初中九年级数学下学期中考第一次模拟考试试题卷（含答案详解）.pdf

（某某市县区）初中九年级数学下学期中考第一次模拟考试试题卷（含答案详解）本试题分第I卷（选择题）和第n 卷（非选择题）两部分.第I卷共2 页，满分为4 8 分；第II卷共4 页，满分为1 0 2 分.本试题共6 页，满分为1 5 0 分.考试时间为1 2 0 分钟.答卷前，考生务必用0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.本考试不允许使用计算器.第 I卷（选择题 共 4 0 分）注意事项：第 I卷为选择题，每小题选出答案后，用 2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.一、选择题（本大题共1 0 个小题，每小题4 分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）3.神舟十四号载人飞船是北京时间2022年 6 月 5 日 10时 44分由长征二号F 遥十四运载火箭成功送入近地点高度200000米、远地点350000米、倾角42。的地球近地轨道.将350000用科学记数法表示应为（）A.3.5 xlO4B.0.35 x 105 C.35xl04 D.3.5xlO54.将一副三角板（含 30。、45。的直角三角形）摆放成如图所示，图中N 1 的度数是（）5.下列运算正确的是（）A(%+2)2=X2+4 B.a2+a2=a4 C.2x+3x=5x2 D.(-2x3)?=4x66.10件产品中有5 件次品，从中任意抽取1件，恰好抽到次品的概率是（）7.化简x-1 x+1的结果是（B.x+18 4,B,c 三种宽带上网方式的月收费金额以（元），yB（元），yc（元）与月上网时间X（小时）的对应关系如图所示.以下有四个推断中错误的是（）25 35 5560 80 8/小时A.月上网时间不足35小时，选择方式4 最省钱；B.月上网时间超过55小时且不足80小时，选择方式C最省钱；C.对于上网方式B,若月上网时间在60小时以内，则月收费金额为60元；D.对于上网方式C,无论月上网时间是多久，月收费都是120元.9.问题：如图1,矩形纸片ABC。中，A B =2,B C =3,要求将矩形纸片剪两刀后不重叠、无缝隙地拼接成一个正方形.甲、乙两位同学根据剪拼前后面积不变，确定了正方形的边长为迷，并分别设计了如下的方案.甲：如图2,在 AO上找点E,连接8 E,使 B E=，作 N Z X/=N A B,交.BE于 F 前,完成分割；乙：如图3,在 AO 上找点尸，连接C F,使 C尸=,以 BC 为直径作圆，交 C F 于点E,连接8 E 即可完成分割.下列结论正确是（）图3A.甲、乙的分割都不正确B.甲、乙的分割都正确C.乙的分割正确，图 3 中AF=J5D.甲的分割正确，图 2 中4E =2 j510.如图，抛物线y=+云+以。/0）与X轴交于点4（5,0）,与 y 轴交于点C,其对称轴为直线x=2,结合图象分析如下结论：a b c Q；b+3 a 0 时，丫随1 的增大而增大；点M 是抛物则。=.其 中 正 确 的 有（）6线的顶点，若C.3个 D.4个第II卷（非选择题 共110分）注意事项:1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.二.填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）11.因式分解：9-4/=.12.如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，落在该游戏板上的第 一 滴 雨 正 好 打 中 阴 影 部 分 的 概 率 是.13.已知实数。在数轴上的位置如图所示，则化简卜-1|+的结果是14.已知/一兀=2 0 2 2,则代数式(x+l)(x-l)+x(x-2)=,15.某市的出租车收费标准如表:当x 1 0时，收费y （元）与行驶里程x （公里）的 函 数 关 系 式 为.里 程/公 里收费/元3公 里 以 下（含3公 里 143公 里 以 上，1 0公 里 以 下（含1 0公 里），每 增 加1公 里2.41 0公 里 以 上，每 增 加1公 里3.61 6.如图，在 R t 4 A B C 中，Z A C B =9 0 ,A C =3,B C =6 ,把 R t a A B C 沿 A B 翻折得到,/过 点8作B _ L B C,交AO于点E,点尸是线段8 E上一点，且t a n/A。/则 下 列 结 论 中：2A E=B E；B E D s/X A B C；BD?=A D D E；A F =2叵.正确的有（把所有正确3答案的序号都填上）B C三、解答题：（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）1 7.计算：t a n 6 05 x-3 4 x 1 8.解不等式组：入 1 x+1，并把它的解集在数轴上表示出来.-0）的图x象交点C。,“）.X图1 图2(1)求反比例函数的解析式；y 1(2)在 双 曲 线 丁=一 代 0)上是否存在一点。，满足5 0 8=5.0 8,若存在，请求出点。坐标；若x 2不存在，请说明理由.(3)如图2,过点B作交反比例函数y =K(x 0)的图象于点M,点N为反比例函数X=&(x 0)的图象上一点，Z A B M =N B A N,请直接写出点N的坐标.x2 5.如图，在_ A B C中，A B A C,E是线段8 c上一动点(不与8、C重合)，连接AE,将线段A E绕点A逆时针旋转与/84C相等的角度，得到线段A/，连接尸，点M和点N分别是边8。,所 的中点.上B(1)如图 1,若N B 4 c =1 2 0 的锐角的度数为 度.A汪/E(M)C B E M C B C图3图2 备用图MN,当点E是BC边的中点时，,直线应:与MN相交所成BE(2)如图2,若 N 84C =120。，当点后是8。边上任意一点时(不与B C 重合)，上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.B E 1(3)若 NBAC=6(),A5=6,点 E 在直线B C 上运动，=,若其它条件不变，过 点 C作C E 2C P/M N,交 直 线 所 于 P,直接写出P 到 8 C 的距离.26.如图，已知抛物线y=o?+区+4(。#0)与 X轴交于点A(1,0)和 8,与 y 轴交于点C,对称轴为5X=2(1)求抛物线的解析式；(2)如 图 1,若点P 是线段8 c 上的一个动点(不与点8,C重合)，过点尸作y 轴的平行线交抛物线于点。，连接。Q.当线段尸。长度最大时，判断四边形OCP。的形状并说明理由.(3)如图2,在(2)的条件下，。是 OC的中点，过 点。的直线与抛物线交于点 且N D Q E =2 N O D Q.在 y 轴上是否存在点尸，使得班广为等腰三角形？若存在，求点尸的坐标；若不存在，请说明理由.（某某市县区）初中九年级数学下学期中考第一次模拟考试试题卷（含答案详解）一.选 择 题（本大题共10个小题，每小题4 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.-2 的绝对值是（）1 1A.2 B.-C.D.-22 2【答案】A【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可.【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2,所以-2的绝对值是2,故选：A.2.如图所示的几何体的主视图是（）【答案】C【分析】根据主视图是从几何体正面看得到的即可得出答案.【详解】如图所示几何体是圆锥，圆锥体的主视图是等腰三角形，故选C.【点睛】本题主要考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握常见几何体的三视图.3.神舟十四号载人飞船是北京时间2022年 6 月 5 日 10时 44分由长征二号尸遥十四运载火箭成功送入近地点高度200000米、远地点350000米、倾角42。的地球近地轨道.将350000用科学记数法表示应为（）A.3.5 xlO4【答案】DB.0.35 x 105C.35xl04D.3.5xlO5【分析】根据科学记数法的表示方法：axlO,lW 同 1 0,进行表示即可.【详解】解：350000=3.5xlO5;故 选 D.【点睛】本题考查科学记数法.熟练掌握科学记数法的表示方法：a x l0 ,lw 4 CF-V解得：CF=&)CF=BE,把 ABE平移到V C D W,把VCB/7平移到 M EN,可得正方形CFNM.对于乙：8 c是 的 直 径，.ZB E C =90,同理可得 B E 8 CDF,CF=BE=娓 ,故选：B.【点睛】本题考查了矩形性质，正方形的判定，相似三角形的性质与判定，平移，直径所对的圆周角是直角，证明CF=BE=&是解题的关键.10.如图，抛物线y=a?+笈+或a 7 0）与-r轴交于点A（5,0）,与），轴交于点C,其对称轴为直线x=2,结合图象分析如下结论：必c 0；匕+3 a 0时，随x的增大而增大；点M是抛物则。=逅.其 中 正 确 的 有（）6线的顶点，若C.3个 D.4个【分析】根据抛物线的位置判断即可；利用对称轴公式，可得b=T a,可得结论；当x 2时,丫随x的增大而增大；设抛物线的解析式为y=a（x+l）（x 5）=a（x 2）2 9 a,可得M（2,-9a）,C（0,-5a）,过点M作轴于点”，设对称轴交 轴于点K.利用相似三角形的性质，构建方程求出即可.【详解】解：抛物线开口向上，对称轴是直线x=2,b .=2 92ab=-4a 0 故正确，b=-Aa,a0,2+3。=-。0,故正确，观察图象可知，当00,：.a=&,故正确，6故选：C.【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.第n 卷（非 选 择 题 共 n o 分）注意事项：1 .第II卷必须用0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.2 .填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.二.填空题：（本大题共6 个小题，每小题4 分，共 2 4 分.）U.因式分解：9-4?=,【答案】（3+2力（3-2力【分析】根据平方差公式进行因式分解即可.【详解】解：9 4f=（3+2x）（3-2x）,故答案为：（3+2x）（3-2x）.【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟悉平方差公式是解题的关键.1 2.如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，落在该游戏板上的第 一 滴 雨 正 好 打 中 阴 影 部 分 的 概 率 是./【答案】|【分析】根据几何概率的求法：落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.【详解】解：总面积为4 x 3 =1 2,其中阴影部分面积为2x L x 2x l+x 4 x 2=6,2 2.落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是二=4，12 2故答案为：y.【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求 事 件(4);然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(4)发生的概率.13.已知实数 在数轴上的位置如图所示，则化简k-+，/的结果是.-1-0a 1【答案】1【分析】观察数轴得到a 的取值范围，根据绝对值和二次根式的性质即可求解.【详解】解：根据数轴上的数所在位置，可知a-l0.所 以 原 式=1-。+时=-a+a=.故答案为：1.【点睛】本题考查了数轴、绝对值、二次根式的性质与化简，解决本题的关键是综合运用以上知识，同时在化简过程中注意符号.14.已知/一3=2 0 2 2,则代数式(x+l)(x-l)+x(x-2)=.【答案】4043【分析】先去括号，再合并同类项，然后把好”=2022代入化简后的式子进行计算即可解答.【详解】解：(x+1)(x-1)+x(x-2)=x2-l+x2-2x=2x2-2x-l,当 x2-x=2022 时，原式=2(x2-x)-1=2x2022-1=4044-1=4043,故答案为：4043.【点睛】本题考查了代数式求值、整式的混合运算，整体代入是解题的关键.15.某市的出租车收费标准如表：里程/公里收费/元3 公 里 以 下(含 3 公 里 143 公 里 以 上，1 0 公 里 以 下(含 10公 里)，每 增 加 1 公里2.41 0 公 里 以 上，每 增 加 1 公里3.6当x10时，收费y（元）与行驶里程x（公里）的 函 数 关 系 式 为.【答案】y=3.6x-5.2【分析】根据题意，列代数式并化简，即可得到收费y（元）与行驶里程*（公里）的函数关系式.【详解】解：由题意得：y=14+2.4x（10-3）+3.6x（x-10）=3.6x-5.2,，收费y（元）与行驶里程x（公里）的函数关系式为y=3.6x-5.2,故答案为：y=3.6x 5.2.【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式是解题关键.16.如图，在RtZVIBC中，ZACB=90,A C =3,BC=百，把Rt/XABC沿 AB翻折得到,过点8作交AO于点E,点尸是线段3E上一点，且tan/AOP=走.则 下 列 结 论 中：2A E=B E;A B E Ds A B C;BD?=A D DE；AR=2姮.正确的有（把所有正确3答案的序号都填上）答案GX2X3XD【分析】利 用 折 叠 和 平 行 线 的 性 质 可 知=从而利用等角对等边即可证明；利用相似三角形的判定判断即可；首先证明V D 8ESV D W,然后利用相似三角形的性质即可证明；利用折叠的性质及勾股定理即可证明.【详解】由折叠可知NC45=NZLB,V Z ACB=90,B E 1 B C,：.B E/A C,：.Z C A B=Z A B E,:.Z DA B =Z A B E,:.A E=B E,正确；：ZAC8=90。，A C =3,B C =#,A B：%（可=2 6/.ZBAC=30,ZABC=60,:ZEBA=AEAB，由折叠性质可知 NA5C=NAB。=60,ABAC=ABAD=3CP,即：NEBA=/EAB=30。,则 Z8E=3(),由 ZDBE=ZR4C=30,ZBDE=ZC=90,可得3EZ)S/ABC,正确；在中有BEZ)SZ ABC,再根据折叠可知：ABD.ABC,叫士 加上 BD DE即有：NBED尔A B D,即有：一=,AD BD即有：BD?=AD DE，正确；n由 tan ZADF=R NDEB=60,作 EG J_ DE于点 G,2由题易得：BD=BC=5 DE=1,A=AC=3,BE=AE=2,由 ta n N A O/=J,设 GF=,DG=2a,2由 ZZ5EB=60得G=a,由 =。6+6七=24+。=1可得。=!，3同 7则Gb=里，AG=,3 3在RtAEG中由勾股定理可得A F=2叵，正确；3故答案为：,.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，勾股定理，折叠的性质，三角函数，掌握这些性质是关键.三、解答题：（本大题共10个小题，共 86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）1 7 .计算：tan60 卜G|+（石 1）【答案】5【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数嘉和负整数指数幕，然后根据实数的混合计算法则求解即可.【详解】解：原 式=6 6 +1 +4【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数塞和负整数指数募，正确计算是解题的关键.5x-3 4XD1 8 .解不等式组：*1 X+1，、，并把它的解集在数轴上表示出来.-18 4 2_1111tli I 1 1 I -5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5【答案】-2 x 3,数轴表示见解析.【分析】先求出不等式组的解集，然后根据数轴上不等式组的解集表示出来即可.5x 3 4XD【详解】解：x 1，18 4 2解不等式，得：x3,解不等式，得xN-2,.该不等式组的解集为-2 x 再证明 RtVABCsRtVACE,即有=一，可得A B B CEC=4.8,连接 8,在 RtVDCE 中，OE=，7 F=3.6 问题得解.【小 问1详解】证明：连接OC,E：.O C PE,:AE上PE,：.0C/AE,：.ZDACZOCA,Q4=0C,ZOCA=ZOAC,：.ZDACZOAC,.AC 平分【小问2详解】TAB是。的直径，ZACB=900,在RtZXABC中，AC=V102-62=8在 RtAABC 和 Rt-ACE 中，,：AD ACABAC,ZAEC=ZACB=90,:.RtVABCsRtVACE,.AC EC 8 EC.-=-,即一=-,AB BC 10 6二 EC=4.8,连接CO,V ZDAC=ZOAC,：.CD=BC=6,在 RtVOCE 中，D E=d C。=招 _4宙=3.6.【点睛】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理的推论以及勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.23.在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：项目购 进 数 量（件）购 进 所 需 费 用 元）酒精消毒液濯温枪第一次30407560第二次40305880（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售.为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润.【答案】（1）酒精消毒液的进价为12元，测温枪的进价为180元（2）18400元【分析】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是x，y,根据第一次购买30件酒精消毒液和40件测温枪的总费用为7560可以列出30 x+4（），=7 5 6 0,根据第二次购买40件酒精消毒液和30件测温枪的总费用为5880可以列出40 x+30y=5 8 8 0,联立这两个方程即可求解；（2）设购进酒精消毒液“件，则购进测温枪（1 0 0 0-。）件，销售完这1000件商品获得的利润为W,根据酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售，可以得到酒精消毒液每件的利润为10元，测温枪每件的利润为4 0元，由此可以求出利润的表达式；同时结合酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍列出不等式a 2 4（1000-a）,即可求出。的取值范围，从而求出最大利润；【小 问1详解】解：设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是1元，y元f30 x+40y=7560由题意可得：40 x+3 0y=5880 x=12解得：y=180答：酒精消毒液的进价为12元，测温枪的进价为180元；【小问2详解】解：设购进酒精消毒液a件，则购进测温枪（1 0 0 0-a）件，销售完这1000件商品获得的利润为W,由题意可得：W=(2 0-1 2)a +(2 4 0-1 8 0)(1 000-a)=6 0000-52 a,酒精消毒液数量不少于测温枪数量的4倍，4 2 4(1 000-a),解得：a 2 8 00,利润W是关于的一次函数，同时一52 0)的图X象交点(1)求反比例函数的解析式；k1(2)在双曲线)=(%0)上是否存在一点。，满足S 0 8=S.O B，若存在，请求出点。坐标；若x,2不存在，请说明理由.(3)如 图2,过点8作B M _ L O B交反比例函数=A(x 0)的图象于点M,点N为反比例函数VX=&(x 0)的图象上一点，Z A B M =Z B A N,请直接写出点N的坐标.X2【答案】(1)y=x(2)存在，点O坐标为(1 +0,2夜 一2)或(1 +企,20 +2)酒2回 一42 3【分析】（1）点c（l,）代入y =2 x+4,点c（l,2）代入y =即可求解；X2 1（2）由一次函数解析式得出A（2,0）,B（0,4）,设点。坐标为（。,一），根据5。8=巳5校，建立方C I乙程，解方程即可求解；（3）由A（2,0）,3（0,4）,C（l,2）,三点的坐标，可 得 点C为线段A3的中点，延 长 驷 交AN的延长线 于 点 ，连接C”,根据等角对等边得到“3 =4,再由等腰三角形三线合一的性质得出C _ L A 3,然后证明.3 CS_B4O,可得HB =5,从而得到点/的坐标，然后运用待定系数法即可求出直线A N的解析式，解方程组即可得到结论.【小 问1详解】解：点C（l,）代入y =-2 x+4,解得=2点C（l,2）代 入y =解得t =2X所以y =2X【小问2详解】存在，理由如下，如图，过C作C E _ L x轴于点E,过。作QFLx轴于点尸，则SCOE=SDF，解得x =2,令x =0,则y =4,(2,0),8(0,4),2设点。坐标为(。,)aS O C D =S梯形C D F E=5 S.A O B 1 s 2、1/1 1 一x （2 H）ci_ 1 _x _x 2 x 42 a 1 1 2 2解得”=1 土及或。=一1 V 2 （负值舍去），点。坐标为（1+J 5，2 及一 2）或（-1 +0,2 夜+2）【小问3详解】解：0）,8（0,4）,C（l,2）,.点C为线段A8的中点，OA=2,OB=4,I AB=ylAO2+BO2=/22+42=2亚，:BC=B如图，延 长 交AN的延长线于点H ,连接C”,V ZABM=NBAN,:.HB=HA,:.CH 工 AB,V BM LOB,OAOB：.BM/OA,：.ZHBA=ZBAO,V NHCB=NBO90P,.HBCs.BAO,.HB:BA=BC:AO,A HB:2y/5=y/5:2,解得：HB=5,.点“（5,4）,设直线AN的解析式为y =mx+b（m W 0）,把点4（2,0）,H（5,4）代入得：2m+b=05m+b=4解得:4m=3b3直 线AN的解析式为y =4 8x，3-3联立得：4 8y-x 3 32，解得:尸一x2+V10 x=-22厢-4 3.点N的坐标为2+Vio 2丽-4、I 23)【点睛】本题是反比例函数综合题，其中涉及到运用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，三角形的面积，坐标轴上点的坐标特征，有一定难度.正确作出辅助线是解题的关键.2 5.如图，在中，A B A C,E是线段B C上 一 动 点（不 与3、C重合），连 接AE,将线段A E绕 点A逆时针旋转与NB4 C相等的角度，得到线段，连 接E F,点M和 点N分别是边的中点.备用图(1)如图 1,若4 4。=1 2 0,当点E是8 c边的中点时,MNBE,直 线 座 与M N相交所成的锐角的度数为 度.（2）如 图2,若N B 4 C =1 2 0,当 点E是BC边上任意一点时（不 与BC重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.BF 1（3）若N 8 4 C =6（）,A B =6,点E在直线BC上运动，=一，若其它条件不变，过 点C作CE 2C P/M N,交直线尸于尸，直接写出尸到8 C的距离.【答案】（D 60（2）成立，理由见解析2 6【分析】(1)根据等腰三角形和旋转的性质可得/B =NC=30,ZAEF=/F =30。，任=四=,，AB AM 2可证得_ ABM qAMN,ZCMN 6 0 ,即可求解；(2)连接AM,A N,根据等腰三角形和旋转的性质可证得.ABE _AMN,NAAW=N5=30,可得MN AM 1到=一，ZCMN=180-ZAMB-ZAMN=6 0 ,即可求解；BE AB 2(3)分两种情况，结合相似三角形的判定和性质，解直角三角形，即可求解.【小 问1详解】解：根据题意得：EAF=ABAC=120,A EAF,：AB=AC,：./B =/C =30,ZAEF=ZF=30,/B =ZAMN,点M和 点N分 别 是 边 的 中 点.点E是BC边的中点；.AM BC,AN M F,._ABM _AMN,ZCMN=6O,MN MN AMBE-BM-ABMN 1即当点E是BC边的中点时，直线BE与MN相交所成的锐角的度数为60BE 2故答案为：y,60【小问2详解】解：如图，连接,根据题意得：ZE4F=ABAC=120,AEAF,：AB=AC,：.NB=NC=30,ZAEF=ZF=30,点M和点N分别是边5C,E F的中点.：.AM A.BC,AN IM F,/RAM=/FAN,黑=叫4 W E =AMAN,：.ABE AMN,ZAMN=ZB=30,；.-=-=-,NCMN=180ZAMBZAMN=e0,BE AB 2即丝色=J_,直 线 跳 与MN相交所成的锐角的度数为6()。；BE 2【小问3详解】解：如图，连接AM,AN,过点尸作PD_L3C交BC延长线于点O,根据题意得：ZE4F=ABAC=60,AE=AF,V ABAC,二_ABC是等边三角形，A ZABC=ZACB=60,ZAEF=ZAFE=60,BC=AB=6,V点”和点N分别是边BC,EF的中点.：.AM 1BC,AN MF,NEW=NE4N=30。，BM=3,.AM AN.耶）,D.-=sin NABC=t,AB AE 2ABE.AMN,A=-=ZAMNZABC60,BE AB 2.ZCMNS0-ZAMB-ZAMN30,BE 1 一 ，CE 2A BE=2,CE=4,:.MN=8 ,EM=1,：CP/MN,NPCD=NCMN=30,：.EMN.ECP,:出工即 立 PC CE PC 4解 得：PC=4y3,:.PD=-P C =2y/3,2即尸到BC的距离为2 6；如图，连接过点P作PD工BC交BC于点D,根据题意得：ZE4F=ZBAC=60,AE=AF,：AB=AC,_ABC是等边三角形，/.ZABC=ZACB=60,ZAEF=ZAFE=60。，BC=AB=6,点M和点N分别是边5C,E尸的中点.：.AM IBC,AN IM F ,/胡 =NE4N=30。，BM=3,.AM AN.V3/CL.-=sin NABC=NBAE=Z.MAN,AB AE 2:.ABE AMN,.把=国 =走，ZABC=12O。,BE AB 2A NEMN=ZAMN-ZAMB=30,.B E =fCE 2/.BE=BC=6,CE=12,:.MN=3A EM=9,:CP M N,ZPCD=/EMN=30,:._EMN gECP,.MN EM Bn 33 9.=-，即二一=,PC CE PC 12解 得：PC=A6:.P D =-P C =2y/3,2即 尸 到 的 距 离 为2 6,综上所述，尸到BC的距离为2百.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.2 6.如图，已知抛物线y =a x 2+历c+4(a工0)与x轴交于点A(葭。)和小 与y轴交于点c,对称轴为5X =2(1)求抛物线的解析式；(2)如 图1,若点尸是线段8 c上的一个动点(不与点8,C重合)，过点尸作y轴的平行线交抛物线于点2,连 接0 Q.当线段尸。长度最大时，判断四边形0 CP。的形状并说明理由.(3)如图2,在(2)的条件下，。是0 C的中点，过 点。的直线与抛物线交于点E,且Z D Q E =2 Z 0 D Q.在y轴上是否存在点尸，使 得 海 所 为 等 腰 三 角 形？若存在，求点尸的坐标；若不存在，请说明理由.2 5【答案】(1)y =f 5X+4；(2)四 边 形0 cP Q是平行四边形，理由见详解；(3)(0,)或(0,81)或(0,-1)【解析】【分析】(1)设抛物线y =a(x-l)(x-4),根据待定系数法，即可求解；(2)先求出直线5 c的解析式为：尸-x+4,设 尸(x,-x+4),则Q(x,x2-5x+4)(0 W x (0Wx4),2 x 一 2-设 E O,%2-5x+4)贝！-,解得：=5,%=2(舍去)，4 x-5x+4-(-2)L:.E(5,4),设 尸(0,J),则 362=(4 0+()二侪+9，EF2=(5-0)2+(4-y)2=25+(4-j)2,BF2=(5-4)2+(4-0)2=17,925当 5F=E尸时，16+;/=25+(4丁),解得：y=,8：.PQ=-x+4-()C-5%+4)=-x2+4x=-(x-2)-+4,.当x=2时，线段尸。长度最大=4,此 时，PQ=CO,又 ,？CO,四边形OCPQ是平行四边形；(3)过 点。作0M_Ly轴，过 点。作。N y轴，过点E作EN x轴，交于点N,由(2)得：Q(2,-2),是。C的中点，：.D(0,2),QN)，轴，A NODQ=NDQN,又：NDQE=24ODQ,:.NDQE=2ZDQN,:.NMDQ=ZDQN=ZEQN,MQ NE.tanNMOQ=tanNEQN,即：京=而，当 8F=5E 时，16+丁=17,解得：y=l 或 y=-l,当 EF=5E 时，2 5+（4 yp=1 7,无解，,2 5综上所述：点尸的坐标为：（0,）或（0,1）或（0,-1）.8图2【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键.