初中中考总复习数学《特殊四边形》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf

中考总复习：特殊的四边形一巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1 .（2 0 1 4 天水）如图，将矩形纸片A B C D 折叠，使点D与点B重合，点 C落在C处，折痕为EF,若 A B=1,B C=2,则A A B E 和 B C F 的周长之和为（）A.3 B.4 C.6 D.82 .如图，有一矩形纸片A B C D,A B=1 0,A D=6,将纸片折叠，使 A D 边落在A B 边上，折痕为A E,再将4 A E D 以D E为折痕向右折叠，A E与B C 交于点F,则4 C EF面积为（）.A.4 B.6 C.8 D.1 03 .如图所示，在矩形A B C D 中，A B=3,A D=4,P是 A D 上的一点，P E 1 A C,垂足为E,P F 1 B D,垂足为F,贝 I J P E+P F的值为（）.4.如图，E、F、G、H分别是四边形A B C D 四条边的中点，要使EFGH 为矩形，四边形应该具备的条件是A.一组对边平行而另一组对边不平行C.对角线相互垂直5.如图，正方形A B C D 中，0 是对角线A C、B D 的交点,C F=3,则 等 于（）.A.7 B.5 C.4 D.3B.对角线相等D.对角线互相平分过。点作施工冰分别交A B、B C 于 E、F,若 A E=4,:去第 5题6.如图,在矩形A B C D 中,A.1 5 B.1第 6 题D EL A C 于 E,且N A D E：ZED C=3：2,则/B D E 的度数为（）.8 C.3 6 D.5 4 二、填空题7.（2 0 1 4 春西城区期末）直角A A B C 中，贝 1 A E=_ _ _ _ _ _ _.D E L8 .如图，菱形力颇中，A E上B C于E,BLk9 .正方形A B C D 中，E 为 B C 上一点，B EZB A C=9 0 ,D、E、F 分别为 A B、B C、A C 的中点,已知 D F=3,幺 F_ L C 于 尸，A E =B F，则/&5 尸等 于 _ .【，C E也 P在 B D 上，则 P E+P C 的最小值可能为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.1 2.如图，在直角梯形A B C D 中，A D B C,ZA B C=9 0 ,ZC=6 0 ,B C=2 A D=2 6，点 E 是 B C 边的中点,1 0 .如图，M为正方形A B C D 中 B C 边的中点，将正方形折起,的面积为6 4,则a A E M 的面积为.1 1 .如图，A B C 是以A B 为斜边的直角三角形，A C=4,B C=3,于 F,则线段EF长度的最小值是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.A E B-C第 1 0 题 第 1 1 题使点A与 M重合，设折痕为E F,若正方形P为 A B 上一动点，且 P EJ _ A C 于 E,P F1 B CA D壮第 1 2 题D EF是等边三角形，D F交 A B 于点G,则4 B F G 的周长为三、解答题1 3 .如 图 1,图 2,四边形A B C D 是正方形，M是 A B 延长线上一点.直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E 在 A B 边上滑动(点E 不与点A,B重合)，另一条直角边与N C B M 的平分线B F相交于点F.(1)如 图 1,当点E 在 A B 边的中点位置时：猜想D E与 EF满足的数量关系是.；连接点E 与 A D 边的中点N,猜想N E与 B F满 足 的 数 量 关 系 是；请证明你的上述两个猜想.(2)如图2,当点E 在 A B 边上的任意位置时，请你在A D 边上找到一点N,使得N E=B F,进而猜想此 时 D E与 EF有怎样的数量关系.图21 4 .如图，在梯形 A B C D 中,A D/B C,A B=C D=3 c m,N A=1 2 0 ,B D 1 C D,求 B C、A D 的长度;(2)若点P从点B开始沿B C 边向点C以 2 c m/秒的速度运动，点 Q从点C开始沿C D 边向点D以1 c m/秒的速度运动，当 P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形A B P Q D 的面积S与运动时间t 之间的关系式，并写出t 的取值范围(不包含点P 在 B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t,使线段PQ 把梯形A B C D 分成两部分的面积比为1：5?若存在，求 出 t 的值；若不存在，请说明理由.15 .(2 015 青岛模拟)已知正方形A B C D 的边长为a,两条对角线A C、B D 相交于点0,P 是射线A B 上任意一点，过 P 点分别作直线A C、B D 的垂线PE、P F,垂足为E、F.(1)如 图 1,当 P 点在线段A B 上时，PE+PF 的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明.(2)如图2,当 P 点在线段A B 的延长线上时，求 P E-PF 的值.16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形(其中有三个小正方形的边长已标出字母x,y,z).试求满足上述条件的矩形的面积最小值.【答案与解析】一.选择题1.【答案】C.【解析】将矩形纸片A B C D 折叠，使点D与点B重合，点 C落在C处，折痕为E F,由折叠特性可得，C D=B C =A B,ZFC B=Z E A B=9 0,Z E B C,=N A B C=9 0,V Z A B E+Z E B F=Z C,B F+Z E B F=9 0.,.Z A B E=Z Cz B F在A B A E 和B C F 中，NFC B=ZEAB-BC=ABNABE=/C BF.,.B A E A B C1 F (A S A),A A B E 的周长=A B+A E+E B=A B+A E+E D=A B+A D=1+2=3,A B E 和!?(：F 的周长=2 Z A B E 的周长=2 X 3=6.故选：c.2 .【答案】C.3 .【答案】A.4 .【答案】C.5 .【答案】B.【解析】可证A O E B 必 O F C,则 E B=F C=3,A E=B F=4,E F=J 7 彳=5.6.【答案】B.【解析】由题意/A D E=5 4 ,N C D E=3 6,N D C E=5 4 ,Z B D E=5 4 -3 6 =18 .填空题7 .【答案】3.【解析】如图，,在直角 ABC中，N B A C=9 0。，D、F分别为A B、AC的中点，D F 是4 A B C 的中位线，D F=1B C.2又 ,点 E是直角 A B C 斜 边 BC的中点，A E B C,D F=3,D F=A E.故填：3.9 .答案+2 6+6 10.【答案】10.【解析】提示：设 A E=x=E M ,B E=8-X,M B=4,在 R t B E M 中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.1211.【答案】.5【解析】连接PC.VPE X A C,PF 1B C,.*.Z PE C=Z PF C=Z C=9 0；又；/A C B=9 0,.四边形E C F P是矩形，；.E F=PC,.当PC 最小时，E F 也最小，即当C P_L A B 时,PC 最小，VA C=4,B C=3,，A B=5,A -A C B C=-A B.PC,.*.PC=.2 2 5线段E F 长的最小值为1上2 ；故答案是：I?.5 512 .【答案】3+V3.【解析】首先由已知A D B C,N A B C=9 0点 E是 B C 边的中点，推出四边形A B E D 是矩形，所以得到直角三角形C E D,所以能求出C D 和 D E,又由4 D E F 是等边三角形，得出D F,由直角三角形A G D 可求出A G、D G,进而求得F G,再证 A G D g/X B G F,得到B F=A D,从而求出B F G 的周长.三.综合题13 .【解析】(1)D E=E F；N E=B F；.四边形A B C D 为正方形，；.A D=A B,Z D A B=Z A B C=9 0,VN,E分别为A D,A B 中点，A N=D N=-A D,A E=E B=-A B,2 2；.D N=B E,A N=A E,V Z D E F=9 0,A Z A E D+Z F E B=9 0,XV Z A D E+Z A E D=9 0 ,，Z F E B=Z A D E,又：A N=A E,二 Z A N E=Z A E N,又,.,N A=9 0,/.Z A N E=4 5 ,/.Z D N E=18 0-Z A N E=13 5 ,X VZ C B M=9 0 ,B F 平分N C B M,A Z C B F=4 5 ,Z E B F=13 5 ,/.D N E A E B E (A S A),，D E=E F,N E=B F.(2)在 D A 上截取D N=E B (或截取A N=A E),连接N E,则点N可使得N E=B F.此时D E=E F.证明方法同(1),证a D N E 丝A E B F.14.【解析】(1)在 R tZ B C D 中，C D=3 c m,Z C=60 ,A Z D B C=3 0,/.B C=2 C D=6c m.由已知得：梯形A B C D 是等腰梯形，A Z A B C=Z C=60,.Z A B D=Z A B C-Z D B C=3 0.VA D/B C,A Z A D B=Z D B C=3 0,Z A B D=Z A D B,(2)当 P、Q 分别从B、C同时出发运动t 秒 时,B P=2 t,C Q=t,A PC=6-2 t,过 Q 作 QE J _B C 于 E,则 QE=C Qs i n 60=t,2.2 773 也 S 梯形 ABCD-S PCQ二-4 4(6-2 t)t=(2 t2-6t+2 7)(0 t/3S A I W二 一 X 3 X-X 3,2 2SA AB I F-X S 梯形 ABCD,3/.五边形A B PQD 的面积不可能是梯形A B C D 面积的6SA PC Q：S 五边形 ABPQ D=1：5,艮|J S五边形ABPQD=一S梯 形 RBCD6氏，、5 2 7 G：.(2 t2-6t+2 7)=-X ,4 6 4整理得：4 t-12 t+9=0,，t=3,即当t=32 秒时，PQ把梯形A B C D 分成两部分的面积比为1：5.2 215.【解析】解：(1)是定值，V 四边形ABCD为正方形，ACBD.PFBD,PFII AC,同理 PEII BD.四边形PFOE为矩形，故 PE=OF.又；Z PBF=45,PF=BF.PE+PF=OF+FB=OB=acos45=a.2(2)四边形ABCD为正方形，ACBD.PFBD,PFII AC,同理 PEII BD.四边形PFOE为矩形，故 PE=OF.又Z PBF=45,PF=BF.PE-PF=OF-BF=OB=acos45=.216.【解析】已有三个小正方形的边长为x,y,z,我们通过x,y,z 表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是 x+y,x+2 y,x+3 y,4 y,x+7 y,2 x+y,2 x+y+z,4 x+4 y-z,4 x+4 y-2 x 及 5 x-2 y+z.因矩形对边相等，所以得 llx+3 y=7 x+1 6 y-z 及 8 x+8 y-3 z=6 x+5 y+z.化简上述的两个方程得到z=1 3 y-4 x,4 z=2 x+3 y,消 去 z 得 1 8 x=4 9 y.因 为 1 8 与 4 9 互质，所以x、y 的最小自然数解是x=4 9,y=1 8,此时z=3 8.以 x=4 9,y=1 8,z=3 8 代入矩形长、宽的表达式llx+3 y及 8 x+8 y-3 z,得长、宽分别为5 9 3 和 4 2 2.此时得最小面积值是593X42 2=2 502 46.中考总复习：特殊的四边形一巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1 .如图,E是边长为1 的正方形A B C D 的对角线B D 上一点，且 B E=B C,P为 C E 上任意一点，P Q _ L B C 于点 Q.P R 1 B E 于点R,则 P Q+P R 的值是（C,更Q c2 .如图,在梯形4%/中，AB/CD,中位线版V =7,对角线ACLBD,NBDC=3 0 ,则梯形的高为（）.A.7 招 B.工 J C.-y/3 D.遮3 .四边形A B C D 的对角线A C=B D,且 A C B D,分别过A、B,C、D 作对角线的平行线，得到四边形E F G H,则 它 是（）.A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.任意四边形4如图，矩形A B C D 中，其长为a,宽为b,如果用=5=?（$+&）,则4 的 值 为（）.2A.-ab8B.-ah2C.-a b33D.-ab5.如图，在菱形A B C D 中，/员4 1）=8 0，的垂直平分线F E 交对角线A C 于点F,E为垂足，连接DF.则/CD月 等 于（）.A.8 0 B.7 0 c.6 5 D.6 0 6.（2 0 1 4 海南模拟）如图，在正方形A B C D 中，点 P 是 A B 上一动点（不与A、B 重合），对角线A C、B D相交于点0,过点P分别作A C、B D 的垂线，分别交A C、B D 于点E、F,交 A D、B C 于点M、N.下列结论:4 A P E 名A M E；P M+P N=A C；P f+P F P O?；A P O F A B N F；其中正确的结论有（）A.4 个B.3 个C.2个D.1 个二、填空题7 .如图，点 E、F、G、H 分别为正方形A B C D 的边A B、B C、C D、D A 上的点，且 A E=B F=C G=D H=2 A B,则3图中阴影部分的面积与正方形A B C D 的面积之比为.8 .如 图，在等腰梯形A B C D 中，A D B C,A C 与 B D 相交于点0.下面结论正确的是A C=B D；Z D A O=Z D B C；S 蜕 梯 形 A B C D；A O B A D O C.29 .（2 0 1 5 春伊春校级期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为8 cm,底面周长为1 2 cm,在杯内离杯底2 cm的点 C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是.1 0.（2 0 1 2 湖州）如图，将正A A B C 分割成m 个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1 的小三角形，若 竺I=上47，则a A B C 的边长是n 2 51 1.（2 0 1 2 咸宁）如图，在梯形A B C D 中，A D/7 B C,Z C=9 0 ,B E 平分/A B C 且交C D 于 E,E为 C D 的中点，E F B C 交 A B 于 F,E G A B 交 B C 于 G,当 A D=2,B C=1 2 时，四边形B G E F 的周长为一.1 2.如图，以菱形A B C D 各边的中点为顶点作四边形ABCD,再 以 ABCD各边的中点为顶点作四边形A B C 2 D 2,，如此下去，得到四边形A zouB zs G ouD z。”，若 A B C D 对角线长分别为a 和 b,请用含a、b 的代数式表示四边形A 2 0 n B 2 0 1 1 C 2 0 1 1 D 2 0 U 的周长.三、解答题1 3.（2 0 1 5 邯郸校级月考）己知，如图，正方形A B C D的边长为6,菱形E F G H 的三个顶点E,G,H分别在正方形A B C D边 A B,C D,DA,A H=2,连接C F.当 DG=2 时,求 A F C G 的面积;（2）设 D G=X,用含X 的代数式表示A F C G 的面积；（3）判断A F C G 的面积能否等于1,并说明理由.14.在图1 到图3中，点 0是正方形A B C D对角线A C 的中点，MP N 为直角三角形，Z MP N=9 0 .正方形A B C D保持不动，MP N 沿射线A C 向右平移，平移过程中P点始终在射线A C 上，且保持P M垂直于直线A B 于点E,P N 垂直于直线B C 于点F.(1)如图1,当点P与点。重合时，0 E 与 O F 的数量关系为 _；(2)如图2,当 P在线段0 C 上时，猜想0 E 与 O F 有怎样的数量关系与位置关系？并对你的猜想结果给予证明；(3)如图3,当点P 在 A C 的延长线上时，0 E 与 O F 的 数 量 关 系 为；位置关系为.15 .如 图 1,P是线段A B 上的一点，在 A B 的同侧作a A P C 和a B P D,使 P C=P A,P D=P B,Z A P C=Z B P D,连接C D,点 E、F、G、H分别是A C、A B、B D、C D 的中点，顺次连接E、F、G、H.(1)猜想四边形E F G H 的形状，直接回答，不必说明理由；(2)当点P在线段A B 的上方时，如图2,在A A P B 的外部作A A P C 和a B P D,其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)如 果(2)中，Z A P C=Z B P D=9 0 ,其他条件不变，先补全图3,再判断四边形E F G H 的形状，并说明理由.7图 316.如图，在平面直角坐标系中，点 A (10,0),Z 0 B A=9 0 ,B C O A,0 B=8,点 E从点B出发，以每秒 1 个单位长度沿B C 向点C运动，点 F从点0出发，以每秒2个单位长度沿0 B 向点B 运 动.现 点 E、F同时出发，当点F到达点B时，E、F 两点同时停止运动.(1)求梯形0 A B C 的高B G 的长；(2)连接E、F并延长交0 A 于点D,当 E点运动到几秒时，四边形A B E D是等腰梯形；(3)动 点 E、F是否会同时在某个反比例函数的图象上？如果会，请直接写出这时动点E、F运动的时间t的值；如果不会，请说明理由.【答案与解析】一.选择题1.【答案】A.2 .【答案】B.3 .【答案】A.4.【答案】A.5.【解析】【答案】由题意用 心=，B E y D F t,S C ,F C ,国竺D.6 .【答案】B.【解析】在正方形ABCD中，Z PAE=Z MAE=45,NPAE=NMAE在A APE 和A AME 中，AE=AE，ZAEP=ZAEM=90A APE之 A AME(A S A),故 正确；AP=AM,APM是等腰直角三角形，PM=MAP,同理可得PN=PB,PM+PN=MAB,又A C=V A B,.P M+P N=A C,故正确；P MA C,P N B D,A C B D,四边形P E O F是矩形，P F=O E,在 R S P O E 中，P E2+O E2=P O2,P E2+P F2=P O2,故 正确；矩形P E O F不一定是正方形，P O F是不一定等腰直角三角形，Z O B C=45,B F _ L F N,A B N F是等腰直角三角形，二 P O F与 B N F相似不一定成立，故 错误；综上所述，正确的结论 有 共3个.故 选B.二.填空题27.【答案】5【解析】把4A P D旋转到DC M,把A A B F旋转到a B C N,则多边形P F B N MD的面积被分成10份，阴影部分占4份.8.【答案】.9.【答案】1 0 c m.【解析】如图：将杯子侧面展开，作A关于E F的对称点A，连接A，C,则AC即为最短距离，由题意可得出：A,D=6 c m,CD=8 c m,1 0 .【答案】1 2.【解析】设正A B C的边长为x,则高为x,SAABC=-X-x=x2,2 2 2 4 所分成的都是正三角形，结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为立x-6,2较短的对角线为否x3 乎f-i2；黑色菱形的面积=工(x-V3)(ix-1)=(x-2)2,2 2 2 8旦2 一 逅(1)2-；=-=,整理得，11X2-144X+144=0,0 1)28解得x产 一（不符合题意，舍去），X2=12,所以，AABC的边长是12.1111.【答案】2 8.【解析】先根据EFBC交AB于F,EGAB交BC于G得出四边形BGEF是平行四边形，再由BE平分NABC且交CD于E可得出NFBE=NEBC,由EFBC可知，ZEBC-ZFEB,故NFBE=FEB,由此可判断出四边形BGEF是菱形，再根据E为CD的中点，AD=2,BC=12求出EF的长，进而可得出结论.c .小上、a+b12【答案】而【解析】结合图形，脚码为奇数时，四边形 J k C o J k T是矩形，长为 宽为 ；脚码为偶数时，四边形AzBQ也“是菱形，边长为玄，:*四边形A 2 010B 2 010C 2 010D 2 010是麦形，边长为21006周长为21004ci b*e四边形A 2 011B 2 011C 2 011D 2 011是矩形，长为一而T 9宽为 而T，r 1（X）5 I,四边形A 2 011B 2 011C 2 011D 2 011的周长为：2 （彳 示+而T）=10n4-故答案为:三.综合题13【解析】*心=4.作FMLDC,M为垂足，连结GE,?ABC D,ZAEG=ZMGE,HEGF,J NHEG二NFGE.:.ZAEH=ZMGF.在aAHE 和M FG 中，NA=NM=90,HE=FG,/.AAHEAMFG.FM=HA=2,即无论菱形EFGH如何变化，点 F 的直线CD的距离始终为定值2.因此=TX2X(6-x)=6-x 若 小 T O =1,由 风 皿=6-x,得X=5,此时在DGH中，H G=向,相应地，在中，乂=收 6，即点E 已经不在边AB上.故不可能有号加0=1.14.【解析】(1)OE=OF(相等);(2)OE=OF,OEJLOF；证明：连接B0,;在正方形ABCD中，0 为 AC中点，B0=CO,BOAC,ZBCA=ZAB0=45,VPFBC,ZBC0=45,A ZFPC=45,PF=FC.正方形 ABCD,ZABC=90,VPF1BC,PEAB,NPEB=NPFB=90.四边形PEBF是矩形，BE=PF.ABE=FC.AAOBEAOCF,/.OE=OF,ZB0E=ZC0F,V ZC0F+ZB0F=90,A ZB0E+ZB0F=90,：.ZE0F=90,AOE1OF.(3)OE=OF(相等)，OEOF(垂直).15.【解析】(1)四边形EFGH是菱形.(2)成立.理由：连接AD,BC.VZAPC=ZBPD,NAPC+NCPD=NBPD+NCPD.即 NAPD=NCPB.又PA=PC,PD=PB,AAAPDACPB(SAS)AAD=CB.E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点,；.E F、FG、G H、E H 分别是A B C、A B D、A B CD A A CD 的中位线.*.E F=-B C,FG=-A D,G H-B C,E H=-A D.2 2 2 2E F=FG=G H=E H.四边形 E FG H 是菱形.(3)补全图形.判断四边形E FG H是正方形.理由：连接A D,B C.V (2)中已证4 A P D 丝Zk CP B.,ZP A D=ZP CB.V ZA P C=9 0 ,.*.ZP A D+Z1=9 O .又/1=N 2.A ZP CB+Z2=9 0 .A Z 3=9 0 .V (2)中已证G H,E H分别是A B CD,A A C D 的中位线，G HB C,E H/7 A D.，N E HG=9 0 .又；(2)中已证四边形E FG H是菱形，菱形E FG H是正方形.1 6.【解析】(1)根据题意，A B=yjAO2-O B2=V1O2-82=6,ABOB 6x8.2SO B=AB OB=AO BG,；.B G=-=4.8；AO 10(2)设当E点运动到x 秒时，四边形A B E D 是等腰梯形，则 B E=x,0 F=2 x,V B C/7 0 A,BE BF nrl x 8-2 x 的 x2-=-,即-，解得 0 D-OD OF OD 2x 4-x过 E 作 E H_ L 0 A 于 H,四边形A B E D 是等腰梯形,二 D H=A G=VAS2-B G2=762-4.82=3.6,HG=B E=x,x2 2 8D H-1 0-x-3.6-3.6,解得 x=；4-x 17(3)会同时在某个反比例函数的图象上.根据题意，0 G=A 0-A G=1 0-3.6=6.4,.点 E (6.4-t,4.8),：0 F=2 t,8 8 6 6*2 t c o s A O B 2 t X t,2 t s i n A O B 2 t X t,10 5 10 5.点F的坐标为(t,-t)5 5假设能在同一反比例函数图象上，则 t x 9 t=(6.4-t)X 4.8,5 5整理得：2 t +5 5 3 2=0,=2 5-4 X 2 X (-3 2)=2 8 1 0,.方程有解，即E、F会同时在某一反比例函数图象上，此时,-5+V2 814因此E、F会同时在某个反比例函数的图象上，t=-5+72 814中考总复习：特殊的四边形-知识讲解（基础）责编：常春芳【考 纲 要 求】1.会识别矩形、菱 形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱 形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱 形、正方形的性质和判定解决问题.3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题.【知 识 网 络】【考 点 梳 理】考 点 一、几半卜特殊四边形性质、判定性质判 定四边形边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对 角 线 相 等 的 平 行 四 边 形 是 矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对 角 相 等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.中心、轴对称图形正方形四条边相等四个角是直角相 等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1 .解决梯形问题常用的方法：(1)“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三 角 形(图1);(2)“作高”：使两腰在两个直角三角 形 中(图2)；(3)“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角 形 中(图3)；(4)“延腰”：构造具有公共角的两个三 角 形(图4)；(5)“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形(图 5).【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为己经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决.在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助.2 .特殊的梯形1)等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.性质：(1)等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等.(2)同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形.(3)等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线.2)直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形.2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等.【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定.【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用【高清课堂：多边形与特殊平行四边形例2】C 1.在平行四边形A B C D中，A C、B D交于点0,过点0作直线E F、G H,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H 四点，连结 E G、G F、F H、H E.(1)如图，试判断四边形E G F H的形状，并说明理由；(2)如图，当E F L G H时，四边形E G F H的形状是；(3)如图，在(2)的条件下，若A C=B D,四边形E G F H的形状是；(4)如图，在(3)的条件下，若A C L B D,试判断四边形E G F H的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定.【答案与解析】(1)四边形E G F H 是平行四边形；证明：.平行四边形A B C D 的对角线A C、B D 交于点0,二点 0是平行四边形A B C D 的对称中心；.-.E 0=F 0,G 0=H 0；四边形E G F H 是平行四边形；(2)菱形；(提示：菱形的对角线垂直平分)(3)菱形；(提示：当A C=B D 时，对四边形E G F H 的形状不会产生影响，故结论同(2)(4)四边形E G F H 是正方形；证 明:V A C=B D,二平行四边形A B C D 是矩形；X V A C 1 B D,二平行四边形A B C D 是正方形，A Z B 0 C=9 0 ,Z G B 0=Z F C 0=4 5 ,0 B=0 C；V E F G H,/.Z G 0 F=9 0 ；/.Z B 0 G=Z C 0 F;.,.B O G 四C O F (A S A)；.,.O G=O F,/.G H=E F；由(3)知四边形E G F H 是菱形,又 E F=G H,四边形E G F H 是正方形.【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键.C z.动手操作：在一张长12cm、宽 5 cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形E F G H (见方案一)，小明同学沿矩形的对角线AC折出N C A E=/C A D,ZA C F=ZA C B的方法得到菱形A E C F (见方案二).(1)你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？【思路点拨】(1)、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可.(2)、按照图形用面积公式计算S=30 和 S=35.21,可知方案二小明同学所折的菱形面积较大.【答案与解析】(1)小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，小明的理由：；A BC D 是矩形，A D BC,则 N D A C=N A C B,又./C A E=N C A D,ZA C F=ZA C B,，ZC A E=ZC A D=ZA C F=ZA C B,，A E=E C=C F=F A,.四边形A E C E 是菱形.(2)方案一：1 5S 英 影=S 短 形 4 SA H*=12X 5 4 义一X 6 X=30 (c m)，2 2方案二：设 BE=x,则 C E=12-x,/.A E=yjBE2+A B2=&+2 5由 A E C F 是菱形，贝 i j A E 2=C E 2；.X2+25=(12-X).J 1 9X-f241 119S ffe-25 12X 5-2X-X 5 X-35.21(cm)2,2 24比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大.【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较.举一反三：【高清课堂：多边形与特殊平行四边形例6】【变式】如图，点 0是矩形A BC D 的中心，E是 A B上的点，沿 C E 折叠后，点 B 恰好与点0重合，若 BC=3,则折痕C E 的 长 为().A.2瓦.3月c.4 D.5类型二、梯形的应用C3.(20 14 黄州区校级模拟)如图，a A B C 中，ZBA C=9 0 ,延长BA 至 D,使 A D=A B,点 E、F分2别是边BC、A C 的中点.(1)判断四边形D BE F 的形状并证明；(2)过点A作 A G BC 交 D F 于 G,求证：A G=D G.D.【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形,得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出N B=N D,利用AGBG,Z B=Z D A G,得出答案.【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FHB C,交AB于点H,.FHB C,点F是A C的中点，点E是BC的中点，；.A H=BH=1AB,EFZ/AB,2显然 EFAB/3-1 C.2.5 D.2.3【答案】D.类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用(20 15 北京)在口A BC D 中，过点D作 D E _L A B于点E,点 F在边C D 上，D F=BE,连接A F,BF.(1)求证：四边形BF D E 是矩形；(2)若 C F=3,BF=4,D F=5,求证：A F 平分N D A B.【思路点拨】(1)根据平行四边形的性质，可得A B与 C D 的关系，根据平行四边形的判定，可得BF D E是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；(2)根据平行线的性质，可得N DF A=/F A B,根据等腰三角形的判定与性质，可得N DA F=N DF A,根据角平分线的判定，可得答案.【答案与解析】(1)证明：四边形A B C D是平行四边形，A B C D.V B E/7DF,B E=DF,四边形B F DE是平行四边形.V DE1 A B,A Z DEB=90 ,二四边形B F DE是矩形；(2)解：四边形A B C D是平行四边形，A B DC,，Z DF A=Z F A B.在 R t B C F 中，由勾股定理，得BC=VFC2+FB2=V32+42=5，；.A D=B C=DF=5,Z DA F=Z DF A,:.N DA F=N F A B,即 A F 平分N DA B.【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出/DA F=/DF A 是解题关键.C s.已知：如图，在菱形A B C D中，F为边B C 的中点，DF 与对角线A C 交于点M,过 M作 M EL C D于点 E,Z 1=Z 2.(1)若 C E=L 求 B C 的长；【思路点拨】(1)根据菱形的对边平行可得A B C D,再根据两直线平行，内错角相等可得N 1=N A C D,所以/A C D=/2,根据等角对等边的性质可得C M=DM,再根据等腰三角形三线合一的性质可得C E=DE,然后求出C D 的长度，即为菱形的边长B C 的长度；(2)先利用“边角边”证明A C E M 和 C F M 全等，根据全等三角形对应边相等可得M E=M F,延 长 A B 交DF 于点G,然后证明N l=/G,根据等角对等边的性质可得A M=G M,再利用“角角边”证明a C D F 和B G F全等，根据全等三角形对应边相等可得G F=DF,最后结合图形G M=G F+M F 即可得证.【答案与解析】(1)解：；四边形A B C D是菱形，A B C D,.N 1=N A C D,V Z 1=Z 2,，N A C D=N 2,，M C=M D,V M EC D,，C D=2C E,V C E=1,，C D=2,，B C=C D=2；(2)证明：如图，为边B C 的中点，.B F=C FB C,2/.C F=C E,在菱形A B C D中，A C 平分/B C D,:.N A