2023年中考数学训练：旋转综合题.pdf

2023年中考数学专题训练：旋转综合题一、综合题1.已知：如图，在矩形ABCD中，A B =6 cm,B C =8cm,对角线A C ,BD交于点。.点P从 点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，点 Q 从 点D出发，沿D C方向匀速运动，速度为lcm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接P O并延点也长，交B C于 点 E,过 点 Q 作QFA C,交BD于 点F.设运动时间为t(s)(0 t 0)(1)求 A C的长(2)用含t 的代数式表示线段C P 的长.(3)当点P在线段A C上时，求 d 与 t 之间的函数关系式.(4)经过点N的直线将矩形A B C D 的面积平分，若该直线同时将口 P M QN的面积分成1：3的两部分，直接写出此时t 的值.4 .如图1,点。为直线AB上一点，将一副三角板如图摆放，其中两锐角顶点放在点。处，直角边。，0 E 分别在射线 0 A,。8 上，且 Z.C OD=6 0 ,乙 EOF=4 5 .图 1 图2 图3(1)将图1 中的三角板O E F绕 点。按逆时针方向旋转至图2 的位置，使 得O F落在射线O B上,此时三角板O E F旋转的角度为 度；(2)继续将图2中的三角板O E F绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使 得O F在 乙4 O C 的内部，若/.C OF=3 5 ，则Z.A OE的度数为 度；(3)在上述直角三角板OEF从图1 旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点0 按每秒5。的速度旋转，当直角三角板O E F的斜边O F所在的直线恰好平分AD O C时，求此时三角板O E F绕点0的运动时间的值.5.在平面直角坐标系中，点。是原点，四边形A O B C是矩形，点4(5,0)，点5(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形A OB C ，得到矩形AD E F，息 0,B,C的对应点分别为D,E,F.S(D(1)如图，当 点D落 在BC边上时，求 点D的坐标；(2)如图，当 点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.求点H的坐标；(3)记K为矩形A O B C对角线的交点，S为4K D E的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可).6.当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等.例如：在图、图中,都有N1=N2,N 3=N 4.设镜子A B与B C的夹角NABC=a.(1)如图，若a=90。，判断入射光线EF与反射光线G H的位置关系，并说明理由.如 图 ，若9 0 y a 1 8 0,入射光线EF与反射光线G H的夹角NFMH=0.探索a与0的数量关系，并说明理由.(3)如图，若a=1 2 0,设镜子CD与B C的夹角NBCD=y(90Yy180。)，入射光线EF与镜面A B的夹角Z 1 =m(0om V90。).已知入射光线EF从镜面A B开始反射，经过n(n为正整数，且n3)次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出y的度数.(可用含有m的代数式表示)(1)【思维启迪】如图1,A,B 两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A,B 间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B 点的点C,连接B C,取 BC的中点P(点P 可以直接到达A 点)，利用工具过点C 作CDAB交 AP的延长线于点D,此时测得CD=200米，那么A,B 间的距离是 米.(2)【思维探索】在 ABC 和 ADE 中，AC=BC,A E=D E,且 AEAC,NACB=NAED=90。，将 ADE绕点A 顺时针方向旋转，把点E 在 AC边上时 ADE的位置作为起始位置(此时点B 和点D 位于AC的两侧)，设旋转角为a,连接B D,点 P 是线段BD的中点，连接PC,PE.如图2,当 ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是;如图3,当a=90。时，点D 落在AB边上，请判断PC与 PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 当 a=150。时，若 BC=3,D E=1,请直接写出PC?的值.8.如图，在正方形ABCD中，AB=5.点E 为 BC边上一点(不与点B 重合)，点F 为 CD边上一点，线段AE、BF相交于点O,其中AE=BF.(1)求证：AEBF；(2)若 OA-OB=1,求 OA的长及四边形OECF的面积；(3)连接O D,若 AOD是以AD为腰的等腰三角形，求 AE的长.9.如图，抛物线y=ax2+bx+c交 x 轴 于 1(-1,0),B(3,0)两点，交y 轴于点C(0,-3),点Q为线段B C 上的动点.(1)求抛物线的解析式；(2)求QO+QA 的最小值;(3)过点Q作PQ/A C交抛物线的第四象限部分于点P,连接P A,P B,记 P 4 Q 与 PBQ的面积分别为S i ,S 2 ,设 S =S i+S 2 ,求点P坐标，使得S最大，并求此最大值.1 0 .如图 1,点。在直线 上，OC L AB,在 O D E 中，4 O O E =9 0。，Z.EOD=6 0,先将 O D E 一边OE与OC重合，然后绕点O顺时针方向旋转，当OE与OB重合时停止旋转.(1)如图1,当OD在 OA与OC之间，且4 C O D =2 5。时，则乙4 O E =.(2)试探索：在 O D E 的旋转过程中，乙 4 0。与Z C O E 大小的差是发生变化?若不变，请求出这个差值，若变化，请说明理由.(3)在 O D E 的旋转过程中，若乙4 O E =7 4 C O D,试求4 1 O E 的大小.1 1 .已知 A B =B D,A E=EF,Z.A B D=A EF.（1）找出与乙D BF相等的角并证明；（2）求证：乙B FD=4 A FB；（3）A F=kDF,乙EDF+乙M D F=1 8 0，求 器.1 2 .如图1,在直角坐标系xO y中，直线1：y=kx+b交x轴，y轴于点E,F,点B的坐标是（2,2）,过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C,点D是线段CO上的动点，以B D为对称轴，作与 BCD（2）当图1中的直线1经过点A,且k=-字 时（如图2）,求点D由C到O的运动过程中，线段BC扫过的图形与 OAF重叠部分的面积.（3）当图1中的直线1经过点D,C时（如图3）,以D E为对称轴，作于 DOE或轴对称的 DO,E,连结O，C,O O,问是否存在点D,使得 DCTE与 CO,O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在,请说明理由.13.如图，在平面直角坐标系中，直线li：y=?x与直线I2：y=kx+b相交于点A（a,3）,直线交412交y轴于点B(0,-5).（1）求直线12的解析式；（2）将A OAB沿直线12翻折得到 CAB（其中点0的对应点为点C）,求证：ACOB；（3）在直线BC下方以BC为边作等腰直角三角形B C P,直接写出点P的坐标.14.在平面直角坐标系中，0是坐标原点，直 线y=mx+n分别交x轴，y轴 于4（4,0）、B（0,3）两点.M 1闻2（1）求直线y=mx+n的解析式；（2）点C为直线AB上一动点，以C为顶点的抛物线y=x2+bx+c与直线AB的另一交点为D（如图1）,连O C、OD,在 点C的运动过程中ACO D的面积S是否变化，若变化，求出S的范围；若不变，求 出S的值；（3）平移（2）中的抛物线，使顶点为（0,-4），抛物线与x轴的正半轴交于点G（如图2）,M ,N为抛物线上两点，若 以M N为直径的圆经过点G,求直线M N经过的定点Q的坐标.15.某校八年级数学兴趣小组在研究等腰直角三角形与图形变换时，作了如下研究:在 ABC中，NBAC=90,A B=A C,点D为直线BC上一动点（点D不与B,C重合），以A D为腰作等腰直角三角形D A F,使/D A F=9 0。，连接 CF.(1)观察猜想如图1,当点D在线段BC上时，CF与B C的 位 置 关 系 为；CF,DC,BC之间的数量关系为(直接写出结论)；(2)数学思考如图2,当点D在线段C B的延长线上时，(1)中的、结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明.(3)拓展延伸如图3,当点B在线段B C的延长线上时，将4 D A F沿线段D F翻折，使点A与点E重合，连接C E,若已知4CD=BC,A C=2在，请求出线段C E的长.1 6.如图1,在Rt A B C中，ZB=90,AB=4,B C=2,点D,E分别是边BC,A C的中点，连接DE.将CD E绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为a.图1图2 备用图(1)问题发现 当a=0。时，需=；当a=180。时，需=；(2)拓展探究试判断当0。01 6（不符题意，舍去）,综上，当 t 为 等 或 5 时，A A O P是等腰三角形;(3)解：如图 2,过 点。作 OHJ.BC 交 BC 于点 H,则 OH=CD=A B =3cm,由矩形的性质可知，A D/B C ，DO=B0,Z-PDO=Z-EBO,又 (DOP=乙BOE，：.ADOP=A B O E(A S A),3-212H=1-2 X3(8=。EB1-2E=。F Q/A C ,：.ADFQ-ADOC，相似比为 器=5，LfC o SDFQ _ ,DQ、2 _ t2百=(无)=36 1 1YS&DOC=0矩形ABCD=4 X 6 x 8 =12(cm2),t2 t2 12 x 36=y(c m 2)J.1 a/?,S 五边形OECQF=SDBC-S&BOE-SDFQ=2 x 6 x 8-(12-2 t)t2+，故 S 与 t 的函数关系式为S=-1 t2+|t +12;(4)解：当=果 时，0 D平 分乙COP.如图，过。作 DM1PE 于 M,DN J.AC 于 N,OR_LAD 于 R,B1 1VSAACD=AD-CD=AC DN，：.DNAD-CD _ 8x6 _ 24AC=1O-=TVOD 平分NPOC,：.z.POD=乙COD,DM=DN=三，VOD=BD=AC=5，_ 7ON=OM=JOD2-D N2=三，v SAPOD=OP-DM=30R -PD，VPD=8-t,OR=1(7D=3，.n p _ OR PD _ 5(8-t)_ r 5*PM=OP 一 OM o t，5 o在 RtA PDM 中，PD2=PM2+DM2,(8T)2=_|t)2 +(g)2 ,解得：t=16(不合题意，舍去)，t=事，当t=祟 时，0。平 分乙COP.(2)AADP和AA M N如图所示:,：AAM N是等边三角形，AM=AN=MN,Z MAN=60,.,边AM的长最大，.点M 在DC上，点N 在 BC上，.四边形ABCD是正方形，AD=AB=CD=BC,Z B=Z C=ZADC=ZDAB=90,ARtA ADMRtA ABN(HL),；.BN=DM,：AADP和 AAM N是等边三角形，；.AD=AP,AM=AN,NDAP=/MAN=60,/.ZDAM=ZPAN,/.ADMAAPN(SAS),.DM=PN,.*.NP=DM=BN,即：与线段N P 相等的线段有BN,DM.3.(1)解：.四边形ABCD是矩形，BC=AD=4,.,.ZABC=90,在 R2ABC 中，ZABC=90,AC=y/AB2+BC2=V32+42=5,A AC的长为5.(2)解：当点P 在线段AC上，CP=5-2t,当点P 在线段CB上，CP=t-J .(3)解：如图1 中，当N 在 BC上时.图1VAP=2t,AQ=t,AAQ=PQ,VPMAD,.,.ZAMP=90,AQM=A AP=t,由 A PM A A CD,可 得 靠 二 器，.2t _ PM,亏 一 丁：.PM=1 t,由 CN Q A CBA,可 得 黑 二舁，/D C/i,盟 5 t3 5解得t=j ,当0 t w|时，如图2 中，重叠部分是四边形PMQN,当|/34 5 /42+32=5，.IQOI+IQAI有最小值为5(3)解：由已知点 A(T,0),B(3,0),C(0,-3),设直线BC的表达式为y=kx-3,把 B(3,0)代入得：0=3k-3,解得：k=l,.直线BC的表达式为y=x-3,同理：直线AC的表达式为y=-3x-3.VPQ/7AC,直线PQ 的表达式可设为y=-3x+b,由(1)可设P(m,m2-2m-3)代入直线PQ的表达式可得b=m2+m-3,直线PQ的表达式可设为y=-3x+m2+m-3,_ m24-m.丁，_ 9-12y 4p即n Q八(F,/+巾，-m-2-4-4m-1-2-x)由题意：S=SAPAQ+SPBQ SPAB AQAB VP,Q 都在四象限,.P,Q 的纵坐标均为负数，S=AB-m2+2m+3)-1 7n2丁+巧,即 S=|m2+m =1(m2 3)=|(m|)2+,根据已知条件P 的位置可知0 机 3.=怖时，S 最大，即 P(|,电 时，S 有最大值 飞10.(1)125(2)解：在 ODE旋转过程中，/A O D 与/C O E 的差不发生变化,有两种情况：如 图 I，V ZAOD+ZCOD=90,ZCOD+ZCOE=60,Z AOD-Z COE=90-60=30,Z AOD=Z AOC+ZCOD=90+ZCOD,ZCOE=Z DOE+Z DOC=60+Z DOC,；.NAOD-NCOE=(90+ZCOD)-(60+ZCOD)=30。，即 ODE在旋转过程中，NAOD与NCOE的差不发生变化，为 30。；A图 2(3)解：如图 1,VZAOE=7ZCOD,ZAOC=90,ZDOE=60,二 90+60-Z COD-7 Z COD,解得：ZCOD=18.75,ZAOE=7x 18.75=131.25；如图 2,VZAOE=7ZCOD,ZAOC=90,ZDOE=60,90+60+Z COD-7 Z COD,.ZCOD=25,A ZAOE=7x25=175；即/人 0=131.25。或 175.11.(1)解：根据题意可知/.AEF=Z.ABF+/.BAE,Z.ABD=Z.ABF+乙DBF,v Z.ABD=Z.AEF,：.乙DBF=/.BAE；(2)证明：如图，在 BF上截取B P,使 AE=BP,BEMD由(1)得乙DBF=ABAE，即 乙DBP=Z.BAE,在 A B E 和&ADP中，AB=BDZ.BAE=乙DBP,AE=BPABE=ADP,BE=DP,Z-AEB=乙BPD，BP=AE,AE EF,BP=EF,.B P-EP=EF-EP,即 BE=PF,PE PD,PF=PD,A E F 和&FPD均为等腰三角形，又 /-AEB=乙BPD，Z.AEF=乙FPD,A E F 和产PO为顶角相等的等腰三角形，:./LEAF=Z.EFA=乙PFD=乙PDF,乙BFD=Z.AFB；(3)解：又(1)可知 XAEF SFPD,AF=kDF,AF EF,;,毋=而=卜 设 PF=PD=a,则 AE=EF=ka,Z.EDF+z MD F =1 8 0 ，乙MDF=乙MDP+乙PDF,Z.EDF=1 8 0 -乙FED-乙PFD,贝 lj 1 8 0 =Z.MDP+/.PDF 4-1 8 0 -/.FED-Z.PFD,乙PDF=Z-PFD,Z.MDP=乙FED,(EPD=乙DPM,PMD PDE,.噜=黑，即 PD2=PM-PE,PE PD由此得 a2=PM-(k-l)a,则 “=昌，AE ka.t而=砥 一1 K 112.(1)解：CBD0 CBD,/.ZCBD=ZC,BD=15,CB=CB=2,ZCBCX=3O,如图 1,作 CH_LBC 于 H,则 C，H=1,HB=V3，.*.CH=2-V3,.点C 的坐标为：(2-V3(1)图1(2)解:如图 2,VA(2,0),k=-亨,.代入直线AF的解析式为：y=-亭 x+b,.bb=-2 后 则直线A F的解析式为：y=-字 x+竽，.NOAF=30。，ZBAF=60,.在点D 由C 到O 的运动过程中，BC扫过的图形是扇形,.当D 与O 重合时，点。与 A 重合，且BC扫过的图形与 OAF重合部分是弓形，当C 在直线y=-字 x+竽 上时，BC,=BC=AB,ABC是等边三角形，这时/ABC=60。,607X22-73 X22=4兀-b360 4 3(3)解：如图3,设 00,与 DE交于点M,则O，M=OM,OOZDE,若A DOrE与公COO,相似，则4 C00,必是RtA,在点D 由C 到O 的运动过程中，COO,中显然只能NCO9=90。,CODE,CD=OD=1,Ab=l,连接B E,由轴对称性可知C，D=CD,BC=BC=BA,Z BCE=Z BCD=ZBAE=90,在 RtA BAE 和 RtA BCE 中.(BE=BE*kAB=BC ARtA BAERtA BCE(HL),AE=CE,J DE=DC+CE=DC+AE,设 O E=x,则 AE=2-x,ADE=DC+AE=3-x,由勾股定理得:x2+l=(3-x)2,解得：x=,VD(0,1),E(g,0),：.i k+l=0,解得：k=-1,存在点D,使小DO，E 与 COO,相似，这时k=-1,b=l.V13.(1)解：直线 li：y=,x 与直线 :y=kx+b 相交于点 A(a,3),/.A(4,3).直线交 I2 交 y 轴于点 B(0,-5),，y=kx-5,把 A(4,3)代入得：3=4k-5,k=2,.直线1 的解析式为y=2x-5(2)解：VOA=V32+42=5,OA=OB,，Z OAB=ZOBA.将 OAB沿直线12翻折得到a CAB,A ZOAB=ZCAB,A ZOBA=ZCAB,，ACOB(3)Pi(0,-9),P2(7,-6),P3(g,-芋).14.(1)解：.直线y=mx+n分别交x 轴，y轴 于 4(4,0)、B(0,3)两点.把4(4,0)、B(0,3)两点代入直线y=mx+n 可得：f=4 m +n 解得：=I 3=n In=3直线解析式为：y=-,x +3(2)解：由题意设c(t,，+3)过线段AB上的点C 作 x 轴的垂线交x 轴于点P,.1以C为顶点的抛物线解析式是y=Q-t)2-*t+3，由(x-t)2-,t +3=-5 x +3解得=-t,X2 t 过 点。作 DE J.C。于点 E,则乙 DEC =/.A OB=90。DE/OA乙EDC=Z.OABADECAAOBDE_C D A O=B A3 3 AO=4,AB=5,P=t-(t-J)=3D E x B A 3x5 1 5 CD=-7 7-7-=-3-=OA 4 1 6 C D边上的高=争=导，.cA COD _ I 正15 X-g12-=_ g9，：SA C O D为定值(3)解：由题意得：抛物线解析式为y=x2-4,可解得6(2,0).设 N d，%)、M(x2,y2),V乙MGN=90,过点 M 作 MF J.x轴 于F，过 点N作NH L x轴 于H,AMFGAGHN力 二2一 巧犯一2 y2yxy2=(%2 2)(2 a又 为=*_ 4,y2=%2-4代入上式简化得(%2+2)(久 1+2)=-1 ,即%1%2+2(X+%2)+4=-1设直线M N 的解析式为y=kx+b联 立 =得：-k x-4-b =0,ly=%4-4 4+亚=k，xix2=-4 一 b:.-4 b+2k+4=1,2k b=-1,2k+b=1,即当=2 时，y=2k+b=1直 线 M N 必过点Q(2,l).15.(1)垂直；C=CF+CD(2)解：CFJ_BC成立；BC=CD+CF不成立，结论：CD=CF+BC.理由如下:等腰直角 ADF中，AD=AF,VZBAC=ZDAF=90,.ZBAD=ZCAF,在 DAB与公FAC中，(AD=AFBAD=Z.CAF，I AB=AC DABAFAC(SAS),NABD=NACF,VZBAC=90,AB=AC,.ZACB=ZABC=45,J ZABD=180-45=135,AZBCF=ZACF-ZACB=135-45=90,ACF1BC.CD=DB+BC,DB=CF,CD=CF+BC.(3)解：过 A 作 AHJ_BC于 H,过 E 作 EMJ_BD于 M 如图3 所示:图3VZBAC=90o,AB=AC=2 V2,：.BC=V2 AB=4,AH=BH=CH=1 BC=2,，CD=J BC=1,4 DH=CH+CD=3,四边形ADEF是正方形，A AD=DE,ZADE=90,V BCCF,EM1BD,ENCF,四边形CMEN是矩形，A NE=CM,EM=CN,.,ZAHD=ZADC=ZEMD=90,J NADH+NEDM=NEDM+NDEM=90。，AZADH=ZDEM,在 ADH-JA DEM 中，CZ.ADH=乙 DEMlAHD=Z.DME，I AD=DE.*.ADHADEM(AAS),EM=DH=3,DM=AH=2,ACM=EM=3,CE=y)EM2+CM2=3 y216.(1)V5;V5(2)解:如 图 2,图2当0。4 360。时，镭的大小没有变化,VZECD=ZACB,NECA=NDCB,T7 EC _ AC _ rp乂 瓦 一 阮 一?.E C A A D C B,.AE _ ECBD -DC V 5 .(3)解：如图3-1 中，当点E 在 AB的延长线上时,图3-1在 R2BCE 中，CE=5,BC=2,-BE=yjEC2-BC2=V 5-4=1,，AE=AB+BE=5,AE 一 r=,前 一 *，*BD=亮=V5.如图3-2 中，当点E 在线段AB上时,cB E A图3-2BE=yjEC2-BC2=V5 4=1,AE=AB-BE=4-1 =3,AE 一 r=.前 一 5，.,.B D=等，综上所述，满足条件的BD的 长 为 等 或 通