2023年上海市四校（高三下学期3月联考数学试卷含详解.pdf

2022-2023年高三下3 月四校联考1复兴高级中学、奉贤中学、松江二中、金山中学一、填空题1.设复数z 满足z（l +Z）=2”（i 为虚数单位），则 z 的模为2.在等差数列%中，2%弓2=6,则数列 4 的 前 项和S,3.己知向量力和满足=（1 2）力=（-2,0）,则a在b方向上的数量投影为一4.某单位为了解该单位党员开展学习党史知识活动情况，随机抽取了部分党员，对他们一周的党史学习时间进行了统计，统计数据如下表所示:党史学习时间（小时）7 891 01 1党员人数61 0 9 87则该单位党员一周学习党史时间的第4 0 百分位数是.5.二项式I N x）的展开式中，含 炉 的项的系数为6.已知圆锥的底面半径为2,底面圆心到某条母线的距离为1,则该圆锥的侧面积为一.7.在AABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、匕、c,且 =5,=7,8=6 ,则ABC的面积为一.8.若皿是函数 上孑+（向）、2一（/+%一3）X的极大值点，则=9.非空集合A中所有元素乘积记为7（4）.已 知 集 合=1 4$，8,从集合M 所有非空子集中任选一个子集A,则（）为偶数的概率是一（结果用最简分数表示）.10已知函数/(x)=s i n f 2 x+1 o x 7 i)=，且 f(x)=1 1 .已知函数x+2,x a 若对任意实数0,总存在实数%,使得/（%）=,则实数。的取值范围是 一1 2 .己知尸为抛物线）2=4%的焦点，A、B、C 为抛物线上 三 点（允许重合），满足E4+EB+FC =,且I I I I I l,则I 的取值范围是二、选择题（本大题共有4小题，满分20分,每题5分）,则1 3.设 4 7?,/1 是 /,的()条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要1 4.已知盒中装有形状完全相同4个黑球与2个白球，现从中有放回的摸取4次，每次都是从盒子中随机摸出1个球，设摸得白球个数为X,则（乂）为（）4 5 4A.B.-C.2 D.一3 3 915.九章算术中所述“羡除”，是指如图所示五面体A 6 C O E F,其中AB/DC/1EF,“羡除 形 似 楔 体“广”是指 羡除”三条平行侧棱之长。、/?、C,“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离”？、袤 是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离（如图）.羡除的体积公式为V =（0 *+），过线段A。，BC的中点G,6H及直线E E作该羡除的一个截面a ,己知。刚好将羡除分成体积比为5：4的两部分.若A 3 =4、D C =2,则砂的 长 为（）等腰三角形的个数为（）D.6且其中恰有两个顶点为的顶点.这样的A.8 B.12 C.16 D.20三、解答题（本大题共5题，满分76分）17.如图，4 8是圆柱底面圆的一条直径，4?=2,以是圆柱的母线，PA=3点C是圆柱底面圆周上的点,Z A B C =30.C（1）求证：平面B 4C；（2）若点E在以上且求B E与平面附。所成角的大小.318.已知力（力=国+忖-4,其中a e R.（1）判断函数丁=力（%）的奇偶性，并说明理由；（2）当a =4时，对任意非零实数c,不等式力（f）K 2 c +1均成立，求实数，的取值范围.C19 .某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面A C B和两段长度相等的直线型桥面4。、B E,拱桥4c B所在圆的半径为3米，圆心。在。E上，且4力和B E所在直线与圆。分别在连结点A和B处相切.根据空间限制及桥面坡度的限制，桥面跨度D E的长要不大于18米，不小于12米.已知直线型桥面的修建费用是每米0.6万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设Z A D O =0.(1)若桥面(线段A。，2E和弧A C 8)的修建总费用为W万元，求W关于。的函数表达式，并写出。的取值范围；(2)当。为何值时，桥面修建总费用卬最低？(角。取值精确到0.1)2 220.如图，已知椭圆一：二+匕=1的两个焦点为耳，凡，且 耳，居的双曲线，的顶点，双曲线2的一条渐8 4近线方程为=一 ,设P为该双曲线2上异于顶点的任意一点，直线尸耳，P 8的斜率分别为占，Q 且直线PK和尸鸟与椭圆I的交点分别为A,8和C,D.(1)求双曲线口的标准方程；(2)证明：直线P ,P8的斜率之积匕欢2为定值；|AB|(3)求 曷 的 取 值 范 围.21.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”.如 数 列1,2第1次“和扩充”后得到数列1,3,2,第2次“和扩充”后得到数列1,4,3,5,2.设数列a,b,c经过第 次“和扩充”后所得数列的项数记为P,所有项的和记为Sn.(1)若a =l,6 =2,c=3,求 鸟，S2；(2)设满足月？2023的的最小值为“,求。及$图 (其中国是指不超过x的最大整数，如=-2.6=-3)；(3)是否存在实数m4 c,使得数列 S,为等比数列？若存在，求a,8,c满足的条件；若不存在，请说明理由.2022-2023年高三下3 月四校联考1复兴高级中学、奉贤中学、松江二中、金山中学一、填空题1.设复数z 满足z(l+)=2,(i 为虚数单位)，则 Z 的模为.【答案】y/2【分析】利用复数的除法化简复数z,利用复数的模长公式可求得|z|.详解Q z(l+i)=2 i,z =/J，/),、=I +i,因此，以=，4+F=垃.l+i(l+z)(l-z)1 1故答案为：5/2【点睛】本题考查复数模长的计算，同时也考查了复数除法的应用，考查计算能力，属于基础题.2.在等差数列 4 中，2佝 一2=6，则数列 的 前 11项和S”=.【答案】6 6【分析】先利用等差数列的性质求出右，再通过求和公式骨=(；许)=u空 计 算 即 可.【详解】由等差数列的性质可得2a 9=4+0 2，a6=2a 9 -2 =6，.c _ 1 1（4 +41）_ 1 1 x 2%_._ 2+OC2，即（2 4 0）2=AO?+4,则 AC=24。=迪3则该圆锥的侧面积为5=4。-2 9-0。=延兀乂2=鼠 况2 3 3故答案为：巫.37.在A A B C中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a =5力=7,3 =6 0 ,则A A B C的面积为一.【答案】1 0 7 3【分析】利用余弦定理，求出J然后根据三角形面积公式即得.【详解】ABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,。=5,b=7 ,8 =6 0。，,根据余弦定理可得8 2 -cr+C1-2 accosB-4 9 =2 5 +c?-1 0 c c o s 6 0.即 c 2 -5 c -2 4 =0，：c =8或 c =3 (舍去)，所以A B C 的面积为a c si n B =x 5 x 8 x =1 0 5/3 .2 2 2故答案为：.8 .若x =l是函数/(犬)=；%3+.+1卜2 -+3。-3)x的极大值点，则“=一.【答案】-3【分析】求导，然后通过_ f(l)=0求出。，验证。的值，保留使x =l是函数/(x)的极大值点的。即可.【详解】由已知得/(力=2+2(4 +1)%-(+3。-3),x =l 是函数/(x)=；x 3+(a +l)x 2 (/+3 a 3)x 的极大值点，/(l)=l +2(a +l)-(a2+3 -3)=0,解得。=2或。=一3,当 a =2时，/(X)=%2+6 x-7 ,令 用 勾 0,得x l,令/(x)0,得 7 x 0,得x 3,令广(x)0,得1%3,此 时 的 单 调 增 区 间 为(,1),(3,+力)，单调减区间为(1,3),.=1是函数/(x)的极大值点，符合；综上：a=-3.故答案为：一39 .非空集合A中所有元素乘积记为T(A).已 知 集 合 用=1,4,5,8 ,从集合用的所有非空子集中任选一个子集A,则T(A)为偶数的概率是一(结果用最简分数表示).4【答案】【分析】首先求出集合M的非空子集，若T(A)为奇数，则A中元素全部为奇数，求出集合 1,5的非空子集个数，即可得到T(A)为偶数的集合A的个数，最后根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】集合M=1,4,5,8)的非空子集有2 -1 =1 5个，若T(A)为奇数，则A中元素全部为奇数，又 1,5的非空子集个数，共有2 2 1 =3个，所以丁(A)为偶数的共有1 5 3 =1 2种，1 2 4故T(A)为偶数的概率P =-.4故答案为：1 0.己知函数/(x)=s in(2 x +.J(O x 4 7 i),且/(a)=/()=；(&工尸)，则0 +夕=_.小小.4兀 4【答案】一#-7 i3 3TT TT 3 7 r【分析】利用正弦函数的的对称性可得2 a+工+2/+/=2-9，由此求得a+4的值.6 6 2【详解】；函数/(x)=s in(2 x +m(0 x Jt),C 兀2 x H-G671 1 3 7 1 。)=/(尸)=；(二声万)，TT 7T 3 7 1则由正弦函数的对称性可得：2 a+-+2/3+-=2 一，6 6 24兀所以“+/7 =可，4兀故答案为：.x+2,x a是 一 1 3 【答案】一二,34【分析】首先分析各段函数单调性，依题意只需函数/(x)的值域为R ,分a*两种情况讨论，分别求出函数在各段的最大（小）值，即可得到不等式组，解得即可.【详解】因为函数y=x+2在定义域R上单调递增，函数 y=12_1_=卜 _；一;在 上 单 调 递 减，在+8）上单调递增,要使对任意实数，总存在实数%,使得了（%）=。，即函数/（X）的值域为R,当a 2 g时“X）在（a,+8）上单调递增，在（F,a）上也单调递增,Q+22Q-Q 1则只需4 1 ，解得a 22当a ；时/（x）在（。,+8）上的最小值为一:，则只需要.1%解 得 一?4 a g；-a I 213 13 一综上可得 即实数的取值范围是一二,3.4L 4 J13 故答案为：-二，3_ 4 _12.已知F为 抛 物 线=4x的焦点，A、B、。为抛物线上三点（允许重合），满 足 必+b 8+FC=0，且|FA|FB|0,所 以 鼻=3-（玉+）4 3,当且仅当 =%=。时等号成立，当 芯=0时4（0,0）、3（0,0）,此时。（3,2,显然必+网5+/。=0不成立，故等号不成立，因 为 网 网 附，所以+1尤2+1-1)2=0,2 ./1 2 _ 3y/l5 3A/L5X +(y-l)=10 cx =3-v =x =-联 立*2,解得 八或 4或 4+y2=y=o I Ii,r 4 r 4即圆与椭圆交于A、M.N ,连接M A、M B2,NA、N B2,则此时,M A刍j.N AQ 2为等腰三角形，满足题意;同理当4星、4与、4月为等腰三角形的腰时，也可以各作出2个满足题意的等腰三角形；同理可以证明圆与椭圆交于片、s、T,连接 S 4、SB、TBp TB2,则此时.苫用不馍丁用坊为等腰三角形，满足题意;同理可以作出2个等腰三角形；因为由于椭圆性质知A A为椭圆最长弦，所以它不能为等腰三角形的腰；综上所述满足题意的等腰三角形的个数有20个.故选：D.【点睛】多种情况的题目需要对情况进行详细讨论，做到不重不漏.三、解答题(本大题共5题，满分76分)17.如 图，A B是圆柱底面圆的一条直径，A B =2,以是圆柱的母线，PA=3,点C是圆柱底面圆周上的点,Z A B C =30.C(1)求证：BC_L平面必C；(2)若点E在 胆 上 且E 4=，PA,求BE与 平 面%C所成角的大小.3【答案】(1)证明见解析（2）a r c s i n或a r c c o s或a r c t a n-5 5 2【分析】（1）依据线面垂直判定定理证明8C，平面以C；（2）证明线面垂直，作出辅助线，找到3E与平面P 4 c所成角，求出各边长，求出所成角的大小.【小 问1详解】因为PAJ底面ABC，B C u平面ABC,所以因为AB为直径，所以4 C 1 B C,因 PA AC=A,PA,A C u平面PAC,所以B C 1平面B4C.【小问2详解】由（1）知，NBEC为BE与 平 面%C所成角.因 为 出=3,ZABC=30。，EA=-P A3所以 AE=1,AC=AB=1,BC=A B =C，2 2由勾股定理得：ECZEN+AC?=C,EB=1CE2+CB。=亚，所以 tan ZBEC=EC 6 2PEAB所以8E与平面F C所成角为arctan.2或sin NBEC,所以BE与平面B4C所成角为arcsin叵EB 5 5或cos NBEC=空=叵 所 以BE与平面朋C所成角为arccos巫.EB 5 5所以8E与平面/MC所成角为a r c s i n或arcco s4 或arctan5 5 218.已知力（尤）=。+,一。|,其 中aw R.（1）判断函数y=/,（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当。=4时，对任意非零实数c,不等式力（f）W2c+l均成立，求实数f的取值范围.【答案】（1）判断见解析.（2）r e 0,4【分析】先 求 丁 =力（力定义域，当。=0时，判断奇偶性，当时，利用奇偶性的定义判断/（一。）与/（。）的关系即可判断；（2）根据基本不等式有2 c +2 4,再利用三角不等式取等号条件即可得出结果.C【小 问1详解】函数y=4（）的定义域为R，当。=0时，。）=2国，任取x d R ,则力（-X）=2|-=2凶=力（幻，所以函数y=f（l（x）为偶函数；当a o0时，由力（。）=时，力（一。）=3时，得力（一幻中力3），且力（一公二一力（。），力a）=W+k-4为非奇非偶函数.【小问2详解】对于任意非零实数。，根据基本不等式有2c +，N 4,C所以力）W 4,即“+/一444,因为a =4,所以卜|+/一4|W 4,由三角不等式可得卜|+/一4隹4,当且仅当人“一4）4（）时取等号，实数f的取值范围为/e 0,4 .1 9.某公园为了美化环境和方便顾客，计划建造一座圆弧形拱桥，已知该桥的剖面如图所示，共包括一段圆弧形桥面A C B和两段长度相等的直线型桥面4 0、B E,拱桥A C B所在圆的半径为3米，圆心。在。E上，且A O和B E所在直线与圆。分别在连结点A和B处相切.根据空间限制及桥面坡度的限制，桥面跨度。E的长要不大于1 8米，不小于1 2米.已知直线型桥面的修建费用是每米0.6万元，弧形桥面的修建费用是每米2.5万元，设Z A D O =0.（1）若 桥 面（线段A。，8 E和弧A C B）的修建总费用为W万元，求W关于。的函数表达式，并写出。的取值范围；（2）当夕为何值时，桥面修建总费用W最低？（角。的取值精确到0.1）【答案】(1)w =3.6xCOS0sin。1兀+156,0 6 arcsin-,；3 6（2）0 29.3.【分析】（1）设C为弧A 3的中点，通过解直角三角形以及弧长公式，表示出修建总费用W的表达式，根据长度的限制，求得8的取值范围；（2）利用导数求得W的单调区间，进而求得当。为何值时，W取得最小值.【小问1详解】设 C 为弧 A3 的中点，连结。4,O C,O B,则。4LAD,O B B E,O C I D E,且=又因为NAOC=NADO=e，所以弧AC8长为/=3-2。=68，3 f)rnc f)所以 W=2A D 0.6+/-2.5=2 0.6+6，2.5=3.6 x +15e,sin。sin。3 1 1ffijD=2OD=2-且 124。石 1 8,所以一Wsin6W,显然。为锐角,sin b,a+2 b,a+3b,b,3b+c,2b+c,3b+2c,b+c,2b+3c,b+2c,b+3c,c,且 S 3 =S 2 +9。+1 8 +9。,r i n S ，=S?=1 4 a+2 7/7 +1 4C即 图 ；【小问3详解】因为 S 1 =2 a +3 b +2 c ,S2=St+3a+2b+c,S3=52+32+2h+c),L,S,=S i+3 T (a +2 c),所以，S=S,+(+2/?+C)(3 +32+33+3”T)3(1-3 T)=2 a +3 8 +2 c +(a +2 8 +c)-j -a+c a+c-3 H-2 J 2若使S 为等比数列,a+c 八 7 a+c 八-=0 b+=0则 2 或2.a+c 八 Q+C 八b+-w O -H 02 12a+c=即或2b+a+c=0bO综上，存在实数，b,c,满 足a晨+c=0 或f 2 Z?+6/+c =0 使 得 数 列 为等比数列.【点睛】数学中的新定义题目解题策略：仔细阅读，理解新定义的内涵；根据新定义，对对应知识进行再迁移.