2023届北京市西城区高三一模数学试题含解析.pdf

西城区高三统一测试试卷数学2023.3本试卷共6 页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4 分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.已知集合 A =T，/，2,3 ,8 =x|x2-3 x 0 ,则 A B-（）A.-1 B.1,2 C.1,2,3 D.-1,0,1,2【答案】B【解析】【分析】首先对集合8 =x|x2-3 x（）化简，再由交集得定义即可求得AcB.【详解】B=X|X2-3X0=X|0 X 0 时，y=-=-x,则 y=一凶 在（0,+8）上单调递减；对 于 B选项，函数y=f-2 x 在区间（0,+8）上不单调；对于C 选项，函数y=s in x在（0,+。）上不单调；对于D 选项，因为函数 =%、y=在（0,+8）上均为增函数，所以，函数y=x-l在（0,+8）上为增函数.故选：D.3.设Q=l g 2,b =c o s 2,=c2%则（）A.b c a B.c b aC.b a c D,a b c【答案】C【解析】【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定。力,c的取值范围即可得出结论.详解】根据对数函数y=坨x在定义域内为单调递增可知0 =1 g 1 1 g 2 1 g 1 0 =1,即a e（0,1）；T T由三角函数y=8S X单调性可知b =c o s 2 2=1；所以力 4 轴上，则渐近线方程为y=幺x=也x；b 3所以“C的离心率为2”不是C的一条渐近线为y=x”的充分条件；反之，双曲线C的一条渐近线为旷=6彳，若双曲线。的焦点在x轴上，则渐近线方程为丁=2=&%,所 以2a a离心率e =若双曲线C的焦点在X轴上，则渐近线方程为y=所以2 =立,b a 3离心率e 1 +(=2业；所以“C的离心率为2”不是“C的一条渐近线为y=氐”的必要条件;综上：“C的离心率为2”是 C的 一 条 渐 近 线 为 旷=显”的既不充分也不必要条件，故选：D.8.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度u(k m/s)和燃料的质量”(k g)以及火箭(除燃料外)的质量N (k g)间的关系为v=21 n(l +二).若火箭的最大速度为1 2 k m /s ,则下列各数中与竺最接近的是N N()(参考数据：e =2.71 828)A.20 0B.4 0 0C.60 0 D.80 0【答案】B【解析】【分析】根据所给关系式，求出”=e 6-1,近似计算得解.【详解】由题意，火箭的最大速度为1 2k m/s时，可得1 2=21 n(l +三)，N即 竺=e 6-l,N因为e =2.71 828,所以近似计算可得”=e 6-1 a 4 0 2,N故选：B九 一c x 2 09.设ceR,函数x)=:一:若/(x)恰有一个零点，则。的取值范围是()2-2 c,x 0.A.(0,1)B.0 U l,+o o)C.(),)D.0 雇,+8)2 2【答案】D【解析】【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将g(x)=，2,”0图象平移对参数。进行分类讨论即可得出其取值范围.易知当c=0时，函 数 恰 有 一 个 零 点，满足题意；当c 0时，图象往下平移，当0 2。0）的顶点为0,且过点A,B.若，是边长为4百的等边三角形，则P=.【答案】1【解析】【分析】根据抛物线的对称性以及等边三角形的边角关系即可代入A伍,2百）求解.【详解】设4（%,乂）,3（,%），则 1 t Mi =|。叫，即 x j +y；=电2 +%2 =i2+2 pxt=x22+2 px2,所以（玉-X2）（X 1 +x2+2）=0,由于 0,0,二玉+w 0,又2 p0 ,所以不 +%2 +2 wO,因此x,-x2=0 ,故关于x轴对称，由侬=4 6,？AOx 3 0得 川6,2 ,将 对6,2百）代入抛物线中得1 2=1 2,所以 =1,1 3.已知数列 4的通项公式为为=2 T,”的通项公式为a=1-2 .记数列4,+2的前项和为S”,则S&=；S,的 最 小 值 为.【答案】.-1 0.-2【解析】【分析】（1）由题可得。“=4,+勿=2向+1-2，根据等比数列及等差数列的求和公式可得S,，利用数学归纳法可得“W 3时，%0,进而即得.【详解】由题可知4,+b“=2”T+1 -2”，所以 S 4 =l+(-l)+2 +(-3)+22+(-5)+23+(-7)=y-=-l,Sc =1 +(/-1)+2 +(/-八3)+2 /、1一2 +9+(1-2H)=-=2 -1-H-,1 Z Z令c“=2 T+-2,则4=0,0 =_1,。3=-1,。4=1,。5=7,当“24时，c 0,即2 T 2-1，下面用数学归纳法证明当 =4时，2-1成立，假设=%时，2 i 2 k-l成立，当n=左+1 时，2*=2 T 2(2 A-l)=2(k +l)-l+2 Z-3 2(Z +l)-l,即n=1 +1 时也成立,所以24时,c 0,即 2 T 2-1,所以 W 3时，c 0 ,由当=3时，S“有最小值，最小值为 3 =2 3 1 -3 2 =2.故答案为：-1；2-1 4.设A（c o s e,s i na）,5（2 c o s/7,2 s i n/?）,其中当。=兀,/?=时，|A B|=；当 恒 回=5时，。一夕的 一 个 取 值 为.【答案】.!（答案不唯一）【解析】【分 析】将0 =兀,6=代 入 计 算 可 得A（1,O）,8（0,2）,利用两点间距离公式可知|4却=石；由|/3|=后 即 可 得（c o s a 2 c o s 4+（s i n 2 s i n/?=3 ,化简整理可得c o s（e-夕）=：,即可写出一个合适的值.【详解】根据题意可得当a =兀,/?时，可得4（一1,0）,3（0,2）,所以|4 8|=J（_ O p+（0-2）2 =6.当|AB|=/时，即（c o s a-2 c o s/7 +（s i n z-2 s i n /7）=3 ,整理可得 5 -4 (c o s a c o s ,一 s i n a s i n /?)=3,即c o s(。-夕)=g7 TTT可得a 4=1 +2阮，所以a 尸的一个取值为彳.故答案为：1 5.如图，在棱长为2的正方体ABC。A耳C Q中，点 ，N分别在线段A。和B C上.给出下列四个结论：M N的最小值为2；4四面体N M B C的体积为y ；有且仅有一条直线M N与A%垂直；存在点M,N,使 MBN为等边三角形.其中所有正确结论的序号是.【答案】【解析】【分析】对于，利用直线之间的距离即可求解；对于，以M为顶点，AN B C为底面即可求解；对于，利用直线的垂直关系即可判断；对于，利用空间坐标即可求解.【详解】对于，由于M在 上 运 动，N在8 c l上运动，所以|MN|的最小值就是两条直线之间距离而0 G|=2,所以M N的最小值为2；1 2 1对于，九-BNC=BNC.|G|=.BMC，而S_BNC=5X2X2=2,所以四面体MV/。的体积为43 对于，由题意可知，当 与A重合，N与G重合时，DtCt 1 A D,又根据正方体性质可知，A D.l B.C D,所以当知 为4。1中点，N与B1重合时，此时MNJ.A。，故与A Q垂直的M N不唯一，错误;对于，当 M B N 为等边三角形时，=则此时A M =4 N.所以只需要 则 与 B N 的夹角能等于工即可.3以。为原点，D A.D C、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如下图,设 AM=B、N=n,则由题意可得M，3（2,2,0）,BM=,BN=(-rt,0,2),W IJ cos ZMBN=BM BN则.阿J J2_+4nN（2 ,2,2）,则可得,整理可得当 1 2_2+2夜=0,该方程看成关于二次函数，I 2）A=4-4x-1 X2 V 2=8 V 2-4 0,所以存在使得MBN为等边三角形.、2 故答案为：三、解答题共6 小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.2兀16.如图，在 A B C 中，Z A =y,A C =垃C D 平分N A C B 交 A B 于点。，C D =6（1）求 A D C 的值；（2）求 B C D 面积.【答案】（1）-43（百-1）4【解析】【分析】（1）在八 4。中，利用正弦定理即可得解；2 7 r j r j r（2）由（1）可求出乙4。=/8。=兀-1-：=已，再根据C D 平分/4C B 可得为等腰三角形,再根据三角形的面积公式即可得解.【小 问 1 详解】C D在 八 4 心 中，由正弦定理得-，s i n Z A D C s i n NA6.2 兀所 以 /.八,、AC-sinZA V/s i n 叵n 八 s i n Z A D C =-=-7=-=C D 7 3 2TT因为 0/A O C.s i n NBCO=g x 、属哈=舅1.1 7.根 据 国家学生体质健康标准，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：c m）立定跳远单项等级高三男生高三女生优秀2 6（）及以上1 9 4及以上良好2 4 5 2 5 91 8 0-1 9 3及格2 0 5-2 4 41 5 0 1 7 9不及格2 0 4及以下1 4 9及以下从某校高三男生和女生中各随机抽取1 2名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到1 c m）：男生1 8 02 0 52 1 32 2 02 3 52 4 52 5 02 5 82 6 12 7 02 7 52 8 0假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.女生1481 6 01621691721841951961961972082 2 0（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；（2）从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1 人，设 X 为这3人中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X 的数学期望E（X）；（3）从该校全体高三女生中随机抽取3人，设”这 3人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级“为事件A,“这3人的立定跳远单项至多有1 个是优秀”为事件8.判断A与B是否相互独立.（结论不要求证明）【答案】（1）-3 工6（3）A与 B 相互独立【解析】【分析】（1）样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4,获得优秀的女生人数为6,计算频率得到优秀率的估计值；（2）由题设，X 的所有可能取值为0/，2,3.算出对应概率的估计值，得到X 的数学期望的估计值；（3）利用两个事件相互独立的定义判断即可.【小 问 1 详解】样本中立定跳远单项等级获得优秀的男生人数为4,获得优秀的女生人数为6,4 1所以估计该校高三男生立定跳远单项的优秀率为一 =；估计高三女生立定跳远单项的优秀率为1 2 36 _ 17 2-2【小问2详解】由题设，X的所有可能取值为0,1,2,3 .7 1 Op（x=o）估计为苦;尸（x=D估计为小/j守x 段:P（X=2）估计为C；xxTxT +（）2=2；3 3 乙 J Z 1 oP（X=3）估计为.3 2 1 o2 4 5 1 7估计 X 的数学期望 E（X）=0 x +l x g+2xR+3x&=k【小问3详解】P(A)估计为 G x；X j +c；X J xl=|；P(8)估计为 C；x；x(；j+cK(g =；P(A B)估计为C；xx3 2P(A B)=P(A)P(B),所以A与8相互独立.2)=81 8.如图，在四棱锥P A 8 C。中，B 4 J _平面A B C。，AB/CD,ABA.AD,A B =1,B 4 =4)=C)=2.E 为棱P C 上 一 点,平面A B E与棱P 交于点尸.再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题(1)求证：尸为尸。的中点；(2)求二面角8-尸C P的余弦值.条件：B E/A F；条件：B E L PC.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)证明见解析当【解析】【分析】(1)若选条件，利用线面平行判定定理和性质定理即可得出四边形AS M为平行四边形，又=即可得所 为 一P C。的中位线即可得出证明；若选条件，利用勾股定理可得E为PC的中2点，再利用线面平行判定定理和性质定理即可得C D 斯，即可得出证明；(2)建立以A为坐标原点的空间直角坐标系，求出平面8 C F的法向量为机=(2,-1,3),易知人尸是平面PCO的一个法向量，根据空间向量夹角与二面角之间的关系即可求得结果.【小 问1详解】选条件：BE/AF因为AB/C。，平面PCD,C)u平面PCD,所以AB/平面PC。因为平面A跳F c平面PCD=EF,所以ABEF又3 E/A F,所以四边形ABEF为平行四边形.所以 A5EE且 AB=EF.因为4 5/。且46=1。，所 以 及7/C。且 所 =1cD.2 2所以E尸为一 PC。的中位线.所以尸为P。的中点.选条件：BEL PC.因为P4J_平面ABC。，ARAOu平面ABC。，所 以 _ L A8,弘，4 5.在 Rt P 4?中，PB=y/AB2+AP2=/5-在直角梯形ABC。中，由 45=1,AD=C D 2,可求得3c=6，所以 PB=BC.因为8E_LPC,所以E为PC的中点.因为AB CD,A B a平面尸CD,C D u平面尸C D,所以AB平面PCD.因为平面ABEEc平面PCD=E F,所以AB 所.所以CDEF,所以F为PO的中点；【小问2详解】由题可知因为PAJ_平面ABC。，所以P4，A8,A4J_AZ).又所以4?,4),AP两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系A-xyz,z则 A(0,0,0),8(1 0,0),C(2,2,0),尸(0,0,2),0(0,2,0),尸(0,1,1)._ _ UllU所以 3 c =(1,2,0),B F=(-1,1,1),A/=(0,1,1).nvBC=0 x +2 y=0,设平面BC E 的法向量为加=(%,y,z),则 ，即 八m-BF=0 1 x+y +z =0.令 =-1,则 x=2,z =3.于是/n =(2,-1,3).因为平面P A D,K A B/C D,所以C D _ L平面P A。，又 AE u平面P A。，所以Ab，C).又 Q 4 =AD，且尸为 P O的中点，所以 A FJ _ P.8c P D =),8,P)u 平面 P C。,所以AE L 平面P C D，所以A F是平面P C D 的一个法向量.4 c.m -A F V 7cos m,A F=j-1=mAF 7 -由题设，二面角B-F C-P 的平面角为锐角，所以二面角3F T P 的 余 弦 值 为 五.71 9.已知函数/(x)=e*-cos x.(1)求曲线V =/(X)在点(0,/(0)处的切线方程；(2)设 g(x)=x/(x)-/(*),证明：g(x)在(0,+8)上单调递增;(3)判断34|与4/(；)的大小关系，并加以证明.【答案】(1)=%(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)求导得切点处的斜率，即可求解直线方程，(2)求导，利用导数的正负即可确定函数的单调性，(3)构造函数力(x)=D,x e(0,+oo),利用导数确定单调性，结 合(2)的结论即可求解.X【小 问 1 详解】/O)=e*+s i n x,所以/(0)=0,/(0)=1.所以曲线y=fx)在点(0,/(O)处的切线方程为y=X.【小问2详解】由题设，g(x)=x(e +s i n x)-(ev-cosx)=(x-l)eA+x s i n x +cos x .所以 g 0 时,因为 e+cos x e+cos%=1+cos x 2 0,所以 g (x)0.所以g M在(0,+oo)上单调递增.【小问3详解】证明如下：设/?(x)=X G(0,-H ).X则如)=)寸3=驾.V X由(2)知g(x)在(0,+8)上单调递增，所以g(x)g(0)=0.所以/(x)0,即(x)在(0,+8)上单调递增.所以叫,即3 吗卜咱.2 0.已知椭圆C:f+2y 2=2,点在椭圆C 上，且。4 _ LCB (。为原 点).设 AB的中点为M,射线 OM 交椭圆C 于点N.(1)当直线A3与*轴垂直时，求直线A3的方程；|O N|(2)求右言的取值范围.【答案】(1)x=近3(2)【解析】【分析】（1）根据题意可知点AB关于x轴对称且。利用勾股定理可得直线A3的方程为x =；（2）当直线A 8的斜率不存在时，黑?=有，直 线 的 斜 率 存 在 时，联立直线丫 =丘+m和椭圆方程再根据O A _ LQ6可得3/=2公+2,即 川2匕 再 由 湍=力 强求出点N（当，*-），代3 2 K+1 2k2+1,1|0N|f V 6 /r-入椭圆方程即可得公=3-；,即 可 求 得 院 招 的取值范围为 二,J 3m2 0M|_ 2【小 问1详解】当直线A B与x轴垂直时，设其方程为x =f（-0/2当直线A 3的斜率不存在时，由（I）知 两I%3当直线A 3的斜率存在时，设其方程为 =履+加.由，y=kx+m,x2+2y2=2,得(2 /+1)%2+4kmx+2m2-2 =0.由 A =8(2二一根 2+i)o,得帆 2 ClUUl u u u设O N =XOM，其中/i 0.RL则,CU LW =7A(OA +OuiB)x =；A (z XI、-2 kmA m 2.、+Xyi+y)=().2 2 2 K +1 2 A +1将N(一)代入椭圆C的方程，得W2A2=2 k2+l.2 k2+1 2 k2+1所以加 万=痴2一1,即万=3 3.m2 3 /Z因为a 2之一，所以3这；1 2 3,即至 这2百.3 2 2综上 告I O招N|的 取 值 范 围 是 指三#.OM 1 22 1.给定正整数刀22,设集合“=a|a=(W 2，L果),4e 0,l#=l,2,L,.对于集合M中 任意元素 =(X i，w，L ,x“)和y =(y,y 2，L ,笫)，记 夕y =+%+L+x,J.设 且集合p,i-j,A =,.|a,./；2,L ,/.,),/=!,2,L ,n,对于 A 中任意元素 6，%,若%=，.则称 A 具有性质 1，5/，T(，P).(1)判断集合人=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)是否具有性质7(3,2)?说明理由；(2)判断是否存在具有性质T(4,p)的集合A,并加以证明；(3)若集合A具有性质T(，M，证明：%+匕+L +%=P(/=1,2,L ,).【答案】(1)具有，理由见解析(2)不存在，证明见解析(3)证明见解析【解析】【分析】(1)根据集合具有性质75,P)的特征，即可根据集合A中的元素进行检验求解，(2)假设集合A具有性质7(4,p),分别考虑，=1,2,3,4时，集合A中的元素，即可根据T(，P)的定义求解.(3)根 据 假 设 存 在/使 得+考虑当=时以及。+lWq(1,0,1)=(0,1,1(0,1,1)=2.X(l,l,O)(l,O,l)=l xl +l x O+O x l =l,同理(1,1,0).(0,1,1)=(1,0,1).(0,1,1)=1.所以集合 A=(U,0),(1,0,1),(0,U)具有性质 T(3,2).【小问2详解】当”=4时，集合A中的元素个数为4.由题设pe0，l,2,3,4.假设集合A具有性质7(4,p),则当 =0时，A=(0,0,0,0),矛盾.当=1 时，A=(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),不具有性质 7(4,1),矛盾.当 =2 时，A c (1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1).因为(1,1,0,0)和(0,0,1,1)至多一个在A中；(1,0,1,0)和(0,1,0,1)至多一个在A中；(1,0,0,1)和(0,1,1,0)至多一个在A中，故集合A中的元素个数小于4,矛盾.当 =3时，A=(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(0,1,1,1),不具有性质 7(4,3),矛盾.当 =4 时，A=(1,1,1,1),矛盾.综上，不存在具有性质T(4,p)的集合A.【小问3详解】记1=七+匕+1 +%(j=l,2,L ,)，则 q+Cz+L+c =n p .若 p=0,则4 =(0,0,1,0),矛 盾.若 p =l,则4 =(1,0,0L，0),矛盾.故 pN 2.假设存在/使得C/P +1，不妨设/=1,即qp+l.当 q =时，有 C,=0 或 J=1。=2,3,L ,)成立.所以q.L 中分量为1的个数至多有+5-1)=2 -1 2 W他.当 p +lWq 时，不妨设小=弓1 =L=tp+l,=l,rn|=0.因为a“-a“=P，所 以%的 各 分 量 有。个1,不妨设%=a=L=1 .由 时，可 知,V g w 2,3,L ,p +l,%，L 中至多有 1个1,即%,%,L,%加的前p+1个分量中，至多含有p +l +p =2 p +l个1.又 a；q=l(i=l,2,L,p +l),则 a”%,L 的前 +1 个分量中，含有(p +l)+(p +l)=2 p +2 个1,矛盾.所以 J W p(1=1,2,L,).因为 J+。2+L+q,所以 Cj=P(j =l,2,L,).所以i+匕+L+%=p(/=l,2,L,).【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.