北师大初一数学《一元一次方程》基础提高巩固练习、知识讲解.pdf

【巩固练习】、选择题1 .（春宜阳县期中）下列方程中，是一元一次方程的为（A.3x+2 y=6 B.x2+2 x -1=0C.Z-1=总x 22 .下列变形错误的是（A.由 x +7=5 得 x+7-7=5-7C.由 4-3x =4x-3 得 4+3=4x+3xB.由 3x 2 =2 x +1 得 x=32D.由-2 x=3 得 x=32+x3.某书中一道方程题：-一-+l=x,处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知3这个方程的解是=一2.5,那么处应该是数字（）.A.-2.5 B.2.5 C.5 D.74.将（3x+2）2（2 x 1）去括号正确的是（）.A 3x+2 2 x+l B 3x+2 4x +1 C 3x+2 4x 2 D 3x+2 4x+25 .当 x=2 时，代数式a x 2 x 的值为4,当 x=-2时，这个代数式的值为（）.A.-8 B.-4 C.-2 D.86.解方程土=1 一土匚 时，去分母正确的是（）.5 3A.3（x+l）=l-5（2 x T）B.3x+3=1 5 T 0 x-5C.3（x+l）=1 5-5（2 x-l）D.3x+l =1 5-1 0 x+57.某球队参加比赛，开 局 1 1 场保持不败，积 2 3分，按比赛规则，胜一场得3 分，平一场得 1 分，则该队获胜的场数为（）.A.4 B.5 C.6 D.78.某超市选用每千克2 8元的甲种糖3 千克，每千克2 0 元的乙种糖2 千克，每千克1 2 元的丙种糖5 千克混合成杂拌糖后出售，在总销售额不变的情况下，这种杂拌糖平均每千克售价应是（）.A.1 8 元 B.1 8.4 元 C.1 9.6 元 D.2 0 元二、填空题9 .在 0,-1,3 中，是方程3x-9=0 的解.1 0 .如果3x 5-2 =_ 6 是关于x的一元一次方程，那么a=,方程的解=.1 1 .若 x =-2是关于x的方程4%2。=3 的解，贝 Ua=.1 2 .由 3 x=2 x+l 变为3x 2 x=l,是 方 程 两 边 同 时 加 上.21 3.“代数式9 x的值比代数式一x 1 的值小6”用方程表示为.33 9 r 2 -x1 4.当乂=时，代数式 上 上 与 上 互为相反数.-2 31 5 .（哈尔滨模拟）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3 本，则剩余2 0 本；如果每人分4 本，则还缺2 5 本，这个班的学生有 人.1 6.某商场把彩电按标价的8 折出售，仍可获利2 0%,若该彩电的进价为2 0 0 0 元，则标价三、解答题3 117.（1）-x-0.1=-x+0.3 5 ；4 2（2）2 x-1（x-l）=|（x+3）.18.已知代数式-2 y-与1 +1的值为0,求 代 数 式 告。-告 匚 的 值.19.（南丹县一模）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：进 价（元/千克）售 价（元/千克）甲种 5 8乙种 9 13（1）这两种水果各购进多少千克？（2）若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？20.学校校办工厂需制作一块广告牌，请来师徒二人，已知师傅单独完成需4 天，徒弟单独完成需6 天，现由徒弟先做一天，再两人合作，完成后共得到报酬450元，如果按各人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.2.【答案】D3【解析】由 2x=3,得*=一 一23.【答案】C【解析】把 x=-2.5 代入方程，再把口当作未知数解方程即可.4.【答案】D【解析】（3x+2）-2（2xl）=3x+2-22x2（一 l）=3 x+2 4x+25.【答案】B【解析】将 x=2 代入得：2。-4=4,得 2a=8；将 x=-2 代入得：-2a+4=8+4=76.【答案】C【解析】去分母时避免漏乘常数项，当分子是多项式时，去分母后给分子加上括号.7.【答案】C【解析】设该队获胜x 场，则平的场数为（1队x）,则 3x+（ll-x）=2 3.解得x=6.故 选 C.8.【答案】B【解析】可设这种杂拌糖平均每千克的售价是x 元.依题意，得（3+2+5）x=28X 3+20X2+12X 5,解得x=1 8.4,故选B.二、填空题9.【答案】3；【解析】代入验证即可.310.【答案】-2；53【解析】5。-2 =1=。=,3 x=6 =x=251 1 .【答案】-；2【解析】将 X =2 代入得：8 2 a =3na=21 2 .【答案】-2 x；21 3 .【答案】(9 一处+6 =1-1；31 31 4 .【答案】；8【解析】土3-2上x +2-x=0,解得：1 3%=H2 3 81 5 .【答案】4 5.【解析】设有x 名学生，根据书的总量相等可得：3 x+2 0=4 x-2 5,解得：x=4 5.答：这个班有4 5 名学生.1 6 .【答案】3 0 0 0.【解析】设标价为x 元，则0.8 x=2 0 0 0(l +2 0%),解得：x=3 O O O三、解答题1 7 .【解析】解：(1)去分母,得 3 x-0.4=2 x+1.4.移项，得 3 x-2 x=1.4+0.4.合并同类项，得 x=1.8.(2)去分母，得 1 2 x-3(xT)=4(x+3).去括号，得 1 2 x-3 x+3=4 x+1 2.移项，得 1 2 x-3 x-4 x=1 2-3.合并同类项.得5 x=9.系数化为1,得 x=39.51 8 .【解析】解：由题意，得 2 y 与 口+1 =0.去分母，得 6 y y+l l +3 =O.移项合并同类项，得 7 y=1 4.系数化为1,得 y=2.当 y=2 时，3 Z Z 1.2Z Z1 =3 X 2-I _ 2 x 2-I=l4 3 4 3 4即若代数式 2 y 与1+1 的值为0,则代数式立二1 2 号 的 值 为:.1 9 .【解析】解：(1)设购进甲种水果x 千克，则购进乙种水果(1 4 0-x)千克，根据题意得：5 x+9 (1 4 0-x)=1 0 0 0,解得：x=6 5,140-x=75.答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；（2）3x65+4x75=495（元）答：利润为495元.2 0.【解析】解：设两人一起做x天，据题意，得：（x+l）+x=1,解得 x=2.6 4师 傅 应 得 报 酬 为X 2 X 450=225（元）.4徒弟应得报酬为450-225=225（元）.答：师傅应得报酬为225元，徒弟应得报酬为225元.一元一次方程全章复习与巩固(基础)知识讲解责编：康红梅【学习目标】1 .经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；2 .了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；3 .能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的合理性.【知识网络】方程r基 本 概 念-等 式 性 质-元一次方程方程的解法一一元一次方程方程的解解方程等式性质1等式性质2去分母去括号移项合并系数化成1面积问题等积变形依据概念解答相关问题等式性质的灵活运用一元一次方程的求解以不史应万变消费，方案选择问题 实 际 运 用-行程问题工程问题配套问题销售盈亏问题图共信息问题总分问题的解答从埼繁复杂的数量关系中探索等量关系【要点梳理】知识点一、一元一次方程的概念1 .方程：含有未知数的等式叫做方程.2 .一元一次方程：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：(1)一元一次方程变形后总可以化为a x+b=O(a#O)的形式，它是一元一次方程的标准形式.(2)判断是否为一元一次方程，应看是否满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1；未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.3 .方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解.4 .解方程：求方程的解的过程叫做解方程.知识点二、等式的性质与去括号法则1 .等式的性质：等式的性质1:等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式.等式的性质2：等式两边乘同一个数，(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式.2 .合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变.3 .去括号法则：(1)括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.(2)括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反.知识点三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数.(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边.(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为a x=b(a W O)的形式.b(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解x =(a W O).a(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解.知识点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1 .等积变形：形状面积变了，周长没变；原体积=变化后体积.2 .利润问题：商品利润=商品售价一商品进价3 .行程问题：路程=速度X时间4 .和差倍分问题：增长量=原有量X增长率5 .工程问题：工作量=工作效率X工作时间，各部分劳动量之和=总量6 .银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金X利率X期数7 .数字问题：多位数的表示方法：例如：=a x l O3+/?x l O2+c x l O +J.8 .方案问题：(1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.(2)用特殊值试探法选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论.【典型例题】类型一、一元一次方程的概念L (郸城县校级模拟)如果方程(k-1)x l +3=0 是关于x的一元一次方程，那么k的值是.【思路点拨】根据一元一次方程的定义知|k|=l 且未知数是系数k-0,据此可以求得k的值.【答案】7.【解析】解：.方 程(k-1)/1+3=0 是关于x的一元一次方程,|k|=l,且 k -1 M,解得，k=-I；故答案是：-1 .【总结升华】本题考查了一元一次方程的概念和解法.一元一次方程的未知数的指数为1,且未知数的系数不为零.举一反三：【高清课堂：一元一次方程复习393349等 式 和 方 程 例(1)】【变式】下列说法中正确的是().A.22-2=2不是等式 B.x2-2x-3是方程 C.方程是等式 D.等式是方程【答案】CC2.若方程3(xT)+8=2x+3与 方 程 土 吆=的 解 相 同，求 k 的值.5 3【答案与解析】解：解方程方x-l)+8=2x+3,得 x=-2.出2 x.2+k 2+2将 x=-2 代入方程-=-中，得-=-.5 3 5 3解这个关于k 的方程，得 女=竺.3所以，k=.3【总结升华】由于两个方程的解相同，所以可以将其中一个方程的解代入另一个方程中，从而求得问题的答案.举一反三：【变式】(春泉州期中)当*=_时，代数式2x+l与 5 x-8 的值相等.【答案】3.解:根据题意得：2x+l=5x-8,2x-5x=-8-1,-3x=-9,x=3.类型二、一元一次方程的解法3.解方程一-=14 6【思路点拨】通过方程的同解原理(去分母，去括号，合并同类项，系数化为1),一步一步将一个复杂的方程转化成与它同解的最简的方程，从而达到求解的目的.【答案与解析】解：去分母，得 3(y+2)-2(3-5y)=12去括号，得 3y+6-6+10y=12合并同类项，得 13y=12未知数的系数化为1,得)=彗13【总结升华】转化思想是初中数学中一种常见的思想方法，它能将复杂的问题转化为简单的问题，将生疏的问题转化为熟悉的问题，将未知转化为已知.事实上解一元一次方程就是利用方程的同解原理，将复杂的方程转化为简单的方程直至求出它的解.【高清课堂：一元一次方程复习3 9 3 3 4 9 解方程例1 (2)】举一反三：_ 0.l x+0.0 5 0.2%-0.0 5 5 八【变式】解方程：解方程：-+-=00.2 0.5 4【答案】解：把方程可化为：叶”一 生 0+3 =()2 5 4再去分母得：2=一3 2解得：x =-1 6 4.解方程：3(x +l)-(x-l)=2(x-l)-(x +l)2 2【思路点拨】本题按常规方法求解，比较繁锁，如能根据题目的特点，巧 用“整体思维”，就能算得又快又对，起到事半功倍的效果.【答案与解析】解：3(X+1)H(x+1)=2(x 1)(X 1)2 27 5-(x+l)=-(x-l)2 27(x +l)=5(x 1)7 x+7 =5 x-52 x =-1 2x=-6【总结升华】直接去括号太繁琐，若将(x+1)及(X-D 看作一个整体，并移项合并同类项，解答十分巧妙，可免去去分母的步骤及简化去括号的过程.类型三、一元一次方程的应用e5.甲车从A地出发以6 0 k m /h的速度沿公路匀速行驶，0.5 h后，乙车也从A地出发，以 8 0 k m/h 的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车.【答案与解析】解：设乙车出发后x小时追上甲车，依题意得6 0 X 0.5+6 0 x=8 0 x,解得 x =l.5.答：乙车出发后1.5 小时追上甲车.【总结升华】此题的等量关系为：甲前0.5 h的行程+甲后来的行程=乙的行程.CG.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为1 0c m,原容器内水的高度为1 2 c m,把一根半径为2 c m 的玻璃棒垂直插入水中后，问容器内的水将升高多少cm?(圆柱的体积=底面积X 高)【思路点拨】根据题意，得等量关系为：容器的底面积X 容器中水的原来高度+玻璃棒的截面积X(容器中水的高度+水增加的高度)=容器的底面积X(容器中水原来的高度+水增加的高度).【答案与解析】解：解：设容器内的水将升高x c m,据题意得：J t ,1 02X 1 2+n 22(1 2+x)=n l O2(1 2+x),1 2 00+4(1 2+x)=1 00(1 2+x),1 2 00+48+4x=1 2 00+1 00 x,9 6x=48,x=0.5.答：容器内的水将升高0.5c m.【总结升华】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解.本题也可以根据水面上升部分的体积等于插入水中玻璃棒的体积来列等量关系进行求解.C 7.某商品的进价为1 500元，提高40%后标价，若打折销售，使其利润为2 0%,则此商品是按几折销售的？(结果精确到0.1)【答案与解析】解：设按x 折销售，根据题意得出：1 500X(1+40%)X =1 500X(1+2 0%),10解得x g 8.6,答：此商品是按8.6 折销售的.【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用，解此题的关键是弄清“售价=进价+利润”和打几折即现价就是原价的百分之几十.举一反三：【变式】“五一”期间，某商场搞优惠促销活动，决定由顾客抽奖确定折扣，某顾客购买甲、乙两种商品，分别抽到七折(按原销售价7 0%销售)和九折，共付款38 6元，这两种商品原销售价之和为500元，问两种商品原销售价分别为多少元？【答案】解：设甲种商品原价X 元，则乙种商品原价为(500-X)元，则：7 0%x+9 0%(500-x)=38 6,0.7 x+450-0.9 x=38 6,0.2 x=64,x=32 0；乙种商品原价为500-32 0=1 8 0(元)；答：甲种商品原价为32 0元，乙种商品原价为1 8 0元.【巩固练习】、选择题1 .已知方程（加+1）父 -3=4 是关于*的一元一次方程，则 m的值是（）.A.1 B.1 C.-1 D.0 或 12 .已知x =l 是方程2%一2 =；*-。)的解，那么关于y的方程a(y +4)=2 a y +4 a 的解是().A.y=l B.y=-l C.y=0 D.方程无解3.已知x+y +2(-x-y +l)=3(l-y-x)-4(y +x-l),则x +y等 于().4.一列火车长1 00米，以每秒2 0米的速度通过8 00米长的隧道，从火车进入隧道起，至火车完全通过所用的时间为（）.A.50 秒 B.40 秒 C.45 秒 D.55 秒5.一架飞机在两城间飞行，顺风要5.5小时，逆风要6小时，风速为2 4 千米/时，求两城距 离 x的方程是（）.A.-2 4 =-+2 45.5 6x 2 4 x+2 45.5 -6C.2x x-=-2 45.5 +6 5.5x x D.-=2 45.5 66 .（永州）永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万亩野生杜鹃花最为壮观，被誉为“天 下 第 一 杜 鹃 红 今 年 五一 期间举办了 阳明山杜鹃花旅游文化节”，吸引了众多游客前去观光赏花.在文化节开幕式当天，从早晨8：0 0 开始每小时进入阳明山景区的游客人数约为1 0 0 0 人，同时每小时走出景区的游客人数约为6 0 0 人，已知阳明上景区游客的饱和人数约为2 0 0 0 人，则据此可知开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约 为（）A.1 0：0 0 B.1 2：0 0 C.1 3：0 0 D.1 6：0 07 .某书中一道方程题：2 *+x*+l =x,处在印刷时被墨盖住了，查书后面的答案，得知3这个方程的解是x=-2.5,那么口处应该是数字（）.A.-2.5 B.2.5 C.5 D.78 .己知：2 +2 =2 2 x 2,3+-=32X-,4 +=42X,5 +=52 x ），3 3 8 8 1 5 1 5若1 0 +2 =1（）2X2符合前面式子的规律，则 a+b的 值 为（a aA.1 7 9 B.1 4 0 C.1 0 9 D.2 4 2 4).2 1 0二、填空题9 .已知方程依2+3%+5=5%2 一2%+2。是 关 于x的一元一次方程，则这个方程的解为10.己知+4|和5 3）2互为相反数，则加22=.11.（温州校级自主招生）对于实数a,b,c,d,规定一种数的运算：|a/a d-b c,那2 4么当=10时、x=.-3 x12.一 商店把某商品按标价的九折出售仍可获得20%的利润率，若该商品的进价是每件30元，则标价是每件 元.13.某种中草药含甲、乙、丙、丁四种草药成分，这四种草药成分的质量比是0.7：1：2：4.7.现在要配制这种中药1400克，这四种草药分别需要多少克？设每份为x克，根据题意，得_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .14.有一列数，按一定的规律排列：-1,2,-4,8,-1 6,32,64,1 2 8,，其中某三个相邻数之和为3 8 4,这三个数分别是.c a、.3x+al-5x,15.已知关于x的方程3 x-2 x-=4 x和 方 程 不-丁 =1有相同的解，I 2）12 8则该方程的解为.16.x表示一个两位数，y表示一个三位数，若把x放在y的左边组成一个五位数记作出，把y放在x的左边组成一个五位数记作M 2,则Mi-M2是 的倍数.三、解答题1 7.解方程：一、0.4x+0.9 0.03+0.02x x-50.5 0.03 21 1 3（2）-x-（x-l）=-（2x+l）.（3）I 3x-2|-4=0.18.探究：当b为何值时，方程|x-2|=b+l无解；只有一个解；有两个解.19.（海淀区二模）小明坚持长跑健身.他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟.某周日，小明与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了 40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离.20.商场计划拨款9万元，从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出场价分别为甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共5 0台，用 去9万元，请你研究一下商场的进货方案；（2）若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一台丙种电视机可获利250元.在同时购进两种不同型号的电视机的方案中，为使销售时获利最多，该选择哪种进货方案？【答案与解析】一、选择题1 .【答案】B【解析】由题意得|m|=L且 m+I W O,所以m=l,故选B.2 .【答案】C【解析】由 x =l是方程2 x-2 =；(尤 a)的解，可代入求出a的值，然后把a的值代入方程a(y+4)=2 a y+4 a 中，求出y的值.3 .【答案】D【解析】由原式可得：(x+y)-2(x+y)+2 =3-3(x+y)4(尤+y)+4,将“x+y”看作整体，合并化简即可.4 .【答案】C【解析】相等关系是：火车所走的路程=火车长度+隧道长度.设火车完全通过所用时间为 x秒，可得方程2 0 x=1 0 0+8 0 0,解得x=4 5.5 .【答案】A【解析】解：两城距离为x,顺风要5.5小时，逆风要6小时，X X.顺风速度=,逆风速度=一，5.5 6.风速为2 4 千米/时，Y X可列方程为：-2 4 =+2 45.5 66 .【答案】C.【解析】设开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为x点，则(x -8)x (1O O O -6 0 0)=2 0 0 0,解得 x=13.即开幕式当天该景区游客人数饱和的时间约为13：0 0.7 .【答案】C【解析】把 x=-2.5 代入方程，再把当作未知数解方程即可.8 .【答案】C【解析】观察规律可得b=10,a=b 1=9 9,所以a+b=10 9.二、填空题9 .【答案】x=l【解析】首先将原方程整理成(a 5)f+5 x +5-2。=。的形式，由一元一次方程的定义可知，二次项系数为0,所以a=5,代入方程中即可求出x的值.10 .【答案】-8【解析】两数互为相反数，则和为0,由非负数的性质可知m-n+4=0,且 3=0.从而得 m=T,n=3.11.【答案】-1.【解析】由题意得，2 x+12=10,解得x=-l.故答案为：-1.12 .【答案】4 0【解析】解：设标价为X元，则有0.9 x =3 0(l+2 0%),解得：x =4 013 .【答案】0.7 x+x+2 x+4.7 x=14 0 014 .【答案】12 8,2 5 6,5 12【解析】通过观察可得：第个数为：(I)”，所以第9,10个数分别为：2 5 6,5 12,经检验满足题意.Q 115 .【答案】7 7【解析】分别解得这两个关于x的方程的解为尤=姆，*=士”,由它们相等得7 2 12 7a=,代入其中一解可得答案.1116 .【答案】9【解析】Mi =10 0 0 x+y,M2=10 0 y+x,M.-M2=9 (lllx-lly),所以一定是 9 的倍数.三、解答题17 .【解析】解：(1)整理，得 生 史 一 生 上=0,5 3 2去分母，得 6(4 x+9)10(3 +2 x)=15(x 5),去括号，得2 4 x+5 4 3 0 2 0 x =15 x-7 5,移项，得 2 4 x 2 0 x 15 x =7 5 5 4+3 0,合并，得一1 lx =9 9,系数化为1,得x =9.7 7(2)原方程可化为：X 6 12解得：x=2(3)原式可化为：I 3 x-2 I=42由3 x 2 =4,可得：x =2；由3 x 2 =4,可得：x 32所以原方程的解为：x=2,x=-.318 .【解析】解：当。+1 0,即b 0,即bT时，原方程有两个解.19.【解析】解：设小明家到学校的距离为x米，由题意，得W+4 0=工,30 25解得 x=6 0 0 0.答：小明家到学校的距离为6 0 0 0 米.20.【解析】解：（1）解：设购进甲种电视机x台，则购进乙种电视机（5 0 X）台，根据题意，得15 0 0 X +2 10 0 （5 0-x ）=9 0 0 0 0.解得：x=2 5,贝！5 0 尤=2 5.故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电视机各2 5 台.设购进甲种电视机）台，则购进丙种电视机（5 0 y）台，根据题意，得15 0 0 +2 5 0 0 （50-y）=9 0 0 0 0.解得：）=3 5,则 5 0-y=15.故第二种进货方案是购进甲种电视机3 5 台，丙种电视机15 台.设购进乙种电视机z台，则购进丙种电视机（5 0-z）台，购进题意，得2 10 0 z +2 5 0 0 （5 0-z ）=9 0 0 0 0.解得：z =8 7.5 （不合题意）.故此种方案不可行.（2）上述的第一种方案可获利：15 0 X 2 5+2 0 0 X 2 5=8 7 5 0 元，第二种方案可获利：15 0 X 3 5+2 5 0 X 15=9 0 0 0 元，因为8 7 5（X 9 0 0 0,故应选择第二种进货方案.一元一次方程全章复习与巩固(提高)知识讲解责编：康红梅【学习目标】1.经历建立方程模型、解方程和运用方程解决实际问题的过程，体会模型思想；2 .了解一元一次方程、方程的解等基本概念，会解数字系数的一元一次方程，感受转化思想；3.能运用一元一次方程解决实际问题，能根据实际意义检验方程的解的合理性.【知识网络】方程r基 本 概 念-等 式 性 质-元一次方程方程的解法一一元一次方程方程的解解方程等式性质1等式性质2去分母去括号移项合并系数化成1面积问题等积变形依据概念解答相关问题等式性质的灵活运用一元一次方程的求解以不史应万变消费，方案选择问题 实 际 运 用-行程问题工程问题配套问题销售盈亏问题图共信息问题总分问题的解答从埼繁复杂的数量关系中探索等量关系【要点梳理】要点一、一元一次方程的概念1 .方程：含有未知数的等式叫做方程.2 .一元一次方程：只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.要点诠释：(1)一元一次方程变形后总可以化为a x+b=O(a#O)的形式，它是一元一次方程的标准形式.(2)判断是否为一元一次方程，应看是否满足：只含有一个未知数，未知数的次数为1；未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数.3.方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解.4 .解方程：求方程的解的过程叫做解方程.要点二、等式的性质与去括号法则1 .等式的性质：等式的性质1:等式两边同时加上(或减去)同一个代数式，所得结果仍是等式.等式的性质2：等式两边乘同一个数，(或除以同一个不为0的数)，所得结果仍是等式.2 .合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母和字母的指数保持不变.3.去括号法则：(1)括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.(2)括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反.要点三、一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数.(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边.(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为a x=b(a W O)的形式.b(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解x =(a W O).a(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解.要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型1 .等积变形：形状面积变了，周长没变；原体积=变化后体积.2 .利润问题：商品利润=商品售价一商品进价3.行程问题：路程=速度X时间4 .和差倍分问题：增长量=原有量X增长率5 .工程问题：工作量=工作效率X工作时间，各部分劳动量之和=总量6 .银行存贷款问题：本息和=本金+利息，利息=本金X利率X期数7 .数字问题：多位数的表示方法：例如：=a x l O3+/?x l O2+c x l O+J.8 .方案问题：(1)运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.(2)用特殊值试探法选择方案，取小于(或大于)一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论.【典型例题】类型一、一元一次方程的相关概念1.已知方程(3 1 1 1-4)乂 2-(5-3 1 1 1”-4 1 1=-2 1 1 1 是关于*的一元一次方程，求 m和 x的值.【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1,系数不为0,则这个方程是一元一次方程.【答案与解析】解：因为方程(3 1-4)*2-(5-3 0 1)*-4 1!)=-2 小是关于乂的一元一次方程，所以 3 n r 4=0 且 5-3 m W 0.4 4,4由 3 n i-4 =0 解 得 根,又2 =能使5-3 m N 0,所以m的值是一.3 3 34，4、8 区将加=一 代入原方程，则原方程变为一 5 3 x 卜=,解得工二一2.3 I 3J 3 3cr.4 8所以机=一,x-.3 3【总 结 升 华】解 答 这 类 问 题，一 定 要 严 格 按 照 一 元 一 次 方 程 的 定 义.方 程(3 m-4)x 2-(5-3 m)x-4 m=-2 m 2 是关于x的一元一次方程，就是说x的二次项系数3 m-4=0,而 x的一次项系数5-3 m W 0,m的值必须同时符合这两个条件.举一反三：【高清课堂：一元一次方程复习3 9 3 3 4 9 等式和方程例3 1【变式】下面方程变形中，错在哪里：(1)方程 2 x=2 y 两边都减去 x+y,得 2 x-(x+y)=2 y-(x+y),即 x-y=-(x-y).方 程 x-y=-(x-y)两边都除以x-y,得 1=T.3 7 x 2 x +1(2)-=-+2 x,去分母，得 3(3-7 x)=2(2 x+l)+2 x,去括号得：9-2 1 x=4 x+2+2 x.2 3【答案】(1)答：错在第二步，方程两边不能除以x-y,只有一种可能就是x-y 为 0 了，所以出现了 1=-1 的错误，也就是说对于等式性质来说，如果想要除以式子来说，这个式子一定是不能为0的.(2)答：错在第一步，去分母时2 x 项没乘以公分母6.C 2.(秋营山县校级期中)对于a x+b=O (a,b为常数)，表述正确的是(A.当 a 0时，方程的解是x=k B.当 a=0,b x O 时，方程有无数解aC.当 a=0,b=0,方程无解 D.以上都不正确【答案】D.【解析】解：A、当 a x O 时，方程的解是x=-2 故错误；aB、当 a=0,b x O 时，方程无解，故错误；C、当 a=0,b=0,方程有无数解，故错误；D、以上都不正确.【总结升华】此题很简单，解答此题的关键是：正确记忆一元一次方程的一般形式中，一次项系数不等于0.举一反三：【变式】已知|x+l|+(y+2 x)2=0,则 x =.【答案】1类型二、一元一次方程的解法3.解方程：解方程 3 2 x T-3(2 x T)+3 =5.【答案与解析】解：把 2 x-l 看做一个整体.去括号，得：3(2 x-l)-9(2 x-l)-9=5.合并同类项，得-6(2 x 7)=1 4.系数化为1 得：2 1 一1 =一7上，32解得 x =-.3【总结升华】把题目中的2 x T看作一个整体，从而简化了计算过程.本题也可以考虑换元法：设2 x T=a,则原方程化为3 a-(3 a+3)=5.举一反三：A T._ x.Tn z +2 6-7 z 5 -2 z【变式】解方程z +-=-4 4 3【答案】解：把方程两边含有分母的项化整为零，得2 z-56z 2 6 7 z 5 2 z 2 z 5Z H-1-1-=-1-4 4 4 4 3 3 6 6移项，合并同类项得：-z=-,2 2系数化为1得：Z=l.类型三、特殊的一元一次方程的解法1.解含字母系数的方程解关于X的方程：-m(x-n)=-(x+2m)3 4【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数X的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与X的系数和常数的取值都有关系.【答案与解析】解：原方程可化为：(4/J 3)x =4-mn+6m-2m(2n+3)当机W 23 时，原方程有唯-解：4/7 7 7 7 +6 7 7 2;4 4/7 7-3当机=33,=三3时，原方程无数个解；4 23 3当m =一n H 时，原方程无解；4 2【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式奴=，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明.2.解含绝对值的方程5.解方程|x-2|=3.【答案与解析】解：当x-2 2 0时，原方程可化为x-2 =3,得x=5.当x-2 n k B.n k m C.k m n D.m k n【答案】A类型四、一元一次方程的应用Ce.李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车 前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少？【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变.【答案与解析】解：设李伟从家到火车站的路程为y千米，则有：y 15 y 15 1 tg/0 4530 60 18 60 245由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为2V +L15 =（小时）.30 60李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x千米/时，则有：45x=一=27（千米/时）1-1-60 60答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时.【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法.C7.黄冈某地“杜鹃节”期间，某公司70名职工组团前往参观欣赏，旅游景点规定：门票每人60元，无优惠；上山游玩可坐景点观光车，观光车有四座和十一座车，四座车每辆60元，十一座车每人10元.公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元时，问公司租用的四座车和十一座车各多少辆？【答案与解析】7（）-4x解：设四座车租x辆，十 一 座 车 租 二 一 辆，依题意得：1170-4r70 x60+60 x+llx-xl0=492011解得：x=l,7 -4.=611答：公司租用的四座车和十一座车分别是1辆和6辆.【总结升华】解答本题需从“公司职工正好坐满每辆车且总费用刚好为4920元”中挖掘两个等量关系构建方程求解.8.某牛奶加工厂有鲜奶9吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润5 0 0 元，制成酸奶销售，每吨可获取利润1 2 0 0 元；制成奶片销售，每吨可获利润2 0 0 0 元，该工厂的生产能力是：如制成酸奶，每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1 吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此,该厂某领导提出了两种可行方案：方 案 1：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案2：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.你认为选择哪种方案获利最多，为什么？【答案与解析】解：（1）若选择方案1,依题意，总利润=2 0 0 0 元X 4+5 0 0 元X （9-4）=1 0 5 0 0 （元）.（2）若选择方案2.方法一：解：设将x吨鲜奶制成奶片，则用（9-x）吨鲜奶制成酸奶销售.x 9 x依题意得，-+=4,1 3解得x=1.5.当 x=1.5 时，9 x=7.5.总利润=2 0 0 0 X。5+1 2 0 0 X 7.5=1 2 0 0 0 （元）.,/1 2 0 0 0 1 0 5 0 0,选择方案2较好.方法二：解：设 x天生产奶片，则（4-x）天生产酸奶.x+3 （4-x）=9x=l.54-x=2.51.5 X