2023届北京市朝阳区高三下学期一模数学试卷及答案.pdf

北 京 市 朝 阳 区 高 三 年 级 第 二 学 期 质 量 检 测 一 数 学 2023.3（考 试 时 间 120分 钟 满 分 150分）本 试 卷 分 为 选 择 题 40分 和 非 选 择 题 110分 第 一 部 分（选 择 题 共 40分）一、选 择 题 共 10小 题，每 小 题 4分，共 40分.在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项.1,已 知 集 合 人 一 卜 卜,集 合 5=/0,则（）A.（-oo,-2 B.-2,0）C.-2,+co）D.（0,2【答 案】C【解 析】【分 析】化 简 A=x-2xK2,再 由 集 合 并 集 的 运 算 即 可 得 解.【详 解】由 题 意 A=X|X24=X|-2 4 X。,所 以 A u 8=x|2 2ux|x0=x|%21 2,+）.故 选：C.2.若 a 0 b,则（）A.a3 b3 B.ah C.-0【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 不 等 式 的 性 质 判 断 A,取 特 殊 值 判 断 BCD.【详 解】a 0 b,.-.a3 0,b3 廿，故 A 正 确；取。=1力=-2,则 同 例 不 成 立，故 B 错 误;取。=1,匕=一 2,则 不 成 立，故 C 错 误；a b取 则 ln（a-，）=lnl=0,故 D 错 误.故 选：A3.设（1+X）=4+4 X+a?%?+.+6 7 X，若=，则=（）A.5 B.6 C.7 D.8【答 案】A【解 析】【分 析】先 求 出（I+X）展 开 式 第/+1项，再 由 4=%列 出 方 程，即 可 求 出 的 值.【详 解】（1+x）展 开 式 第 r+1项&I=C；X，；。2=。3,，C=C”=2+3=5.故 选：A4.已 知 点 A（-1,O）,3（1,0）.若 直 线 丁=丘 一 2 上 存 在 点 P,使 得 NAP3=90,则 实 数%的 取 值 范 围 是（）A.卜 00,.GC.上 6,6【答 案】D【解 析】【分 析】将 问 题 化 为 直 线 丁=2 与 圆 f+y2=i有 交 点，注 意 直 线 所 过 定 点（0,-2）与 圆 的 位 置 关 系，再 应 用 点 线 距 离 公 式 列 不 等 式 求 k的 范 围.【详 解】由 题 设，问 题 等 价 于 过 定 点（0,-2）的 直 线 丁=丘 2 与 圆 f+y2=i有 交 点,2J k、W 1，可 得 女 w故 选：D5.已 知 函 数/（x）=V+x,则“+=0”是“/（百）+/（毛）=0的（）A.充 分 而 不 必 要 条 件 C.充 分 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】c【解 析】【分 析】由/*）的 奇 偶 性、单 调 性 结 合 充 分 条 件、必 要 条 件 的 概 念 即 可 得 解.【详 解】因 为 定 义 域 为 R,/（-x）=（-X）3+（-X）=-/（%）,所 以/（x）为 奇 函 数，且/（x）为 R 上 的 增 函 数.当 玉+=0 时，/=-%，所 以/（内）+/（马）=.7（内）+/（一 飞）=0,即“玉+=o”是“/（石）+/（9）=o”的 充 分 条 件,当/（g）+/（9）=0 时，./（百）=一/。2）=/（一 工 2），由/（X）的 单 调 性 知，再 二 X2，即 玉+*2=，所 以“玉+=0”是/（%）+/（%2）=0”成 立 的 必 要 条 件.综 上，“再+=0”是“/（5）+/（赴）=0”的 充 要 条 件.故 选：C2 26.过 双 曲 线*=1（.0,b0）的 右 焦 点 厂 作 一 条 渐 近 线 的 垂 线，垂 足 为 A.若 Z A F O 2 Z A O F（。为 坐 标 原 点），则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为（）A&R 2 6 c?D 2百 2 3 3或 2【答 案】B【解 析】【分 析】由 题 意 易 得 所 以 N A O E=3 0，从 而 tan30=：=与，再 由 e=+求 解.【详 解】解：在 放 心 尸。中，因 为 N A b O=2 N A O 尸,所 以 N A O F=3 0，则 tan30,故 选：B7.在 长 方 体 A B C。A 4 G A 中，A G 与 平 面 4 8。相 交 于 点 M,则 下 列 结 论 一 定 成 立 的 是（）A.A M BDB.AtM 1 BDC.A M=；G D.M B=M D【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 平 面 交 线 的 性 质 可 知 4 N AC,=M,又 平 行 线 分 线 段 成 比 例 即 可 得 出 正 确 答 案，对 于 ABD 可 根 据 长 方 体 说 明 不 一 定 成 立.【详 解】如 图，连 接 AC,8。，交 于 N,连 接 A C，A、N,在 长 方 体 中，平 面 A C G 4 与 平 面 4 8。的 交 线 为 AN,而 A g u 平 面 A C G A，且 A g e 平 面 4 8 0=,所 以 M G AN,又 A N HAC,AN=；4 G，所 以 A V=；M G，故 c 正 确.对 于 A,因 为 长 方 体 中 A C 与 B O 不 一 定 垂 直，故 推 不 出 A M，5。，故 A 错 误；对 于 B,因 为 长 方 体 中 4。与 4 B 不 一 定 相 等，故 推 不 出 4 M _ L 3。，故 B 错 误；对 于 D,由 B 知，不 能 推 出 4 N 与 8。垂 直，而 4 N 是 中 线，所 以 推 不 出 用 B=故 D 错 误.故 选：C8.声 音 是 由 于 物 体 的 振 动 产 生 的 能 引 起 听 觉 的 波，我 们 听 到 的 声 音 多 为 复 合 音.若 一 个 复 合 音 的 数 学 模 型 是 函 数/（x）=sinx+gsin2x（x w R）,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A./（X）的 一 个 周 期 为 兀 B./（X）的 最 大 值 为 彳 c.的 图 象 关 于 直 线 x=7i对 称 D.在 区 间 0,2可 上 有 3个 零点【答 案】D【解 析】【分 析】A.代 入 周 期 定 义，即 可 判 断；B.分 别 比 较 两 个 函 数 分 别 取 得 最 大 值 的 x值，即 可 判 断；C.代 入 对 称 性 的 公 式，即 可 求 解；D.根 据 零 点 的 定 义，解 方 程，即 可 判 断.【详 解】A.+=sin(x+7t)+gsin2(*+兀)=-sinx+gsin2x声/(x),故 A 错 误；兀 1B.y=sinx,当 x=+2E,Z e Z 时，取 得 最 大 值 1,j=-sin2 x,当 2 22x=-+2lai,Z e Z 时，即 x=+kr,Z e Z 时，取 得 最 大 值;，所 以 两 个 函 数 不 可 2 4 2a能 同 时 取 得 最 大 值，所 以/(尢)的 最 大 值 不 是 故 B 错 误；C./(2兀 一 x)=sin(2兀-x)+gsin 2(2兀 一 x)=-sinx-gsin2x w/(x),所 以 函 数/(X)的 图 象 不 关 于 直 线 工=兀 对 称，故 C 错 误；D J(x)=sin x+g sin 2x=sin x+sin xcos x=0,即 sin x(1+cos x)=0,0,2兀,即 sinx=0或 cosx=-l,解 得：x=0,兀,2兀，所 以 函 数/(x)在 区 间 0,2兀 上 有 3个 零 点，故 D 正 确.故 选：D9.如 图，圆 M 为 的 外 接 圆，AB=4,A C=6,N 为 边 BC 的 中 点，则 A N-A M：()【答 案】C【解 析】【分 析】由 三 角 形 中 线 性 质 可 知 AN=e(AB+A C),再 由 外 接 圆 圆 心 为 三 角 形 三 边 中 垂 线 交 点 可 知|A M|c o sZ B A M=；|A%|,同 理 可 得|AM|co s/C A M=g|云 力，再 由 数 量 积 运 算 即 可 得 解.【详 解】N 是 8 c 中 点，二 AN=g(A 8+AC),M为 4A B e的 外 接 圆 的 圆 心，即 三 角 形 三 边 中 垂 线 交 点，:.A M-A B=A M A B cosZBAM=-1 A 5|2=-x 42=8,2 2同 理 可 得 AM-AC=A C 1=1S,:.A M AD=AM-(A B+A C)-A M AB+-A M-A C=-x S+-x S 1 3.2 2 2 2 2故 选：C1 0.已 知 项 数 为 M%eN*)的 等 差 数 列 4 满 足 q=l,；加 4(”=2,3,次).若 4+电+。&=8,则 攵 的 最 大 值 是()A.14 B.15 C.16 D.17【答 案】B【解 析】1 3【分 析】通 过 条 件 4=1,-(7 1=2,3,k),得 到 d N 一 0 J,再 利 用 条 件 4+a2+ak=8得 至 以 6=2女+女(左 一 1)”,进 而 得 到 不 等 关 系：162 2%+仪 左 一 1)二 一，从 而 得 到 我 的 最 大 值.3 k 2【详 解】由 q=l,；4 4(=2,3,，得 到 1+(-2)“41+(-1)蜀，即 3+(3-2)4 2 0,3当=2,3,攵 时，恒 有 3+(3-2)4 2 0,即 d N-3 n-2所 以。2-33k 2由+%+%=8,得 到 8=皿*1/2+d 刈,2 2所 以 16=24+左（左 一 1）4 2 2后+乂&-1）-,kcN,kN2,3k-2整 理 得 到：342-49k+3 2 W 0,所 以 左 112.函 数/（力=|3 的 值 域 为.3%1【答 案】（8,3）【解 析】【分 析】利 用 对 数 函 数 和 指 数 函 数 的 图 象 和 性 质 分 别 求 X 2 1 和 X1的 值 域，再 取 并 集 即 可.【详 解】因 为 当 X 2 1 时，3当 xl时，3 1所 以 函 数/（x）=3 的 值 域 为（-8,3）,3%1故 答 案 为：（,3）13.经 过 抛 物 线 f=4 y 的 焦 点 的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 4,8 两 点，若|AB|=4,则 一 Q4B（O 为 坐 标 原 点）的 面 积 为.【答 案】2【解 析】【分 析】求 出 焦 点 坐 标，设 直 线 A B 方 程，联 立 抛 物 线 方 程，韦 达 定 理，利 用 弦 长 求 出 直 线 方 程，可 求 得。点 到 直 线 距 离，进 一 步 求 出 三 角 形 面 积.【详 解】由 题 意 知，抛 物 线 f=4 y 的 焦 点 尸（0,1）,设 A（x”y）,8（孙），直 线 AB：y=kx+,联 立 方 程 P 八 十 1，消 去 x可 得 V-（2+4l2）y+1=0,匕=4y=（2+4%2）2一 4=16左 4+16k2 20,韦 达 定 理 得 y+y2=2+4/,%为=1,因 为|AB|=|AF|+|E8|=y+必+2=2+4？+2=4,所 以 42=0，即 上=0,所 以 直 线 A8：y=l,所 以 点。到 直 线 4B的 距 离 为 尸|=1,所 以 目.|AM=：xlx4=2.故 答 案 为：214.在.ABC中，a=4五,b=m,sinA-cosA=0.（1）若 m=8,则。=；（2）当 机=（写 出 一 个 可 能 的 值）时，满 足 条 件 的 _/3C有 两 个.【答 案】.472.6（答 案 不 唯 一）【解 析】【分 析】（1）求 出 A,再 由 余 弦 定 理 求 解 即 可；（2）根 据 已 知 两 边 及 一 边 的 对 角 求 三 角 形 解 得 情 况，建 立 不 等 式 求 出?的 范 围 即 可 得 解.【详 解】（1）,sinA cosA=0,tan A=1,j r0 A 7i,A=94由 余 弦 定 理，a2=b2+c2-2bccos A 即 32=64+c?I6x、一 c，2解 得 c=4加.（2）因 为 4=；,=45/2,47T所 以 当 Asina 时，方 程 有 两 解，4即 4 8 根 8，取 利=6即 可 满 足 条 件（答 案 不 唯 一）15.某 军 区 红、蓝 两 方 进 行 战 斗 演 习，假 设 双 方 兵 力(战 斗 单 位 数)随 时 间 的 变 化 遵 循 兰 彻 斯 特 模 型：=X()cosh sinh,其 中 正 实 数 xO,y 分 别 为 红、=%cosh蓝 两 方 初 始 兵 力，f为 战 斗 时 间；x(r),y(r)分 别 为 红、蓝 两 方 f时 刻 的 兵 力;正 实 数 a,b分 别 为 红 方 对 蓝 方、蓝 方 对 红 方 的 战 斗 效 果 系 数；coshx=二 和 sinhx=分 别 为 2 2双 曲 余 弦 函 数 和 双 曲 正 弦 函 数.规 定 当 红、蓝 两 方 任 何 一 方 兵 力 为。时 战 斗 演 习 结 束，另 一 方 获 得 战 斗 演 习 胜 利，并 记 战 斗 持 续 时 长 为 给 出 下 列 四 个 结 论：若 X 0 X 且 a=b,则 响 M(O Q T)；若 X。%且 a=，则 T=-件：X。b 若 常 一，则 红 方 获 得 战 斗 演 习 胜 利；E a 若 区、口，则 红 方 获 得 战 斗 演 习 胜 利.匕*a其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【答 案】【解 析】【分 析】对 于 根 据 已 知 条 件 利 用 作 差 法 比 较 大 小 即 可 得 出 x(f)-y(z)=efl,(Xo-)O.at.-/at _-t?z所 以 正 确；对 于，利 用 中 结 论 可 得 蓝 方 兵 力 先 为 0,即 X=02 2解 得 T=-Ina因+丫。Xo-Y。,正 确；对 于 和，若 要 红 方 获 得 战 斗 演 习 胜 利，分 别 解 出 红、蓝 两 方 兵 力 为。时 所 用 时 间 6、与，比 较 大 小 即 可 知 错 误，正 确.【详 解】对 于，若 乂 0%且。=人，则(，)=+eq/2e+eat2-ate-eX。e-e-4 X,所 以 x(，)_y(，)=e(Xo_%),由 X。E 可 得 x(r)y(r)=e(X。)0,即 正 确;对 于，当 时 根 据 中 的 结 论 可 知 x(r)y(/),所 以 蓝 方 兵 力 先 为 0,at.-a/at _-a/即 y(f)=e；e/_ e;*产。,化 简 可 得 e(X0元 e(Xo+4),即/=0+3，两 边 同 时 取 对 数 可 得 2at=InI答 铮,Ao-ro Xo一 妁 J即，=In-y-=In I*,所 以 战 斗 持 续 时 长 为 T=-In2a Xo 1)J a XoY a所 以 正 确；对 于，若 红 方 获 得 战 斗 演 习 胜 利，则 红 方 可 战 斗 时 间 大 于 蓝 方 即 可，设 红 方 兵 力 为 0时 所 用 时 间 为 4,蓝 方 兵 力 为 0时 所 用 时 间 为 芍，同 理 可 得 e?防=0又 因 为 X。,乂,a力 都 为 正 实 数，所 以 可 得 X。y0红 方 获 得 战 斗 演 习 胜 利;所 以 可 得 错 误，正 确.故 答 案 为：.三、解 答 题 共 6 小 题，共 8 5分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，演 算 步 骤 或 证 明 过 程.16.如 图，在 三 棱 柱 ABC-中，平 面 ABC,D,E 分 别 为 AC,的 中 点,A B=B C=4，AC=A4,=2.4w(1)求 证：A C，平 面 BOE；(2)求 直 线。E 与 平 面 4BE所 成 角 的 正 弦 值；(3)求 点。到 平 面 ABE的 距 离.【答 案】(1)证 明 见 解 析；亚 6(3)返 3【解 析】【分 析】(1)根 据 线 面 垂 直 的 性 质 得 到 O E 上 A C,根 据 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 的 性 质 得 到 A C 1 B D,然 后 利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 即 可；(2)利 用 空 间 向 量 的 方 法 求 线 面 角 即 可；(3)利 用 空 间 向 量 的 方 法 求 点 到 面 的 距 离 即 可.【小 问 1详 解】在 三 棱 柱 中，D,E 为 A C,A G 的 中 点，.)e AA,平 面 A8C,平 面 A8C,：A C u 平 面 A B C,D E 1 A C,在 三 角 形 A B C 中，A B=B C,。为 A C 中 点，,：D E c B D=D，DE,BD 平 面 B O E，,AC_L平 面【小 问 2 详 解】如 图，以。为 原 点，分 别 以 为 x,y,z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,在 直 角 三 角 形 45。中，A B=y，A D=-A C=l,：,BD=2,2)(0,0,0),E(0,(),2),A(l,0,0),8(0,2,0),)=(0,0,2),AB=(-1,2,0),AE=(-l,0,2),设 平 面 ABE的 法 向 量 为 z=(x,y,z),A B m=-x+2 y=0,、,令 x=2,贝 ijy=l,z=l,所 以 z=(2,l,l),A E-m-x+2z=0设 直 线 D E 与 平 面 ABE所 成 角 为 6,/、DE-n 2 V6所 以 sin。=cos(DE,m)=y r-j r=-/=./|。斗 网 2x74+1+1 6小 问 3详 解】DE-m 2 V6设 点。到 平 面 4 组 的 距 离 为 d,所 以 d=i 1=7=一.V6 317.设 函 数/(x)=Asinxcos&r+cos2 0 x(AO,tyO),从 条 件、条 件、条 件 这 三 个 条 件 中 选 择 两 个 作 为 己 知，使 得/(x)存 在.(1)求 函 数/(力 的 解 析 式；(2)求/(灯 在 区 间 0,|上 的 最 大 值 和 最 小 值.条 件:/(x)于(-%)；条 件：/(X)最 大 值 为条 件：/(X)的 图 象 的 相 邻 两 条 对 称 轴 之 间 的 距 离 为 5.注：如 果 选 择 的 条 件 不 符 合 要 求，得。分；如 果 选 择 多 组 条 件 分 别 解 答，按 第 一 组 解 答 计 分.【答 案】(1)选 择 条 件，x)=sin(2九+外+:3(2)最 大 值 为 一，最 小 值 为 0.2【解 析】【分 析】(1)由 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 的 奇 偶 性 可 排 除 条 件，先 利 用 辅 助 角 公 式 化 简/(x),再 根 据 正 弦 函 数 的 图 象 和 性 质 即 可 求 解；(2)利 用 整 体 代 入 法，结 合 正 弦 函 数 的 图 象 和 性 质 即 可 求 解.【小 问 1详 解】若 选 择 条 件，A o因 为 x K m S i n Z s+c o s%,所 以 f(-x)=sin(-2Gx)+cos2(一 口%)=-sin 2a)x+cos2 cox由 寸(一 力 可 得 Asin20r=。对 恒 成 立,与 A 0,G。矛 盾,所 以 选 择 条 件，由 题 意 可 得=Asin(-yx)cos(-69%)+cos2(-6yx)=-Asin 269%+cos2 cox,4rl71 71设 一,2 2由 题 意 可 得 x)=gsin2,i c i V A2+Icox+cos 2cox+=-sin(2Gx+e)+；，2 2 2A其 中 cos/=V A2+Iisin(p=/因 为/(x)的 最 大 值 为 I，所 以+g=|解 得 A=6.所 以 sin夕=一,(p=3,2 6r j-t由/(x)的 图 象 的 相 邻 两 条 对 称 轴 之 间 的 距 离 为 5 可 得 5=3,所 以 丁=女=兀 解 得 0=1,2G兀 7兀 6 T-1 12,sinf 2x+-j s所 以/(x)=sin(2x+V+.【小 问 2 详 解】TT 7T由 正 弦 函 数 的 图 象 可 得 当 龙 0,-时，2x+-eL 2 6 冗 a所 以/(x)在 区 间 o，z 上 的 最 大 值 为 5,最 小 值 为 o.18.某 地 区 组 织 所 有 高 一 学 生 参 加 了“科 技 的 力 量 主 题 知 识 竟 答 活 动，根 据 答 题 得 分 情 况 评 选 出 一 二 三 等 奖 若 干，为 了 解 不 同 性 别 学 生 的 获 奖 情 况，从 该 地 区 随 机 抽 取 了 500名 参 加 活 动 的 高 一 学 生，获 奖 情 况 统 计 结 果 如 下：性 别 人 数 获 奖 人 数 一 等 奖 二 等 奖 三 等 奖 男 生 200 10 15 15女 生 300 25 25 40假 设 所 有 学 生 的 获 奖 情 况 相 互 独 立.(1)分 别 从 上 述 200名 男 生 和 300名 女 生 中 各 随 机 抽 取 1名，求 抽 到 的 2 名 学 生 都 获 一 等 奖 的 概 率；(2)用 频 率 估 计 概 率，从 该 地 区 高 一 男 生 中 随 机 抽 取 1名，从 该 地 区 高 一 女 生 中 随 机 抽 取 1名，以 X 表 示 这 2 名 学 生 中 获 奖 的 人 数，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 EX;(3)用 频 率 估 计 概 率，从 该 地 区 高 一 学 生 中 随 机 抽 取 1名，设 抽 到 的 学 生 获 奖 的 概 率 为 P。；从 该 地 区 高 一 男 生 中 随 机 抽 取 1名，设 抽 到 的 学 生 获 奖 的 概 率 为 Pi：从 该 地 区 高 一 女 生 中 随 机 抽 取 1名，设 抽 到 的 学 生 获 奖 的 概 率 为 小，试 比 较 P。与 旦 产 的 大 小.(结 论 不 要 求 证 明)【答 案】(1)-240(2)分 布 列 见 解 析，期 望 E X=12 P0 号【解 析】【分 析】(1)直 接 计 算 概 率 P(A)=e g,C200 C300(2)X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2,求 出 高 一 男 生 获 奖 概 率 和 高 一 女 生 获 奖 概 率，再 计 算 概 率 得 到 分 布 列，最 后 计 算 期 望 即 可；(3)计 算 出 p o=1|,且 产=；,比 较 大 小 即 可.【小 问 1详 解】设 事 件 A为“分 别 从 上 述 200名 男 生 和 300名 女 生 中 各 随 机 抽 取 1名,抽 到 的 2名 学 生 都 获 一 等 奖”，则 尸 C；QC200 C300240【小 问 2 详 解】随 机 变 量 X 的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2.记 事 件 B为“从 该 地 区 高 一 男 生 中 随 机 抽 取 1名，该 学 生 获 奖”，事 件。为“从 该 地 区 高 一 女 生 中 随 机 抽 取 1名，该 学 生 获 奖”.由 题 设 知，事 件 8,C相 互 独 立,口 任、%10+15+15 1 p r.25+25+40且 P 估 计 为-万,P(C 估 计 为,300 310所 以 P(X=0)=P(5C)=P(B)P(C)=P(X=1)=PBC 2 BC)=P(B)PG)+P(耳)P(C)=19501 3 3P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C)=-x=.所 以 X 的 分 布 列 为 X0 1 2P2850195b35028 IQ 3 1故 X 的 数 学 期 望 E(X)=0 X-+1X+2 X 3=5【小 问 3详 解】Po 勺”，理 由：根 据 频 率 估 计 概 率 得 P。-4-0-+-9-0-13-5-2-,由(2、)知 八=一 1500 50 200 1 251 3故 Pi+2+m=1=502-2-4-200Pi3K)则。o 七 上 19.已 知 函 数=l(aeR).(1)求/(x)的 单 调 区 间；(2)若/(力 0 对 XG(0,+8)恒 成 立，求 4 的 取 值 范 围；(3)证 明：若/(x)在 区 间(0,+8)上 存 在 唯 一 零 点,则 与”2.【答 案】(1)答 案 见 解 析(2)a 0,结 合 导 数 的 符 号 确 定 单 调 区 间；(2)由/(x)=2e2*-a,讨 论。42、a2研 究 导 数 符 号 判 断 f(x)单 调 性，进 而 判 断 题 设 不 等 式 是 否 恒 成 立，即 可 得 参 数 范 围；(3)根 据(2)结 论 及 零 点 存 在 性 确 定 a 2时/(x)在(In色,+8)上 存 在 唯 一 零 点，由 零 2 2点 性 质 及 区 间 单 调 性，应 用 分 析 法 将 问 题 转 化 为 证-2)0 在 a 2上 恒 成 立，即 可 证 结 论.【小 问 1详 解】由 题 设/(x)=2e2*a,当 a W 0 时，/(x)0,则/(x)在 R 上 递 增；当 a 0 时，令/(x)=0,则 x=ln,2 2若 则 八 x)0,/(x)在(少-Inq)上 递 减；2 2 2 2若 则/(x)0,f(x)在 dinq,+”)上 递 增；2 2 2 2综 上，4 Q时/(x)的 递 减 区 间 为(-oo,g 咤)，递 增 区 间 为(g 1 吟,+).【小 问 2 详 解】由 f M=2e2x-a,当 a4 2时，/(x)0 在。+8)上 恒 成 立，故 f(x)在(0,+8)上 递 增，贝 I/(x)/(0)=0,满 足 要 求；当。2时，由(1)知：/(x)在(一 a?,Inq)上 递 减，在 dlnq,+e)上 递 增，而 2 2 2 21,a 八 In 0,2 2所 以/(x)在(0,g 呜)上 递 减，在(g 哈+功 上 递 增，要 使 x)0 对 xw(O,+x)恒 成 立，所 以，只 需=令 g(x)=x-xlnx-l 且 1,则 g(x)=-lnx0,即 g(x)递 减，所 以 g(x)0 不 存 在 2；综 上，a0,故 不 可 能 有 零 点；。2时，/(x)在(0,Lln)上 递 减，在(工 I n+e)上 递 增，且/(0)=0,2 2 2 2所 以(0,；l n$上/(x)0,无 零 点，即/(gln)0,且 x趋 向 于 正 无 穷 时/&)趋 向 正 无 穷，n c所 以，在 弓 1115，+00)上 存 在 唯 一 修,使/(Xo)=e-1=(),要 证/0在。2上 恒 成 立 即 可，令 f=a2 0,若 7ia)=er+2)l,则/)=2化 2,一，一 1),令 p(f)=e2 l,则 p(f)=2e”l 0,即 p 在(0,+8)上 递 增,故 P P(0)=0,所 以(/)0,即 以 f)在(0,+8)上 递 增,故 瓜 分 猷 0)=0,所 以/(a 2)=e2(-2)一 以。2)10在。2上 恒 成 立，得 证；故 不 0恒 成 立 即 可.2 220.已 知 桶 圆 E:,+二=1(0 4)经 过 点(逝).（1）求 椭 圆 E 的 方 程 及 离 心 率；（2）设 椭 圆 E 的 左 顶 点 为 A,直 线/：*=冲+1与 E 相 交 于 M,N 两 点，直 线 A M 与 直 线 x=4相 交 于 点。.问：直 线 N Q 是 否 经 过 x轴 上 的 定 点？若 过 定 点，求 出 该 点 坐 标；若 不 过 定 点，说 明 理 由.【答 案】（1）椭 圆 E 的 方 程 为 兰+.=1,离 心 率 为 立.4 2 2（2）直 线 N Q 过 定 点（2,0）.【解 析】【分 析】（1）根 据 椭 圆 经 过 点（、历）即 可 求 得 椭 圆 方 程，利 用 离 心 率 公 式 即 可 求 离 心 率；表 示 出 直 线 A 的 方 程 为=*5+2）,即 可 求 得 点 再 利 用 点 斜 式 表 示 得 直 线 N Q 的 方 程 为 y-必 6乂 一%(芯+2)(4 x2)(%1+2)（x-x2）,即 可 求 出 N Q 与 x轴 的 交 点,利 用 韦 达 定 理 等 量 替 换 即 可 求 出 直 线 N Q 恒 过 的 定 点.【小 问 1详 解】2 2因 为 椭 圆 E:工+匕 4 nl（0 n 0,设（,乂）,%（工 2，%），则 有 X+必=2m 3正 万 加 一 正 方 直 线 A M 的 方 程 为）=玉+2(%+2).令 I,解 得=*,则。d，2）,6）1-V?所 以 直 线 N Q的 斜 率 为 卜=芭+2-=6 y-y 2 a+2）且 kN Q丰 0,，“0 4-X2（4-X2）（X（+2）5所 以 直 线 N。的 方 程 为 y-必 6 y+2）（4 一 工 2）（西+2）U-x2）.令 y=o,则=/%（4-）（芯+2）6）1-%（%+2）6 y y2 a+2）一%（4 一%2）（%+2）6%一%（5+2）641 二 4%（内+2）_ 6（m%+D y-4y2。町 1+3）6 y-必（X+2）（yl-y2（myt+3）2 职），2+6）-1 2），2-m yly2+6yi-3 y2-18 n i-18（m+2）为 2-9 m-9（/n2+2）%所 以 直 线 N Q过 定 点（2,0）.【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 第 二 问 的 关 键 在 于 利 用 直 线 的 点 斜 式 方 程 求 的 点 点。（4,驾）的 玉+2坐 标，再 利 用 点 斜 式 方 程 表 示 出 直 线 N Q与 冗 轴 的 交 点 横 坐 标，利 用 韦 达 定 理 等 量 代 换 求 恒 过 定 点.2 1.已 知 有 穷 数 列 人 吗，4，品 3 6 川,7 之 3）满 足 4-1,0,1=1,2,N）.给 定 正 整 数 利,若 存 在 正 整 数 s,s w t）,使 得 对 任 意 的 k e 0,l,2,都 有 as+k=al+k,则 称 数 列 A是 机 一 连 续 等 项 数 列.（1）判 断 数 列 4：-1,1,0,1,0,1,-1是 否 为 3-连 续 等 项 数 列？是 否 为 4连 续 等 项 数 列？说 明 理 由；（2）若 项 数 为 N的 任 意 数 列 A都 是 2连 续 等 项 数 列，求 N 的 最 小 值；（3）若 数 列 A：%,4，软 不 是 4连 续 等 项 数 列，而 数 列 4：4，“2，乐，一 1，数 列 4：q,%,，v，与 数 列 A 3：弓,。2，册，1都 是 4 一 连 续 等 项 数 列，且 生=。，求 斯 的 值.【答 案】（1）数 列 A 是 3-连 续 等 项 数 列，不 是 4连 续 等 项 数 列，理 由 见 解 析；（2）11（3）0【解 析】【分 析】（1）根 据 新 定 义 直 接 验 证 数 列 A：-1,1,0,1,0,1,-1,可 得 结 论；（2）先 根 据 新 定 义 证 明 N 2 1 1 时，数 列 A 一 定 是 2连 续 等 项 数 列，再 验 证 41（）时.，A不 是 2-连 续 等 项 数 列 即 可；（3）由 4,4 4 都 是 4 一 连 续 等 项 数 列 可 得 q=,v-2，弓+1=N-，ai+2=aN，生+3=-1，aj-aN-l，aj+aN-，aj+2=aN，aj+3=，%=aN-2，4+1=ON-，4+2=“N，4+3=1，再 由 反 证 法 证 得 miniJ左=1,即 可 得 出 aN的 值.【小 问 1详 解】数 列 A 是 3-连 续 等 项 数 列，不 是 4连 续 等 项 数 列，理 由 如 下：因 为+火=%+式=。/，2）,所 以 A 是 3-连 续 等 项 数 列.因 为，4，%，。4为 一 1，1，1；42，%，。4，“5为 1，1，；%,。4，%，。6 为 0,0；4，%，&，47 为 1，T，所 以 不 存 在 正 整 数 S,t（s 丰 t）,使 得 as+k=（女=0,1,2,3）.所 以 A 不 是 4连 续 等 项 数 列.【小 问 2 详 解】设 集 合 S=（x,y）|xe-l,0,l,ye-1,0,1,则 S 中 的 元 素 个 数 为 3?=9.因 为 在 数 列 A 中 qeT,0,l（i=l,2,N）,所 以 在”国）w S（i=1,2,N-l）.若 NNll,WJN-l109.所 以 在 3，。2），（。2，4），（%，。4），（即-1，许）这 N-1 个 有 序 数 对 中，至 少 有 两 个 有 序 数 对 相 同，即 存 在 正 整 数 S,t（s 丰 t），使 得 a,=a,4旬=al+.所 以 当 项 数 N21 1 时，数 列 A 一 定 是 2连 续 等 项 数 列.若 N=3,数 列 0,0,1不 是 2连 续 等 项 数 列.若 N=4,数 列 0,0,1 不 是 2-连 续 等 项 数 列.若 N=5,数 列 0,0,1,1,0不 是 2连 续 等 项 数 列.若 N=6,数 列 0,0,1,0,-1不 是 2-连 续 等 项 数 列.若 N=7,数 列 0,0,1,1,0,-1,1不 是 2连 续 等 项 数 列.若 N=8,数 列 0,0,-1,1,一 1不 是 2连 续 等 项 数 列.若 N=9,数 列 0,0,1,1,0,-1,1,一 1,一 1不 是 2连 续 等 项 数 列.若 N=10,数 列 0,0,1,0,-1,1,一 1,一 1,0不 是 2连 续 等 项 数 列.所 以 N 的 最 小 值 为 11.【小 问 3 详 解】因 为 4,4 与 A3都 是 4连 续 等 项 数 列，所 以 存 在 两 两 不 等 的 正 整 数 i,j,k(i,j,k ai+aN-ai+2=aN ai+3=1，aj aN-l，aj+i aN-,aj+2 aN i aj+3，ak=N-24+1=aN-，4+2=aN，4+3=1 下 面 用 反 证 法 证 明 mini,/=1.假 设 mini,J,左 1,因 4_,勺 _,a-i,。可-3 W-1，0,1，所 以 ai-,a11,ak-,中 至 少 有 两 个 数 相 等.不 妨 设 a-i=%,则%=%，4=勺，6+1=勺+”2=%+2,所 以 A 是 4一 连 续 等 项 数 列，与 题 设 矛 盾.所 以 mini,j,Z=l.所 以=ai+2=aj+2 _ ak+2=.【点 睛】方 法 点 睛：对 于 新 定 义 问 题，一 般 先 要 读 懂 定 义 内 容，第 一 问 一 般 是 给 具 体 的 函 数 或 数 列 验 证 是 否 满 足 所 给 定 义，只 需 要 结 合 新 定 义，验 证 即 可，在 验 证 过 程 中 进 一 步 加 强 对 新 定 义 的 理 解，第 二 步 一 般 在 第 一 步 强 化 理 解 的 基 础 上，所 给 函 数 或 数 列 更 加 一 般 或 复 杂，进 一 步 利 用 新 定 义 处 理，本 题 第 三 问 根 据 A，4 与 43都 是 4-连 续 等 项 数 列 得 出=aN_2,aM=aN_1,ai+2=aN,ai+3=-l a aN_2,aj+t=aN_x,aj+2=aN,aj+3=0,ak=aN-2ak+=Q N|S+2=N，4+3=1,利 用 反 证 法 求 疝 口 乩/，及=1是 关 键 点，