2023年中考数学压轴题28以圆为载体的几何综合问题（教师版含解析）.pdf

挑 战 2023年 中 考 数 学 压 轴 题 之 学 霸 秘 笈 大 揭 秘(全 国 通 用)_专 题 2 8以 圆 为 载 体 的 几 何 综 合 问 题 典 例 剖 析.x._z【例 1】(2022 河 北 育 华 中 学 三 模)如 图，在 四 边 形 ABCD中，/A=NB=90。，AD=4,8c=10,sinC=g,以 AB为 直 径 作。O,把。沿 水 平 方 向 平 移 x个 单 位，得 到。0，AB为 直 径 A B 平 移 后 的 对 应 线 段.备 用 图(1)当 x=0,且 M 为。上 一 点 时，求 O M 的 最 大 值；当 9 与 C 重 合 时，设。，与 C Q 相 交 于 点 N,求 点 N 到 AB 的 距 离;(3)当。0,与 CZ)相 切 时，直 接 写 出 x 的 值.【答 案】(1)4a+4 坨 2 5(3)2 或 12.【分 析】当 尸 0,连 接 D O 并 延 长 交。于 一 点 M,则 此 时 D M 的 值 最 大，过 点 D 作 D E 1 B C于 E,易 证 四 边 形 A8E。是 矩 形，可 得 A D=B E=4,解/?也：(7求 出 力 E=8,CD=10,可 得。的 半 径 为 4,利 用 勾 股 定 理 求 出。即 可 得 到。例 的 最 大 值；(2)当 B与 C 重 合 时,。与 CZ)相 交 于 点 M 则。向 右 平 移 了 10个 单 位 长 度，连 接 0。，则 00=10,连 接 4 N,过 点、N 作 NF1.AB于 点 F,如 图,解 RtAABN,求 出 4N,BN,然 后 根 据 等 积 法 求 出 NF 即 可 解 决 问 题；(3)当。与 C C 相 切，在 C O 的 左 边 时，设 切 点 为 尸，如 图，则 4BED是 矩 形，AD.C D、BC都 是。0,的 切 线，根 据 切 线 长 定 理 可 得 4。=PD,8(=PC,求 出 A D=4-x,BC=10-x,根 据。=2。+P。=4。+8(列 方 程 求 出 工 即 可；当。O与 C D 相 切，在 C D 的 右 边 时，同 理 求 解 即 可.(1)解：如 图，当 x=0,连 接 D O 并 延 长 交。于 点 M,则 此 时 D M 的 值 最 大，过 点。作 于 E,V Z A=Z B=Z DEB=90,四 边 形 A3E。是 矩 形，：.AB=DE,AD=BE=4,：EC=BC-BE=104=6,*/在 RtLDEC 中，sinC=C D 5,设 E=4历 CD=5k(*0),由 勾 股 定 理 得：EC2-DE2=CD2,即 62+(4k)2=(5k)2,整 理 得：1=%乂 0,:k=2,O E=4攵=8,C O=5攵=1 0,：.AB=DE=Sf：.OA=OB=4,：.O D=V 42+42=4VL；.)M=4尤+4,即 D M的 最 大 值 为 4位+4；(2)当 B 与 C 重 合 时，。与 C O相 交 于 点 M 则。向 右 平 移 广 10个 单 位 长 度，连 接 0。,则 0 0=1 0,连 接 A N,过 点 N作 N凡 L 4 9 于 点 F,如 图，则 乙 4 N B=90,在 RmCDE中，sinzCDE coszCDE=C D 5 C D 5：ABABDE,J.AABN=乙 CDE,在 孜 A 4B N中,AB=AB=8,：sinABN=塔=sinCDE=cos乙 ABN=喀=coszCDF=AW 5 AB 5：.AN=-AB=-x 8=,BN=-AB=-x 8=,5 5 5 5 5 5：S B IN=A B-NF=AN-BN,.NF=卓=眨 ArBf 8 25.点 N到 AB的 距 离 为 0 0,-NF=10-II=燮；(3)当。与 C 相 切，在 C。的 左 边 时，设 切 点 为 P,如 图，贝 ijABNC是 矩 形，4。、CD、BC都 是。的 切 线，：.AD=PD,BC=PC,：AA=BB=x,：.AD=4-x,BC=1 0-x,:CD=PD+PC=AD+BC,/.10=4%+10-x,解 得：x=2；当。与 C 相 切，在 C 的 右 边 时，设 切 点 为。，如 图，贝 必 B B 2 是 矩 形，AD.CD、BC都 是。的 切 线，.AD=QD,BC=QC,：AA=BB=x,：.AD=x-4,BC=x-10,/CD=QD+QC=AD+BC,10-x 4+%10,解 得：x=12；综 上，当。与 8 相 切 时，x 的 值 为 2 或 12,故 答 案 为：2 或 12.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 矩 形 的 判 定，解 直 角 三 角 形，勾 股 定 理，点 与 圆 的 位 置 关 系，平 移 的 性 质，圆 周 角 定 理，切 线 的 性 质 以 及 切 线 长 定 理 等 知 识，熟 练 掌 握 直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角，从 圆 外 一 点 引 圆 的 两 条 切 线，它 们 的 切 线 长 相 等 是 解 题 的 关 键.【例 2】(2022黑 龙 江 哈 尔 滨 中 考 真 题)已 知 CH是 0。的 直 径，点 A,点 B 是 0。上 的 两 个 点,连 接 04 OB,点。，点 E 分 别 是 半 径 0 4。8的 中 点,连 接 CD,CE,BH,且 乙 40c=2/.CHB.(1)如 图 1,求 证：乙 0DC=&0EC；GH 图 3(2)如 图 2,延 长 CE交 于 点 F,若 C0J.04 求 证：FC=FH；(3)如 图 3,在(2)的 条 件 下，点 G 是 次/上 一 点，连 接 力 G,BG,HG,OF,若 4G:BG=5:3,HG=2,求 0F的 长.【答 案】(1)见 解 析(2)见 解 析。尸=等【分 析】(1)根 据 SAS证 明 AC。三 ACOE即 可 得 到 结 论；(2)证 明 NH=NEC。即 可 得 出 结 论；(3)先 证 明 连 接 4,证 明 4H=设 4G=5x,BG=3x,在 4G上 取 点 M,使 得 4M=BG,连 接 M H,证 明 MHG 为 等 边 三 角 形，得 MG=HG=2,根 据 4G=AM+MG可 求 出 x=1,得 AG=5,BG=3,过 点，作 HN 1 MG 于 点 N,求 出 HB=g,再 证 HF=20F,根 据 HB=30F=g 可 得 结 论.(1)如 图 1.点 D,点、E 分 别 是 半 径。A,。8的 中 点H卸：.0D=-0 A,OE=-0 B2 2V OA=OB,：.0D=OE:乙 BOC=2(C H B,乙 AOC=2乙 CHBZ.AOC=乙 BOCVOC=OC COD=COE 9：.CDO=乙 CEO；(2)如 图 2.V C D LOA,：.ACDO=90图 2由 得 E。=乙 CDO=90,.sinzOCE=i：.Z.OCE=30,:.乙 COE=90-乙 OCE=60,:乙 H=-Z.BOC=i X 60=302 2 H=乙 ECO,：.FC=FH(3)如 图 3.YCO=OH,FC=FH：.0F 1 CH，乙 FOH=90连 接 4H.VZ.AOC=ABOC=60：.Z.AOH=乙 BOH=120,：.AH=B H,乙 4GH=60。AGBG=5:3设 4G=5x,：.BG=3%在 AG上 取 点 M,使 得 4M=8 G,连 接 MH：Z-HAM=乙 HBG,./MM=HBG：.MH=GH,MHG为 等 边 三 角 形：.MG=HG=2：AG=4M+MG,5%=3x+2:x=1,：.AG=5：.BG=AM=3,过 点 H 作 HN JLMG于 点 NMN=-G M=-x 2=1,HN=HG-sin600=V32 2 4N=M N+/M=4,：.HB=HA=y/NA2+HN2=V19VzFOH=90,LOHF=30,：.Z.OFH=60：OB=OH,，乙 BHO=乙 OBH=30%:乙 FOB=Z.OBF=30：.0F=BF,在 RtAOFH中，/.OHF=30,：.HF=2OF：.HB=BF+HF=3OF=V19,：,OF=.3【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 圆 周 角 定 理，等 边 三 角 形 的 判 定 和 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质，等 腰 三 角 形 的 性 质，勾 股 定 理 以 及 解 直 角 三 角 形 等 知 识，正 确 作 出 辅 助 线 构 造 全 等 三 角 形 是 解 答 本 题 的 关 键.【例 3】(2022.黑 龙 江 绥 化.中 考 真 题)如 图 所 示，在。0的 内 接 A 4 W N 中，4MAN=90。,A M=2 A N,作 ABI M N 于 点 P,交。于 另 一 点 B,C 是 制 上 的 一 个 动 点(不 与 A,M 重 合)，射 线 MC 交 线 段 BA的 延 长 线 于 点。，分 别 连 接 4c和 BC,BC交 M N 于 点、E.(1)求 证：4 C M A S&CBD.(2)若 MN=10,MC=Atf,求 BC的 长.(3)在 点 C 运 动 过 程 中，当 tantMDB=三 时，求”的 值.4 NE【答 案】(1)证 明 见 解 析(2)3710【分 析】(1)利 用 圆 周 角 定 理 得 到 NCMA=NABC,再 利 用 两 角 分 别 相 等 即 可 证 明 相 似；(2)连 接 O C,先 证 明 是 直 径，再 求 出 4P和 NP 的 长，接 着 证 明 ACOE sABPE,利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 求 出 OE 和 P E,再 利 用 勾 股 定 理 求 解 即 可；(3)先 过 C 点 作 CG_LMN,垂 足 为 G,连 接 CN,设 出 GM=3x,CG=4x,再 利 用 三 角 函 数 和 勾 股 定 理 分 别 表 示 出 P8和 PG,最 后 利 用 相 似 三 角 形 的 性 质 表 示 出 EG,然 后 表 示 出 M E 和 NE,算 出 比 值 即 可.(1)解：/.NAPM=90。,ZD+ZDMP=90,又；NDMP+NNAC=18O。,/MAN=9。,：.ZDMPZCAM=90f：.ZCAM=ZD,9：ZCMA=ZABC,CM A s&CBD.(2)连 接 OC,K4N=90,M N 是 直 径，MN=10,J OM=ON=OC=5,9：AM=2A N,且 4M2+4 W=MN?,：.AN=2V5,AM=4V5,=AM-AN=M N-4P,M P=4,.B P=4P=4,：.NP=JAN2-A P2=2,.O P=5-2=3,V A TC=/Vf,OC_LMMZCOE=90,A 3_L M M/.NBPE=90,：.NBPE=NCOE,又：/BEP=/CEO,：.COE BPE由 OE+PE=OP=3,.哈,P E.(3)过。点 作 CG_LMM 垂 足 为 G,连 接 CM 则 NCGM=90。,ZCA/G+ZGCM=90,M N是 直 径，/.NMCN=90。,:./C N M D M P=9 b。,ND+NDM P=900,/D=N C N M=/G C M,VtanzM DB=,43.*.tanzCA/M=tan 乙 G CM=4VtanzGCM=CG 设。加=3%,CG=4%,A CM=5x,.6 A7 2QX AS 164 CN=,NG=,3 325x NM=3：.0 M=ON=f6AM=2 A N,且 A M?+4 N 2=M W,.A N=%,AM=3 3：S A M N=AM-AN=M N-AP,AP=x=PB,3：.NP=-x,3 nr 1 6 5 1 1 P G=-X X=X,3 3 3:NCGE=NBPE=90。,NCEG=NBEP,CGE BPE,.C G G E C E.=,B P P E B E即#=G E=C E会 P E B E：.GE=2x,PE=-x3：.ME=5x,NE3:ME:NE=3:2,.爱 的 值 为|.【点 睛】本 题 考 查 了 圆 的 相 关 知 识、相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质、三 角 函 数、勾 股 定 理 等 知 识，涉 及 到 了 动 点 问 题，解 题 关 键 是 构 造 相 似 三 角 形，正 确 表 示 出 各 线 段 并 找 出 它 们 的 关 系，本 题 综 合 性 较 强，属 于 压 轴 题.【例 4】（2022湖 北 荆 州 中 考 真 题）如 图 1,在 矩 形 ABCD中，AB=4,A D=3,点。是 边 A 8上 一 个 动 点（不 与 点 力 重 合），连 接 将 OAD沿 0。折 叠，得 到 OED；再 以。为 圆 心，OA的 长 为 半 径 作 半 圆，交 射 线 A B于 G,连 接 A E并 延 长 交 射 线 BC于 凡 连 接 EG,设 OAx.DD(1)求 证：DE是 半 圆。的 切 线；(2)当 点 E落 在 5。上 时，求 x 的 值；(3)当 点 E落 在 8。下 方 时，设 AAG E与 A F8面 积 的 比 值 为 y,确 定 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系 式；(4谆 谈 与 此 当 半 圆。与 BC。的 边 有 两 个 交 点 时，x 的 取 值 范 围.【答 案】(1)见 详 解(2)|(3)y=-p-(O x-)(4)-x 3 或 竺 x W 42 8【分 析】(1)根 据 切 线 的 判 定 定 理 求 解 即 可；(2)如 图，在 RtAO EB,根 据 勾 股 定 理 列 方 程 求 解 即 可：(3)先 证 AD4。s AA E G,求 出 A E 然 后 证 明 AAEG-A 4 B F,根 据 相 似 三 角 形 面 积 比 等 于 相 似 比 的 平 方 即 可 求 解；(4)结 合 图 形，分 情 况 讨 论 即 可 求 出 x 的 取 值 范 围.(1)证 明：在 矩 形 A5CO中，ADAB=90,0。是 OAD沿 0。折 叠 得 到 的，OED=/.DAB=9 0,即。E J.DE,OE是 半 圆。的 切 线；解：OED是 4 04。沿 OD折 叠 得 到 的，DE=AD=3,0A=0E=x,:.OB=AB-0A=4-X,在 RtAZMB中，DB=y/AD2+A B2=V32+42=5,EB=DB DE=5 3=2,在 RtAOEB中，OE2+EB2=OB2,%2+22=(4-x)2,解 得 x=I，(3)解：在 RtADAO中，DO=y/AD2+AO2=V32+x2=V9+x2,v A OED是 OAO沿。力 折 叠 得 到 的，AE 1 OD,AG是。的 直 径，/AEG=9 0,即 AE1EG,ODEG,Z.DA0=/.AEG=90 Z-AOD=LEG A,LDAO A4EG,DO DA:.=一,AG AEH+4 2 3.6xA-=,AE=-7=,2x AE V92+X2v z_AEG=/-ABC=90,Z.EAG=乙 BAF,/.LAEG LABF,鬻=(煞，即 y=(率 有,QV2 O y=-(0%-)J 4X2+36 2(4)解：由 知，当 E 在。8 上 时，x=p如 图，当 点 E 在 D C 上 时，x=3,.当|X S 3 时，半 圆。与 B C D 的 边 有 两 个 交 点：当 半 圆。经 过 点 C 时，半 圆 0 B C Q 的 边 有 两 个 交 点,连 接 0 C,在 RtAOBC中，OB=4-x,0C=x,BC=3,1 OB2+BC2=OC2,(4%)2+32=x2,解 得 x=1，8.当 4 x 4 4时，半 圆。与 B C D 的 边 有 两 个 交 点；8综 上 所 述，当 半 圆。与 B C D 的 边 有 两 个 交 点 时,x 的 取 值 范 围 为:1 x 3或 g x 4.【点 睛】本 题 考 查 了 矩 形 的 性 质，轴 对 称，勾 股 定 理，切 线 的 判 定 定 理，相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质，直 径 所 对 的 圆 周 角 是 直 角，相 似 三 角 形 的 判 定 和 性 质 是 解 本 题 的 关 键.【例 5】(2022.浙 江 温 州.中 考 真 题)如 图 1,为 半 圆。的 直 径，C 为 延 长 线 上 一 点，CD切 半 圆 于 点 D,BE 1 C D,交 CD延 长 线 于 点 E,交 半 圆 于 点 F,已 知 BC=5,BE=3.点 P,。分 别 在 线 段 AB,BE上(不 与 端 点 重 合)，且 满 足 芸=设 BQ=x,CP=y.BQ 4(1)求 半 圆。的 半 径.(2)求 y 关 于 x 的 函 数 表 达 式.(3)如 图 2,过 点 P 作 PR L C E 于 点 R,连 结 PQ,RQ.当 为 直 角 三 角 形 时，求 x 的 值.作 点 F 关 于 QR的 对 称 点 V,当 点 F，落 在 BC上 时、求 冷 的 值.B F【答 案】(喏(2)y=%+：T或 1I；【分 析】连 接 0。，设 半 径 为，利 用 C0C ACBE,得 器=2 代 入 计 算 即 可；BE CB(2)根 据 CP=A尸 十 A C,用 含 x 的 代 数 式 表 示 AP 的 长，再 由(1)计 算 求 A C 的 长 即 可;(3)显 然 R Q 90,所 以 分 两 种 情 形，当 乙 RPQ=90。时，则 四 边 形 RP0E是 矩 形，当/P0?=9O。时，过 点 P 作 PHLBE于 点)则 四 边 形 PHER是 矩 形，分 别 根 据 图 形 可 得 答 案；连 接 4凡 QF,由 对 称 可 知 QF=QF,NFQR=/EQR=45。，利 用 三 角 函 数 表 示 出 BF和 B尸 的 长 度，从 而 解 决 问 题.(1)解：如 图 1,连 结 0 D.设 半 圆。的 半 径 为 r.图 1：CD切 半 圆。于 点),：.0D 1 CD.；BE 1 CD,：.OD|BE,COD s x CBE,.OD CO=，BE CB即 T/.r=,即 半 圆 O 的 半 径 是 六.8 8(2)由(1)得：CA=C B-A B=5-2 x-=.8 4：CP=AP+AC,.5,5 y=；x+?(3)显 然/PRQ 9 0,所 以 分 两 种 情 况.i)当 乙 RPQ=90。时，如 图 2.EC A P B图 2:PR 1 CE,:.乙 ERP=90.VZF=90,四 边 形 RPQE为 矩 形，：.PR=QE.：PR=PC-sinC=-y=-x+-,5Z 4 4 X 7ii)当 4PQR=90。时，过 点 P作 PH _ L BE于 点 从 如 图 3,则 四 边 形 PHER是 矩 形,：.PH=RE,EH=PR.：CB=5,BE=3,：.CE=V52-32=4.4VC/?=CP-cosC=-y=x+l,:.PH=RE=3-x=EQ,，乙 EQR=乙 ERQ=45,工 乙 PQH=45。=乙 QPH,:.HQ=HP=3 x,由 EH=PR得：(3)+(3)=+.%=一 2 1.综 上 所 述，X的 值 是 弱 蜡.如 图 4,连 结 AP,QP,:BELCE,PRICE,:.PR BE,：NEQR=/PRQ,:BQ=x,CP=-%+-,4 4 EQ-3-x,PR/BE.CPR CBE.-C E,-e即：l=s,C R 4解 得：CR=x+l,.ER=EC-CR=3-x,即：EQER：.NEQR=NERQ=45。,:.乙 FQR=乙 EQR=45:.乙 BQF=90,：.QF=QF=BQ-tanB=x.：4 8是 半 圆。的 直 径，：./.AFB=90,9/.BF=AB cosB=4.x=一,28 CF BC-BF*BC 1 3 1 19 而=-1=；-1=T-【点 睛】本 题 是 圆 的 综 合 题，主 要 考 查 了 切 线 的 性 质，相 似 三 角 形 的 判 定 与 性 质，圆 周 角 定 理，三 角 函 数 等 知 识，利 用 三 角 函 数 表 示 各 线 段 的 长 并 运 用 分 类 讨 论 思 想 是 解 题 的 关 键.满 分 训 练.一、解 答 题【共 20题】1.(2022 黑 龙 江 哈 尔 滨 市 萧 红 中 学 校 模 拟 预 测)如 图，在。中，AD,是 弦,(2)如 图 2,如 果 AO=BC,求 证：AC 是。直 径；(3)如 图 3,在(2)的 条 件 下，点 F 在 AC 上，点 E 在 A3 上，AF=CD,BE=CF=4,连 接 CE、BF交 于 点、G,作 HG_LCE于 点 G,交 B C 于 点 H,SA H C C=5,求。尸 的 长.【答 案】(1)见 解 析(2)见 解 析(3)1【分 析】(1)延 长 4 0 交 BC于 点 E,证 明 4CMD+乙 4EC=180,即 可 证 明 4C|BC；(2)连 接 AB,C D,先 证 四 边 形 A8CD是 平 行 四 边 形，推 出 48=/。，再 根 据 圆 内 接 四 边 形 对 角 和 为 180度，可 得 NB=90。，即 可 证 明 AC 是。直 径；(3)连 接 延 长 BF交 C O 于 点 7,连 接 T,证 明 四 边 形 8E7C是 矩 形，进 而 推 出 HC=HE,利 用 三 角 形 面 积 公 式 求 出 HC=HE=5,推 出 BH=3,设 4B=4F=x,利 用 勾 股 定 理 求 出 x,即 可 求 解.【详 解】(1)证 明：如 图，延 长 A O 交 BC于 点 E,Z.AOC=LAEC+LOCB,乙。乙 AOC-乙 OCB=180。，4。4。+4力 EC+4 OCB 乙。CB=180。，。4。+。=180。，：.ADBC；(2)证 明：如 图 2,连 接 A8,CD,图 2.*ADWBC,AD=BC,四 边 形 A B C D 是 平 行 四 边 形,:乙 B=D,ZB4-ZD=18O,B=9 0。，；.A C是。直 径；V 四 边 形 ABC。是 平 行 四 边 形，NB=90。,四 边 形 ABC。是 矩 形，：.ABCD,AB=CD,，乙 A B F=cC TF,：AF=CD,AB=CD,：.A B=A Ff：.Z.ABF=Z.AFB,*/乙 AFB=cC FT,，乙 CFT=CTF,:CF=CT,.*CF=BE,:,BE=C T,.,BEWCT,四 边 形 3 E 7 T是 平 行 四 边 形，“8 0 9 0。，四 边 形 8E T C是 矩 形，：.CG=EGf,/H G J LC E,:HC=HE,S AECH=2SAHCG=1=5 C H N E BE=4,：.H C=H E=5,：.B/=V F H2-B，2=V 52-42=3,：BC=BH+C H=8,i A B=A F=xf 贝 ljAC=x+4,AB2+BC2=AC2,/.X24-82=(X4-4)2,解 得=6,：.A B=6f 4 c=10,：.0 A=0 C=5f：.O F=O C-CF=5-4=1.【点 睛】本 题 属 于 圆 的 综 合 题，主 要 考 查 了 圆 内 接 四 边 形 的 性 质，矩 形 的 判 定 与 性 质，圆 周 角 定 理 平 行 线 的 判 定 与 性 质，勾 股 定 理，三 角 形 的 面 积 等 知 识 点，解 题 的 关 键 是 正 确 添 加 辅 助 线，构 造 特 殊 四 边 形 解 决 问 题，难 度 较 大，多 见 于 压 轴 题.2.(2022 安 徽 合 肥 市 五 十 中 学 新 校 二 模)如 图，4BC为。0 的 内 接 三 角 形，且 4 8为。的直 径，D E与。0相 切 于 点。，交 A B的 延 长 线 于 点 E,连 接。交 BC于 点 F,连 接 A D、CD,Z.E=AADC.求 证：4 D平 分 NB4C；(2)若 CF=20F,AC=6,求。的 半 径 r.【答 案】(1)见 解 析(2)5【分 析】(1)根 据 圆 周 角 定 理 得 到 U B C=A D C,进 而 证 明 乙 4BC=A D C,得 到 BC|DE,根 据 切 线 的 性 质 得 到。C l D E,根 据 垂 径 定 理 得 到 的=C O,根 据 圆 周 角 定 理 证 明 结 论；(2)根 据 三 角 形 中 位 线 定 理 求 出 O F,根 据 勾 股 定 理 列 出 方 程，解 方 程 得 到 答 案.【详 解】(1)由 圆 周 角 定 理 得：/LABC=Z.ADC,4 E Z.ADC,1./.ABC=Z.ADC,BCWDE,DE与。相 切 于 点 D,0D 1 DE,A 0D 1 BC,=CD,/.BAD=Z.CAD,4 平 分 M A C；(2)0D 1 BC,BF=FC,v BO=0A,OF=-A C=3,2：.DF=r 3,BF=CF=2DF=2(r-3),在 R tZ iB O F中，OB2=OF2+B F2,B|Jr2=32+(2 r-6)2,解 得：r i=5,r2=3(舍 去)，答：。的 半 径 r 为 5.【点 睛】本 题 考 查 的 是 切 线 的 性 质、垂 径 定 理、勾 股 定 理 的 应 用，掌 握 圆 的 切 线 垂 直 于 经 过切 点 的 半 径 是 解 题 的 关 键.3.(2022黑 龙 江 哈 尔 滨 市 第 八 十 四 中 学 校 一 模)如 图，d B C 内 接 于。0,4。为。的 直 径,A O 交 8 c 于 点 E,且 BE=CE.(2)如 图 2,点 尸 为 弧 C Q 上 一 点，连 接 A P 交 B C 于 点 尸，过 点 P 作。的 切 线，交 B C 的 延 长 线 于 点 G,点，是 P F 的 中 点，求 证：GH 1 PF-,(3)如 图 3,在(2)的 条 件 下，连 接 D F,且 4DFB=点 R 在 C G 上，连 接 DR,DR交 C”于 点 N,RN=RG,HN=2,DF=10,求。E 的 长.【答 案】(1)见 解 析(2)见 解 析 罕【分 析】(1)根 据 垂 径 定 理 得 出 D E 1 B C,则 CE垂 直 平 分 B C,进 而 得 到 BC=C D,根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 求 解 即 可；(2)连 接 OP,PG是 圆。的 切 线 得 出 NOPA+NGPF=90。，根 据 垂 径 定 理 得 出 DE 1 BC,根 据 直 角 三 角 形 的 性 质、对 顶 角 相 等 得 出 46尸。+乙 后 4 2=9 0。，根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 IHEAF=O P A,进 而 得 出“PF=ZGFP,根 据 等 腰 三 角 形 的 判 定 与 性 质 即 可 得 解；(3)连 接 P D,延 长 GH交 DF于 点 M,DR交 4P于 点 T,根 据 题 意 推 出 点 M 是 DF的 中 点，根 据 三 角 形 中 位 线 性 质 推 出 尸。=2 M H,根 据 勾 股 定 理 得 到=，尸=4,根 据 平 行 线 的 性 质 推 出 N P=乙 HNT=NZMP,HNT P D T,根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 及 相 似 三 角 形 的 性 质、勾 股 定 理 求 解 即 可.【详 解】(1)证 明：如 图 1，连 接 B。，CD,4 0 为。的 直 径，AD交 BC于 点 E,且 8E=CE,：.DE 1 BC,DE垂 直 平 分 8C,：.BD=CD,DE 1 FC,0。平 分 匕 B4C：(2)证 明：连 接 OP,PG是 圆。的 切 线，：.0 P 1 PG,AZ.OPG=90,EPzOP/l+zGPF=90o,S O为。的 直 径，4 0交 BC于 点 E,且 8E=CE,ADE IB C,：.Z.AEF=90,E 4 F+乙 4F=90,9：Z.AFE=乙 GFP,.G F P+NE4F=90,V OA=OP,J.Z.EAF=4 OPA,G P F=乙 GFP,：.PG=FG,丁 点 是 P F的 中 点，：.GH 1 PF；(3)解：连 接 P C,延 长 GH交。/于 点 M,DR交 AP于 点 T,D图 3GH 1 PF,AC为。的 直 径，:.乙 APD=/-MHF=90,：.MHDP,.,点，是 尸 产 的 中 点，点 W是。F的 中 点，：.DM=FM=-DF=5,2：.PD=2MH,:RN=RG,工 人 NGR=乙 RNG,D R E=Z.NGR+乙 RNG=2 乙 RGN,9：AEF=乙 GHF=9 0,乙 HFG=4AFE,，乙 DAP=乙 FGH,:乙 DRE=2乙 DAP,:乙 DFB=乙 DRE+乙 RDF=3LDAP,：.Z.RDF=Z.DAP,:乙 DNM=L RNG,工 人 DNM=乙 NDM=/.DAP,：.NM=DM=5,:HN=2,：.MH=3,：.PD=2MH=6,：.PH=HF=ylMF2-MH2=4,VDPII/VM,：.Z.PDT=LHNT=Z.DAP,HNT PDT,HN HT P H-P T 4-P T 1PD PT PT PT 3：.PT=3,.t anZ-DAA Pr=t.anZ-r P DT=PT=DP=-1=EFDP AP 2 AE：.AP=12,4E=2EF,aAF=A P-P H-H F=4,%：AE2-EF2=4 尸 2,：.5EF2=16,.,.EF2=y,：DE2+EF2=DF2,.,.DE2 4-y=100,.-Dn EE,=22V5.【点 睛】本 题 考 查 r 圆 的 综 合 题，等 角 的 余 角 相 等，解 直 角 三 角 形，切 线 的 性 质，正 确 的 作 出 辅 助 线 是 解 题 的 关 键.4.（2022.北 京 市 第 十 九 中 学 三 模）如 图，48。中 48=4（7,40平 分/B4C交 BC于 O,以 4O为 直 径 的。交 4B于 点 E,交 4c于 点 F.(1)求 证：BD是。0切 线；(2)连 接 EF交 0D与 G、连 接 B。交 EF于 P,连 接 PC,若。0的 半 径 为 5,OG=3,求 GE和 PC的 长.【答 案】(1)见 解 析(2)4,2V17【分 析】(1)由 等 腰 三 角 形 的 性 质 可 得 4 C 1 B C,再 由 4。是 直 径 即 可 证 得 结 论；(2)连 接。E、DE.DF,过 P作 PH 1BD 于 H,则 易 证 Rt ACE且 Rt 4DF,则 可 得 EF|BC,从 而 有 AAEGs 力 B。，由 相 似 三 角 形 的 性 质 可 求 得 BD的 长，则 可 得 0BD是 等 腰 直 角 三 角 形；易 得 四 边 形 PHDG是 矩 形，则 可 得 PH=GD=2,且 可 得 BP”是 等 腰 直 角 三 角 形,则 可 得 BH=2及 CD的 长，在 RtzPHC中，由 勾 股 定 理 即 可 求 得 PC的 长.(1)证 明：AB=AC,4。平 分 484c交 BC于。，AD 1 BC,是 O。的 直 径，.8。是。切 线；(2)解：连 接 OE、DE、D F,过 P作 于 H,如 下 图,AD是 O。的 直 径，Z.AED=Z.AFD=90,4。平 分 N B/C,:.Z.EAD=Z.FAD,:.DE=DF,v AD=AD,R s A D E g R tM D F(H L),AE=A/，:.AD 1 EF,。0的 半 径 为 5,0G=3,:.EG=fS2-32=4,v AD 1 BC,：.EFBCf.A E G S A ABD,E G A G uri 4 5+3 一=,即 一=,B D A D B D 10BD=5,BC=2BD=10,Z.PGD=乙 HDG=Z.DHP=90,，四 边 形 PGDH是 矩 形，.PH=DG=5-3=2,PHWGD,乙 BPH=乙 BOD,v OD=BD=5,乙 BOD=Z.0BD=45,4 BPH=乙 OBD=45,BH=PH=2,CH=BC-BH=8,在 Rt P H C中，由 勾 股 定 理 得 PC=/CH2+PH2=2 g.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 圆 的 切 线 的 性 质 与 判 定，等 腰 三 角 形 的 性 质 与 判 定，矩 形 的 判 定 与 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质，相 似 三 角 形 的 性 质 与 判 定，勾 股 定 理 的 应 用，关 键 是 构 造 直 角 三 角 形.5.（2022 上 海 华 东 师 范 大 学 松 江 实 验 中 学 三 模）如 图 1,在 梯 形 4 B C 0中，AABC=90,AD|BC.AB=4,BC=5,AD=2.动 点 P在 边 B C上，过 点 P作 PF|C D,与 边 交 于 点 凡 过 点 F作 图 1 图 2 备 用 图（1）求 y关 于 的 函 数 解 析 式，并 写 出 定 义 域；（2）当 A P F E是 以 P E为 腰 的 等 腰 三 角 形 时，求 B P的 值；（3）如 图 2,作 A P E F的 外 接 圆。，当 点 P在 运 动 过 程 中，外 接 圆。的 圆 心。落 在 A P E尸 的 内 部 不 包 括 边 上 时，求 出 B P的 取 值 范 围.【答 案】（l）y=|x,0 x 5 5或|号 B P 5【分 析】（1）由 题 中 条 件 B C、P F CO可 知 四 边 形 EFPC是 平 行 四 边 形，故 C E=P F=y,EF=PC=5-x；过 点。作 垂 线 DN 1 BC交 EF于 前 M,交 BC于 点 N,可 得 相 似 的 DEM和 A O C N,用 含 x、y的 表 达 式 表 示 它 们 的 边 长，再 根 据 相 似 三 角 形 的 对 应 边 成 比 例 即 可 求 得 y关 于 久 的 解 析 式；下 一 步 即 为 求 得 OEM和 A D C N的 各 自 边 长，过 点 C作 垂 线 CQ _ L 4。交 4。延 长 线 于 点。，由 4 D BC且 N4BC=90。可 得 四 边 形 4BC。为 矩 形，则 4Q=BC=5,AB=QC=4,。（2=可。=4（2-4。=3；在/?4。（2：中，由 勾 股 定 理 可 算 得）。的 长 度；在 R t A B P F中，BP=x,PF=y,则 可 由 勾 股 定 理 求 得 8尸 的 长 度，D M=DN-M N=AB-BF,EM=EF-M F=PC-BN=PC-A D,至 此 已 求 得 所 有 所 需 边 长，根 据 相 似 三 角 形 边 长 比 例 关 系：器=黑，代 入 各 边 长 表 达 式 即 可 得 y关 于 X的 解 析 式，再 根 据 题 中 要 求 写 出定 义 域 即 可；(2)因 为 APFE是 以 PE为 腰 的 等 腰 三 角 形，PE=PF=y,由 勾 股 定 理 知 BF=丁 产 一 工 2,过 点 E作 EQ 1BC交 BC于 点 Q,贝 U 四 边 形 EFBQ是 矩 形，EQ=BF,EF=BQ；在 直 角 三 角 形 PEQ中，运 用 勾 股 定 理 进 行 计 算 即 可 得 解；(3)根 据 三 角 形 的 外 接 圆 圆 心 落 在 三 角 形 的 内 部，得 到 APEF为 锐 角 三 角 形，分 析 P点 运 动 过 程 可 知，ZEPF随 P点 向 右 运 动 角 度 不 断 减 小，口/P E F和 NPFE始 终 是 锐 角.根 据 题 意，令 点 P的 位 置 满 足 4EPF=90。，则 BP大 于 此 时 对 应 的 长 度 就 可 使 得 外 接 圆 圆。的 圆 心。落 在 APEF的 内 部.(1)解：如 图 所 示：过 点 C作 CQ 1 4D交 4。延 长 线 于 点 Q,再 过 点。作 垂