y.YN.A Y=1XC ZA YB YN AY YB（2）解：如答图2,根据梅涅劳斯定理得：逆.毁,%=l.F B D C E A又 尸=2AF,A F 1 BC?B F 2 C D：.DE=AE.在等边 AB C中，：A B=2,点。为B C的中点，：.ADLBC,BD=CD=.，由勾股定理知:AD=VAB2-B D2=V22-12=V 3.：.AE=J.2故答案是：返；2(3)解.：是AB C的梅氏线，由梅涅劳斯定理得，处.毁%=1,F B D C E A即x2 x出=1,则组二工.1 1 E A E A 2如答图3,连接尸C,SABCF=LS&ABC,SCEF=SM B C,2 6于是 S p qa BCEF=SBCF+SACEF=2 x 23_4.3故答案是：A.31 0.(20 21秋洪江市期末)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如 图1,在 A B C中，Z A=4 4 ,C Z)是 A B C的完美分割线，且A O=C。，求NA C B的度数；(2)如 图2,在 A B C中，C 为角平分线，N A=4 0。，Z B=60,求证：C D 为A B C的完美分割线；(3)如图3,Z V I B C中，AC=2,B C=&,8 是 A B C的完美分割线，且 4 C O是以C D为底边的等腰三角形，求完美分割线C。的长.图1图2图3【分析】(I)根据等腰三角形的性质求出N A C O=4 4 ,再根据相似三角形的性质得到Z B C D Z A,计算即可：(2)根据三角形内角和定理得到N A C B=8 0,进而判断出 A B C不是等腰三角形，根据角平分线的性质得到/48=/8。=4 4,得到A C Z)为等腰三角形和 B C Q s 454 C,根据三角形的完美分割线证明结论；(3)根据题意求出A O,再根据BCQS A B A C,求出8 ),再根据BCQS/XBAC,求出CD.【解答】(1)解：；4 =C ,N A=4 4 ,；./A C )=N A=4 4 ,；C D是 A B C的完美分割线，ELAD=CD,：.ZBCD=ZA=44 ,Z A C B=Z A C D+Z B C D=8 8 ；(2)证明：在ABC 中，NA=40,ZB=60,；.NACB=180-(ZA+ZB)=80,.ABC不是等腰三角形，平分NAC8,.,.N A C =/8 C =1AC8=40,2.NAC=/A=40,.ACO为等腰三角形，VZDCB=ZA=40,/CBD=NABC,：.CD是aABC的完美分割线；(3)解：ACO是以CO为底边的等腰三角形，：.AC=AD,；AC=2,：.AD=2,：CD是AABC的完美分割线，:ABCDSABAC,.BC=BDBA BC:.BC2=BA-BD,设 B D=x,则 AB=AD+BD=2+x,：.(&)2=x(x+2),-*.x=V3-1 -Vx0,.x=y3 I :.B D=M -1,VABCDAB/IC,.BD=CD .pV s-l-CD*BC AC V2 T:.C D=-V