2023年中考数学压轴题24以三角形为载体的几何综合问题（学生版）.pdf

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）_ 专题24以三角形为载体的几何综合问题典例剖析.x._z【例 1】（2022山东枣庄中考真题）已知AABC中，ZACB=90,A C=8C=4cm,点 P 从点 A 出发，沿 AB方向以每秒或cm 的速度向终点B 运动，同时动点。从点B 出发沿8 c 方向以每秒1cm的速度向终点C 运动，设运动的时间为1秒.（1）如图，若尸。_LBC,求 f 的值；（2）如图，将APQC沿 BC翻折至P Q C,当，为何值时，四边形QPCP为菱形？【例 2】（2022山东荷泽 中考真题）如 图 1,在AABC中,乙4BC=45。,4 _ L BC于点,在D 4上取点E,使DE=C C,连接BE、CE.图 1图 2 图 3（1）直接写出CE与 的 位 置 关 系；（2）如图2,将口 BEO绕点。旋转，得到 BED（点B,E分别与点B,E对应），连接CE、AB,在ABED旋转的过程中CE与 的 位 置 关 系 与（1）中的CE与 AB的位置关系是否一致?请说明理由；（3）如图3,当小BED绕点。顺时针旋转30。时，射线CE与AD,4 夕分别交于点G、F,若CG=FG.DC=V 3,求4 8,的长.【例 3】（2022山东济南 中考真题）如 图 1,ABC是等边三角形，点。在AABC的内部,连接A。，将线段AZ）绕点A 按逆时针方向旋转60。，得到线段A E,连接DE,CE.图1 图2 图3(1)判断线段8。与 C E 的数量关系并给出证明；(2)延长E D交直线BC于点F.如图2,当点F 与点B重合时，直接用等式表示线段AE,8 E 和C E的 数 量 关 系 为；如图3,当点尸为线段BC中点，且 E D=E C 时，猜想NBA D 的度数，并说明理由.【例 4】(2 0 2 2 内蒙古鄂尔多斯中考真题)在 A B C 中，AB=AC,/8 A C=9 0。，A O是 AB C的角平分线.图1图2 如 图 1,点 E、F分别是线段8 D、A O上的点，且。E=O凡 A E 与 C 尸的延长线交于点则 A E 与 C F 的数量关系是，位置关系是；(2)如图2,点E、F分别在OB和 D 4的延长线上，且DE=DF,E A的延长线交C F 于点M.(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；连接OM,求的度数；若。M=6或,E D=12,求 E M的长.【例 5】(2 0 2 2 辽宁大连中考真题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如 图 1,在A A B C 中，。是4 B 上一点，AADC=乙4 c B.求证乙4 c o =/.ABC.独立思考：(1)请解答王老师提出的问题.实践探究：(2)在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答.“如图 2,延长C A至点E,使C E=BD,B E 与C D 的延长线相交于点F,点G,，分别在B F,B C 上，BG=C D,4BGH=4 B C F.在图中找出与B H 相等的线段，并证明.”问题解决：(3)数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当Z B AC =9 O。时，若给出A B C 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题,请你解答.“如图3,在(2)的条件下，若N B 4 C =9 0。，AB=4,AC=2,求 的 长.”(1)【问题呈现】如 图 1,A B C 和 A O E 都是等边三角形，连接B Q,C E.求证：BD=CE.(2)【类比探究】如图2,A B C 和 A O E 都是等腰直角三角形，ZABC-ZAD=9 0.连接 BD,C E.请直接写出美的值.CE(3)【拓展提升】如图3,AABC和 A O E 都是直角三角形，ZABC=Z A D E=9 0 ,且黄=雀=-.连接 B O,CE.4求受的值；CE延长C E 交 B。于点尸，交 4 8 于点G.求 s i n N B FC 的值.满分训练.一、解 答 题【共 2 0 题】1.(2 0 2 2.安徽.合肥市五十中学新校二模)A B C 和 A O E都是等腰直角三角形，4ABC=乙4 ED=9 0。，F 是B D 的中点，连接C F、E F.（1）如图，当点。、E 分别是线段A C、4 B 上的点时，求N EFC 的度数；（2）如图，当点E 是线段4 C 上的点时，求证：EF-C F；（3）如图，当点4、E、F共线且E是4 F 的中点时，探究S.CF和工披5 之间的数量关系.2.（2 0 2 2 上海 华东师范大学松江实验中学三模）如图所示，B EF的顶点E 在矩形4 B C D对角线A C 的延长线上，B C =1,AB=6,4 E 与尸B 交于点G,连接A F,满足 A B FsZ i C T B,求 证:/.FAD=3 0 .（2）若C E=p 求t a n/FEA 的值.3.（2 0 2 2 福建 厦门市翔安区教师进修学校（厦门市翔安区教育研究中心）模拟预测）（1）问题发现：如 图1,A A B C 与A C DE均为等腰直角三角形，乙4 c B =乙 DCE=9 0,则线段4 E、B D 的 数 量 关 系 为,AE,8 D 所 在 直 线 的 位 置 关 系 为:（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A,E,。在同一直线上，C M 为A D C E 中D E 边上的高，请判断N/1DB 的度数及线段C M,AD,B D 之间的数量关系，并说明理由.4.（2 0 2 0 重庆市育才中学二模）（l）如图,在四边形4 B C。中,A B=A。，N 8=/A。C=9 0。.E、产分别是8 C、CD 上的点，且 EF=BE+FD,探究图中/B A E、N F A D、N E 4 F 之间的数量关系.小 王同学探究此问题的方法：延长F Q到点G,D G=B E.连接AG.先证明 A B E A A D G,再证AAEF丝ZiAGR 可得出结论，他的结论应是.【灵活运用】(2)如图，若在四边形ABCQ中，AB=AD,ZB+Z=180,F、尸分别是BC、CD 1.的 点.且 E F=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由.【延伸拓展】(3)如图，在四边形A2CQ中，ZABC+ZADC=ISO,A B=A D.若点E 在 CB的延长线上，点尸在CD的延长线上，仍然满足EF=BE+FD,请写出NE4尸与ND4B的数量关系，并给出证明过程.5.(2022北京市三帆中学模拟预测)已知四边形ABCD,乙4=120,ZC=60,AB=AD,C D片BC,4E是/BAD的角平分线，交射线8C于E,线段DC的延长线上取一点产使BE=DF,直线EF,AB交于点G.(1)补全图形；(2)猜想AAEG的形状，并证明你的猜想；(3)求4 8 与FG的数量关系.6.(2022北京市第十九中学三模)如图，在AaBC中，Z.ACB=90,AC B C,。是AB的中点，尸是BC延长线上一点，平移4B到F H,线段FH的中垂线与线段C4的延长线交于点E,连接77、DE.E连接C D,求证：Z.BDC=2Z.DAC-,(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE,DF,之间的数量关系，并证明.7.(2 0 2 2安徽合肥一六八中学模拟预测)知识呈现F.I图1图2图3(1)如图1,在四边形4 B C D中，4 1B C与乙4 DC互余，我们发现四边形4 B C C中这对互余的角可进行拼合：先作再过点A作4 E 1 4 D交D F于点E,连接E C后，易于发现C D,DE,C E之 间 的 数 量 关 系 是；方法运用(2)如图2,在四边形4 B C D中，连接AC,Z B AC=9 O。，点0是立口两边垂直平分线的交点，连接0 4,OAC=/.ABC.求证：Z.ABC+/.ADC=9 0 ；连接8 D,如图3,已知力0=m,DC=n,整=2,求8。的长(用含m,n的式子表示).8.(2 0 2 2浙江宁波一模)若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形.(1)已知AABC是和谐三角形，4 B=3,B C=4,请直接写出所有满足条件的4 c的长；(2)在A4 B C中4 8=4,B C=8,。为B C边上一点，B D=2,连接4 0,若4 80为和谐三角形,求AC的长；(3)如图，在等腰4BC中4 B=4 C,。为4C的中点，且乙DBC=N4 E为4B上一点，满足AE:EB=3:2,连接D E.求证：AED为和谐三角形.9.(2022 广东华南师大附中三模)在我们的数学课本上有这样一道练习题：己知，如图 1 所示，AABC 中 NBAC=90。，AB=AC,直线 M V 经过点 A,BDMN,C E L MN,垂足分别为点。，E试判断BD+CE与。E的关系，并给出证明.A图1图2(1)还记得是怎么做的吗？请你再做一遍.(2)拓展探究：请从上面的练习题中获取灵感来解决下面的问题：已知，如图2,ZkABC、ZkOEC均为等腰直角三角形，其中/ACB=NZ)CE=90。，连接BE、A D,过C点作CP_LBE于P,延长尸C交4。于Q,试判断。点在4。上的位置，并说明理由.10.(2021吉林,长春市赫行实验学校二模)阅读理解 在学习中，我们学习了一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如 图1,在RtAABC中，/.ACB=9 0,若点。是斜边4 B的中点，则C D=4B.灵活应用 如图2,A4BC中，/.BAC=90,4B=6,4C=8,点D是BC的中点，将A4BD沿4 0翻折得到A 4 E D,连接BE,CE.图1图2(1)根据题意，则D E的长为.(2)判断ABCE的形状，并说明理由.(3)请直接写出CE的长.11.(2022广东 东莞市光明中学三模)ABC中，BAC=60,4B=A C,点。为直线BC上一动点(点。不与B,C重合)，以4。为边在4 0右侧作菱形4 O E F,使ND4尸=60。，连接CF.(1)观察猜想：如图1,当点。在线段B C 上时，4 B 与C F 的位置关系为：.B C,CD,C F 之间的数量关系为：；(2)数学思考：如图2,当点。在线段C B 的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸：如图3,当点。在线段B C 的延长线上时，设4。与C F 相交于点G,若已知4 B =4,CD=A B,求4 G 的长.1 2.(2 0 2 2 辽宁鞍山二模)如图所示，在 AB C 中，点。是 BC中点，点 E是 4c延长线上一点，连接B E、AD.(1)如 图 1,若4 8 C 是等边三角形，点 C是 A E中点，若AD =2 W，求 8 E 的长.(2)如图2,过点。作。尸|48,交 4。的延长线于点F,若乙凡4 C =NB E C,BE=2AD.4 B A C=6 0,求证：AB=E C；如图3,若CE=&A B,求/CA B.1 3.(2 0 2 1 福建福州一模)如图，直角梯形月B C D 中，40由C,4 0 4 8 =9 0。，AD=4,AB=8,B C=1 0.点 E为线段0c的中点，动点尸从点A出发，以每秒1 个单位的速度沿折线ATBTC向点C 运动，设点P的运动时间为t.(1)点户在运动过程中，BP=；(用含r 的代数式表示)(2)点 P在运动过程中，如果以。、P、E为顶点的三角形为等腰三角形，求 f 的值；当点尸运动到线段B C 上时，过点P作直线“I CC,与线段A 8交于点Q,使四边形为直角梯形，求此时直角梯形力Q P E 与直角梯形A 8 C。面积之比.1 4.(2 0 2 1 浙江宁波二模)如图，己知心 A B C 中，N A 8 C=9 0。，B C=4,8 4 =8,点。、E分别为B C、B A 的中点，作直线A E、C D,设它们的交点为点P.(1)猜想：在旋转的过程中，线段月E、C。有怎样的数量和位置关系？答：、.利用图2,证明你在(1)中的猜想.(3)当点。恰好落在直线A E 上时，求线段PC 的长.(4)在旋转过程中，直接写出 P B C 面积的最大值.1 5.(2 0 2 1 四川乐山三模)在 AA8C 中，CACB,Z A C B=a.点尸是平面内不与点A,C重合的任意一点，将线段4 P 绕点P逆时针旋转a 得到线段DP,连接A D,BD,CP.(1)观察猜想如图1,当a=6 0。时，合 的 值 是，直线8 0与直线C P 相 交 所 成 的 较 小 角 的 度 数 是.(2)类比探究如图2,当 a=9 0。时，请写出票，并就图2的情形说明理由.(3)解决问题当 a=9 0。时，若点E,尸分别是CA,C 8的中点，点尸在直线E 尸上，请直接写出点C,P,。在同一直线上时部的值.1 6.(2 0 2 1 四川眉山三模)如 图，已知边长为1 0 的正方形A B C。，E是 边 上 一 动 点(与B、C 不重合)，连接A E,将 A E 绕着E点沿顺时针方向旋转9 0。后与NOC G的角平分线相(1)求证：ABESAEGF；(2)若 EC=2,求证 A B E 四/X E G F；(3)当 E C 为何值时，CE P 的面积最大，并求出其最大值.1 7.(2 0 1 8 广东陆丰市湖东中学一模)如图，A A B C 是等边三角形，。是射线B C上的一个动点(点。不与8,C重合)，A D F 是以4。为边的等边三角形，过点F 作B C 的平行线交射线A C于点E,连接B F.(D 如 图 1,点D 在线段B C 上时，求证：4 F B 三 4 D C；(2)请判断图1 中四边形B CE F 的形状，并说明理由；(3)若。点在B C边的延长线上，如图2,其它条件不变，请 问(2)中结论还成立吗？如果成立，请说明理由.1 8.(2 0 2 2 山东东营中考真题)A B C和A A D F 均为等边三角形，点 E、。分别从点A,B同时出发，以相同的速度沿Z B、B C运动，运动到点2、C 停止.备用图 如 图 1,当点ES分别与点A、8 重合时，请判断:线段C D、E F 的数量关系是,位置关系是:(2)如图2,当点E、。不与点A,8重合时，(1)中的结论是否依然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；(3)当点。运动到什么位置时，四边形CEFD的面积是 ABC面积的一半，请直接写出答案;此时，四边形BDEF是哪种特殊四边形？请在备用图中画出图形并给予证明.19.(2022 辽宁鞍山中考真题)如图，在 ABC中，AB=AC,ABAC=120。，点。在直线AC上，连接B D,将DE绕点。逆时针旋转120。，得到线段O E,连接BE,CE.(2)当点D在线段AC上(点。不与点4 C重 合)时，求失 的值；AD过点4作4 VIIDE交ED于点N,若4)=2 C D,请直接写出券的值.CE20.(2022.辽宁朝阳中考真题)【思维探究】如 图1,在四边形ABC。中，ZBAD=60,/B C D=120,A B=A D,连接 A C.求证：BC+CD=AC.(1)小明的思路是：延长C O到点E,使。E=3 C,连接A E.根据/8 4。+/3 8=1 8 0。，推得/B+N 4O C=180。，从而得到/B=N A O E,然后证明 A O EgA A B C,从而可证BC+CD=A C,请你帮助小明写出完整的证明过程.(2)【思维延伸】如图2,四边形ABC7)中，/B A D=N B C D=9 0。,A B A D,连接A C,猜想BC,CD,A C之间的数量关系，并说明理由.(3)【思维拓展】在四边形ABC。中，ZBAD=ZBCD=90,A B=A D=V 6,A C与84相交于点O.若四边形ABC中有一个内角是75。，请 直 接 写 出 线 段 的 长.