二轮复习梳理纠错预测学案十极坐标与参数方程（理）.pdf

专题10极 坐 标 与 参 数 方 程命 题 趋 势极坐标与参数方程是高考的选考内容之一，考查的形式主要为解答题.通常第一问比较简单，一般为极坐标方程与普通方程的互换，参数方程与普通方程的互换；第二问一般以直线与圆的位置关系或直线与圆锥曲线的位置关系作为背景，考查极坐标方程中的P的几何意义，或者是参数方程中参数的几何意义，整体难度中等.1.平面直角坐标系中的伸缩变换x=X x,（X 0）设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换,小的作用下，点P（x,y）对应到点y=y，（4o）P（x,/）,称0为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2.极坐标系的概念在平面内取一个定点。，叫做极点；自极点。引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.点M的极坐标：设M是平面内一点，极点。与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为p;以极轴。x为始边，射线0M为终边的ZxOM叫做点”的极角，记为。.有序数对（P，。）叫做点M的极坐标，记为M（p,。）.一般地，不做特殊说明时，我们认为P之0,。可取任何实数.注：极坐标（P，。）与（P，0+2/OT）（keZ）表示同一个点.极点。的坐标为（0,0）（。6R）.若p 0,规定点（-P，。）与点（p,。）关于极点对称，即（-P，。）与（P，兀+。）表示同一点.如果规定P 0,00 0,0 S。2兀或p 0,7 T 6 0)和。=yr+a(p 0)过点（。,0）,与极轴垂直的直线O(a,0)Xpcos0=a过点（a,与极轴平行的直线;(a,-)2iii0 xp sin 6=a(0 0 T T)5.参数方程的概念过点（。,0）,倾斜角为a的直线M/ps in(a-0)=a s in aO(a，0)X圆心为极点，半径为a的圆p a(0 9 2)圆心为（a,o）,半径为a的圆p =2 a c o s 0 -0 圆 心 为5）,半径为a的圆(f i tp=2a s in 0(0 0 p2=4p s in 0,所以圆。的直角坐标方程为 2+/-4 丫 =0,x =/co s a直线/的参数方程为 .a 为参数）.y =1+E s ina(2)将代入=尸 2 sin a t-3=0=ti+J =2 sin a,Z,-f2=-3,被 C 截得弦长 d=/一 /J=储+-4 也=J4sin a+12=y/13=sin ex=,一 5万a=一或.6 6【点评】本题考查了极坐标方程与普通方程的互换，直线参数方程中，参数的几何意义，属于中档题.3.在极坐标系中，圆。的极坐标方程为p2=4p（cos6+sin0）-3,若以极点。为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系.（I）求圆C 的一个参数方程；（2）在平面直角坐标系中，P（x,y）是 圆 C 上的动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标.x=2+V5 COS(p【答案】(1)是参数)；(2)最大值为11,P(3,4).y=2+，5 sinp【解析】（1）因为p?=4p（cos。+sin。）-3,所以一+y?一-4y+3=0,即。一 2尸+（y-2/=5 为圆C 的直角坐标方程，x=2+A/5 cos6?所以圆C 的一个参数方程为 9 为参数）.y=2+j5 sinp（2）由（1）可知点P 的坐标可设为（2+遍 cosR,2+V5sintp）,则x 4-2y=2+V5 cos 卬 +4+2V5 sin(p=2A/5 sin+A/5 COS 0+6=5 sin(口 +a)+6,其中cosa=竽,s in a 当JT当x+2y取最大值时，sin(p 4-a)=1,9+2=2Z乃+万次 Z,L|r 1 ,1、./冗、2，此时 cos(p=cos(a)=sm a=,sin 9=sin(a)=cos a=所以x+2y的最大值为1 1,此时点P 的直角坐标为（3,4）.【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式，同角三角函数的基本关系式、圆的参数方程及其应用、三角函数单调性与值域，属于中档题.4.在平面直角坐标系xoy中，直线/过定点P（3,0）,倾斜角为,曲线C的参数方程为1%=+一1。为参数）；以原点。为极点，X轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.t 1y=-2 2/（I）求曲线C的极坐标方程;已 知 直 线 次 曲 线c于M,N两点，且|PA 4|PN|=5,求/的参数方程.X =3 d-1【答案】（1）p2co s2-4 p2s in2=4;（2）/（t为参数）.1 1x=t+-x=t+-【解析】（1）由:，得 1t 1 -1（1丫（1丫 2 r 1 2 r 1 /I 一，一+2+-z +2-=4,.*.x2 （2y）2=4,即M 4y2=4,又（x=pcosff，/r co o s。八-4ps9 in，8八=4,y=psinG即曲线c的极坐标方程为p2 co s2 0-4p2 s in2 0=4.（2）设珀勺参数方程为x=3+tcosay=tsina（t为参数）,代 入/一 4y 2=4,整理得（co s2 a-d s in?+6/co s a+5=0,设方程的两根分别为t l，t 2,贝野也=一-.co s 4z-4s in a则 上 孙 叫=,也|=-5.,=v,解得co s a=9,co s（7-4 s in a 3 2*/0 6 Z =4,即2+y 2-4y =0,所以曲线G的极坐标方程为p2=4。s in 0,即p=4 s in。.x =2/2co s/（2）曲线C 2的参数方程为y=2 V2 s in因为曲线C 2与两坐标轴相交，所 以 曲 线 交 工 轴于点A Q,。）、交y轴于点8（0,2）,所以，线段4B的方程为x +y -2=0（0 久式2）,则线段4B的极坐标方程为pco s 6+ps in-2=0 0|,设点P、Q的极坐标分别为P（Pi,。）、Q（P2,。）,7点P在线段48上，可得pi co s 6+%s in。=2,可 得 依 丹 二 百 二 -s inO+co s。点Q在曲线G上，贝”。M|=。2=4s in。,=4 s in。x si0+cs=2 s in?8+2 s in 6 co s 0=s in 20-co s 2 3+1OP 2=3s in1 26-引 +1 ,0 0 -,可得一工426 工4网，2 4 4 4当26 1 =g时，即当。=注 时，盥I取得最大值或+1.4 2 8|OP|【点评】在已知直角坐标方程求曲线的交点、距离、线段长度等几何问题时，如果不能直接用直角坐标解决,或用直角坐标解决较为麻烦，可将直角坐标方程转化为极坐标方程解决.6.在直角坐标系x Oy 中，直线/:卜=6+co s a 为参数）与曲线C：卜=2?为参数）相交于不同y=tsina y=2 m的两点A B.7T（1）当a =：时，求直线/与曲线C 的普通方程；4 若|M*|MB|=2|M*一 其中M （8，0）,求直线，的倾斜角.【答案】（1）I：y=x-V 3,C:y2=2 x;（2）或 生.6 6TT【解析】（1）当a =:时，直线/的普通方程为y=x-次，曲线C 的普通方程为必=2%.4（2）将直线/:0八 ,t2co s a+t2=-s in-a-20|M A|M B|=2 11 MA|创=,也|=21+丫-273.2s in a=22 co s as in2 a,.c o s a|=#,IT Sy r所以直线珀勺倾斜角为二或L.6 6【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查直线方程中此时r 的几何意义的应用，是中档题.x=2 C OS CL7.在直角坐标系x Oy 中，曲线C 的参数方程为4 .（。为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴y =2+2s ina为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；JT（2）设力，B 为曲线C 上不同两点（均不与。重合），且满足乙4。8=,求 O A B 的最大面积.4【答案】p=4s in。；（2）2V2+2.【解析】（1）设曲线C 上任意点的极坐标为（p,。），由题意，曲线C 的普通方程为/+0-2）2=4,即/+y2 4y =（）,则p1=4。s in。，故曲线C 的极坐标方程为P=4s inO.（2）设4（pi,0）,则 3（夕 2,。+1），故 右。,1-），jr因为点4,8在曲线C上，贝 ljpi=4sin。，p2=4sin(9+),故 SAAOB=IMsin NAOB=472 sin 8sin(8+f=4(sin2 6+sin 6cos0)=2sin 20-2cos2。+2=2夜sin(26-)+2,4(37r0,7，故。=时，Q钻取到最大面积为2鱼+2.【点评】本题考查参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化，其中普通方程与极坐标方程转化的公式为x=p cos 0-y=sin。，考查两线段积的取值范围的求法，涉及三角函数的辅助角公式以及三角函数的值域，考查学尤2 +y2=p2生转化与化归的思想以及运算求解的能力，属于中档题.高 频 易 错 题一、解答题.x-2cos(p1.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，已知曲线a 的参数方程为1 为参数)，以坐标原点。为极点,y=2+2sinx 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为P=4cos0.(1)求曲线C1与曲线C2两交点所在直线的极坐标方程；(2)若直线。过点P(l,2)且与直线/:2 外 山 卜+=1平行，直线，1与曲线G 相交于A,B两点,求I-+I-的值PA PB悟 案】。=乎 旌。半x=2cos0【解析】(1)由 c c (为参数)，消去参数0，y=2+2sin 0得曲线Ci的普通方程为+(y-2/=4,由夕=4cos6,得p2=4pcos。，得曲线C2的直角坐标方程为/+y 2 =4 x,即(x 2)2+y2=4.所以两方程相减可得交线为y=X,TT所以直线的极坐标方程为6=二(p e R).(2)由/:2夕s in。+不1=1,得百ps in。+pco s。=1,直线/的直角坐标方程入+岛=1,直 线/的 斜 率 为-所 以 直 线 匕 的 斜 率 为-,倾 斜 角 为,3 3 6,0 x=l-1所以直线，1的参数方程为 2 Q为参数)，y =2+LI 2将直线匕的参数方程代入曲线6,/+6，-2)2=4中，得/一 收 一3=0.设A,8两点的参数为G，t2,。+12=12=-3,则t,今异号.1 1 1 =1 I 1 J M+k L J T 屈+，2)2-4科=而 M 1尸 创 一 同 同 一 M 3 3-3【点评】将参数方程化为普通方程消参的3种方法：(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消参；(2)利用三角恒等式消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活选用一些方法从整体上消去参数.精 准 预 测 题一、解答题.i.已知曲线a的参数方程为4 x=c 2 t+l。为参数)，以原点为极点，龙轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度y=2t-3建立极坐标系，曲线C 2：P=2a co s 0(a 0)关于Q对称.(1)求G的极坐标方程，C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C/：+三=1与两坐标轴正半轴交于4B两点，P为C;上任一点，求A A B P的面积的最大4。3a值.【答案】C：ps in(。一?)+2夜=0;C2：(x-4)2+y2=16;(2)4&4也.%=2，+1【解析】(1)G：c c，消去，得x -y =4.y=2t-3又 x=pcosO,代入-y =4,得夕cos。一夕sin 8-4 =0,y=psin0/?cos-/?sin-4=0=V2/?sin 0-j+4=0,4所以G的极坐标方程为psin。一?J+2 0 =0;C2:p=2acos 9(a 0)化为(a)2 4-y2=a2(a 0),又C?关于G：%-y=4对称，.(a,0GCx,.*.a=4,C2:(%4)2 4-y2=16.(2)由(1)知Q=4,.,.03：+乙=1,.4(4,0),5(0,2V3),=2V7,易得匕8：+2y-4V5=0,设P（4 cos。，2遮$由。）到匕8的距离为4.贝 ijd=|4A/3 COS 0+4A/3 sin 0-4 甸4 6 应s in e+5)-1 4 6卜夜 1)当sine+?）=-l时，d有最大值4 K(a +1)F 0),点 Q 是C1与C2的公共点.冗(1)当。0=1 时，求直线MQ的极坐标方程;(2)当=7 时，记直线MQ与曲线6 的另一个公共点为P,求|MP|MQ|的值.【答案】(1)pcos0+V 3psin0-2=O;(2)3.【解析】(1)曲线6 的普通方程是/+y2=1,当4=2 时，点Q的坐标为直线MQ的普通方程为X+V 3 y-2 =0,所以直线MQ的极坐标方程为p cos。+b p sin 0-2=0.(2)当q=T时，点Q的坐标为,所以MQ的斜率为人=-(,-2.旭所以直线MQ的参数方程为1 J，为参数),代入/+y 2=1并化简得一一 U 手，+3=0,设它的两根为G，t2,则|MP|“MQ|=忙也1 =3.【点评】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，直线参数方程的几何意义.其中第二问解题的关键在于根据题意写出直线M Q 的参数方程为c 577x =2-114V2T-114。为参数），进而利用直线参数方程几何意义求解.yx =2+/co s a4.在平面直角坐标系%Oy 中，曲线C 1的参数方程为 （为参数，t,a GR）,以坐标原点。为极y=t s m a点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为夕s in2e-2co s e=0.（1）将G,的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）设曲线G与C 2的交点分别为4,B,求A O A B 的面积的最小值.【答案】（1）G：x s ina-y co s a-2s ina=0,曲线Q 表示过点（2,0）的直线；C2：y2=2%,曲线C 2表示抛物线；（2）4.犬=2+fco s。【解析】（1）由仕为参数），消去t 得C/y co s a=（%-2）s ina,y=t s m a即5山 一）7（：05。-25山0=0,曲 线 表 示过点（2,0）的直线.由的：Ps in2 d 2 cosO=0,得夕？s in2 3 2 pcos0=0.将 =。恒$。，y =ps in。代 入 的 方 程得y 2=2%,曲线C 2表示抛物线.（2）由于直线G过定点（2,0）,由题意可设G：x =m y +2.联立 ,消去X 得y 2-2 my-4 =0.I V=2 x设4（%I，y j,B （x2,y2）.则y i+y 2=2m,yxy2=-4,且的与x 轴的交点为（2,0）,所以=g x 2|y 一%|=+%-一 4）1%=V W+1 6 ,所以当m =0时，SA0*B取得最小值4.【点评】本题考查直线的参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的互化，以及直线与抛物线的位置关系，三角形面积的最值问题，属于中档题.5.数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线C:p=s in39（pR,6e 0,2）被称为“三叶玫瑰线（如图所示）.00(1)求以极点为圆心的单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；T T(2)射线匕，。的极坐标方程分别为。=。，8=4+7/两点，求-p-+-7的最小值.OM 0 N【答案】吟)，吟,c 吟)4-0,2万)，p 0),L分别交曲线。于点时，sin 3。【解析】(1)将单位圆与三叶玫瑰线联立”，I P =1所以 39=工+2左乃伏 eZ),=-+(GZ),2 6 3因为。0,2乃)，所以取k=0,1,2,得，=工，当6 6从而得到单位圆与三叶玫瑰线交点的极坐标为A(1,看)(2)将0=00，4 +代入。：Q =s in36(0eR点M,N所对应的极径分别为pi，p2,所以pi=s in 3拆解得 s in36=l,3冗,2,B 闱,C砥).同 0,2)，P2 =co s 3 e0,即|QA/二sin 3然,|ON二cos 2 30o,1 1 1 1 (1 1-1-=-1-=-1-OM2|ON sin2 36 cos23 sin2 36 cos2 3-j(sin2 34+cos2 3)当 且 仅 当t an 23。0=1时，取得最小值4.【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的转换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.