2023年广东省佛山市南海区桂城街道中考数学一模试题（含答案与解析）.pdf

2023年广东省佛山市南海区桂城街道中考一模试题数 学（考试时间：120分钟 满分：120分）注意事项：L答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上。2.试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答。3.作答前认真阅读答题卡上的注意事项。4.考试结束，由监考人员将试卷和答题卡一并收回一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.-6 的相反数是（）A.-6 B.-C.662.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（B.J L3.在某市举办的主题为“英雄武汉”的网络演讲比赛中，92,9 4,则这组数据的中位数是（）OD.-6）o O七位选手的得分分别为：88,84,87,90,86,A.86 B.88 C.904.若Na=30。，则N a 的补角是（）A 30 B.60 C.1205.如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若Nl=35。,A.35 B.45 C.556.已知24+3/?=4,则整式-4a-6力+1 的 值 是（）A.5 B.3 C.-7D.92D.150则N 2 的度数是（）D.65D.-107.如图，在等腰中，Z B =Z A C B =6 5,垂直平分A C,则 的 度 数 等 于（）BA.10 B.15 C.20 D.258.如果4 是方程d-G x+nO 的一个根，则方程的另一个根是（）A.2B.3 C.4 D.59.如图，矩形A 8C D 中，A C，B D 交于点、0,M.N 分别为B C、0 C 中 点.若 NACB=30,4 5 =8,10.如图，在矩形ABC。中，A B =5 B C =2,E 为 8 c 的中点，连接A E、D E，点 P，点。分别是 A E、D E 上的点，且 PE=O Q.设 aE P。的 面 积 为 P E 的长为x,则 V关于的函数图象大致是()二、填空题（共7小题，每小题4分，共2 8分）i l 4+r，1 2 正 六 边 形 的 每 个 内 角 等 于 1 3.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点 A、B、0 都在格点上，则NQ4B的正弦值是则 x+y1 5 .如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、。的位置时，乙的影子AO刚好在甲的影子AC里边，已 知 甲 身 高 为 1.6 米，乙 身 高 为 1.4米，甲的影长AC是 6 米，则甲、乙同学相距.,米.1 6 .从一块直径为4 m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆心 角 为 90。的最大扇形，则阴影部分的面积为m2-1 7 .在平面坐标系中，第 1 个正方形A3CD的位置如图所示，点A的坐标为（1,0）,延长CB交x 轴于点4,作 第 2个正方形A4 GC，延长C4 交x 轴于点A?；作 第 3个正方形4&GG，按这样的规律进行下020三、解答题（一）（第 18 20题，每题6 分，共 18分）1 8.解不等式组-5（x+l）1 0 x,并在数轴上表示它解集.=4,则整式-4。-68+1 的 值 是（）A.5B.3C.-7D.-1 0【答案】C【解析】【分析】整式j-6 +1可变形为-2(2 +3 b)+l,然后把2 a +3)=4代入变形后的算式，求出算式的值是多少即可.【详解】解：2a+3b=4,-4a 66+1 =2(2 a+3 6)+1.,.k z-6Z?+l =2 x 4+1 =7 ,故选：C.【点睛】此题主要考查了代数式求值的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：求代数式的值可以直接代入、计算.如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值.题型简单总结以下三种：已知条件不化简，所给代数式化简；已知条件化简，所给代数式不化简；已知条件和所给代数式都要化简.7.如图，在等腰_ABC中，NB=ZACB=65,DE垂直平分A C,则N3CD的度数等于()A.10 B.1 5 C,20 D.25【答案】B【解析】【分析】先根据三角形内角和定理可求出NA=50。，利用线段垂直平分线的性质求出ZA=ZACD=50,即可求出ZBCZ)的度数.【详解】解：NABC=NACB=65.ZA=50。，,/。后垂直平分AC,AD=CD,：.ZA=ZACQ=50,/BCD=ZACB-ZACD=15.故选：B.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的定理内容是解题的关键.8.如果4是方程的一个根，则方程的另一个根是()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】把x=4代 入 方 程 求 出 得 出 方 程，求出方程的解即可.【详解】解：；4是方程/一6%+左=0的一个根，而 两 根 之 和 为-彳=6,方程的另一个根是6 4=2,故选：A.【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解一元一次方程的应用，主要考查学生的计算能力.9.如图，矩形A8CO中，A C、BD交于点0,M、N分别为B C、0C 中 点.若NACB=30,AB=S,则M N的 长 为（）A.2 B.4 C.8 D.16【答案】B【解析】【分析】根据矩形的性质和含30。的直角三角形的性质得出AC=3O=1 6,进而求出8 0 =2 8 0,再依据中位线的性质推知MN=-B 0.2【详解】解：四边形A3CD是矩形，AC,BD交于点0,ZACB=30,AB=8,.-.BD=AC=2AB=2x8=i6,：.BD=2 B O,即 280=16.8 0 =8.又 M、N分别为8 C、0 c的中点，:.M N是CBO的中位线，:.MN=-BO=4.2故选：B.【点睛】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系.10.如图，在矩形A8CD中，AB=6 BC=2,E为 的 中 点，连接A E、O E，点P，点。分别是 A E、OE 上的点，且 P E =D Q.设 即。的面积为八 P E 的长为x,则 y关于x的函数图象大致是)【答案】A【解析】【分析】证明VA D E 为等边三角形，再利用丫=上尸 旦2+4，4 2时，y的最大值为 走,4【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，有一定的综合性，难度适中.二、填空题(共7小题，每小题4分，共28分)11.沙T【答案】1【解析】【分析】分别计算绝对值和负指数基，再相加即可.【详解】解:141-21 +21=1,故答案为：1.【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值的求法和负指数累的运算法则.12.正 六 边形的每个内角等于.【答案】120【解析】【详解】解:六边形的内角和为：(6-2)xl80=720,720，正六边形的每个内角为：-=120,6故答案为：12013.如图，在网格中，小正方形的边长均为1,点A、B、O都在格点上，则/O A B的正弦值是【解析】【分析】过 点。作O C 48的延长线于点C,构建直角三角形AC。，利用勾股定理求出斜边O A的长，即可解答.【详解】如图，过 点。作0 C L A 8的延长线于点C,在 Rt Z AC。中，A0=7 A C2+O C2=J 42-b 22=2 75OC 2 y/5sin ZOAB=尸=.OA 2 石 5故答案为更.5【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义和勾股定理，作出辅助线并利用网格构造直角三角形是解题的关键.1 4.已知|x+2 y|+(x -4)0,则 x+y=.【答案】2【解析】【分析】分析利用算术平方根的定义以及绝对值的性质得出x，)，的值进而代入求出即可.【详解】解：x+2 y+(x-4)2=0,.x-4=0,x+2 y=0,解得：x=4,y=-2,则 x+y=4-2 2.故答案为：2.【点睛】此题主要考查了非负数的性质，能够正确得出x,y的值是解题的关键.1 5.如图，周一某校升国旗时，甲、乙两名同学分别站在C、。的位置时，乙的影子A O刚好在甲的影子A C里边，已 知 甲 身 高 为1.6米，乙 身 高 为1.4米，甲的影长A C是6米，则甲、乙同学相距 米.【答案】0.7 5【解析】【分析】根据甲的身高与影长构成的三角形与乙的身高和影长构成的三角形相似，列出比例式解答.【详解】解：设两个同学相距x米，BC 1 AC,E D I AC,BC/DE,:A D E s.A C B,D E A D-=-,B C A C1.4 6-C D一 =-,1.6 6解得：C D =0.7 5.故答案为：0.7 5.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据身高与影长的比例不变，得出三角形相似，运用相似比即可解答.1 6.从一块直径为4 m的圆形铁皮上剪出一个如图所示圆心角为9 0。的最大扇形，则阴影部分的面积为-m2【解析】【分析】连接A C，则可得A C为圆形铁皮的直径，由勾股定理可求得扇形的半径A B，由扇形面积公式即可计算出扇形的面积，从而求得阴影部分的面积.【详解】解：连接A C，由于剪出的是圆心角为9 0。的最大扇形，则A C是圆形铁皮的直径，/.A C=4 m,AB=CB,?B 9 0?,由勾股定理得：2 A B2=A C2=16 4笈=8，9 0。.5扇 形4座=薪、兀-4 8 2=1、兀*8 =2兀9 11 12)，S阴影=兀 x (4+2)2 2兀=2 7 i(c m2).故答案为：2Tl.B【点睛】本题考查了扇形面积、不规则图形面积，关键是清楚最大扇形所在弧的两个端点是圆的直径的两个端点.1 7.在平面坐标系中，第 1 个正方形A 3CD的位置如图所示，点A 的坐标为(1,0),延长CB交x 轴于点A,作 第 2个正方形A 5 GC,延长G与交X 轴于点A2；作 第 3个正方形a&GC，按这样的规律进行下去，若点。、C、G在直线=3%+2上，则A2O|9 4O2O=.【答案|x(|)2“9【解析】【分析】先利用一次函数求出A B =3C=A。，再用三角形相似得出4 B=t，4 与=弓)2 君，找出规律 2 0 1 9 2 0 1 9 ()-1 9/5,即可求 Ao 1 9 2 0 2 0 【详解】解：点A 的坐标为(1,0),点。的坐标为(0,2),.O A=1,O D =2,B C =A B =A D =yf5 正方形A B C。，正方形A BCC，.N O AD +幺 AB =9 0。，NA DO+NQM=9 0 ,:.ZAiAB=ZADO,ZAOD=ZABA=9i),：.A O D B A,A O O P懑 一 瓦；.A B=4，g =A,C=B +BC=-,同理可得，A2B2=（|）2V5,同理可得，4员=色）3 6，同理可得，原/刈9=产9仆，4。小=（|严&曰=豹|）叫故答案为：|x（|）2019.【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是求出前几个正方形的边长，找出规律.三、解答题（一）（第 18 20题，每题6 分，共 18分）-5（x+l）1018.解不等式组,左 ，并在数轴上表示它的解集.-4-3-2-1 0 1 2 3 4【答案】-3 W x 3,数轴表示见解析【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解集，再根据夹逼原则求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可.-5（x+l）100【详解】解：4-3,解不等式得：x3,不等式组的解集为-3 W x,即可解决问题.【小 问1详解】解：如图，线段CO即为所求.【小问2详解】”,AC=3,BC=4,ZACB=90,AB=-JAC2+BC2=阳+不=5，C D A B,5AA郎/c .=2 ACBC=2 一 AB*CD,：.CD=,5AD=4 AC2-CD2=业 （）=1.【点睛】本题考查作图一基本作图，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.四、解答题（二）（第 21 23题，每题8 分，共 24分）2 1.某物流公司承接A、8 两种抗疫物资的运输业务，已知2月份A 货物运费单价为70 元/吨，8 货物运费单价为4 0 元/吨，共收取运费1 3 0 0 0 0 元；3 月份由于油价下调，运费单价下降为：A 货物5 0 元/吨，B货物3 0 元/吨；该物流公司3 月承接的A 种货物和8 种数量与2 月份相同，3 月份共收取运费9 5 0 0 0 元.（1）该物流公司2月份运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计4月份运输这两种货物3 3 0 0 吨，且 A 货物的数量不大于8 货物的2 倍，在运费单价与 3月份相同的情况下，该物流公司4月份最多将收到多少运费？【答案】（1）运输A 货 物 1 0 0 0 吨，运输8 货 物 1 5 0 0 吨（2）1 4 3 0 0 0 元【解析】【分析】（1）设该物流公司2月份运输A 货物x 吨，运输B货物y吨，根 据“该物流公司2 月份共收取运费 1 3 0 0 0 0 元，3 月份共收取运费9 5 0 0 0 元”，即可得出关于，V的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该物流公司预计4月份运输B货物加吨，则运输A 货物（3 3 0 0-加）吨，根据A 货物的数量不大于8货物的2 倍，即可得出关于用的一元一次不等式，解之即可得出加的取值范围，设该物流公司4月份共收到卬元运费，根据总运费=每吨的运费x 运输货物的重量，即可得出w关于，的 函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题.【小 问 1 详解】解：设该物流公司2 月份运输A 货物x 吨，运输8 货物丫吨,依题意，得:70 x+40.y=13000050 x+30y=95000解 得 x=1000y=1500答：该物流公司2 月份运输A 货 物 1 0 0 0 吨，运输8 货 物 1 5 0 0 吨.【小问2详解】设该物流公司预计4月份运输B货物m吨，则运输A货物（3 3 0 0 一 租）吨，依题意，得：3 3 OO-m1 1（X）.设该物流公司4月份共收到w元运费，贝 i j w =5 0（3 3 0 0 -in）+3 0 m=-2 0 m+1 6 5 0 0 0 ,-20?（3）根据调查结果，学校准备开展关于人口普查知识竞赛，某班要从“非常了解”小明和小刚中选一人参加，现设计了如下游戏来确定，具体规则是：在一个不透明的袋中装有2 个红球和2 个白球，它们除了颜色外无其它差别，从中随机摸出两个球，若摸出的两个球颜色相同，则小明去；否则小刚去.请用树状图或列表法说明这个游戏规则是否公平.【答案】（1）4 0 0；（2）3 0 0 人；（3）不公平，理由见解析【解析】【分析】（1）把条形统计图给出的数据相加即可得出答案；（2）用总人数乘以“比较了解”所占的百分比即可：（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出的两个球颜色相同与不同的情况，再利用概率公式求得其概率，比较概率的大小，即可知这个游戏规则是否公平.【详解】解：本次抽样调查的人数是：2 0+6 0+18 0+14 0=4 0 0 （人），故答案为：4 0 0；（2）这些学生中“比较了解”人口普查知识的人数有：2 0 0 0 x -=3 0 0 （人）：4 0 0（3）画树状图得:开始红 红 白小盘心红红白 共有12 种等可能的结果，两个球颜色相同的有4 种情况，两个球颜色不同的有8 种情况,4 R 7.-.P （颜色相同）=一,P （颜色不同）=2=:，12 3 12 3.游戏规则不公平.【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图.注意概率相等，则公平，否则不公平.2 3.如图,分别以RSABC的直角边AC及斜边AB向外作等边aA C D,等边A A B E.已知/B A C=3（T,E E J _ A B,垂足为F,连接D F；求证:（1）A C=E F；（2）四边形A D F E 是平行四边形;（3）A C _ L D F；【答案】见解析【解析】【分析】(1)首先R SA B C 中，由NBAC=30。可以得至lj AB=2BC,又因为aABE是等边三角形，EFAB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可证明 A FEgaB C A,再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；(2)根 据(1)知道EF=A C,而ZkACD是等边三角形，所以EF二 A U A D,并且AD_LAB,而 EF_LAB,由此得到EFA D,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形；(3)先求NEAO90。，由团ADFE得 AED F,可以得NAGD=90。，贝 ijACJ_DF.【详解】证明：(l)RtaABC中,NBAC=30。，AAB=2BC,又ABE是等边三角形，EFAB,AAB=2AF,AB=AE,AF=BC,在 RtAAFE 和 RtABCA 中,tAF=BC AB=AE 9.,.AFEABCA(HL),AC=EF；(2)VAACD是等边三角形，A ZDAC=60,AC=AD,J Z DA B=Z DAC+Z B AC=90,XV EF1A B,EFAD,VAC=EF,AC=AD,AEF=AD,四边形ADFE是平行四边形；(3)ZEAC=ZEAF+ZBAC=60+30=90 四边形ADFE是平行四边形，AEFD,.ZEAC=ZAGD=90,A AC DE【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解题关键在于掌握各性质定义，灵活运用各定理.五、解答题(三)(第 24 25题，每题10分，共 20分)2 4.如图，A 5 是；O 的直径，点C 是 O 上异于A、区的一点，点。是 N A 3C 角平分线上一点，连接A。、B D，其中8。交 A C 于点E，交 O 于点尸，且点尸是O E 的中点.（1）求证：直线4）是 的 切 线；（2）若点E是 的 中 点，求sinNCAB的值；（3）若AB=13，B C =5,求应:的长.【答案】（1）见解析（2）sinNC48=g（3）=3【解析】【分析】（1）连接A/，利用垂直平分线的性质可得AO=A E,再由等腰三角形的三线合一-得到Z D A F =Z F A C；利用角平分线的定义和圆周角定理可得NFB4=NE4C，从而/F A D =N F B A；利用直径所对的圆周角为直角可得N43+NFBA=9 0 ,利用等量代换可得/石4。+/婷18=90,即NZMB=9 0 ,结论可得；（2）由己知可得：D F =E F =B E =x,则BE=2 x,利用.A F BS.DE，得出比例式可求线段A F,利用勾股定理可求AB,A E,再利用二4砂6二3。求得线段B C,在Rf,ABC中，利用正弦的意义可求结论；（3）连接0 E,则。尸垂直平分AC，利用已知和勾股定理可求AC=1 2,利用三角形的中位线定理可得0G=g 6C=2.5,进而可得GE=OF OG=4；利用锐角三角函数，结论可得.【小问1详解】证明：连接A b，如图所示：HA6是：。的直径，A F B F，DF=FE,.A/是OE的垂直平分线.：.ADAEAF L DE,：.ZDAF=ZFAC,8尸平分NABC，；.4FBA=4FBC,NFBC=/FAC,NFBA=ZFAC=ADAF,NFAB+NFBA=90。,.-.ZFAD+ZFAB=90,即 NmB=9(),.-.BAAD,二直线AO是。的切线.【小问2详解】点E是BE的中点，点 尸是。石的中点,：.D F=EF=BE,设 DF=EF=BE=x,则 3/=2x,DAA.AB,A F B D，ZAFD=ZAFB=90,NDAF=ZABF，.AFB DFA,.AF BFDFAFAFZDFBF=应 =瓜：.AB=y/AF2+BF2=+(2x=，AE=7AF2+EF2/FAE=NCBE,/FEA=/CEB,/.AFESBCE,.AF _AE =tBC BE.AF BE 6 x x V6 BC=-=7=x，AE 瓜 3在Rt ABC中,sin ZCABBCAB瓜 X3R x【小问3详解】连接OE,OR交AC于点G,如图所示:ZABF=NCBF,3AF=CF二。尸垂直平分AC,.4G=GC=T AC,OGA.AC,OA=OB,:.OG=g BC=2.5,AB是：。的直径,:.ACBC,：.AC=A/AB2-BC2=V132-52=12-/.AG=GC=6，GF=OF-OG=6.5 2.5=4,FG 4 2.tanZFAG=一,AG 6 3/CBE=/C A F,2/.tanZCBE=tanZFAG=-,CEtanZCBE=,BCCE 2 =,BC 3【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理及其推论，角平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线也是解题的关键.2 5.如 图1,已知二次函数）=以2+取+c（a，o）的图象经过A（TO）,5（4,0）,C（0,2）三点.（1）求这个二次函数的解析式：（2）点。是该二次函数图象上的一点，且满足/D B 4 =N C 4 O （。是坐标原点），求点。的坐标；（3）如图2,点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作P E _ L B C于点E，作产厂 轴交BC于点、F，求！周长的最大值.i 3【答案】(1)y x2 H x+22 2(2)(3,2)或(一5,-1 8)【解析】【分析】(1)由A、8、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)当点。在x轴上方时，则可知当C Z)A 8时，满足条件，由对称性可求得。点坐标；当点。在x轴下方时，可证得利用AC的解析式可求得直线8。的解析式，再联立直线B O和抛物线的解析式可求得。点坐标；(3)首先根据=小+尸尸+尸=尸(1+4 11/尸/芯+8 5/口话)表示出！p所 的 周长，判断出当尸尸最大时，！际的周长最大，求出直线8 C的解析式，设尸Q,产+二+2),F(t,-t+2),利用二次函2 2 2数的最值求出尸尸的最大值，再分别求出s i nN P E E,cosZ P F E,可得结果.【小 问1详解】解：由题意可得，a-b+c=Q 1 6 a +4 Z?+c =0,解得c=2抛物线解析式为y =；/+g x+2 ；【小问2详解】当点。在x轴上方时，过。作C r A B交抛物线于点。，如 图1,1a=2b=-2c =2A、8关于对称轴对称，C、。关于对称轴对称,四边形A B D C为等腰梯形，：.Z C A O=Z D B A,即点。满足条件,，。(3,2)；当点。在x 轴下方时，Z D B A =Z C A O,：.B D/A C,C(0,2),可设直线A C解析式为y=kx+2,把 4-1,0)代入可求得k=2,直线AC解析式 y=2 x+2,可设直线区解析式为y=2 x+m,把 8(4,0)代入可求得加=8 ,直线8D解析式为y=2 x-8,y-2 x-8联立直线8。和抛物线解析式可得4 1 2 3 -，V=X H-X+2I.2 2x=4 f x=-5解得4 c 或y=一1 8.(-5,-1 8)；综上可知满足条件的点D的坐标为(3,2)或(-5,-1 8)；【小问3详解】!P E F 的周长=PE+PF+EF=PF+PF-s in N PFE+PF-c o sZ.PFE=PF(+s in NPFE+c o sZ.PFE),Z P F E是定值，当 P F最大时，！P E F的周长最大,设直线3C的解析式为y=+将 5(4,0),C(0,2)代入得:4 k+。=0Z =2k =解得：2,=2 直线BC的解析式为y=万x+2 ,1 0 3 1设尸(/,1 4 +2),产(/,1 +2),2 2 2PF=-r+-z +2-(-r +2)2 2 2=-t2+2 t21 ,=-(r-2)2+2,.当，=2时，P E最大值为2,5(4,0),C(0,2),.0 3 =4，O C =2,B C =d*+4 2 =2#)，P F /y 轴，.ZPFE=Z O C B ,s in /PFE=,c o s NPFE=,5 5：.P E F 的周长最大值为 PF(1 +s inZPFE+c o sZPFE)=2*(1 +竽+()=2 +竽.【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的周长、二次函数的性质、方程思想仅分类讨论思想等知识.在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中确定出。点的位置是解题的关键，在(3)中用P 点的坐标表示出 尸的长是解题的关键.本题考查知识点较多，综合性强，难度较大.