初中中考总复习数学《数与式综合复习》（基础、提高）巩固练习、知识讲解.pdf

中考总复习：数与式综合复习一巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1.下列运算中，计算结果正确的是（）A.X2.X3 4*=x6 *B.+%-2=%+2 c.（2/）2=4 x9 D.x3+x3=x64（x-l）2（2-x）2的结果是-4 1 19.已知两个分式：A=,B=+，其中x W 2.下面有三个结论：x 4 x+2 2-x人二!A、B 互为倒数；A、B互为相反数.正确的是.（填序号）1 0.已知a 为实数，则代数式疝 工 一 J 8-4。+J 万的值为.11.在实数范围内因式分解/一4 =A.1 B.-1 C.2 D.-23.已知Q +b =m,Q b =-4,化简（。-2）3-2）的结果是（）A.6 B.2m-8 C.2m D.-2m4 .当 X n B.mn C.m=n D.不能确定5.将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，那么对折次后折痕的条 数 是()A.2-1 B.2n+l C.2-1 D.2+16.(2015秋重庆校级月考)如图图案都是同样大小的小正方形按一定的规律组成的，其中第1 个图形中有5 个小正方形，第 2 个图形有13个小正方形,8 个图形中小正方形的个数为()(1)(7)A.181 B.145 C.100 D.88二、填空题7.若非零实数a,6 满足4a2+从=4,则a第 3 个图形有25个小正方形，按此规律，则第xl-18 .已知分式一-一-,当入=时，分式的值为0.（x 2）（1）9 .在实数范围内分解因式（x+y）2-4（x+y -l）=.1 0 .（2 0 1 5 秋平山区校级月考）化简:（1）当 x 1 0 时，；(2)当 a W 0 时，正 苫 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；(3)当 a 2 0,b 0 时，2 7 a3b2=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 1 .德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1,分母为正整数的分数）:第一行第二行第三行第四行第五行1_ j_2 2 l 13 6 31 _111 _4121241111252030205根据前五行的规律,可以知道第六行的数依次是:1 2 .让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数尸5 ，计算 +1 得团;第二步：算出a的各位数字之和得m,计算病+1 得期第三步：算出&的各位数字之和得如 再计算诡+1得备;依此类推，则 a.2=.三、解答题1 3 .（2 0 1 5 春碑林区期中）图是一个长为2m,宽为2 n 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形.m m n (1)图 中 的 阴 影 部 分 的 面 积 为；(2)观察图，三个代数式(m+n)2,(m-n)2,m n之间的等量关系是(3)观察图，你能得到怎样的代数等式呢？(4)试画出一个几何图形，使它的面积能表示(m+n)(m+3 n)；(5)若 x+y=-6,x y=2.7 5,求 x-y 的值.1 4 .阅读下列题目的计算过程：%-3 _ 2x2-1 1 +xx-3 2(-1)(X +l)(x 1)(X +l)(x 1)=(才一3)-2(X 1)=x 3 2 x+l=x l(1)上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号(2)错误的原因.(3)本题目正确的结论为.(A)(B)(C)(D)1 5 .已 知 二7,求 的值.X-X+1 X+厂+11 6 .设5=1+5 +*鹏=1+,+*Y=1+*+染,S”吗+岛?设5 =后+病+.+底，求S的 值(用 含n的代数式表示，其中n为正整数).【答案与解析】一、选择题【答案】A；解析 _ 1 2+2孙 _,2 =1 -(x2-2xy+y2)=i-(x-y)2=(l +x-y)(l-x+y).2 .【答案】D；【解析】每个分数的分子均为1,分 母 为 川+1 或2 一1 (当为奇数时加1,当为偶数时减1),7为奇数，因而其分母为7 2+1 =5 0.3 .【答案】B；【解析】通过观察，不难发现两个并排的短横表示0,而一条长横表示1,所表示的数是从上往下看,因而表格中的两个空格中所填的数这0 1 1 和 1 0 0 .4 .【答案】C；【解析】设地球仪赤道半径为r,则加=2 万(r +1)2 万 r =2 万；设地球赤道半径为此则=2(R+1)2 R=2)，所以相等.5 .【答案】C；【解析】除了第一次对折得到1 条折痕，其后，每次对折所得折痕都是上次多出来的折痕的两倍.6 .【答案】B；【解析】:第 1 个图案中小正方形的个数为3+1+1=5：第 2个图案中小正方形的个数为5+3+1+3+1=1 3；第 3个图案中小正方形的个数为7+5+3+1+5+3+1=2 5；.第n个图形的小正方体的个数(n+1)2+n2；.第8个图形中小正方形的个数为9。(9-1)J 8 1+6 4=1 4 5 个.故 选：B.二、填空题7 .【答案】2；【解析】将原式改写为4 -4 +。2=0,所以(2。-2=。，可求出炉2 a.8 .【答案】一1；【解析】由题意/一 1=0 且(x 2)(x l)w 0,所以产一1.9 .【答案】(x+y-2)2；【解析】此题如果按一般方法去分解，须将汽+丫/展开，结果将问题复杂化了，其实原式可化为(x +y f-4(x +y)+4,将 x +y看成一个整体，再用公式法分解因式.(x +y)2-4(x +y-l).=(x +y)2-4(x +y)+4=(x +y-2)21 0 .【答案】3 x；-3 a b-/3 a【解析】解：(1)：x 2 0,.,.1 9 x 2=1 3 x 1=-3 x,故答案为：3 x.(2);a W O,y/=|a|心-V2 a,故答案为：-a.(3)Y a。，b 0,那么|a|=a；如果a 0 (a 0)；(2)(G)=a (a 2 0)：(3)=1 a 1=a(a 0)-a(a Q)；(5)商的算术平方根的性质:a _ yJa(a 0,Z?0).4.二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.(2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变.要点诠释：二次根式的混合运算：1 .明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2 .在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3 .在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径,往往能收到事半功倍的效果.5 .代数式的有关概念(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式.用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.代数式的分类：整式(单项式r有理式(多项式代数式 1 分式I 无理式(2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式.(3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式.整式包括单项式和多项式.(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式.分式的分母取值如果为零，分式没有意义.6 .整式的运算(1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项.在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项.(2)整式的乘法：正整数塞的运算性质：=a(a b y=am.ba 十优=a -(a W O,m n).其中m、n 都是正整数.整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.乘法公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；(a 0)2 =a2+2ab+b2.零和负整数指数：在a(a W O,m,n 都是正整数)中，当 m=n 时，规定a =l；当 m Vn 时，如 m-n=-p(p 是正整数)，规定7 .因式分解(1)因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.在因式分解时，应注意：在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解.因式分解以后，如果有相同的因式，应写成塞的形式，并且要把各个因式化简.(2)因式分解的方法提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).运用公式法：a2-b2-(a+b)(a-h)；a2 lab+b2=(Z?)2；十字相乘法：x2+(a+b)x+ah=(x+a)(x+b).(3)因式分解的步骤多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；考虑所给多项式是否能用公式法分解.要点诠释：因式分解时应注意:在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；因式分解后，如果有相同因式，应写成幕的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形.8 .分式(1)分式的概念A形如的式子叫做分式，其中A和 B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零.B(2)分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.A _ A xM A AMB BxM 力-B+M（3）分式的运算(其中M是不等于零的整式)加减法:a b ab a c ad be一 =，-=-c c c b d bd乘法:acb d bd除法:乘方:f-1 =（n为 正 整 数）.bnabbd要点诠释：解分式方程的注意事项:(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看 它 是 否 为0,如 果 为0,即为增根，不 为0,就是原方程的解.列分式方程解应用题的基本步骤：(1)审一一仔细审题，找出等量关系；(2)设一一合理设未知数；(3)列一一根据等量关系列出方程；(4)解一一解出方程；(5)验一一检验增根；(6)答-答题.【典型例题】类型一、实数的有关概念及运算1.实数一2,0.3,尬,兀中，无 理 数 的 个 数 是(7）A.2 B.3 C.4 D.5【思路点拨】常见的无理数有以下几种形式：TC 71(1)字母型：如“是无理数，一、一 等 都 是 无 理 数，而不是分数；2 4(2)构造型：如2.1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0(每 两 个1之间依 次 多 一 个0)就是一个无限不循环的小数;(3)根式型：J 5、6、漏都是一些开方开不尽的数；(4)三角函数型：s i n 3 5、t a n 2 7、c o s 2 9 等.【答 案】A；【解 析】本题主要考查无理数的概念.无理数是指无限不循环小数，、后，-兀都是无限不循环小数，故 共 有2个无理数.【总结升华】无理数通常有以下几类：开方开不尽的数；含 万 的 数；看似循环但实际不循环的小数；三角函数型：s i n 3 5。、t a n 2 7、c o s 2 90等.抓住这几类无理数特征，则可以轻松解决有关无理数的相关试题.举一反三：【高清课程名称：数与式综合复习 高 清ID号：4 0 2 3 9 2关 联 的 位 置 名 称（播放点名称）：例1一2】【变 式】如图，数 轴 上 从6两点表示的数分别为一1和8，点6关 于 点 力 的 对 称 点 为G则 点C所表示 的 数 为（）.A 1 A .c A O aA.2 5/3 B.1 V 3 C.2 +V 3 D.1 +V 3【答 案】A.计算:(1)-23X0.2 5-4+I x 9-40(2)(-2)8 X2 55.2a a 4【思路点拨】注 意 在 第（1）题 中，2 3与（-2）3的不同运算顺序和4+x 9的运算顺序.【答案与 解 析】2(1)-23X0.2 5-4+I x 9-40一 8x 0.2 5 一 1 4/x 9 40=-2-(4X|X9-40 L-2-(81-40)=-2-41 =1 3.（一2）8 X 2 55=44X2 54 x 2 5=（4x 2 5）4 x 2 5=1 0 04 x 2 5=2 50 0 0 0 0 0 0 0 .【总结升华】在进行有理数运算时，要注意运算的顺序，要有灵活运用运算律、运算法则和相反数、倒数、0、1的运算特性的意识，寻求简捷的运算途径.举一反三:2【变 式】+5_j_+2_8-6+12x(-2.4)；2(51 7、2【答案】一+|京一5+五Jx(2.4)=1 1.5+0.4-1.4=1.5 1.4=2.9.若|x-3|+Jx-y+l =0 ,计算x 2 y+x y z+g【思路点拨】几个非负数相加和为0,则这几个非负数必定同时为0,进而求出X、y的值.【答案与解析】依题意得|=0 解得 f v =3x-y+l =0,y=4,卜 y+x y 2 +%=y(x2+x y+-)=卜(x+芋=(x+y)7?=(3 +；)x =1 0.【总结升华】|a|,&(a N O),a?这三个非负数中任意几个相加得0,则每一个都得0.举一反三：【变式】已知|。+1|+后 工=0,则a 6=.【答案】本题考查绝对值与算数平方根的非负性，两个非负数的和为0,所以这两数都为0.因为|+1 1+J8-/?=0 所以 a=T,b=8.a-b=-9.类型二、分式的有关运算4.对 于 分 式 上 当x取何值时，x +1(1)分式有意义？(2)分式的值等于零？【思路点拨】当分母等于零时，分式没有意义，此外，分式都有意义；当分子等于零，并且分母不等于零时，分式的值等于零.【答案与解析】(1)由分母x分=0,得x=T.f _ 当x W-1时，分式-有意义.尤+1(2)由分子X?1 =0,得x =l或x =-l.而当x=T时，分母x+l=0；当x =l时，分母x+l =0.X2-.当x=l时，分 式 的 值 等 于 零.X+1【总结升华】讨论分式有无意义时，一定要对原分式进行讨论，而不能讨论化简后的分式.类型三、二次根式的运算25.（20 14春平泉县校级期中）已 知a：，一,求命+a2+v 3 a-3U-8 a+1 6 的值.a2-4a【思路点拨】先利用因式分解原式进行化简，再进行约分和利用二次根式的性质计算，由 于a=则a-4 0,所 以 原 式 可 化 简 为a-3+工，然 后 把a的值代入计算即可.a【答案与解析】解:原式二a 3)2 _ yj(a-4)2a-3 a (a-4)2|a-4|=a -3-!-，a (a-4)a=_ 2_=4-27 3，2+Ma -4 V 0,原式=a -3+，.二a (a-4)=a -3+,【总结升华】本题考查了二次根式的化简求值：一 定 要 先 化 简 再 代 入 求 值.二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰.也考查了分式的混合运算.举一反三：【变 式】计 算：（回+糜五）一（正 一 石 尸；【答 案】（加+A）（血 一 配）一（加 一 百）2 =（3五+46）（夜 一2百）一（2-2 +3）=6+4 7 6-6 7 6-24-5+2V 6=-23.当x为何值时，下列式子有意义？（1）-y/3-2x；（2）5一2七x +5【思路点拨】第（1）题 中，根号外的负号与根号是否有意义无关；第（2）题 中，因为与分式有关，因此 要 综 合 考 虑x的取值范围.【答案与解析】3(1)3-2 x 2 0,即.23 _当尤4 时，13 2 x有意乂.2(2)1-2 x 2 0,且 x+5W 0,当xW，且x#-5时，:有意义.2 x+5【总结升华】要使偶次根式有意义，被开方数为非负数；分式有意义分母不为0.举一反三:【高清课程名称：数与式综合复习【变式】下列说法中，正确的是(A.3的平方根是6C.-7的平方根是 J-7【答案】B.高 清I D号：40 2392 关联的位置名称(播放点名称)：例12】)B.5的算术平方根是D.a的算术平方根是类型四、数与式的综合运用按下图的方式铺地面:(2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为.图形(1)(2)(3)黑色瓷砖的块数47黑白两种瓷砖的总块数1525:黑白两种瓷砖的总块数为.(都用含n的代数式表示)(3)白色瓷砖的块数可能比黑色瓷砖的块数多20 15块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由.【思路点拨】找规律题至少要推算出三个式子的值，再去寻求规律，考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.【答案与解析解：(1)填表如下：图形(1)(2)(3)黑色瓷砖的块数471 0黑白两种瓷砖的总块数1 52 535(2)第n个图形中黑色瓷砖的块数为3n+l；黑白两种瓷砖的总块数为1 0 n+5；(3)能，理由如下：1 0 n+5-(3n+l)-0,那么|a|=a；如果a 0,那么|a|=-a；如果a=0,那么|a|=0.要点诠释：从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数.5 .实数大小的比较(1)在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大.(2)正数都大于0；负数都小于0,两个负数绝对值大的那个负数反而小.(3)对 于 实 数h,a-b X)d b,a-b=O a=b a-b Q o a 0 (0)；(2)(&)=(2 0)；r-r a(a 2 0)(3)A/Q-=|Q|=1；-a(a 0)；(5)商的算术平方根的性质:a a匕=不(a0,b0).4.二次根式的运算(1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.(2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变.要点诠释：二次根式的混合运算：1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径,往往能收到事半功倍的效果.5,代数式的有关概念(D代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式.用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值.代数式的分类：整式(单项式f有 理 式 多 项 式代数式 I分式I无理式(2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式.(3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式.整式包括单项式和多项式.(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式.分式的分母取值如果为零，分式没有意义.6.整式的运算(D整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项.在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项.(2)整式的乘法：正整数塞的运算性质:(ab)m=am.bmtama=a-(a O,m n).其中m、n都是正整数.整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.乘法公式：(a +b)(a-b)-a2-h2；(a b)2=a2 lab+b2.零和负整数指数：在 a =a =优x(a。，m,n都是正整数)中，当 m=n 时，规定a =l；当 mn时，如 m-n=-p(p 是正整数)，规定ap7.因式分解(1)因式分解的概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.在因式分解时，应注意：在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解.因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幕的形式，并且要把各个因式化简.(2)因式分解的方法提公因式法：m a+m b+m c =m (a+b+c).运用公式法：Q2-h2=(a+b)(a-b)；a2 2ab+b2=(ab)2；十字相乘法：x2+=(x+)(+/?).运用求根公式法：若。/+工+。=0(。0)的两个根是阳、%2,则有：ax2+O x +c =a(x-x,)(x-x2)(3)因式分解的步骤多项式的各项有公因式时，应先提取公因式;考虑所给多项式是否能用公式法分解.要点诠释：因式分解时应注意:在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；因式分解后，如果有相同因式，应写成基的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形.8.分式（1）分式的概念A形如的式子叫做分式，其中A和 B均为整式，B 中含有字母，注意B 的值不能为零.B（2）分式的基本性质分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.A AxMB BxM?A =土A-M上.（其中M是不等于零的整式）B B+M要点诠释:分式有意义O 分母w o；分式无意义O 分母=0;分式值为0 0分子=0,分 母 刈.分式值为1 O 分 子=分母,分 母 虫）.分式值为正。分子、分母同号.分式值为负O 分子、分母异号.（3）分式的运算,a,b a+b a,c adbc加减法：一-=-,-=-c c c b d bd乘法:除法:乘方：W=（n 为正整数）.Vb）bn要点诠释：解分式方程的注意事项：（1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；（2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0,如果为0,即为增根，不为0,就是原方程的解.列分式方程解应用题的基本步骤：（1）审一一仔细审题，找出等量关系;（2）设一一合理设未知数；(3)列一一根据等量关系列出方程；(4)解一一解出方程；(5)验一一检验增根；(6)答一一答题.【典型例题】类型一、实数的概念、运算及因式分解1.在数轴上表示a、b、c 三个数的点的位置如图所示.化简：|a-b|+1 a-c|-1 b+c|.-1-1-1-1 _b c Q a【思路点拨】通过观察数轴得到a、b、c的符号，通过确定绝对值里的式子的符号，来去掉绝对值符号.【答案与解析】由上图可得b c O 0,a-c 0,b+c 0,那么|m|=m；如果m 0,那么如果m=0,那么|m|=0.要去掉绝对值符号，首先要弄清m的值是正、是负，还是零.举一反三：【变式】阅读下面的材料，回答问题：点力、8 在数轴上分别表示实数a、b,A,4两 点 之 间 的 距 离 表 示 为 当 力、8 两点中有一点在原点时，不妨设点力在原点，如 图I T,=网=|。一可；当力、笈两点都不在原点时：(1)如 图 1-2,点 A、B 都在原点的右边，=Q周一|。4|=网一同=8 一4 =|一小0(4)1B10图 1-1b01A1B10a图 1-2b 如 图 1-3,点 A、B 都在原点的左边,AB=OB-OA=t-=-b-(-a)=a-b =a-b；(3)如 图 1 -4,点 A、B 在原点的两边，=|Q 4|+|O 3|=同+网=a +(。)=一 =,一 闿.BOAb0图 1-3B10A1 1.h0a图 1-4综上，数 轴 上 从 6两 点 之 间 的 距 离=,4.回答下列问题：(1)数轴上表示2和 5 的两点之间的距离是；数轴上表示一2和一5 的两点之间的距离是;数轴上表示1 和一3的两点之间的距离是.数 轴 上 表 示 x和一 1 的两点A 和 B 之间的距离是.如果卜回=2 ,那么尸.【答案】(1)3,3,4；(2)x =l 或 x =3.依据阅读材料，所获得的结论为|A却=卜-4，结合各问题分别代入求解.(1)|2-5|=3,|-2-(-5)|=3,|1-(-3)|=4：(2)|AB|=|x-(-l)|=|x+l|：因为=所以|x+l|=2,所以x+l =2或 x+l =-2.所以x =l 或 x =-3.C2.(2 0 1 4 春当涂县校级期中)分解因式.(1)-1 8 x y +9 x -6 x y.(2)1 -m2-n2+2 m n.(3)-a+2 a -a .【思路点拨】如果多项式各项含有公因式，就先提出这个公因式，再进一步分解因式.分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止.【答案与解析】解：(1)-1 8 x2y2+9 x -6 x3y=-3 x2(6 y2-3 x2+2 x y)；(2)1 -m2-n2+2 m n=l -(m -n)2-(1+m -n)(1 -m+n)；(3)-a+2 a 2 -a -a (1 -2a+a)=-a (1 -a)2.【总结升华】(1)如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出负号，使括号内的第一项系数是正数，以便于观察是否可以进一步分解因式.(2)在提取公因式时，一是要真确确定公因式，二是要注意一步到位；分解因式一定要彻底.举一反三：【变式】分解因式：1 一2。+。2一=.【答案】本题是四项，应采用分组分解法，分组分解法主要有两种，一是二二分组，另一种是一三分组,本题应采用一三分组法进行分解.原式=(1 _ 2Q+Q2)/?2=q _ Q)2 片=(_+)(_ Q_加类型二、分式的有关运算C 3.我们把分子为1 的 分 数 叫 做 单 位 分 数.如 1,1.,任何一个单位分数都可以拆分成两个2 3不同的单位分数的和，如 =1+,，1=-+,-=1+,-2 3 6 3 4 1 2 4 5 2 0(1)根据对上述式子的观察，你会发现=+工，请写出口，O所表示的数;(2)进一步思考，单位分数!(是不小于2的正整数),请写出,。所表示的式,A O并加以验证.【思路点拨】等式右边的第一个分母是左边的分母加1,第二个分母是前两个分母的乘积，如果设左边的分母为，则右边第一个分母为(+1),第二个分母为(+1).【答案与解析】(1)口表示的数为6,。表示的数为3 0；(2)表示的式为 +1,。表 示 的 式 为+验证:+1 +/?(/!+1)7所以上述结论成立【总结升华】通过对三组式子的观察，不难找出规律.举一反三：【高清课程名称：数与式综合复习 高清I D 号：4 0 2 3 9 2 关联的位置名称(播放点名称)：例 6】【变式】若 0 x l,则小!、一 的大小关系是().x xXx xXX x X x xX【答案】c.x-2x x-4 x +4【思路点拨】在进行分式的四则运算时，一定要注意按运算顺序进行，并注意结合题目的具体情况及时化简，以便简化运算过程.【答案与解析】x 2 x x 4x+4元+2 x-1x(x-2)(%-2)2士 7；号-2厂一x-(x-2)2 x-4.(x-2)2X/4 x(x2 4)(x-x)x-4 x-4x-4x-4 1=-=1.x-4【总结升华】在进行分式的四则运算时，要注意利用运算律，寻找合理的运算途径.举一反三:【变式】计算X 1 X3-3X+41-x X2-1【答案】x-1 -Xx2-1=X _X-1 (X+l)(x 1)丁 3x+4/x+x+一 丁+3%4U +l)(X-l)3x33(1)(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)J C +1类型三、二次根式的运算,已知a+5=9,aS=12,求51 X，3x+413【思路点拨】这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要 注 意 a,b 的符号，本题中没明确告诉a,b 的符号，但可从a+b=-9,ab=12中分析得到.【答案与解析】*.*a+b=-9,ab=12,/.a 0,b0.a b.4ah y/ab8A+QJ-b +a-2yab=-2V12=-4 b a-b-a【总结升华】1.明确运算顺序，先算乘方,2.在二次根式的混合运算中，3.在二次根式的混合运算中，径，往往能收到事半功倍的效果.再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途举一反三:【变式】估计J亚x J；+V20的运算结果应在（）A.6到7之间 B.7到8之间C.8到9之间 D.9到10之间【答案】本题应计算出所给算式的结果，原式=%+疝=4+2 6,由 于 退 ，记,即2逐 2.5,所以8V4+2斥9.故选C.6.若 a,8为实数，且 b=y/3 5 a+J5a 3+15,试求 J 2+2 +2 的值.a b a h【思路点拨】本题中根据炉1 3-5。+j5 a-3 +15可以求出a,b,再对1:+2-+2的被开方数进行配方、化简.【答案与解析】3 5aX）,3由二次根式的性质得J.-.3-5a=O.5 3、0,5当a=2,。=15时，=xl5=.5 155 5【总结升华】对于形如2 +q +2或2 +且一2形 式 的 代 数 式 都 要 变 为 土 也 或 短 心 匚 的 形 式，当它a b a b ab ab们作为被开方式进行化简时，要注意a+6和。-力以及a加勺符号.举一反三：【高清课程名称：数与 式 综 合 复 习 高 清ID号：402392 关联的位置名称（播放点名称）：例7】【变式】若加2 一 2 =6,且 加-=2,则?+=.（2）若 0 Q 1,-F Q =6 ,求-尸 的值.a yja【答案】(1)3；(2)-2.类型四、数与式的综合运用C7.(2 0 1 4 秋延平区校级月考)如图，用相同规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：(1)在第n 个图中，共有瓷砖 块，其中白色瓷砖 块，黑色瓷砖 块(均用含n 的代数式表示)；(2)按上述铺设方案，铺设一块这样的矩形地面共用了 1 0 5 6 块瓷砖，求此时n 的值；(3)若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3 元，则 问 题(2)中，共花多少元购买瓷砖？*=2 力=3【思路点拨】(1)根据第n个图形的白瓷砖的每行有(n+1)个，每列有n 个，即可表示白瓷砖的数量,再让总数减去白瓷砖的数量即为黑瓷砖的数量；(2)当 y=1 0 5 6 时可以代入(1)中函数关系式求出n；(3)和(1)一样可以推出白瓷砖的总块数为(n+1)x n,然后可以推出黑瓷砖数目，再根据已知条件即可计算出钱数；【答案与解析】解：(1)在第n个图中，共有瓷砖(n2+5 n+6)块，其中白色瓷砖(n2+n)块，黑色瓷砖(4 n+6)块(均 用 含 n的代数式表示)；(2)依题意得：n2+5 n+6=1 0 5 6,整理得：n2+5 n -1 0 5 0=0,解得：n=-35 (舍去)，n=30,答：此时n的值为30；(3)当 n=30 时4 (4 n+6)+3(n2+n)=4 x (4 x 30+6)+3(302+30)=32 9 4 (元)，答：共花费32 9 4 元购买瓷砖.【总结升华】考查了图形的变化规律：解决此题的关键是能够正确结合图形用代数式表示出黑、白瓷砖的数量，再根据题意列方程求解.