2023届高中数学大题二轮复习第36讲函数的最值-解析版.pdf
第3 6讲函数的最值最值就是函数在某个区间上的最大值和最小值,从函数图像直观说来，最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点，由最大值和最小值可以确定函数的值域，我们来看最值的具体定义：(1)设函数/(X)的定义域为。，若 切G D，使得对V x G。均满足/(x)0,均有/(x)W 而=0.故lnx-x+1 0,Inx 极值为/(两).第二步:求出边界值，即/(加)和/().第三步:比较极值和边界值的大小，最大的为最大值，最小的为最小值.【例1】函数/（x）=g +lor-l,求x）在区间（,e上的最大值.【解析】仆）=弓+?产*一；.当 时，(x)=0,即“X)单调递增.又卜一2,e）而e .2:,x)在区间!,e 上的最大值为/皿=/口 =e -2 ._e J e/【例2】已知函数力=也+刈判断x）的单调性，并求x）在-,e上的最xe值.【解析】力=蛆+的定义域为（0,+）X 1-lnx,/(x)=F-+l =A-l +x2-Inx0X?丫2 _ i(y/2X+1)(y/Q,X-1)设 g (%)=+12 -山,则 g (x)=-=-令 g (x)=0 得X X也 2 .g(x)在0,上上单调递减，在 出,+R上单调递增，、2 J I 2 ,(6、a B则 g(%Lin=g =。-In 上 0./(x)在(0,+8)上为增函数.7 J(X)在 1,e 上的最大值为e)=：+e,最小值为/(1 =-e.讨论含参函数的最值讨论含参函数/(x)在区间 a,目上的最值,核心在于求出“X)在 区 间 上 的单调性和极值，对于最值、单调性和极值之间的关系，有如下常用结论：(1)若函数在区间 a,0 上单调递增或递减，则/(a)与/(。)一个为最大值，另一个为最小值.(2)若函数在区间 a,句内有极值，则要先求出函数在 a,目上的极值，再与/(),f(b)比较，最大的为最大值，最小的为最小值.(3)函数x)在区间(a/)上有唯-个极值点,这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.除上述结论外，我们解题时通常会碰到一种求最大或者最小值的常考模型：最大值模型:求解含参函数y=f(k,x)(k为参数)在x e a,句上的最大值ymax.解题步骤：第一步:求出含参的极值点，这个极值点一般为极大值点,并用参数表示，即/(左，而)=O n/=g(4第二步:把极大值点X o=g(A)分 在 区 间 的 左、中、右三种情况来讨论.当极大值点在区间左边时，即X o=g(4)4 a,函数y=幺x)(左为参数)在x e a,。上单调递减，则K1 ax=/()当极大值点在区间中间时，即ax0=g（攵）0)若aWO,则/(x)0 J(x)在区间 0,+8）上单调递增.若a 0,令r（x）=0,得尤=（极值点），当0 x 时,r（x）0/=是极小值点.”X）有单调递减区间（0微，单调递增区间.若aKO,即极小值点在区间左边,x）在 0,2上单调递增.g(a)=O)=O.若0 a 0),求函数/(x)在 1,2 上的最大值.【解析】/(x)=-ev(t z 0),则r(力 _ 炉.令/(X)=0,解得X =1/(极值点).a a a当x 0.当x I n,时,/(X)0.x =l n 为极大值点.、1故函数x)的增区间为In-.减区间为|l n L,+e .aj一8,a当l n：N 2,即0 aW5,极大值点在区间右边时,/(x)在区间 1,2 上单调递增，则/(月心=2)=2 e?.当1 1 J 2,即 极 大 值 点 在 区 间 中 间时，/(x)在区间1,l n 1)上单调递增，在区间1 n：,2上单调递减,ci则/(%*=小.当In*1,即。弓极大值点在区间左边时,/(可在区间 1,2 上单调递减，则小)3=1)=：-e-【例3】求g(x)=a l n x +2 x 2 一以一4%在区间 l,e 上的最小值/(a).解析 1 g(x)=l n x+2 x2-a r-4 x,则 g (x)=0 +4 x-a -4 =(叙1)令 g x)=0 得 x 或 x =l.当3 4 1,即 晨4时，8 3在3上为增函数,/2(。)=86=-。一2.当 l e,即 4 a 4 e 时,g(x)在 1,a、4;上单调递减，在e 上单调递增,加力且仁、/a n-a2-a.4 8当即心4 e 时,g(x)在 l,e 上为减函数,/./?(t z)=(e)=(1-e)t z +2 e2-4 e.ci 2,a 4综上所述,/z(a)=,a 2 A Aa l n-cT ，4 a 4 e已知最值反求参数反求参数问题是给出函数在区间上的最值，来反求参数，其一般步骤是：第一步:按照上一节的步骤，先讨论出含参数单调性和最值，这个最值通常含参数.第二步:带人已知的最值反求解参数，求解后验证，不满足则舍去.【例 1】已知函数”刈=三一2 向.讨论“X)的单调性.若/(x)在 口,+。)上的最大值为1,求。的值.【解析】/(x)的定义域为(O,+”)(x)=-十：=-三 等.当 心 0 时，尸(x)0,/(x)在(0,+8)上单调递减.当a0时，令/(x)夕则/(x)的单调递减区间为1-会+叼.令/(无)0,得0%-多则x)的单调递增区间为(0,-(2)由口)题知,i)当 心0时,“X)在 1,+8)上单调递减，；J(X)1r a x=1)=a =1，则 a =1.i i)当-2 W a 0时在 1,+。)上单调递减，:.f(x)n m=/(l)=a =l J i J-2 0,不合题意.i i i)当a -2时,/(XL=/1 2=-2-2 111-a-2,:.-2-2n 一?一2,则a 0,/(x)在(0,+e)上单调递增.当 a 0,在 l,e 上恒成立，此时x)在 l,e 上为增函数./(x)在 l,e 上的最小值为|,.-./(x)min=1)=a=看；.a=|(舍 去).若 aW-e,则x+a 0,即/(x)0,在 l,e 上恒成立，此时“X)在 l,e 上为减函数，”(x)min=/(e)=1-=|.a=-(舍去).若 Y v a v-l,令/(%)=0 得了=-.当 1 v x v-口 时,广(工)v 0,.-./(x)在(一1,a)上为减函数.当一a x 0,.%)在(-a,e)上为增函数./(-a)=In(a)+1 =|.1.a=-x/e.综上可知:a=-Ve 例 3已知函数8(力=10-3以。0),若8(工)的最大值为-1,求。的值.解析(x)=/(x)-x2+av,/(x)=x2-axXwca e R),即 g(.v)=x2 ar+lnx-x2+-ar=Inx-ax,(x0),(上 泊2-ax2x(x0).(1)当a 0 时，令 g (x)=O,即 2 0=0,解得工=0.令g (x)。,即2-依 0,解得了 .令 g (x).a又门 0,.在区间(0,上g(x)单调递墙在区间,+e J上g(x)单调递减.当x =_|时,g (%)取得最大值，而g (%)的最大值为-1./、(2 2 1 2 2，g X)m a x=g -=111一Tfl X-=l n-=Tmax a J a 2 a a贝!J In =0,二 一=1,解得 a=2.
