2023年全国硕士研究生考试考研数学一试卷真题及答案详解.pdf

2023年全国硕士研究生统一入学考试数学(一)试题一、选择题：1-10小题，每小题5 分，共 50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线y=xln(e+匚)的斜近线方程为：x-1A.y=x+eB.y=x+-eC.y=xD.y=x-e(2)已知微分方程，+即+=0 的解在(-8,+8)上有界，则 的 取 值 范 围 为A.a 0B.a 0,b 0C.a=0,h 0D.a=0,h 0未知，若6=。|工一乙|为C的一个无偏估计，则。=()A.近 B.叵 C.G D.历2 2二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.(11)当x-0时，函数/(%)=6 +加+ln(l+x)与g(x)=e，-c o sx是等价无穷小，则ab=(1 2)曲面z=x+2y+In(1+f +2)在点(0,0,o)处的切平面方程为_ _ _ _ _ _ _ _0 8(1 3)设/(x)为 周 期 为2的 周 期 函 数，且/(x)=l-x,x e 0,l,若/=寸+，则2 =82%=-n=lyTat=0 2(i =1,2,3)k；+抬+用=则_ _ _ _ _ _ _ _.(14)设连续函数/(x)满足f(x +2)-f(x)=x%协二=0,则 1 f (x)dx=_.(1)0-111(1 5)已 知 向 量 为=，%=o 生=-1 1 =1,)/=左 臼+左2a2+左3。3 若U JI d、一 1J(1 6)则随机变量X与丫相互独立，X 6 0,；),Y 则尸X=y=.三、解答题：1722小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)设曲线L:y=y(x)(x 0)经过点(1,2),L上任意一点P(x,y)到y轴的距离等于该点处的切线在y轴上的截距(1)求歹(x)(2)求函数/(x)=y )力 在(0,+oo)的最大值18 .（本题满分1 2 分）求函数/（x j）=3）3 一丁）的极值19 .（本题满分12 分）设空间有界区域。由柱面f+/=i与平面z =0 和 x+z =l围成，Z为。的边界曲面，取外侧，求/=挣 I xzdydz+xz cos ydzdx+3yz s i n xdxdy.z2 0.（本题满分12 分）设/（x）在-出句上具有2阶连续导数，证明：（D /（0）=0,则 存 在 门（一。,。），使 得/a（2）若/（x）在（一。,。）内取得极值，则存在（一凡0,使得|/（）户，？|/（0-/（一 0|2 1.已知二次型/（X ,x2,x3）=x,2+2%2 +2%3 +2 X（x2-2 xx3,满足对任意8 8 1，丫 2，丫 3）=+,+$+2歹 2%（1）求可逆变换x=/,将/（%,/3）化为g（yi，y2，y3）（2）是否存在正交变换,将/（百广2/3）化为g（%,y2，y3）2/2 2 2 2 .设二维随机变量（X,y）的概率密度为+y,x2+y2 0 0 K T 8X _ 1 .r-CO X _ 1=li m xln l+-=li m -=-e(x-1)e所以斜渐近线方程为：y x +-e(2)【答案】：C【解析】：微分方程y+ay+by=O的特征方程为A2+aA+b=0当=/-4 6 时，特征方程有2个不同的实数根儿人2,则儿人至少有一个不等于零,若，G都不为零，则微分方程的解y=Ge +c2e.在(T O,+00)无界当 =/=,特征方程有2个相等的实根，A.2 =_a_若G 4,则微分方程的解y=(&+ce 2在(-00,+00)无界.2 x i 1 C l ,y 4b Cl.当 =4 _ 4 b 0时，特征方程的根为儿2=一5 士-I予/d 4 b-.则通解为：V=e 2 (Ge os -x+C 2 s m-x)此时，要使微分方程的解在在(，+8)有界，则。=0,再由4 =/_46 0(3)【答案】：C【解析】：x=3t dy s i n/+/c o s/D当，0时，,，:二-歹二，s i nZ ax 3x=t dv当，v 0时，.=-s i nr-Z s i n/；y=-tsint dx当，=o 时，因为 (0)=l i m /(x)-/(0)=l i m 0X T0+x T O+3t 力、1-/(x)-/()1-/s i n,/l(0)=l i m g-J QN=l i m-=0X T(r X I T/t所以r()=c、1-r、，、v s m +r c o s z 八 八、2)l i m f(x)=hm-=0=/(0)X T 0+T 0+3-s i nZ-Z c o s/3=0=/(0)；所以l i”/(X)=/(0)=o ,所以尸(x)在X =0处连续,八,E“/”小、f(x-f(0)s i nr +/c o s z3)当，=0时，因为 f.(0)=l i m-=l i m-x-o*x t。*3*3t29Z (0)=l i m /一/=l i m 二*c o s t =X T。-X/T V t所 以/(0)不存在(4)【答案】:A8【解析】由条件知Z(,-可)为收敛的正项级数，进而绝对收敛;n=8设Z an绝对收敛，则由I bn|=|bn-an+an|bn-an +an,由比较判别法知,7 1=18得 绝 对 收 敛7 1=1设 绝 对 收 敛,则 由1*=&2+斗 悒 色+也 由 比 较 判 别 法 知,)绝对收敛/:=!?:=1(5)答案：B【解析】：对分块矩阵使用推广的初等行变换，注意到初等变换不改变矩阵的秩，如下:，E、0-C (A BE)O0)(A B,rE)I。0 0、B C E)匕=C 1(A BE)=Oc、E ,A BO0、/、E=r(8)+”=%E-AB0EEABABE0AB、，EO0-(明 则有:nr E、ABABy0 )=n+r f A B=j/3，得”川(8)【答 案】：C【解析】：由X服从参数为1的泊松分布，得到EX=,E(|X =E部 一1|=丁+后 部-1)=/+e-_ 2kle【答案】：D【解 析】：注意到:4(T)S:(加T W(J2 X 侬 T),4、r,Iz=F2 s 2 F(n-1,/7 7T)(10)【答案】:A【解 析】：注 意 到：r=%L N(0,l),根 据：Ed=E(af-410)=0,则a=厂,爽。yJ2EY2COIKI=2L y:d y =解出 a2n二、填空题：1116小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.ax+hx2+ln(l+x ln(l+x)-x+/)x2+x(a+l)(11)【解析】：注意到lim-；-L=lim-L=1,首先得到：a=-1,D E _ COS X*ro e*-1+1-cos xlin/(il +x)-x+Zk x 2I 2)另外根据等价无穷小替换，lim 一1-=lim=12。ex-1+1-cosx 5 主得到：b=2,则ab=2(12)【解析】：切平面法向量为:,根据点法式方程，切平面方程为：z=x+2y(13)【解 析】由/(x)展 开 为 余 弦 级 数 知，/(、)为 偶 函 数，由 傅 里 叶 级 数 公 式 知ri-2an-2jo(l-x)cosH7TX6fr=2 2(cos/27r-l)所以=0Xa2=0n=(14)【解析】3=J,2/(xx+；/(x+2/(xx+Jo fx x+J；xdx=1(15)【解析】yTa=/3Ta=1 =3：a、+k2aa2+k3a/a3=1n 413+左 2。+左3O =1 n 占=；同理：&=-1，k 3 =一 所以k：+%；+%；=(1 6)【解析】由于 所以 x=0,1,Y 所以 y=0,1,2p X =Y=pX=Q,y=O X=l,1*(；)+栗出.三、解答题：1722小题，共 70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)【解析】(1)曲线L在点尸(x,y)处的切线方程为丫 一尸y(X-x),令X=0,切线在y轴上的截距为Y=y-肛，即，y=-1,解得y(x)=x(c-ln x),又经过点(1,2),所以c=2,y(x)=x(2-ln x)(2)由 知/(x)=(2 ln，)力，/(x)=x(2-ln x)=0,得到驻点x=e 2,由单调性知/(x)的最大值在驻点处取得，最大值/卜2)=；4-;.(18)f =-x(2y+3xy-5x3)=0 2 10【解析】/、；A 得驻点为(0,0),(LD,(不二?)，fy=2 y-x2-x=0 3 27*=f；=0 =一(2y+3 a一5/)_武3y一1 5/),北=-武2+3的/,=2,代 入(0,0),6=,=0 ,则C=f；,=2A C-B2=0,充分条件无法判断，利用定义法，当x-0时，取y-x2+kx3(k 0),/(x,y)=(y-x2)(y-x3)=fcc3x2+(左 一 l)x=kx，+o(x5),则lim 空里=lim 当三)=左,由极限的局部保号性：”0,x e(V,0)时，/(x,y)0,故在(0,0)处不取极值；代入(1,1),8 =/；=5,则.C-炉 0,且4 0所以在(2,3)处“X J)取极小值 士.3 2 7 3 3 2 7 7 2 9C=fyy=2(1 9)【解析】利用高斯公式得=J J J (2 z -xz sin y+3y sin x)dV=J J dxdy 2 z dz=J J (y-x)2dxdy=7 T +J J x2dxdy=+()Jor3cos2 9dr%5-JT4其 中 因 为Q关 于y oz对 称，被 积 函 数 是x的 奇 函 数 所 以/=J J J(xz sin y +3 y sin x)dP =0 ,QDx y:x2+y2i(2 0)【证明】(1)/(x)=/(0)+/(0)x+q /=/，(0)x+号l x*&介 于)与 之 间，则/(a)=/(0)a+/,&w(0,a),f(-a)=-f (0)+2,e(-t z,0),则2/()+/(-)=1-/(0 +/(),由/(X)在 -凡句上具有2阶连续导数，故/(x)在 区 芯 上具有2阶连续导数，所以/(x)在但3,上必存在最大值加和最小值加，使得加v g/G)+/4)W 由介 值 定 理 存 在 存 在 我 国 口 u (-a,a),使得尸=1/6)+/儡)=J /+/(F)，得证 设 /(%)在 x=x0 点 处取得极值，则/(%)=0 ,/(X)=./(/)+/(X o)(x-X。)+?(X-X o)2 =/(X o)+介 五 与 0 之间，/(-)=f(x0)+/?2,)(_r_x 0)2,/72 G (a,/),f(a)=/(x0)+/x0)2,rj3e(-a,x0),I/()-/(-)1=1 (4 X。)2 X。)2 归 J 1 /(4)I(a X。)2+1 7(%)I(a+X。)2 3/7 e (-a,a),/(/7)=max|fq,fn)1，故f(a)/(-a)|=1|/(仇)|()2+1/(%)|(a+x。)V L Z Z p h K x)2 +(a+x)2 v 2|/()|命题得证.（2 1）【解析】（1）利用配方法f(x1,x2,x3)=x+2 x；+2 x；+2 xt x2-2 xx3=(石+x2-x3)2+(x2+x3)2=z；+z；。I-1、令2=0 1 1 X、o o I,p 0 0、8(%,丫2，丫3)=/+尺+*+2%=疗+(%+%)2 令2=o i i 儿N op贝 i j x=0e-1 Y 7 1i oJ o0 0)1 -11 1 y=0 10 1 J (00H p-10 yt 其中P=0 1J 1 0 0n 为所求矩阵.ijii0（2）由于if(x,x2,x3)=xT 1-1-102x=x/4 x,t r(A)=5)g(y,y2,y3)=y0 01 1 y=yTBy,tr(B)=31 1120100个二次型矩阵的迹不同，故两个二次型矩阵不相似，故不存在正交变换了（/2，七）化为g（%，y 2，y 3）(2 2)【解析】(1 )c o v(X,Y)=(X Y)-E(X)E(Y),其 中 E(X Y)=J J xy-(x2+y2)dxdy=0 x2+y2l E(X)=J J x (x2+y2 dxdy=0 ,E(Y)=J J y.x2+y2 dxdy-0 ,故 c o v(X,Y)=0 x2+y2SI 2sl(2)-1 jvl吐 /x(x)=7(x,y)力=1|一 +/)力=(1 +2)仁？，故fx(x)=(1+2x)y/l x2,1 i x s l .，同 理 人(#=0,其他f(x,y)fx(x)fY(y),所以不独立o _(1+2y2 -y?,-1 y 1n0,其他(3)F(z)=PZ z=PX2+Y2 z,当 z l 时,F(z)=1.当 o v z l时，z 00 v z 1F(z)P X2+Y2 z JJ-(x2+y2dxdy=-ddX2IY2Z N N :阳 综上，F(z)=0z212z求导可得/(z)=八0 z oo x XTOO X X-0O X -b=l i m(y _ A x)=l i m x l n(e +)-x =l i m x l n(e+-1 X-OO X-8 1 _ X f 8 X|=l i m x l n l +-=l i m -=-3 e(x-1)e(x-1)e所以斜渐近线方程为：y x +-e2.【答案】：D【解析】：当xvO时SE舟l n(x +J l +x K +G当x 0时J f(x)dx=J(x 4-l)c o s x t/x =(x +l)s i n x-J s i n x 去=(x +1)s i n x +c o s x+C2原函数在(-0 0,+0 0)内连续，则在x =0处l i m l n(x +V 1 +x2)+C=C1,l i m (x +1)s i n x +c o s x +C2=1 +C2所以&=1+。2,令G=C,则G=I+C,故l n(x +V l +x2)+l +C,x 0结合选项，令C =0,贝的一个原函数为/(x)d x(x)=|l n(x +“K)+L*(x +l)s i n x+c o sx,x 03【答案1 B【解析】：在(0,1)中，x 一瑞T lJ/(x)d x =.1x,+i 0时，特征方程有2个不同的实数根人人，则人人至少有一个不等于零,若G，G都不为零，则微分方程的解y=。一+C2e-x在（-）,+8）无界当 =/一4 6 =0,特征方程有2个相等的实根，A1 2=-2若G W 0，则微分方程的解y =C +C1 X）e X在（-8,+8）无界当 =/一4 b 0时，=3；,曰=包 等”y =/s i n/ax 3当 0 x/-o i所以尸（0）=0、小、s i n/+r c o s z2 h m f*(x)=l i m-A-O+-0+3=0=/(0)；l i m/(x)=l i m7 0-s i n z-/c o s z 八-=0 =/(0);所以l i m fx)=/(0)=,所以r(x)在X =o处连续3)当f=0时，因为(0)=limX T0+./(x)-/(0)(。)=丽/3一/()2 0 一 XlimX-sinZ-Zcos/lim/-0+-2sinr+/cosz 233f9所 以/(0)不存在6.【答案】：A1 1【解析】当a0时,r-K|/(”“，另外曲线y=/(x)有拐点，则等价于/”3 =卜2+4*+。+2,=0有解,即是：=1 6-4 a-8 0 n a 2 ,则。的取值范围是：1 a 代入k3=-k,k4=k,得到:1 1.“【解t 析】：一注 意,到h max-+-b-x；-2-+-l-n-(l +xL)=h m二l n(l +xf)-x-+-b-+-x-(a +lL)=1,首4先得到,：a =-1,z ex-co s x ex-1 +1-co s xn“+-+h 2(力另外根据等价无穷小替换，l im叫+町-x+x=hm 1 2/_ ,得到：b=2,则 =一2X7 O e-1 +1-C OSX 2。F1 2.【解析】：根据3T，则弧长计算为：S=J：J 1 +(K7了 力，进行换元:/=2 s in 6,原积分为：s=4(cos9)2d 9=+y/3531 3【解析】：两边同时对想求导两次得式子 dz dz z d2z dz d2z 八g-+G -+2 +x-=0dx dx dx dx dx将 x=1,y=1,Z=O a=2带人 货 M l)2a i i1 4.【解析】两边分别对x求导，可得9 =1 1，所以，=,所以法线斜率为-一1 1 9=：/(沙 可；/(x+2 世=f(x 冰+/(x 冰+J；xdx=|16.【解 析由已知 r(A)=r(A,b)3 +x =0f y（x,y）=-xsin yeCOiy=0I Y=-0T x=e=,（左为奇数），,（k为偶数）y-k n=KTT则N=1代人(-丁,左)得,8=0，/C-炉 0且/0故极小值为/（e,左 ）=-其中左为偶数.C -22C=e19【解析】(1)由题设条件可知面积 0 1 _r X1 X yll+x2 1 x2Vl+x21x2yl+x2J（x2+1）.d+l=f p+o o 1dt=2+00 1,（）2-1dy/i=ln（也+1）2 0.【解析】IJD1nr3 x2 +y2dxdy=deY-3nfmie,J 3厂 co s 8+/s in 0 d r31l-s in 6 co s 60 3 co s2 5+s in2 9?l i v-V 1-$in 8 co s 8n=pJo2 ,-d 9=3 co s 6 +s irre 23 co s 2 8 +s in 2 911d9=1cos7 de3 +t a n2 3In 2 1 9 7 T In 2=yt a nF2 1.【证明】(1)/(的=/(0)+/(0口+粤2 =八0口+等A 2,6介于0与 之 间，则 f(a)=f(0)a+2,(e(0,a),f(-a)=-fO)a+I 5 e(p,0)则/(a)+/(-a)=y /(O+/(?；).由/(x)在 因 川 上 具 有2阶连续导数，故/(x)在 国 上 具 有2阶连续导数，所以/(x)在归3 6上必存在最大值M和最小值加，使得加vl/6)+/G)v由介值定理存在存在C怎,切 u (-a,a),使得了=1/儡)+广 儡)卜?/(a)+/(-a),得证.设 /(%)在 x =x0 点 处取得极值，则/(%)=0 ，/(X)=/(/)+/(X o)(x -Xo)+/g)(x 一项)2 =/(X。)+，,%一 X。)2,Q 介 五 与0 之间，f(-a)=/(x 0)+，?2)(一%)2,%(一a,%),/(。)=/(%)+?3)g 一与产,4 e(一 凡/),I/-/(-)l=l X。)2 -X。)2 K S 尸，(4)I(a X。)2+1 /(%)I(a +X。)2 士 G(-a,a),/(/?)=max|/(%)|,|/(%)1,1/(a)/(a)|=；|/(/7 3)|(。x)2+|/(2)|(a +x )2 故 2V一x )2 +(a+x0)2 V 2/|(初2命题得证.2 2.【解析】(1)A x2x+x2+x32%j-x2+x3X2 X3 )A=2-1AX3 7 1 1-1111AE-A=-2 /+1 -0 -1 /所以Z的特征值为2,-2,-1；当a=2时，E Ax=(当 4=-2时，(/l2-)x =当久3=1 时，(4 E _/)X =,4 0 1、则令尸=3-1 0 1 7/J 1 2,1 =-2 A+l -A-2=(/l+2)(A-2)(A+l)+1 0 -1 A+2),解得特征向量q =(4,3,1)工=0,解得特征向量。2=(，-1，1尸；0,解得特征向量。3=(1,0,-2尸；(2 1P=-2 =A.、-1