2022年新高考全国II卷数学真题试卷(含详解).pdf

2022年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(新 高 考 全 国 n 卷)数 学 注 意 事 项：i.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上.2.答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 题 共 8小 题，每 小 题 5分，共 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.已 知 集 合 A=T L 2,4 小 卜|1 日,则 可 必()A.-1,2 B.1,2 C.1,4 D.-1,42(2+2i)(l-2i)=()A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i3.图 1是 中 国 古 代 建 筑 中 的 举 架 结 构，是 桁，相 邻 桁 的 水 平 距 离 称 为 步，垂 直 距 离 称 为 举，图 2 是 某 古 代 建 筑 屋 顶 截 面 的 示 意 图.其 中。是 举，O 2，D G，C A，8 4 是 相 等 DD.CC.,BB.AA.的 步，相 邻 桁 的 举 步 之 比 分 别 为 帚=0 5”=3 第=%2，蝎=网.己 知，乂，左 成 公 差 为 0 的/儿 CD等 差 数 列，且 直 线 Q 4 的 斜 率 为 0.725,则/=()图 1 图 20.8 C.0.85 D.0.94.已 知 向 量=(3,4)石=(1,0),2=+正,若,=瓦,则，=()A.6 B.-5 C.5 D.65.有 甲、乙、丙、丁、戊 5 名 同 学 站 成 一 排 参 加 文 艺 汇 演，若 甲 不 站 两 端，丙 和 丁 相 邻，则 不 同 排 列 方 式 共 有()A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种 6.若 sin(a+/?)+cos(a+/?)=2&cos+,则()4 JA.tan(cr-/?)=l B.tan(a+/?)=lC.tan(a-/?)=-1 D.tan(cr+/?)=-l7.已 知 正 三 棱 台 的 高 为 1,上、下 底 面 边 长 分 别 为 3 g 和 4百，其 顶 点 都 在 同 一 球 面 上，则 该 球 的 表 面 积 为()A.IOOTI B.128K C.144TI D.192兀 228.已 知 函 数/(x)的 定 义 域 为 R,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y)J=l,则 Z/(%)=()k=lA.-3 B.-2 C.O D.1二、选 择 题：本 题 共 4小 题，每 小 题 5分，共 20分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5分，部 分 选 对 的 得 2分，有 选 错 的 得 0分.9.已 知 函 数/(%)=5抽(2%+。)(0。0)焦 点 厂 的 直 线 与 C 交 于 A,8 两 点，其 中 A 在 第 一 象 限，点(P，0),若 14用=1 A M|,则()A.直 线 A 8 的 斜 率 为 2n B.OB=OFC.AB4OF D.Z O A M+Z O B M XSQ11.如 图，四 边 形 ABC。为 正 方 形，平 面 A8CD,FB/ED,AB=E D=2 F B,记 三 棱 锥 E-ACD,F-A B C,尸 一 A C E 的 体 积 分 别 为 匕,匕,匕，贝 U()A.匕=2%B.匕=乂 C.匕=匕+匕 D,2匕=3K12.若 x,y满 足/+y?-孙=1,则()A.x+y-2C.X2+/三、填 空 题：本 题 共 4小 题，每 小 题 5分，共 20分.13.已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N(2,cy2),且 尸(2 X 2.5)=14.曲 线 y=In|x|过 坐 标 原 点 的 两 条 切 线 的 方 程 为,.15.设 点 4-2,3),8(0,a),若 直 线 A B 关 于 V 对 称 的 直 线 与 圆(+3尸+(y+2=1有 公 共 点，则 a的 取 值 范 围 是.16.已 知 直 线/与 椭 圆 卷+/1在 第 一 象 限 交 于 A,B 两 点，/与 x轴，y轴 分 别 交 于 M,N 两 点，且|MA=NB|,|M N|=2x/3,则/的 方 程 为.四、解 答 题：本 题 共 6小 题，共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.17.已 知 叫 为 等 差 数 列，也 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列，且 小 一 4=/一 4=2 一%.证 明：%=伪；(2)求 集 合 作 也=a,+q,l 2500 中 元 素 个 数.18.记 AABC的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 a,b,c,分 别 以 a,b,c为 边 长 的 三 个 正 三 角 形 的 面 积 依 次为 E，S2，S3，已 知 E 52+53=曰,$皿 8=!（1）求 AABC的 面 积;（2）若 sin AsinC,求 319.在 某 地 区 进 行 流 行 病 学 调 查，随 机 调 查 了 100位 某 种 疾 病 患 者 年 龄，得 到 如 下 的 样 本 数 据 的 频 率 分 布 直 方 图:频 率/组 距 0.0230.0200.0170.012（I）估 计 该 地 区 这 种 疾 病 0.00621。OO6OO-10 20 30 40 50 60 70 80 90 年 龄/岁 患 者 的 平 均 年 龄（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 为 代 表）；（2）估 计 该 地 区 一 位 这 种 疾 病 患 者 的 年 龄 位 于 区 间 20,70）的 概 率；（3）已 知 该 地 区 这 种 疾 病 的 患 病 率 为 0.1%,该 地 区 年 龄 位 于 区 间 40,50）的 人 口 占 该 地 区 总 人 口 的 1 6%.从 该 地 区 中 任 选 一 人，若 此 人 的 年 龄 位 于 区 间 40,50）,求 此 人 患 这 种 疾 病 的 概 率.（以 样 本 数 据 中 患 者 的 年 龄 位 于 各 区 间 的 频 率 作 为 患 者 的 年 龄 位 于 该 区 间 的 概 率，精 确 到 0.0001）.20.如 图，P。是 三 棱 锥 产 一 A B C 的 高，PA=P B，ABA.AC,E 是 总 的 中p(1)证 明：OE/平 面 P 4 C；(2)若 NA8O=N C B O=30,PO=3,PA=5,求 二 面 角 C A E 6 的 正 弦 值.21.已 知 双 曲 线 C：a2 b2=l(670,ft0)右 焦 点 为 E(2,0),渐 近 线 方 程 为 y=土 百 x.(1)求 C 的 方 程;(2)过 F 的 直 线 与 C 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 A,B 两 点，点 P(X，X),Q(W，%)在 C 上，且 x,%20,0.过 P 且 斜 率 为-目 的 直 线 与 过 Q 且 斜 率 为 6 的 直 线 交 于 点 从 下 面 中 选 取 两 个 作 为 条 件，证 明 另 外 一 个 成 立：M 在 A 3 上；P Q/A B.I M 4 H M 0.注：若 选 择 不 同 的 组 合 分 别 解 答，则 按 第 一 个 解 答 计 分.22.已 知 函 数/(x)=xe e1(1)当 a=l时，讨 论/(x)的 单 调 性;(2)当 x 0H寸，/ln(n+1).2022年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(新 高 考 全 国 n 卷)数 学 注 意 事 项：i.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上.2.答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.一、选 择 题：本 题 共 8小 题，每 小 题 5分，共 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.已 知 集 合 4=，2,4，5=付 1 曰,则 可 3=()A.-1,2 B.1,2 C.1,4 D.-1,4【答 案】B【解 析】【分 析】方 法 一：求 出 集 合 8 后 可 求 ACIB.【详 解】方 法 一:直 接 法 因 为 6=x|0WxW2,故 4 口 3=1,2,故 选：B.方 法 二:【最 优 解】代 入 排 除 法 x=1代 入 集 合 8=卜 卜 一 1归 1,可 得 2W1，不 满 足，排 除 A、D；x=4代 入 集 合 8=,卜 一 1区 1,可 得 3 W 1,不 满 足，排 除 C.故 选：B.【整 体 点 评】方 法 一：直 接 解 不 等 式，利 用 交 集 运 算 求 出，是 通 性 通 法；方 法 二：根 据 选 择 题 特 征，利 用 特 殊 值 代 入 验 证，是 该 题 的 最 优 解.2.(2+2i)(l-2i)=()A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i【答 案】D【解 析】【分 析】利 用 复 数 的 乘 法 可 求(2+2i)(l-2i).【详 解】（2+2i）（l_2i）=2+4 4i+2 i=6 2i,故 选：D.3.图 1是 中 国 古 代 建 筑 中 的 举 架 结 构，是 桁，相 邻 桁 的 水 平 距 离 称 为 步，垂 直 距 离 称 为 举，图 2 是 某 古 代 建 筑 屋 顶 截 面 的 示 意 图.其 中 0,C G，BA，A 4 是 举，是 相 等 DD.CC.BB.AA.的 步，相 邻 桁 的 举 步 之 比 分 别 为 帚=0 5 号=k，焉=勺.己 知 人,总 成 公 差 为 0 1 的 U U LJC,CD J D A等 差 数 列，且 直 线 的 斜 率 为 0.7 2 5,则 网=（）图 2A.0.75 B.0.8 C.0.85 D.0.9【答 案】D【解 析】【分 析】设。=DC=C fi,=网=1,则 可 得 关 于 自 的 方 程，求 出 其 解 后 可 得 正 确 的 选 项.【详 解】设=DC1=CB-=1,则 CC=K，86-k2,AAl=&,依 题 意,有 k?0.2 kt,lc3 0A k2,且 必+CC1+BB1+MO R+DC+CB+BA=0.725,0.5+3右 一 0.3 八 八 所 以-3-=0.725,故 网=0 9,4故 选：D4.已 知 向 量 a=(3,4),加=(l,0),c=a+f很，若=,贝(U=()A.-6 B.-5 C.5D.6【答 案】C【解 析】【分 析】利 用 向 量 的 运 算 和 向 量 的 夹 角 的 余 弦 公 式 的 坐 标 形 式 化 简 即 可 求 得【详 解】解:c=（3+r,4）,cosa,c=cosZ?,c,艮 J9+3/+16 3+z于 一=百，解 得 5,故 选：C5.有 甲、乙、丙、丁、戊 5 名 同 学 站 成 一 排 参 加 文 艺 汇 演，若 甲 不 站 在 两 端，丙 和 丁 相 邻，则 不 同 排 列 方 式 共 有()A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 捆 绑 法 处 理 丙 丁.，用 插 空 法 安 排 甲，利 用 排 列 组 合 与 计 数 原 理 即 可 得 解【详 解】因 为 丙 丁 要 在 一 起，先 把 丙 丁 捆 绑，看 做 一 个 元 素，连 同 乙，戊 看 成 三 个 元 素 排 列，有 3!种 排 列 方 式；为 使 甲 不 在 两 端，必 须 且 只 需 甲 在 此 三 个 元 素 的 中 间 两 个 位 置 任 选 一 个 位 置 插 入，有 2 种 插 空 方 式；注 意 到 丙 丁 两 人 的 顺 序 可 交 换，有 2 种 排 列 方 式，故 安 排 这 5 名 同 学 共 有：3!x2x2=2 4种 不 同 的 排 列 方 式，故 选：B6,若 5后（&+4）+8 5（6?+）=2&（：05sin 4,则（）A.t a n(a-夕)=1 B.t a n(a+/)=lC.t a n(a-4)=-l D.t a n(a+A)=-l【答 案】C【解 析】【分 析】由 两 角 和 差 的 正 余 弦 公 式 化 简，结 合 同 角 三 角 函 数 的 商 数 关 系 即 可 得 解.【详 解】解 法 一：(直 接 法)由 已 知 得：sin a cos(3+cos a sin 月+cos a cos p-s m a s m/3-2(cos 6Z-sina)sin p,即：s in a c o s-c o s c s in 4+c o s a c o s尸+sin a sin 6=0,即：s in(a-/7)+c o s(a-)=0,所 以 1211(。-尸)=-1,故 选：C解 法 二：(特 殊 值 排 除 法)JT解 法 一:设。=0则 s in a+c o s a=0,取 排 除 A,B；JT再 取 a=0 则 sin。+cos=2sin，取 0二 一，排 除 D；选 C.4解 法 三：(三 角 恒 等 变 换)sin(a+/?)+cos(a+0=V2 sin(a+尸+工)=/2 sin(a+工)+/?4 4 所 以=V2sin(6Z+)cos/3+2 cos(cr+)sin P=2A/2 COS(+)sin p4 4 4血 sin(a+工)cos夕=V2cos(z+)sin B4 477 77 冗 sin(a+)cos f3-cos(a+)sin 尸=0 即 sin(a+-)=04 4 4sin(a?)=sin(a-)cos-+cos(a-)sin=-sin(a-)+-cos(a-/?)=0sin(a-尸)=-cos(c 夕)即 tan(a-尸)=T,故 选：C.解 法 四：由 已 知 得：sin a cos/3+cos a sin y9+cos a cos 0-sin a sin 5=2(cos tz-sin z)sin/3,即：sin cos/?-cos a sin/3+cos a cos+sin sin/?=0,即：sin(a-)+cos(a-)=0,所 以 tan(a_0=_l故 选：C7.已 知 正 三 棱 台 的 高 为 1,上、下 底 面 边 长 分 别 为 3 G 和 4百，其 顶 点 都 在 同 一 球 面 上，则 该 球 的 表 面 积 为()A.lOOn B.128TI C.14471 D.192K【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 题 意 可 求 出 正 三 棱 台 上 下 底 面 所 在 圆 面 的 半 径。为，再 根 据 球 心 距，圆 面 半 径，以 及 球 的 半 径 之 间 的 关 系，即 可 解 出 球 的 半 径，从 而 得 出 球 的 表 面 积.【详 解】设 正 三 棱 台 上 下 底 面 所 在 圆 面 的 半 径 4遇，所 以 2“=*一,2=也 叵 一，即 乙=3,4=4,设 球 心 到 上 下 底 面 的 距 离 分 别 为 4,4,球 的 半 径 为/?,所 以 4=J R 2 9,4=J R 2 _ 6,故 同 一%|=1 或 4+4=1，即 J R 2 _ 9 _ J/?2 _ 1 6=1 或,火 2_9+,宠 2_6=1，解 得 R=2 5 符 合 题意，所 以 球 的 表 面 积 为 S=4兀 7?2=100兀.*=1A.-3 B.-2 C.0 D.1【答 案】A【解 析】【分 析】法 一：根 据 题 意 赋 值 即 可 知 函 数/(x)的 一 个 周 期 为 6,求 出 函 数 一 个 周 期 中 的/(1),2),一,6)的 值，即 可 解 出.【详 解】方 法 一:赋 值 加 性 质 因 为/(x+y)+/(x_y)=/(x)/(y)，令 x=l,y=0可 得,2/=削/(0),所 以 0)=2,令 x=0可 得，y)+-y)=2/(y),即/()=/(-),所 以 函 数“X)为 偶 函 数，令 y=l得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即 有 x+2)+/(x)=/(x+l),从 而 可 知/(x+2)=-/(x-l),/(x-l)=-/(x-4),故/(x+2)=x-4),即/(%)=/(x+6),所 以 函 数(力 的 一 个 周 期 为 6 因 为 2)=/。)一/(0)=1-2=-1,3)=/(2)-/=11=2,4)=/(-2)=八 2)=-1,/(5)=/(1)=1)=1,/(6)=/(0)=2,所 以 一 个 周 期 内 的/+/(2)+*6)=0.由 于 22除 以 6余 4,所 以 2/)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1-1-2-1=一 3.故 选：A.方 法 二:【最 优 解】构 造 特 殊 函 数 由/(x+y)+/(x-),)=/(x)/(y),联 想 到 余 弦 函 数 和 差 化 积 公 式 cos(x+y)+cos(xy)=2cosLxcosy,可 设/(x)=acos,a)x,则 由 方 法 一 中/(0)=2,/=1 知 1 71a=2,acosco=,解 得 cos69=,取=,所 以/(x)=2cos(x,则/(x+y)+/(x-y)=2cos+2cos4 7，6“x)=2cos。符 合 条 件，因 此/(X)的 周 期 一 斤 一，/(0)=2,/(1)=1,且 3/(2)=-1,/(3)=-2,/(4)=-1,/(5)=1,4 6)=2,所 以/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,由 于 22除 以 6余 4,所 以/(左)=/+/(2)+3)+/(4)=1-1-2-1=-3.故 选：A.【整 体 点 评】法 一：利 用 赋 值 法 求 出 函 数 的 周 期，即 可 解 出，是 该 题 的 通 性 通 法；法 二：作 为 选 择 题，利 用 熟 悉 的 函 数 使 抽 象 问 题 具 体 化，简 化 推 理 过 程，直 接 使 用 具 体 函 数 的 性 质 解 题,简 单 明 了，是 该 题 的 最 优 解.二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分.9.已 知 函 数/(工)=5亩(2犬+。)(。兀)的 图 像 关 于 点(,0)中 心 对 称，则()A.f(x)在 区 间 0,2)单 调 递 减(兀 1 1兀、B./*)在 区 间-五，五 有 两 个 极 值 点 C.直 线 x=是 曲 线 y=/(x)的 对 称 轴 6D.直 线 y=无 一 无 是 曲 线 y=/(x)的 切 线-2【答 案】AD【解 析】【分 析】根 据 三 角 函 数 的 性 质 逐 个 判 断 各 选 项，即 可 解 出.【详 解】由 题 意 得：/I l=sinl+1=0,所 以 彳+夕=攵 兀，k e Z,4兀 即 9 二 F kit,Z W Z,2兀 又 0 夕 兀，所 以 攵=2时，甲=五,故/(x)=sin2x+2兀(5兀)2兀 对 A,当 x e 0,考 卜 寸，2x+y e2兀 3兀 T T,由 正 弦 函 数 y=sin 图 象 知 y=/(x)在 上 是 单 2兀 3调 递 减;对 B,当 尤 6兀 1 In 兀 5 7 12 T,由 正 弦 函 数 y=sin”图 象 知 y=/(x)只 有 1个 极 值,_ 2兀 时,2x+GH2兀 3 兀&刀/口 5 7 1点，由 2x+=,解 得 x=3 2”125兀,即 工 二 为 函 数 的 唯 一 极 值 点;122x+=3兀，/()=0,直 线 无 二 上 不 是 对 称 轴；对 D,由 3 6 67兀 对 C,当 J V=-时,62兀 2兀 2 7 1 4兀 解 得 2x+=+2 E 或 2X+=+2E,Z Z,3 3 3 3兀 从 而 得：x=E 或 x=+攵 兀,%Z,所 以 函 数 y=/(x)在 点 0,*处 的 切 线 斜 率 为 上 I 2)=y|je=0=2cO Sy=-l切 线 方 程 为：=-（x-0）即 y=x.故 选；AD.1 0.已 知 O为 坐 标 原 点，过 抛 物 线 C：y 2=2 p x（p 0）焦 点/的 直 线 与 C交 于 A,B两 点，其 中 A在 第 一 象 限，点 M（p,0）,若|A尸 R A|,则（）A.直 线 A 3的 斜 率 为 2指 B.I OB|=|OF C.A B 4 O F D.ZO A M+ZO B M 1SO【答 案】ACD【解 析】【分 析】由 恒 日=|4 0|及 抛 物 线 方 程 求 得 4 子,当），再 由 斜 率 公 式 即 可 判 断 A选 项；表 示 出 直 线 AB 方 程，联 立 抛 物 线 求 得 B（0,-等），即 可 求 出|。目 判 断 B选 项；由 抛 物 线 的 定 义 求 出 1A却=生 即 可 判 断 C选 项；由 次.砺 0，朋 可 0求 得 NAOB,为 钝 角 即 可 判 断 D选 1 1 12项.【详 解】对 于 A,易 得 F（彳,0）,由|AF|=|A M|可 得 点 A 在 尸 M 的 垂 直 平 分 线 上，则 A 点 横 坐 标 为 3+P C P,代 入 抛 物 线 可 得 y 2=2 p.?=；“2,则 A（2,近）,则 直 线 A 3的 斜 率 为 2-T 4 2 4 2底 P-T-=2娓,A正 确；3p _ P4 2L 1 P对 于 B,由 斜 率 为 2指 可 得 直 线 A B的 方 程 为 尤=访）+万，联 立 抛 物 线 方 程 得 y-忑 p y _ p2=o,设 8（公,），则 乎 则 乂=平，代 入 抛 物 线 得 一 季=2 P%,解 得%，则 8（亭-亭），则|0 8|=J 闺+1 季）=与 刈 0 尸|=勺 B错 误；对 于 C,由 抛 物 线 定 义 知:|AB|=?+g=*2p=4|3,C 正 确；对 于 D,砺.丽=（子,当）一 冬）=*+警 一 冬 卜 年,角，又 丽 丽=（/,字.（一 学 一 字）=.用+冬 卜 与 卜 一 手 0,则 为 钝 角，又 Z A O B+Z A M B+N O A M+Z O B M=3 6 0，则 Z O A M+Z O B M X我 FB ED,AB=E D=2 F B，记 三 棱 锥 一 ACD,F-A B C,()V A.匕=2匕 B,匕=匕 K B产-A C E的 体 积 分 别 为 匕,匕,匕，则C 匕=匕+匕【答 案】CD【解 析】D.2匕=3K【分 析】直 接 由 体 积 公 式 计 算 X，%,连 接 8。交 A C 于 点 M,连 接 由 匕=V-+Z 田，”计 算 出 匕，依 次 判 断 选 项 即 可.1 1 1 o 4设 AB=ED=2FB=2 a,因 为 D_L 平 面 ABC。，FBED,p llj-ED S ACD=-2-（2a）-=-a3,匕=；FB S“=m，g（2a）2=|/,连 接 3 0 交 A C 于 点 M,连 接 E M,F M,易 得 B D _L A C,又。，平 面 A B C D,A C u 平 面 ABC。，则 E O _ L A C,又 EDCBD=D,EQ,BD u 平 面 户，则 AC_L平 面 户，又 B M=D M=；BD=,过/作 F G J _ O E 于 G,易 得 四 边 形 3 O G尸 为 矩 形，则 FG=BD=2yf2a,EG=a,则 E M=J（2a+（也 城=痘,F M=6 a,EF=商+（2伍=3a,E M2+F M2=E F2 则 雨 _ 而，S：FM=E M-F M=-a2,A C=2亿，则 匕=匕 一 E F M+%-F M=g A C S.M=2/,则 2匕=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故 A、B错 误；C、D正 确.故 选：CD.1 2.若 x,y 满 足 V+y?-孙=1,则（）A.x+y-2C.x2+y2【答 案】BC【解 析】【分 析】根 据 基 本 不 等 式 或 者 取 特 值 即 可 判 断 各 选 项 的 真 假.【详 解】因 为 出?(竺 2 a-+/r(a,bi R),由 V+y2 孙=1可 变 形 为，L 2 J 2z 2(x+y)2 l=3 p 3 叶 上，解 得 _ 2 W x+y 2,当 且 仅 当 x=y=_ 时，x+y=-2,当 且 仅 当 2；x=y=l 时，x+y=2,所 以 A错 误,B正 确;由 V+y2 一 孙=1可 变 形 为 仁+力 _=盯 4 三 匕，解 得 2+/4 2,当 且 仅 当 x=y=l时 取 等 号，所 以 c 正 确；因 为 Y+y2 一 孙=1变 形 可 得 上 1+2/=1,设 X 2=cosa 立 y=s i n 6,所 以 L 2）4 2 2-x=cos6+3 s i n 6,y=-s in e,因 此 x2+y2=cos2 0+sin2 0+-=sincos0=1+-Usin 2-c o s 2+-3 73 6 3 34 2.(“7 1 2 c=+sm 20 e,23 3 I 6 j L3.所 以 当 x=且,y=-正 时 满 足 等 式，但 是 一+丁 2 1不 成 立，所 以 D3 3错 误.故 选：BC.三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.13.已 知 随 机 变 量 X服 从 正 态 分 布 N（2,cr2）,且 P（2 2.5）=7【答 案】0.14#.50【解 析】【分 析】根 据 正 态 分 布 曲 线 的 性 质 即 可 解 出.【详 解】因 为 X N（2,/），所 以。（X 2）=0.5,因 此 P（X 2.5）=P（X 2）-尸（2 X W 2.5）=0.5-0.36=0.14.故 答 案 为:0.14.14.曲 线 y=In|x|过 坐 标 原 点 的 两 条 切 线 的 方 程 为,【答 案】.y=-x.y=-xe e【解 析】【分 析】分 x 0 和 x 0 时 设 切 点 为(天，Inx。)，求 出 函 数 的 导 函 数，即 可 求 出 切 线 的 斜 率，从 而 表 示 出 切 线 方 程，再 根 据 切 线 过 坐 标 原 点 求 出 与，即 可 求 出 切 线 方 程，当 x 0 和 x 0 时 设 切 点 为(%,In/)，求 出 函 数 的 导 函 数，即 可 求 出 切 线 的 斜 率，从 而 表 示 出 切 线 方 程，再 根 据 切 线 过 坐 标 原 点 求 出 质,即 可 求 出 切 线 方 程，当 x 0 时 y=lnx,设 切 点 为(毛 11%),由 y=L,所 以 了 1=一，所 以 切 线 方 程 为 y-l n x0=(x-x0),xo又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以 T n%=(一/),解 得 x0=e,所 以 切 线 方 程 为 y-l=1(x-e),即 xo e1y=一 冗；e当 x 0 时 y=lnx,设 切 点 为(事 n/),由 y=L,所 以 了 忆 而=,，所 以 切 线 方 程 为 X X。y-l n x0=(x-x0),xo又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以 l n%=(一%),解 得%=e,所 以 切 线 方 程 为 y i=1(x e),即 八 01y=-x；e因 为 y=InW是 偶 函 数，图 象 为：一 1 所 以 当 x 0 时 y=lnx,设 切 点 为(事 11天,)，由 y=4，所 以 V LC只 需 找 到 y=x关 于 y轴 的 对 称 直 线 e1力=一，所 以 切 线 方 程 为 X。y-ln x0=-(x-xl),又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以 一 比%=1 4 一%),解 得%=eX。1y=一%；e当 x()时 y=ln(-x),设 切 点(xl,ln(-x,),由 y=y-ln(-x,)=(x-x,),x又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以-In(-玉)=一(一%),解 得=玉 1y 二 一 x；e,所 以 切 线 方 程 为 y l=(x e),即 e1-1一，所 以 y LF=一,所 以 切 线 方 程 为 X X e,所 以 切 线 方 程 为 y-i=_L(x+e),即 一 e故 答 案 为：y=尤；y=x.e e15.设 点 A（2,3）,5（0,a）,若 直 线 A 3 关 于 丁=。对 称 的 直 线 与 圆（+3尸+（卜+2/=1有 公 共 点，则。的 取 值 范 围 是.1 3【答 案】【解 析】【分 析】首 先 求 出 点 A 关 于 y=a 对 称 点 A，的 坐 标，即 可 得 到 直 线/的 方 程，根 据 圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于 等 于 半 径 得 到 不 等 式，解 得 即 可；【详 解】解：A（-2,3）关 于 y=a 对 称 的 点 的 坐 标 为 A（-2,2a-3）,8（0,a）在 直 线=。上,所 以 A 8 所 在 直 线 即 为 直 线/,所 以 直 线/为 y=3=x+a,即（a-3）x+2-2a=0：一 2圆 C:（x+3 y+（y+2）2=l,圆 心 C（3,2）,半 径/=：!,依 题 意 圆 心 到 直 线/的 距 离 d|-3（-3）-4-2 i7（-3）2+229）1 3 1 3 1 3即（5-5。）（。-3）+22,解 得 m 即。；故 答 案 为：16.已 知 直 线/与 椭 圆 卷+q=1 在 第 一 象 限 交 于 A,B 两 点，/与 x轴，y轴 分 别 交 于 M,N 两 点，且|M A|=|N B|,|M N|=26,则 I 的 方 程 为.【答 案】x+夜 y-2夜=0【解 析】【分 析】令 A 3 的 中 点 为 E，设 A（%，x）,3（,%），利 用 点 差 法 得 到 女。%.=3，设 直 线 AB-.y=kx+m,k 0,求 出 M、N 的 坐 标，再 根 据|的|求 出 左、m,即 可 得 解；【详 解】解 法 一：（弦 中 点 问 题：点 差 法）令 A 8 的 中 点 为 E,设 A（%,y）,3（，%），利 用 点 差 法 得 到%=-g，设 直 线 48：丫=履+相，k 0,求 出、N 的 坐 标，再 根 据|肱 V|求 出 左、加，即 可 得 解：解：令 A 8 的 中 点 为 E，因 为=所 以|岫=加 目,2 2 2 2设 A（5,y）,B（x2,y2）,则 曾+号=1,+1=1,所 以 江.4+式 一 迂=0,即（为 7 2）（西+/）+包+%）（，一%）=06 6 3 3 6 3（X+%）（X-K）1 1所 以.弋 弋=），即 心 废 心 8=一 一，设 直 线 A8：y=+m,k0,（%一%2）（玉+%2）2 2令 x=0得 y=m,令 y=0得 x=1tT I,即 M-,0）,N（0,m）,/m所 以 E-去 m即 x 一=解 得 女=一 也 或 左=变（舍 去），m 2 2 22k又|肱 7|=2 6，即|MN|=1+（血 或 了=2 g,解 得 加=2 或 加=一 2（舍 去），所 以 直 线 AB:y=-x+2.即+/-20=0；解 法 二：（直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 常 规 方 法）解：由 题 意 知，点 E 既 为 线 段 A 8 的 中 点 又 是 线 段 M N 的 中 点，设 A（Xi，y）,5（,），设 直 线 A8:y=fcr+m,k 0,则 叫 g o,7V（0,m）,因 为|MN|=2百，所 以 目=G 乙 K 乙）联 立 直 线 A B 与 椭 圆 方 程 得 y=kx-mx2 y2 消 掉 y 得(1+2左 2)X2+4 依+2加 之-6=0+=1.6 3其 中=成-4(1+2k)(2m2-6)4mkAB中 点 E 的 横 坐 标 4=-忐，ink1 乙 KM m m，又 七 一 瓦 万 2mk m1+2公 2k；k 0,k=-等，又|0同=J(一 差)2+(,)2=百,解 得 m=2所 以 直 线 A8:y=拳 x+2,即 x+0 y-2 0=O解 法 三：令 A 8 的 中 点 为 E，因 为 所 以|=|N|,设 A（X，X）,2 2B(X2，%)，则 工+=1，6 3W-+互=1,所 以 工 工+$_一 江=0,即 6 3 6 6 3 3(%-%)(%+%)(%+%)(%必)_/I-U6 3(X+%)(、一%)1 1所 以:(x.-x一。(=_二，即%丁 旗 8=一 一，设 直 线 A8:y=+机，k0,7(x.+x7)2 OE AB 2令 彳=()得 丁=m，令 y=0 得 x=,即 M 丁,0k kN（0,m）,所 以 E 一 条 k 乙 K 乙 m即 女 x _=解 得 显 或 k;显(舍 去)，m 2 2 22k又|肱 V|=2 g,BJMN=m2+(V2m)?=273.解 得 加=2 或 加=一 2(舍 去),所 以 直 线 AB:y=-5-x+2，即 x+0 y-2后=0；四、解 答 题：本 题 共 6小 题，共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.17.已 知%为 等 差 数 列，也 是 公 比 为 2 的 等 比 数 列，且 的 一 4=。3-4=打-4.(1)证 明：%；(2)求 集 合&期=。,“+4，1 加 500 中 元 素 个 数.【答 案】(1)证 明 见 解 析；(2)9.【解 析】【分 析】(1)设 数 列 2 的 公 差 为 d,根 据 题 意 列 出 方 程 组 即 可 证 出；(2)根 据 题 意 化 简 可 得 机=2卜 2,即 可 解 出.【小 问 1详 解】见+d 2/?,=6+2d 4bl d设 数 列 4 的 公 差 为 d，所 以，0.r _ v即 可 解 得，伪=弓=一，所 以 原 命 题 得 q+4-=o/?!(q+3d 2证.【小 问 2 详 解】由(1)知，=%=g,所 以 包=4.+4 X2/T=4+(m-l)d+4,即 2 i=2，亦 即 m=2-2e 1,500,解 得 2 W Z 1 0,所 以 满 足 等 式 的 解=2,3,4,10,故 集 合 k|hk=a,“+4，lW 加 500 中 的 元 素 个 数 为 10-2+1=9.18.记 AABC的 内 角 4,B,C 的 对 边 分 别 为 小 b,c,分 别 以 a,b,c为 边 长 的 三 个 正 三 角 形 的 面 积 依 次为 S1,S2，S3，已 知 S1 2+5 3=9,Sin3=g(1)求 AABC的 面 积;若 sinAsinC=正，求 人 3【答 案】(1)728 I【解 析】【分 析】(1)先 表 示 出 E，S2，S 3,再 由 舟-邑+其 二 日 求 得+c2=2,结 合 余 弦 定 理 及 平 方 关 系 求 得 a c,再 由 面 积 公 式 求 解 即 可;(2)