江苏省南通市2023届高三第二次调研测试（暨苏北八市二模、浙江高中联盟学校联考）数学试题.pdf

南通市2023届 高：第.次调研测试数 学本试卷共6页，2 2 小题，满 分 1 5 0 分。考试用时1 2 0 分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。2 .作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5 分，共 4 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .若 M,N是 U的非空子集，A/n N =M,则A.M q N B.N q M C.ZUM=N D.ZUN=M2 .若 i z =(l-2 i)2,则 2 =A.4 +3 i B.4-3 i C.-4 +3 i D.-4-3 i3 .已知(*3+3)”的展开式中各项系数和为2 4 3,则展开式中常数项为xA.6 0 B.8 0 C.1 0 0 D.1 2 04 .古代数学家刘徽编撰的 重差是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的 重差测量一个球体建筑物的高度，已知点/是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上5,C两点与点4在同一条直线上，且在点N的同数 学 试 卷 第 1 页(共 6 页)5.在口4 B C D 中，B E =B C ,AF=；AE ,若 AB =m D F +n A E,则加+二A A-21 BD-43 Cr-65 D n，346 .记函数/(x)=s i n(o x+今)(。0)的最小正周期为7.若.70,b 0)的左、右焦点，点 P 在双曲线a b-上，PFilPF2,圆。：V+/=*(。2+/)，直线PF i 与圆。相交于Z,8两点，直线产乃与圆O相交于M,N两点.若四边形/MBN的面积为9b 2,则 C的离心率为A5 B 8 6 n 2 V 1 0A.4 B.5 C.D,二、选择题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知甲种杂交水稻近五年的产量(单位：t/h n?)数据为：9.8,1 0.0,1 0.0,1 0.0,1 0.2,乙种杂交水稻近五年的产量(单位：t/h n?)数据为：9.6,9.7,1 0.0,1 0.2,1 0.5,则A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C.甲种的样本方差大于乙种的样本方差D.甲种的样本60 百分位数小于乙种的样本60 百分位数10.已知数列 斯 的前项和为,4“=(W6,若$卜=-3 2,则人可能为(-3)-7-1,n6.A.4 B.8 C.9 D.1 2数 学 试 卷 第2页(共6页)11.如图，正三棱锥/-P 8 c 和正三棱锥。-P 8C 的侧棱长均为 血，B C=2,若将正三棱锥A-PBC绕BC旋 转,使得点4 P 分 别 旋 转 至 点 P处,且 4,B,C,。四点共面，点 H,。分别位于3C 两侧，则,AA.AD LCP/卜B.PP 平面/BDC BC.多面体P P/B O C 的外接球的表面积为6兀 7/D.点A,P 旋转运动的轨迹长相等 D12.已知 a 0,e+l n b=l,则A.a+In ft 2 C.In a+e*三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.已知点P 在抛物线C：y2=2 p x(p 0).,过 2 作 C 的准线的垂线，垂足为“，点尸为 C 的 焦 点.若/印 小=60。，点 P 的横坐标为1,则。=.14.过点(-1,0)作曲线歹=工3_的切线，写 出 一 条 切 线 的 方 程.15.已知一扇矩形窗户与地面垂直，高 为 1.5 m,下边长为1 m,且下边距地面1 m.若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5 m2,则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为 m?.16.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找 完全数”用到函数b()：,求 6”的前 100 项和.19.(本 题 1 2 分)如图，在圆台。1 中，AB,4 8 分别为上、下底面直径，且小囱43,AB =2 AB,CG 为异于4小，8与 的一条母线.(1)若/为 N C的中点，证明：C M H平面(2)若。=3,4B =4,Z A B C=3 0,求二面角 Z-CC-O 的正弦值.数 学 试 卷 第4页(共6页)2 0.（本 题1 2分）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x （单位：d m）与遥测雨量y （单位：d m）的关系，统计得到该地区1 0组雨量数据如下：样本号i12345678910人工测雨量为5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遥测雨量仍5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49xt-yi0.050.080.20.570.420.030.09().110.020.2610 10 10并计算得为2 =353.6,工 靖=36 1.7,工叼,=357.3,%233.6 2,34.42,x J34.0 2./=!/=1*=1（1）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.0 1）,并判断它们是否具有线性相关关系：（2）规定：数 组（x,y,）满 足|-词 0.1为“I类误差”；满足|0)的最小正周期为7.若1 丁 0,6 0)的左、右焦点，点 尸在双曲线a2 b2上，PFL PFi,圆 O：x2+y2=(a2+b2),直线尸Q 与圆。相交于4 B两 点,直线产月与圆。相交于M，N两点.若四边形/8N的面积为9 加，则 C的离心率为A.总 B.j c.立 D,【答案】D二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9 .已知甲种杂交水稻近五年的产量(单位：t/h n?)数据为：9.8,1 0.0,1 0.0,1 0.0,1 0.2,乙种杂交水稻近五年的产量(单位：t/h m?)数据为：9.6,9.7,1 0.0,1 0.2,1 0.5,则A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C.甲种的样本方差大于乙种的样本方差D.甲种的样本6 0 百分位数小于乙种的样本6 0 百分位数【答案】A B D1 0 .已知数列 飙 的前项和为S”1 W W6,若&=3 2,则 4 可能为(-3)-7-1,n6.A.4 B.8 C.9 D.1 2【答案】A C11.如图，正三棱锥/-P 8 C和正三棱锥D-P 8 c的侧棱长均为近，B C=2,若将正三棱锥A-PB C绕B C旋 转,使得点A,P分别旋转至点A,P处，且W,B,C,。四点共面，点4,。分别位于BC两侧，则 AA.ADrep z/rxB.PP平面 ABOC B .pC.多面体P P A 8 D C的外接球的表面积为6 7tD.点A,P旋转运动的轨迹长相等 rD【答案】BC12.已知 a 0,e +l nb=1,则A.a+In/2 C.In a+e *【答案】ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知点P在抛物线C：y 2=2p x(p 0)上，过P作C的准线的垂线，垂足为“，点尸为C的焦点.若/HPF=6 0。，点P的横坐标为1,则2=.【答案】2314.过点(-1,0)作曲线丫=3一 的切线，写出一条切线的方程一【答案】2x _y +2=0,答案不唯一，x +4 y+l=0也正确15.已知一扇矩形窗户与地面垂直，高 为1.5 m,下边长为1 m,且下边距地面1 m.若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5 m2,则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为 m3.【答案】v16.“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”用到函数。()：V”eN*,0,由(*)知，c o s B 0,所以c o s B=2 .6分(方法2)因为在 Z 8 C中，A=W，所以 sin C=/5 sin Asin B =sinB ,所以由正弦定理，得c =9 b.2 分由余弦定理，得 层=/+。2-2/?c c o sA=6+(a)-2Z?-|/?-c o s-1=2，因为。0,Z;0,所以”=孝 心 4分2 2停4+伟”由余弦定理，得COSB =a+；-b=2 J 2 1=苧.6分2 觉 2x g“勉 7(2)s i n C =V 3 s i n A s i n B ,由正弦定理，得 c =V 5 s i n 3.又因为=指，所以as i n 6 =/.8 分所以4SC的面积为S=casinB=-x6 x/2=/3.10 分1 8.(本 题 12分)已知正项数列%的前 项和为S,且 m=l,S,2-S,；=8，eN*.(1)求 S”;(2)在数列 斯 的每相邻两项公，四+1之间依次插入m，6,，ak,得到数列 6 ：a,a,02，4 02，的，a”a?，的，。4,.，求 力 的前 100 项和.解：因 为 S 3 T=8，当 心 2 时，S；=(S；T _ J+L+(S；-S：)+S；=8(n-l)+L+8x1+1 .2 分=8l+2+3+L+(n-l)+l=8x 瞪2 +1=(2H-1)2,.4 分因 为 0,所以S 0,所以 S“=2-l.当”=1时，S=q=l适合上式，所以 S“=2-1,e N*.6 分（2）（方法 1）因为5“=2-1,neN,所以当“2 2 时，a“=S,-S,i=（2-1）-（2-3）=2.LL Ivl=八所以0 9 8 分 2,2.所以数列 6”：1,1,2,1,2,2,1,2,2,2,.,设 1 +2+L+=网7 21 0 0,贝旧+-200 W0,因为 w N ,所以 13.10分所以 仇 的 前 100项是由14个 1与 86个 2 组成.所以7；0 a=1 4 x1 +8 6 x2 =1 8 6 .1 2 分（方法 2）设 1 +2+L W 1 0 0,则“2+/-2 0 0 W 0,因为EN,，所以 W1 3.8 分根据数列 d 的定义，知M o o =4 +（q +凡）+（q +出 +见）+L +（4 +L +略）+（4 +a2+L +%）=S i +S7+S3L +E 3+S 9 .0 分=（l +3 +5 L +2 5）+1 713X（1 +25）,K=2+1 7=1 8 6 .1 2 分1 9.(本题1 2 分)如图，在圆台OQ中，A M 48分别为上、下底面直径，且 Z8/N 8,AB =2 AB,CG为异于4 4”8S的一条母线.(1)若/为 NC的中点，证明：C M H平面(2)若 O O i =3,4B =4,Z AB C =3 0,求二面角/-CC-0 的正弦值.证明：(1)如图，连接AG.因为在圆台OQ中，上、下底面直径分别为A,B,A B,且 A 4 A 8,所以的，8 蜴，C为圆台母线且交于一点P.所以A,A ,G ,C四点共面.2分因为在圆台OQ中，平面A 8 C 平面4线 ，平面A 41G C I 平面A B C =AC,平面A A1c l e I 平面A M =A C 1,所以A A C.4分又因为A耳A 8,A B =244,所 以 冬=摒=,n PA AB 2所以4&=金=4,即G 为 PC中点rc N在 R 4 C 中，又 M 为 AC的中点，所以G M A A.因为u 平面A B B/，平面A B B/，所以G M平面488小.6分(2)以。为坐标原点，。8,O q分别为y,z轴，过。且垂直于平面A2B队 的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-刈z.因为NABC=3 0 ,所以乙40c=60.则 A（0,-2,0）,C（V 3,-1,O）,O0,0,3）.uiu f-uiur i tur A因为0C=（G，-1,0）,所以。C=4 O C =（苧所以G（孚，-3,3），所 以 注=（孚，-表一3）设平面OCG的法向量为 =（芯,，Z）,n _L 鸵，6%-y=0，所 以|一皿|1所 以同%C1C,5-飞 尹-3Z=0,所以平面OCC1的一个法向量为=(1,石,0).8分又 AC=（G ,1,0）,设平面ACC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),fiC1Mn,AC,&+丫2=。，所以 ULLU所以同 1尸 2 e g,3X 2-y2-3z2=0,所以平面ACG的一个法向量为%=，-G,坐).10分所以cos =昌 符=匕 上同二、斤+苴13设二面角-e g-o的大小为。,所以 sin 9=-cos2 =了：；。.所以二面角M-G C-o的 正 弦 值 为 噜 .12分2 0.（本 题1 2分）我国风云系列卫星可以监测气象和国土资源情况.某地区水文研究人员为了了解汛期人工测雨量x（单位：d m）与遥测雨量y（单位：d m）的关系，统计得到该地区10组雨量数据如下：样本号i12345678910人工测雨量H5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23遥测雨量95.438.076.576.147.955.564.274.156.044.490.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26101()10并计算得Z x：=353.6,X X2=36 1.7,2 4 r=357.3,x2 33.6 2,y2 34.42,x y 34.02.i=i=i=l（l）求该地区汛期遥测雨量y与人工测雨量x的样本相关系数（精确到0.01）,并判断它们是否具有线性相关关系；（2）规定：数 组（Xi,M）满足|一 川 0.1为“I类误差”；满足O.lW Ef|6 0)的离心率为坐，焦距为2,过 E的左焦点尸的直a b-2线/与 E相交于/,8两点，与直线x=-2 相交于点(1)若 M(-2,-1 ),求 证:MA-B FMB.AF(2)过点/作直线/的垂线机与E相交于C,D两点，与直线x=-2 相交于点N.求+|JB|*|Jci+的最大值.解：(1)设耳(一c,0),F2(C,0),因为焦距为2,所以2c =2,解得c=l.又因为离心率e =C =坐，所以“=夜，所以 2=2 7 =1,a 2所 以 椭 圆 氏 与+V=1.2 分因为直线/经过M(-2,-1),尸(-1,0),所以直线/方程为y=x+l,y=x+l,设 A(X,乂)，3(入 2联立 f 2 得 3 f+4 x =0.,T +-V(方法 1)E t l 3x2+4x=0,得 为=-4，x2=0.4 分所以|M 4|忸F|=依 +2 +(y+1)2 依+1)、+(%-0)2=2|XI+2|X2+1|=2X-1 +2 X|0+1|=1,同理，得阿=2|赴+2|也+l|=2x|0+2|x-1+l=|.所以|.|8 尸|=|A 四|.|4F|.6 分 _ _ 4(方法2)由3/+4 x =0,得 广+=-3 4 分xx2=0.因 为 网.阳=&寓 +2卜 闽 +1|=2悦+2X2+2|=2-1 +X2+2=2X2+|同理，得 阿.|叫=2%+2 西+2|=2 +2,3 7 2)+2=2X2+1,所以|M 4|.|8 *=6 分(2)由题设知，直线/的斜率存在,且不为0.设直线/方程为卜=网+1),直线，方程为y =J(x+1),其中4#0.Ky=k(x+l),联立,得(1+2公 优+4 公工+2%2_ 2=0,匕 +y =1，设 A。1，y j,B(x2 ,y2),A =16/-4(24 +1)(2公-2)=8/+8 0,所以&+x 2=-4 公1 +2二中22公-21 +2公因为 M（-2，-k）,所以 i-7 +1-7 =1-1/1-.M A M B V1+k2|x,4-2|J1+2|因为玉 2,x2 2,所以 I _一=_ /-+-L _ _ _ _I +/+4_.|AM|MB JI+%2+2 x2+2/yji+k2 芭 9+2（x+w）+4 8 分4k2 ，1 +2公 4 公+4 22A=2 +二8公+4-V i7 F 2 +2v r 7 F l+2k2 l+2k2 10分，工，2 2kINCI INDI 仁工行所以1 +=T=M MB 7 1 T F所以 1 1 1 1 =2（l+|k|）产+1+2 wMA MB NC ND TfTp-k2+lW2+1）=2拒（当且仅当|k|=1,即=1 时，取 =”）.V 左 +1所 以 品 工 +品？+77身+品 亓 的 最 大 值 为 2立,12分2 2.(本题12分)已知函数f(x)=a x-n x.(1)若 x l,/(x)0,求实数的取值范围；(2)设 Xi,X2是函数/(X)的两个极值点，证明：1/3 )-/(也)|0).1分X X2 X2(1)当W 0 时，x l,f(x)0,所以/(x)在(1 ,+8)上单调递减，所以=0,所以aW O不符合题设.2 分 当o 1，g(r)=2-+7/-L-i n/.x 1+】yjt所以g，=4+3+3 =4+巴L。,(f +1)-2&2 t 山 t(r +1)2 t 由.10分所以g 在（1,+o o）上单调递增，所以g（f）g =0.所以当一 工 1 -/（由）+/（*2）0，即 得/（占）一/（）一 X 成立.所以原不等式成立.12分