2023年中考数学压轴题24以三角形为载体的几何综合问题（教师版含解析）.pdf

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）_ 专题24以三角形为载体的几何综合问题典例剖析.【例 1】（2022山东枣庄中考真题）已知AABC中，NACB=90。，A C=B C=4cm,点尸从点 A 出发，沿 AB方向以每秒或cm 的速度向终点B 运动，同时动点。从点B 出发沿8 c 方向以每秒1cm的速度向终点C 运动，设运动的时间为1秒.（1）如图，若尸。_LBC,求 f 的值；（2）如图，将APQC沿 BC翻折至P Q C,当，为何值时，四边形QPCP为菱形？【答案】（1）当 r=2 时，P Q L B C（2）当 f 的值为 时，四边形QPCP为菱形【分析】（1）根据勾股定理求出4 B,根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可.（2）作PD _ L BC于D,岳1 4。于七，证明出A4BC为直角三角形，进一步得出A4PE和APBD为等腰直角三角形，再证明四边形PEC。为矩形，利用勾股定理在RM PC E、RM PC Q 中，结合四边形QPCP为菱形，建立等式进行求解.【详解】（1）解：（1）如图，图：/A CB=90。，AC=BC=4cm,：.AB JAC2+BC2=V42+42=4近(cm),由题意得，AP=y 2t cm,BQ=t cm,则 B P=(4/2-V2r)cm,P QLBC,：.Z P Q B=90,；N PQ B=N ACB,APfiHAC,乙 BPQ=Z.BACY乙BQ P=乙BCA-*.BPQ BAC,BP BQ.=iBA BC.4V2-V2t t x-,4迎 4解得：f=2,.当 r=2 时，PQ LBC.(2)解：作 PD IB C 于。，PE L A C E,如图,AP=V2t,BQ tcm,(0 t=BO=C,AO_LBC,二 Z A D E=ZCDF=90,X VD E=DF,.ADE丝 CD尸（SAS）,：.AE=CF,N D A E=N D C F,：Z D A E+Z D E A=90,：.ZDCF+ZDEA=90,：.Z E M C=90,：.A E 1 C F.故答案为：AE=CF,A E L C F；（2）（1）中的结论还成立，理由：同（1 ）可证 AQE丝CQF（SAS）,：.AE=CF,N E=N F,VZF+ZCF=90o,A ZE+ZECF=90,A Z E M C=90,：.AECFi 过E BD图2点。作 G_LAE于点G,D H L C F 于点H,：Z E Z F,N D G E=N D H F=9 0。,DE=DF,DEGm DFH（AAS）,：.D G=D H,又DHLCF,.DM平分/E M C,又I,/EM C=90。，,NEM=；/EM C=45。：；N E M D=45。,N D G M=90,：.Z D M G Z G D M,：.D G G M,又Y D M=6&：.D G G M 6,：D E 12,：.EG=y/ED2+D G2=V122+62=6/3；.EM=GM+EG=6+6值.【点睛】本题是三角形综合题，考杳了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.【例 5】（2022辽宁大连中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如 图 1,在AABC中，。是4B上一点，AADC=Z.ACB.求证NACD=乙 ABC.独立思考：（1）请解答王老师提出的问题.实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答.“如图 2,延长C4至点E,使CE=BD,BE与CD的延长线相交于点F,点 G,，分别在BF,BC上，BG=C D,乙 BGH=L B C F.在图中找出与相等的线段，并证明.”问题解决：（3）数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当NBAC=90。时，若给出ABC中任意两边长，则图3 中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答.“如图3,在（2）的条件下，若NBAC=90。，4B=4,AC=2,求 的 长.”【分析】(1)利用三角形的内角和定理可得答案；(2)如图，在 上 截 取BN=C F,证明 CEF三4 B D N,再证明EF=D N/E F C =乙DNB,证明 GHB=C N D,可得BH=D N,从而可得结论；(3)如图，在8 C上截取BN=C F,同理可得：BH=DN=E F,利用勾股定理先求解BC=V22 4-42=2V5,证明4DC ZCB,可得4。=1,CD=V 5,可得BG=CD=5,证明BGH B C F,可得BF=2 B H,而EF=G H,可得BE=3 B H,再利用勾股定理求解B E,即可得到答案.【详解】证明：(1),.乙4DC=Z.ACB./,A=乙4而4 4CD=180-/-A-/.ADC,ABC=180 一 一 乙A CB,.Z.ACD=乙ABC,(2)BH=EFt理由如下：如图，在8。上截取BN=CF,.BD=CE,Z.ACD=Z-ABC,CEF=BDN,EF=D N/E F C =Z.DNB,乙BGH=(B C F,乙GBN=乙FBC,乙BHG=乙BFC,:乙 EFC=Z.BND,BFC=LDNC,:乙 BHG=Z.DNC,；BG=CD,A GHB=CNDt:.BH=DNf BH=EF.(3)如图，在8 c上截取BN=CF,同理可得：BH=DN=EF,BC=，22+42=2低v 乙DAC=Z.BAC,Z.ACD=Z.ABC,ADC ACB,AD AC C D AC AB BCAD 2 C D =4=A AD=1,CD=V5,.BG=CD y/5,（GBH=乙FBC,乙BGH=乙BCF,*BGH BCF,.BG _ GH _ BH _ V5 _ 1 BC-CF-BF 一 2/5-2*BF=2 B H,而EF=GH,BE=3BH,AB=4fAD=ltBD=CE,BD=CE=3,.-.AE=3-2 =1,而/BAE=乙BAC=90。，BE=7AB2+g=V17,V17*BH=.【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解本题的关键.26.（2022 山东烟台 中考真题）AA图1图2图3(1)【问题呈现】如 图 1,ABC和 AOE都是等边三角形，连接8。，C E.求证：BD=CE.(2)【类比探究】如图2,ABC和 ADE都是等腰直角三角形，ZABC ZADE=90.连接 B。，C E.请直接写出差的值.(3)【拓展提升】如图3,ABC和4OE都是直角三角形，/A B C=/A O E=90。，且嚣=禁连接 50,CE.4求穿的值；C E延长CE交 8。于点凡 交 4B于点G.求 sin/BFC 的值.【答案】(1)见解析/【分析】(1)证明A4D丝 从 而 得 出 结 论；(2)证明84/5sZCAE,进而得出结果；(3)先证明A B C sA Q E,再证得C 4 S/5 4 0,进而得出结果；在的基础上得出/A C E=/A B O,进而/B F C=/8 4 C,进一步得出结果.【详解】(1)证明：:ABC和ZV1QE都是等边三角形，：.AD=AE,ABAC,/D 4 E=NBAC=60。，ZDAE-NBAE=NBAC-ZBAE,:.NBAD=/CAE,：.ABAD/CAE(SAS),:.BD=CE：(2)解：.ABC和A 4OE都是等腰直角三角形，A D A D 1A AE =A C =V 2ZDAE=ZBAC=45f：.ZDAE-ZBAE=ZBAC-/BAE,：.ZBAD=ZCAE,：./BAD CAE,BD AB 1 42二还=前=五=三；(3)解:或=辞=京 ZABC=ZADE=90,：./XABC ADE,：.Z B A C=Z D A E,-=AC AE 5；N C A E=N B A D,：.ACAE /BAD.BD AD 3 -=-=一;CE AE 5由得：b C A E s BAD,：.Z A C E=Z A B Dt:/A G C=/B G F,：.Z B F C=Z B A C,sin Z B F C=-=-.AC 5【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手 模型及其变形.满分训练.一、解 答 题【共 2 0 题】1.(2 0 2 2 安徽合肥市五十中学新校二模)A BC 和 4 D E都是等腰直角三角形，AABC=Z.AE D=90 ,F 是B D 的中点，连接C F、E F.(1)如图，当点D、E 分别是线段4 C、4 8 上的点时，求N EF C 的度数；(2)如图，当点E 是线段4 c 上的点时，求证：E F =CF；(3)如图，当点A、E、F 共线且E 是4 尸的中点时，探究SABCF和SAABF之间的数量关系.【答案】(l)N EF C =90 见解析(3)SA4F8=2S 4BFC【分析】(1)由直角三角形的性质可求/FEB=NFBE,4FBC=4 F C B,由等腰三角形的性质可求解；(2)由“角边角”可证CEF三可得EF=FH,DE=B H,由等腰直角三角形的性质可求解；(3)通过证明4 AFB-A D C,可得乙4FB=Z.ADC=135,SAFB=2ShAD C,即可求解.【详解】(1)NDEB=Z.DCB=90。，点尸是BD的中点，A DF=BF=EF=CF,乙FEB=乙FBE,Z.FBC=乙FCB,乙EFC=乙EFD+Z.CFD=2乙EBF+2Z.CBF=2乙ABC,4BC是等腰直角三角形，乙A BC=45,乙EFC=90；(2)如图2,延长EF交BC于点”，图2v Z.AED=乙DEC=/.ACB=90,DEWBC,4 EDF=4 CBF,又DF=BF,Z.DFE=乙BFH,DEF=BHF,EF=FH,DE=BH,:AC=BC,/.CE=CH,又 ,ZECH=90。，EF=FH,:.CF=EF；(3)如图，连接CD,A图3 是4尸的中点，.AE=EF,ADE是等腰直角三角形，/.DAE=ADE=4 5 ,乙DEF=90,AE=DE=EF,A EDF=4 EFD=45=4 DAE,A/.ADF=90,AD=DF,-.AF=V2AD,是等腰直角三角形，/.BAC=Z.DAF=45,AB=垃AC,/.DAC=/.BAF,=y/2,AC AD AFB ADC 9 /LAFB=Z-ADC=135,S&AFB=2s.，.乙CDF=45。=乙AFD,.-.AFnCD,*SADC=SDCF，?是8。的中点，SBCF=S&DCF=SADC，S&AFB=2SBFC【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.2.（2022 上海 华东师范大学松江实验中学三模）如图所示，BEF的顶点E在矩形4BCD对角线4 c的延长线上，8C=1,AB=a,4E与FB交于点G,连接4 F,满足其中4对应C,8对 应 凡F对应8F.求证：Z.FAD=30.(2)若CE=/求tan/FEA的值.【答案】(1)见解析 竽【分析】（1）由相似可得 A B =4BC E,再由矩形的性质得力0IBC,/.DAB=Z.ABC=90,从而可求得乙凡4。+4。48+4。4。=180。，则有4 F/W=/B 4 C,即可求得乙凡4D的度数;（2）结 合（1）可求得4 E=,再由相似的性质求得AF=36，即可求tcm/FEA的值.（1）ABFS A CEB,Z.FAB=Z-BCE,四边形4BCD是矩形，：.ADBC,DAB=/.ABC=90,:.Z.DAC=Z.ACB,v 乙BCE+乙ACB=180,.Z.FAB+AD AC=180,LF A D +乙 DAB+Z.DAC=180,/.FAD+90+Z.DAC=180,/.Z.FAD+Z.DAC=90,Z.DAB=90,乙BAC+乙DAC=90,:.Z.FAD=Z.BAC在 RtZkABC 中，.,E,“BC 1 V3v tanZ-BAC=，AB W 3 LBAC=30,乙FAD=30；（2）由 得乙4BC=903 ABAC=30%:.AC=2BC=2 x 1 =2,I 7 AE=4。+CE=2+3 3ABFs CEB,.AF _ AB*BC 一 CE即竺=%1 3AF=3V3,由（1）得：/.FAD+LDAC=90,贝此凡4E=90,在Rt F4E中，tan4FEA=.AE-7【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，解答的关键是结合图形及相应的性质求得/凡4。=BAC.3.（2022福建 厦门市翔安区教师进修学校（厦门市翔安区教育研究中心）模拟预测）（1）问题发现：如 图 1,力与 4 CDE均为等腰直角三角形，44CB=乙DCE=90,则线段AE、8。的 数 量 关 系 为,AE,B。所 在 直 线 的 位 置 关 系 为；（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A,E,。在同一直线上，CM为AOCE中OE边上的高，请判断乙4cB的度数及线段CM,AD,BD之间的数量关系，并说明理由.【答案】（1）4E=BD,AE 1 BD-,（2）ADB=90,AD=2CM+BD；理由见解析【分析】（1）延长4E交8。于 点 从 4H交BC于点O.只要证明A 4CE三 BCD（SAS）,即可解决问题；（2）由AACE三 ABC。，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题.【详解】解：（1）如 图 1 中，延长4E交BD于点”，4H交BC于点O,.AACBOA OCE均为等腰直角三角形，入4cB=Z.DCE=90。,：.AC=BC,CD=CE,：.Z.ACE+乙 ECB=乙 BCD+乙 ECB=90,：.ACE=乙 BCD,：.ACE 三ABCD(SAS),：.AE=B D,乙CAE=CBD,VZC71E+Z.AOC=90,Z.AOC=乙BOH,:乙 BOH+乙 CBD=90,=90,：.AE 1 BD.故答案为：AE=BDf AE 1 BD.(2)Z,ADB=90,AD=2CM+BD；理由如下：如图2中，/。8和4 QCE均为等腰直角三角形，Z.ACB=（DCE=90,/.ZCDE=ZCFD=45,：.AEC=180 一 乙CED=135,由（1）可知：ACEw2BCD,：.AE=BD,Z-BDC=Z-AEC=135,：.Z.ADB=乙BDC-Z.CDE=135-45=90；在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边OE上的高，：.CM=DM=ME,：.DE=2CM,：.AD=DE+AE=2CM+BD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.4.（2020重庆市育才中学二模）（l）如图,在四边形A8C。中,AB=A。，N8=/A。C=90。.E、尸分别是3C、CQ上的点，且EF=BE+FD,探究图中NBAE、NFAD、NE4/之间的数量关系.小王同学探究此问题的方法：延长尸。到点G,使。G=8 连接A G.先证明 ABEAADG.MilEA AEFAAGF,可得出结论，他的结论应是.【灵活运用】（2）如图，若在四边形A3CD中，AB=ADf ZB+ZD=180,F、F分别是5C、CD k的 点.且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立？请说明理由.【延伸拓展】(3)如图，在四边形ABC。中，ZABC+ZADC=ISO,A B=A D.若点E 在 C8的延长线上，点 F 在 C。的延长线上，仍然满足EF=BE+F,请写出NE4F与ND 48的数量关系，并给出证明过程.【答案】Z B A E+Z F A D=Z E A F；仍成立，理由见详解：/.EAF=180-|zD4B【分析】(1)延长尸。到点G,使D G=B E,连接A G,可判定AABEGZVIO G,进而得出Z B AE=ZDAG,A E=A G,再判定可得出Z E A F-Z G A F Z D A G+Z D A F Z B A E+Z D A F,据此得出结论；(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定AABE丝ACG,进而得出NB4E=ND4G,A E=A G,再 判 定 尸 丝4 G F,可得出 NE4F=NG4F=NOAG+NDAF=N8AE+/OAF；(3)在 QC延长线上取一点G,使得QG=8E,连接A G,先判定AAOG妾A 8 E,再判定AE尸丝A G F,得 出/项 E=N/=AG,最后根据/朋E+NG+/G4E=360。，推导得到2ZM+ZDAB=360,即可得出结论.【详解】解：(1)Z B A E+Z F A D Z E A F.理由：如 图 1,延 长 到 点 G,使 G=BE,连接AG,G图1VZB=ZADF=90,ZADG=ZADF=90f N8=NAQG=90。，又 AB=AD,A/ABE/ADG(SAS),:/BAE=/DAG,AE=AG,：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,：.AAEF/AGF(SSS),:.ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；故答案为：NBAE+NFAD=NEAF；(2)仍成立，理由：如图2,延 长 初 到 点G,使QG=8E,连接AG,G图2VZB+ZDF=180o,NAOG+/AOb=180。，：.ZB=ZADGf又 TAB二AD,A8/ZL4DG(SAS),:./BAE=/DAG,AE=AGf：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AFf：./AEF/AGF(SSS),ZEAF=ZGAF=ZDAGZDAF=ZBAE-ZDAF；血 尸=18。-2g证明：如图3,在QC延长线上取一点G,使得。G=BE,连接AG,GAc/:图3EZABC+ZADC=180,ZABC+ZABE=180,/ADC=NABE,又 AB=AD,A(SAS),：.AG=AEf NDAG=NBAE,/EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,：.A A E F/A G F (SSS),.ZM E=ZM G,*.ZME+ZMG+ZGy4E=360,：.2ZFAE+(NGA5+NBAE)=360,：.2ZFAE+(NGAB+NOAG)=360,即 2ZME+ZDAB=360,：.AEAF=1800-AD AB.2【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意：同角的补角相等.5.(2022北京市三帆中学模拟预测)已知四边形4BCO,=120,ZC=60,AB=AD,CD#BC,AE是NBA。的角平分线，交射线BC于E,线段DC的延长线上取一点产使BE=DF,直线EF,AB交于点G.补全图形；(2)猜想AAEG的形状，并证明你的猜想;(3)求AB与FG的数量关系.【答案】(1)见解析(2匕 AEG是等边三角形，理由见解析(3)FG=2 A B,理由见解析【分析】(I)根据要求画出图形即可；(2)结论：AAEG是等边三角形；通过证明4E垂直平分线段。8,证得AAEC丝AA E B,再证明4 0 IE G,推出NG=9 0 ,可得结论；(3)结论：FG=2 A B,过点4作A T|D F交E G于点T.证明四边形4 DF 7是平行四边形，推出=再利用全等三角形的性质证明A C =7G,可得结论.(1)解：图形如图所示：G(2)解：猜想 A E G是等边三角形.理由如下：如图，设A E交B D于点”，.D A H =4 BAH在4“。与AD=AB4DAH=/.BAH,AH=AH：.AHD 三A H B(S A S),.A H D =乙4 H B =9 0 ,DH=BH,垂直平分线段D8,ED=EB,在A 4 E。和 A E B中，Z D =AB：AE=AE,DE=BE.4 E D Z k 4 E B(S S S),：.ADE=ABE.VDF=BE,DE=BE,：.DE=DFtD E F =乙 DFE,:(EDF+2 乙DFE=180.VZD71F=120,Z.DCB=60,在四边形ADCB中，;乙DAB+Z.ABC+乙 BCD+Z.CDA=360,：.LABC Z.CDA=180,:乙 ABC=LADE.：.ADE-V LCDA=180,：.2 乙 ADC+乙 EDF=180,ADC=CDFE,：.ADEG,2 G +4DAB=180,Z.DAB=120,AzG=60.U：z-EAB=-z.DAB=60,2：.Z.AEG=LEAG=NG=60%，力EG是等边三角形.(3)解：FG=2ABf理由如下：证明：如图，过点A作|DF交EG于点7.U：AD|FT,AT|DF,，四边形4。/是平行四边形,：.AD=FT,u：AB=A Df：.AB=FT,9：AT|DF,：.ATG=乙 DFG,:4DFT=4DEF+乙EDF,ADE=/.EDF+AADC=Z.EDF+乙DEF,：.Z.ATG=Z.ADE,：Z.DAE=4 G=6 0 ,AE=AG,：.AGT 三E A O(A A S),：.TG=AD,：AD=FT,AB=AD,：.TG=A B,：.FG=2AB.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题.6.(2 0 2 2 北京市第十九中学三模)如图，在 A B C中，/.ACB=9 0 ,AC B C,。是4 B的中点，F是B C延长线上一点，平移4 B到 尸H,线段F H的中垂线与线段C 4的延长线交于点E,连接E H、DE.(1)连接C D，求证：/-BDC=2LDAC-,(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE,DF,E”之间的数量关系，并证明.【答案】(1)见解析(2)图见解析，结论：DE2+DF2=EH2,理由见解析【分析】(1)利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题；(2)图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2,想办法证明N E DF =9 0。即可.(1)证明：连接C D.v Z.ACB=9 0 ,AD=DB,CD=AD=DB,Z.DAC=Z.DCA,Z.BDC=Z.DAC+Z.DCA=2/.DAC；(2)解：图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2.理由：连接EF,A H,取FH的中点7,连接4T,DT,ET.点E在FH的垂直平分线上，A EF=EH,:AD=DB,HT=TF,AB=FH,.AD=FT=HT,-ADWFH,四边形4U TD,四边形4DFT是平行四边形，/.AHWDT,ATWDF,乙FDT=AATD=HAH,AHWBF,Z.HAC=Z.ACB=90,v EH=EF,HT=FT,ET 1 FW,乙TEH=乙TEF,Z.EAH=乙ETH=90,四边形4E,H,T四点共圆，dA H =乙TEH,:.Z.FDT=乙FET,.E,D,F,丁四点共圆，.Z.EDF+乙ETF=180,乙EDF=90,DE2+DF2=EH2.【点睛】本题考查作图-平移变换，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰二角形的性质，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，圆周角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.7.(2 0 2 2 安徽合肥一六八中学模拟预测)知识呈现图1 图2 图3(1)如图1,在四边形力B C D 中，4 A B e 与4 A DC 互余，我们发现四边形4 B C C 中这对互余的角可进行拼合：先作再过点A 作4 E 1 4 D 交D F 于点E,连接E C 后，易于发现C D,DE,C E 之 间 的 数 量 关 系 是；方法运用(2)如图2,在四边形4 8 c o 中，连接A C,N B A C=9 0。，点。是4 C 0 两边垂直平分线的交点，连接。4,/-0AC=Z.ABC.求证：ABC+Z.ADC=9 0；连接BD,如图3,已知4 D=m,DC=n,整=2,求8。的长(用含m,n 的式子表示).【答案】(1)C D2+D E2=C E2；(2)详见解析；BD=5 旅+4 十 2【分析】(1)利用勾股定理解决问题即可；(2)如图2 中，连接OC,作4 D C的外接圆。.利用圆周角定理以及三角形内角和定理，即可解决问题；如图3中，在射线C C 的下方作乙CD T=N A B C,过点C作CT _ L D 7 于7.利用相似三角形的性质证明求出A T,可得结论.【详解】(1)解：v /.ADC+/.ABC=9 0 ,Z.ADF Z.ABC,：.“DE =4ADC+/.ADF=9 0 ,A CD2+D E2=CE2.故答案为：C)2+D E2=CE2.(2)证明：如图2 中，连接OC,作A/l D C的外接圆。0.图2 点。是ACD 两边垂直平分线的交点,.点。是4 D C的外心，Z-AOC 2Z.ADC,-,OA=OC,Z,AOC+Z.OAC+Z-OCA=180,Z.OAC=乙ABC,2Z.ADC+2乙48c=180,:.Z-ADC+乙ABC=90.解：如图3中，在射线DC的 下 方 作 乙=过点C作CT _L DT于T.v 乙CTD=4 CAB=9 0 ,乙CDT=Z.ABC,C T D sC A B,Z.DCT=Z.A C B,CB CA 也，乙DCB=LTCA,CT CA,D C B sx TCA,.BD _ CB=，AT CAAB.v =2,AC AC：BA：BC=CT：DT：CD=1：2：V5,.-.BD=V5AT,ZLADT=/.ADC+Z.CDT=/.ADC+乙ABC=90,DT=n,AD=m,5:.AT=yjAD2+DT2-J m2+(n)2-J m2+|n2.BD=V5m2+4n2.【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题8.(2022 浙江宁波一模)若一个三角形的两条边的和等于第三条边的两倍，我们把这个三角形叫做和谐三角形.A己知A4BC是和谐三角形，AB=3,B C=4,请直接写出所有满足条件的4 c的长；(2)在AABC中AB=4,BC=8,D 为BC边上一点,B D=2,连接A D,若ABC为和谐三角形,求AC的长；(3)如图，在等腰A/IBC中4B=4 C,。为4 c的中点，且NOBC=N4 E 为AB上一点，满足AE:E8=3:2,连接D E.求证：ZUED为和谐三角形.【答案】2 或 5 或右(2)4C的长为6；(3)见解析.【分析】(1)先确定出I A C 7,再分三种情况，利用和谐三角形的定义求解即可；(2)先求出2cA p=2BO时，A D 2 B D-A B=0,不符合题意；当AB+8O=2A。时，D=(AB+BD)=3,过点A 作 4F_L8c于尸，利用勾股定理求出。凡然后可求AC：当 8。+4。=248时，A D=2 A B-B D=2 4-2=6,不符合题意；(3)设 AE=6x,则 EB=4x,进而表示出 48=C=10 x,4)=C)=5x,再判断出ABC-BDC,得出比例式求出B D=BC=5y 2x,过点A作A M 1B C于M,则B M=C M=1 3 C=,进而求出4加=阻 心 过 点。作 OG_LBC于 G,进而求出D G=x,M G=,B G=,2 4 4 4过点 作力于H,证明4DHA B D G,可 得 券=鬻=需 求出AH=六，D H=乎 x,再用勾股定理求出O E,即可得出结论.4(1)解：根据三角形的三边关系得，lAC 7,.4BC是和谐三角形，二当 AC+8C=2AB 时，AC=2AB-BC=2 3-4=2,当 AC+AB=26C时，AC=2BC-A8=2x4-3=5,当月8+8C=2AC时，A C=l (AB+BC)=|x (3+4)=|,即满足条件的AC的长为：2 或 5 或;；(2)解：在ZMBC中，AB=4,BC=8,：.4AC2,在AACD中，CD=BC-BD=6,.AB=4,BD=2,根据三角形的三边关系得，2AD=2Ao 时，A D=|(AB+BD)x(4+2)=3,如图，过点A作AF_LBC于R在 R S 4D F中，AF2=AD2-D F2=9-D F2,在 RtA W中,AF2=AB2-BF2=1 6-(2 +OF)2,：.9-D F2=1 6-(2 +DF)2,：.D F-,4r r 135 3 21/.AF2=9-D F2=,C F=6-16 4 4在R(A 4CF中，根据勾股定理得ACyjAF2+CF2=J詈+答=6；当 BZ)+AO=2AB 时，A Z)=2A B-8C=2x4-2=6,不符合题意；综上，AC的长为6；(3)证明：VAE：E 8=3：2,.设 4 E=6 x,则 EB=4尤，：.ABAE+EB=Ox,：AB=AC,.AC=10 x,.点。为AC的中点，.=C D=U c=5x,2VZDBC=ZA,Z C=Z C,ABC BDC,.AB _ AC _ BC -=,BD BC DC 10X 1OX BC.-=-=一,BD BC 5x:.BD=BC=S 网,如图，过点A 作 AM_L8C于 M,则 BM=CM=；BC=婴，根据勾股定理得，AM=jAB2-BM2=旭x,2过点。作 OGJ_3C于 G,ADGHAM,CDG&CAM,U：AD=CD,：.CD=-AC,2：.D G=A M=-x,A/G=：CM=学，4过点。作 DHLAB T H,ZAHD=90=ZBGD,:ZA=ZDBC,：.AD H ABDG,9AD _ AH _ DH BD BG DGf 5x _ AH _ PHS yf2x 1 5 g _ 5 m J AU-15 八 5A/7.AH=x,DH=x,4 4g：.EH=AE-AH=-xt4在 R SD H E中，根据勾股定理得，DE=y/EH2+DH?=船4+（乎/=4x,*AE=6xf AD=5XJ：.AE+DE=2AD,4ED为和谐三角形.【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理以及二次根式的运算等知识，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键.9.(2022广东华南师大附中三模)在我们的数学课本上有这样一道练习题：已知，如图 1 所示，AABC 中 NBAC=90。，AB=AC,直线 MN 经过点 4,BDA.MN,C E L MN,垂足分别为点,E 试判断BO+CE与 OE的关系，并给出证明.图1图2(1)还记得是怎么做的吗？请你再做一遍.(2)拓展探究：请从上面的练习题中获取灵感来解决下面的问题：已知，如图2,A8C、口 7均为等腰直角三角形，其中/ACB=NCE=90。，连接BE、A D,过 C 点作CPLBE于尸，延长PC交 AD于 Q,试判断。点在4。上的位置，并说明理由.【答案】(1)OE=8D+CE,理由见解析(2)点 0 为 AO的中点，理由见解析【分析】(1)求出丝C E 4,根据全等三角形性质得出B=AE,D A=C E,即可得出答案；(2)作 AM垂直CQ的延长线于点M,作。N J_C Q,垂足为M 证得得到A M=C P,同理可证ACCN丝ZXCEP,得到。N=CP,A M=D N,推出 AMQ丝W Q,得到A Q=D Q,即 Q 为 AD中点.(1)DE=BD+CE,证明：.,由题意可知，B D L M N 与 D,E C L M N 与 E,NBAC=90。，Z B D A=Z CEA=ZBAC=9O,：.ZDAB+ZEAC=90,Z ECA+Z EAC=90,：.ZDAB=ZECA,在与ACEA 中,LDAB=ECAZ.ADB=Z-CEA，.AB=AC：.AABDACEA(AAS),/.BD=AE,DA=CE,9：DE=DA+AE,1DE=BD+CE.(2)点。为AO的中点.理由如下：作AM垂 直CQ的延长线于点M,作。AQ CQ,垂足为MA ZACB=90f ZBPC=90,A ZACM+ZBCP=90,/BCP+NCBP=9。,：.NACM=NCBP,在C M与 C P中，AMC=乙 CBP乙4cM=Z.CBP,AC=CB二 ACM也CBP(AAS),：.AM=CP,同理可证 QCNgZkCEP,:DN;CP,:AM=DN,又丁/AMQ=NDNQ,：./AQM=/DQN,在 AMQ与).中，Z.AMQ=乙 DNQUQM=乙DNQ,AM=DN：.AAMQ/DNQ(AAS),：.AQ=DQ,即。为 AQ中点.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键.1 0.(2 0 2 1 吉林长 春市赫行实验学校二模)阅读理解 在学习中，我们学习了一个定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如 图 1,在Rt A A B C 中，Z.ACB=9 0,若点。是斜边4 B 的中点，则CD=：A B.灵活应用 如图2,A 4 B C 中，Z.BAC=9 0 ,AB=6,4 C =8,点。是 的 中 点，将A 4 B D 沿4。翻折得到A 4 E。，连接B E,CE.图1 图2(1)根据题意，则D E 的长为.(2)判断A B C E 的形状，并说明理由.(3)请直接写出C E 的 长.【答案】(1)5(2)A B C E 是直角三角形，理由见解析【分析】(1)利用勾股定理求出8C,再利用翻折变换的性质可得D E =0 8 =5；(2)结论：A B C E 是直角三角形.证明D E =D C =D8,可得结论：(3)设4。交B E 于点7.利用相似三角形的性质求出AT,再求出。T,利用三角形中位线定理，可得结论.(1)在Rt A A B C 中，Z.BAC=9 0 ,AB=6,AC=8,BC=/AC2+A B2=V 82+62=1 0,。是B C 的中点，-CD=DB=5,由翻折的性质可知，DE =DB=5.故答案为：5；(2)结论：A 8 C E 是直角三角形.理由：V CD=DB,DE=DB,DE=DC=DB,乙CEB=90,ABCE是直角三角形；(3)设4D交BE于点T.由翻折的性质可知，AE=DE=DB,4。垂直平分线段BE,ET=BT,乙ATB=90。，CD=D B,乙CAB=90,.DA=DB=DC=5,:.乙BAT=乙ABC,乙ATB=BAC=90,XBTA AC AB,AT ABAB C BAT 6.*-=,6 10.AT=y,DT=AD-AT=5-=v ET=BT,CD=DB,14 EC=2DT=.5故答案为：y.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形斜边中线的性质，翻折变换，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.11.（2022广东 东莞市光明中学三模）AABC中，BAC=60,4B=A C,点D为直线BC上一动点（点。不与B,C重合），以AD为边在4。右侧作菱形A D E F,使4ZMF=60。，连接CF.(1)观察猜想：如图1,当点。在线段BC上时，4B与CF的位置关系为：.BC,CD,CF之间的数量关系为：；(2)数学思考：如图2,当点。在线段CB的延长线上时，结论，是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸：如图3,当点。在线段BC的延长线上时，设4。与CF相交于点G,若已知4B=4,CD=A B,求4G的长.【答案】(1)48|CF；CF+CD=BC(2)成立，证明见解析；不成立，证明见解析(3MG=V7【分析】(1)根据菱形的性质以及等边三角形的性质，推出A0A 8丝/=:，根据全等三角形的性质即可得到结论；根据全等三角形的性质得到CF=B D,再根据BD+CD=BC,即可得出CF+CD=BC；