江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题（含答案解析）.pdf

江西省景德镇市2023届高三上学期第二次质检数学（文）试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知集合人=,可的所有非空子集的元素之和等于1 2,则等于（）A.1 B.3 C.4 D.62.已知i 为虚数单位，若 复 数 产（a e R）为纯虚数，则复数z=2 a-i在复平面上对应2 1的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量 4=（2,3）,B=（2,sin 2=2 x 的焦点为F,A&,y J,以,%)是C上两点，若 石 一 相=1,C.夜8 .德国数学家莱布尼兹于1 6 7 4 年得到了第一个关于花的级数展开式，该公式于明朝初年传入我国.我国数学家、天文学家明安图为提高我国的数学研究水平，从乾隆初年(1 7 3 6 年)开 始，历时近3 0 年，证明了包括这个公式在内的三个公式，同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式，著 有 割圆密率捷法一书，为我国用级数计算兀开创先河，如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于兀的级数展开式计算兀的近似值(其中尸表示兀的近似值)”.若输入=9,输出的结果户可以表示为()/输出/P =4 1-1-1-H-3 5 73 5 7D.尸=49 .杨辉是南宋杰出的数学家，他曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带.杨辉一生留下了大量的著述，他给出了著名的三角垛公式：1+(1 +2)+(1 +2 +3)+(1 +2+3+)=!(+1)(+2).若正项数列%的前项和为S”,且满足S“数列低 的 通 项 公 式 为=4 用,则根据三角垛公式，可试卷第2页，共 5 页得数列也 的 前 1 0 项和勾=()A.440 B.480 C.540 D.5801 0.已 知 双曲线炉-二=1 的左，右焦点分别为耳心，直线/过外且与双曲线交于43/uum uuai、uun8 两点，若直线/不与x 轴垂直，且(线人+月8)乂8=(),则直线/的斜率为()A.土 B.土 姮 C.+D.-5 5 21 1 .若抛掷两枚骰子出现的点数分别为，b,则“在函数/)=/+依+6 的图象与x轴有交点的条件下，满足函数g(x)=-为偶函数 的概率为()ya+bjxA.B.C.D.1 7 1 9 1 9 1 91 2.若函数 x)=f ln x-g 恰有两个零点，则实数/的取值范围是()A.(f-e)B.(-)D.(-O),在 0,可上恰有一个最大值点和两个零点，则实数。的取值范围是三、解答题17.在W C中，角 4 B,C的对边分别为 a,b,c,若sinCtan8=cosC 2cosA且角力为锐角.求 角B；(2)若J R C的面积为G，求6的最小值.18.如图，在四棱锥P-A B CD中，底面ABC。为平行四边形，Z4BC=120,AB=,PA=6 PDA.CD,PBJLBD,点、N 在棱 PC 上,平面 平面 A3CD 证明：ABLPB；(2)若R4/平 面B D V,求三棱锥N-皿)的体积.19.目前直播带货已经席卷全国了，不论老人小孩、男生女生，大家都听说或是尝试过直播购物，它所具有的能突破时间、空间限制的特点己经吸引了越多越多的人.由此可见，它的受众非常广泛，是大势所趋.不管是什么行业领域，都可以去从事直播带货.直播带货的兴起为人们提供了更多就业岗位.小明是一名刚毕业的大学生，通过直播带货的方式售卖自己家乡的特产，下面是他近4个月的家乡特产收入y(单位：万元)情况，如表所示.月份5678时间代号，1234家乡特产收入)3.93.32.21.8(1)根 据5月 至8月的数据，求夕与f之间的线性相关系数(精确到0.0 1),并判断相关性；(2)求出y关 于，的回归直线方程，并预测9月收入能否突破1万元，请说明理由.附：相关系数公式:；(若旧0.95,则线性相关程度非常强，可用线性回归模型拟合)试卷第4页，共5页一组数据(冷乂),(，%)，(七，)，其回归直线方程=品+的斜率和截距的最小”_ _2 升必一孙二乘估计公式分别为5=号-，a=y-菽；LXi -n X/=14参考数据：戊=1x3.9+2x3.3+3x2.2+4x1.8=24.3,/=iE(=1 -I2+O.52+0.62+12=2.82,V14J 3.75.=1 2 220.已知椭圆C：力+表 =1(a万 0)的左右焦点分别为耳(f )，玛(c，。)，M,N分别为左右顶点，直线/：x=/y+l与椭圆C 交于A,B两点，当倾斜角为看 时，A 是椭圆的上顶点，且4A片鸟的周长为6.求椭圆C 的方程：(2)过点N 作x 轴的垂线4,。为4上异于点N 的一点，以。N 为直径作圆E.若过点尸2的直线4(异于X轴)与圆E 相切于点H,且4 与直线D 相交于点P，试判断|P|+|P4|是否为定值，并说明理由.21.2 知函数 x)=(x+l),+h l”.(1)若函数/(x)在定义域上单调递增，求。的最大值；(2)若函数f (x)在定义域上有两个极值点和/，若x2 4百,求国的最大值.I jy cos a I f =3x22.在平面直角坐标系中，曲线G：一 (a 为参数)经过伸缩变换 .得(y=sina y=2y到曲线G，在以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为 2/7cose+G/?sine=65/5.求曲线G 的普通方程；设点尸是曲线G 上的动点，求点尸到直线/距离 的最小值.23.已知函数/(x)=k+d+|x 2r|,re R.若 t=l,求不等式 X)V 14-乂2的解集；(2)已知4+6=4,若对任意x e R,都存在a0,1 0 使得 x)=*求实数，的取值范围.参考答案：1.D【分析】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.【详解】解：集合A=a 的非空子集有*、于、a,b,所以 a+b+a+6=12,解得a+6=6.故选：D2.D【分析】利用纯虚数化简，求出参数”，得复数z在复平面上对应点的坐标即可.【详解】因为复数半（aeR）为纯虚数,2 1a+i（a+i）（2+i）（2a-l）+（a+2）i山 2i-（2-i）（2+i）-5可知为-1=0,所以“=则 z=2x i=1 i,22所以复数z在复平面上对应的点为（1,-1）,位于第四象限.故选：D3.A【分析】首先求出Z+B的坐标，再根据向量共线的坐标表示及同角三角函数的基本关系计算可得.【详解】解：因为。=（2,3）,B=（2,sina 3）,所以a+6=（4,sina）,又c=（2,cosa）且（4+）c,sin ct所以 4cosa=2sin a，则 tan a=-=2.cos a故选：A4.B【分析】首先求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积，从而求出球的半径，再根据球的表面积公式计算可得.【详解】解：依题意圆锥的底面半径=4,母线1 =2布,所以圆锥的高力=炉彳=2，答案第1页，共17页i i Q7所以圆锥的体积丫=:兀，/7=(兀 x42x2=与 7T,设铜球的半径为R,则g 兀 木=告兀，解得R=2,所以铜球的表面积S=4兀/?2 =167t.故选：B5.C【分析】根据递推公式一一计算可得.【详解】解：因为q=“2=l，。,+2=4+1+4,(WN*),所以。2+%+。5+%+。9+。2023=%+5+%+%+02023=纬+%+%+/0外.42022+a2O23=2 0 2 4，所以 k=2024.故选：C6.B【分析】连接。G，交 于 点 0,连接用。、O N,即 可 证 明 四 边 形 为 平 行 四 边 形，所以OB/M N,即可证明A；连接8 N,则四边形A5N。为三棱锥A-N R 在平面A8CO上的正投影，求出四边形ABN 的面积，即可判断B；取 BC中点E,连接AE,EBt,ABt,可证AJ_平面M M 3,可判断C；若 F 为棱A 3的中点，MV为三棱锥M-N F B 的外接球的直径，求出表面积，可判断D.【详解】解：对于A：连接。G，交。C 于点0,连接片。、ON,显然。为o q 的中点，又M,N 分别为BB-C。的中点所以 ON/C C,且 O N=；C Q,BM/CC,且耳M=g CC；,所以O N H B M且 ON=8幽，所以四边形。为平行四边形，所以OB/M N,答案第2 页，共 17页又M N U平面C 3 Q,O q u平面C81A，所以MN平面CSQ一 故A正确;对于B：如图，连接B N,则四边形A8ND为三棱锥A-M N R在平面ABC。上的正投影,因为SA3N Z)=1(1 +2)X2=3,故 B 错误；对于C：取BC中点E,连接AE,E q,AB,显然 A/W E丝 ABCN,所以 ZAEB=Z B N C,又 N7VBC+N8NC=90。，所以Z N B C+Z A E B =90。所以A E L B N,由正方体,可得BB1，平面4BCO,A u平面A 8 8,:B B J A E,又 BB、,B N u 平面 MNB,B B B N =B,.AE_L平面M N 8,又A E u平面A E g,平面A E 4，平面M N B,故C正确；对于D：答案第3页，共17页若 F 为棱 A3 的中点，M N=/12+22+12=y/6-F N =2,F M =正 +12=6，所以MN-=FN+F M-,即 A M F N=9 0即AAWN,均为直角三角形，且MN是公共斜边，由直角三角形的性质，可知MN为三棱铢M-N F 8的外接球的直径,故夕卜接球的半径为R =，A W=x =如，2 2 2所以三棱锥M -N F B的外接球表面积S=4兀六=6兀，故D正确.故选：B7.D【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据焦半径公式表示出卜目，忸耳，再根据2%-4%=1代入计算可得.【详解】解：因为抛物线丁=2 的焦点为尸（；,0）,准线为x=-；,又小芭,必），8（刍,力）是C上两点，所 以 曰=%+（,忸可二马+g,又2-4内=1,则=2%+；,BF所 以 南1c 11X H-2 x H-1 二 2 2二 1 2 21-1X 4 X,4-1 2 1 2=2.故选：D8.C【分析】执行给定的程序框图，输入=9,逐次循环，找到计算的规律，即可求解.【详解】由题意，执行给定的程序框图，输入=1 0,可得：第1次循环：S=l,i =2；第2次循环：S=l-p /=3；答案第4页，共1 7页第 3 次循环：S=1 -g+巳，/=4；第 9 次循环：5=1-：+9；+，z =10,此时满足判定条件，输出结果P=4S=4(l-g +g-；+故选：C.9.A【分析】根据S“求出4，进而求出bn，写出7；，观察三角垛公式，发现其每一项是等差数列的前项和的形式，代入前项和公式，即可得与1 之间的联系，代入公式即可得出结果.【详解】解:由题知所以4=1,当 2 2 时,q=5,-5,1=；2+g _ g(“一 )2-/(I)=，当”=1时，满足上式，故%=，所以2=%乜向=(+1),由三角垛公式：1 +(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+”)(+1)(+2)可得：61 2x3 3x4 4x5+1 .、1 +-+-+-=+2 2 2 2 6E|12+(2x3)+(3x4)+(4x5)+-+(x(+l)=g (+l)(+2),因为 2 =(+1),所以北=4+。+。+,=1X2+2X3+3X4+x(+l)答案第5 页，共 17页故 7；o=；xl 0 xl l xl 2 =4 4 0.故选:A1 0.By=k（x-2）【分析】设直线/：y=Z（x-2）,联 立，丁，结合韦达定理可求得A 8的中点”的坐x-3-=标，由向量的数量积知即与=代入即可求解.【详解】由己知得到片（-2,0）,居（2,0）.设A（%，X）,8（W，%），直线/：y=4（x 2）,显 然 人0.y=k（x-2）联 立2/，得（公3卜3 =0.I 3因为/与双曲线交于两点，所以公-330,且4 =3 6（1 +公）0.由 韦 达 定 理 知 演+=,不 =令 士k 3 k 3z uuur uumx tun设A B的中点为材（x“，/），根据（耳A +KB）.4 B=0,得 到 啊.通=0,从 而 得 到 百 故 即M 4=7.而 为 二 力-=正 三 2）=正1，./沙=不 二 所以 解得二=（，故/的斜率为士4亘，故选：B.1 1.D【分析】首先列出满足函数/（2=/+仆+6的图象与x轴有交点的基本事件，再找出符合函数g（x）=为偶函数的基本事件，最后根据古典概型的概率公式计算可得【详解】解：函数）=/+盯+的图象与X轴有交点，贝 必=/-4匕2 0,则满足该条件的（。为）有：（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）,（6,6）,（5,1）,（5,2）,（5,3）,（5,4）,（5,5）,（5,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）,（3,1）,（3,2）,（2,1）,答案第6页，共1 7页共有1 9 个满足函数f(x)=x 2 +o r+6 的图象与x 轴有交点的条件；函数8。)=个 僦 为 偶 函 数，只需(x)=*-L 是奇函数，即(a +b)xh(-x)=。-工-bx=-(ax-b x)=-A(-x),所以 a =匕.函数g(x)=条 为 偶 函 数：有(6,6),(5,5),(4,4)共3 个.所以贝 在函数/(x)=d+办+6 的图象与x 轴有交点的条件下，满足函数8。)=已 玉 京 为偶函数”的概率尸=看.故选：D.1 2.A【分析】令/(x)=0,即可得至U x l n x =1,令 g(x)=x l n x,则y =g(x)与 y =；有两个交点，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最小值，即 可 得 到-从 而 求 出 参 数 的 取e t值范围.【详解】解：令/(x)=0,即f l n x-g =O,所以x l n x =:,即方程x l n x =l 有两个不相等实数根，t令g(x)=x l n x,则 y =g(x)与 y =；有两个交点，因为g(x)=l n x+l,则当0 c x 时g(x)，时 g x)0,所以g(X)在(O f)上单调递减，在(j,+8)上单调递增，所以 g(x)m i n=g g)=T，当 xe(0,时 l n x 0 ,贝 i g(x)l 时 l n x 0,则 g(x)0,所以一 _ 1 1 0,解得f -e,即，e(-8,-e).e t故选：A1 3.-#0.45【分析】根据题意从30 个数据中找出恰有一天停电的情况，再利用古典概型的概率公式可求得结果.【详解】由题意可知恰有一天停电的情况有：2 8,1 4,0 6,9 0,1 4,6 2,30,71,2 8,0 3,答案第7 页，共 1 7页82,2 3,共 1 2 种，1 2 2所以连续两天中恰好有一天停电的概率为痛=-，_ 2故答案为：1 4.2【分析】首先求出直线过定点A（0,2 虚），再判断点A在圆内，则弦长最小值为与AC垂直的弦，再根据弦长公式计算可得.【详解】解：因为直线/：y =A x+2 应恒过定点A（O,2 0）,圆C：炉+y 2 =9 的圆心c（o,o）,半径r =3,所以|A C|=2&3,所以点A（0,2 夜）在圆内，所以直线被圆C所截的弦长的最小值为2ylr2-ACf=2.故答案为：21 5.|-1L 3 J【分析】首先判断函数的单调性，根据偶函数的性质及单调性原不等式等价于|*+1|2|2 目，解得即可.【详解】解：因为“X）是定义在R上的偶函数，且当x N O 时，x）=e ,即f （x）在 0,+8）上单调递增，所以/（x）在（-匕 0）上单调递减，则不等式/（x+l）N 2 x）等价于,+1 日 2 乂，即（X+N4X2,解得一；二 41,即 x e ,1 .3故答案为：f此）1.6 3J【分析】首先根据和差角公式将函数化简，再由工的取值范围求出S+2的取值范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：f（X）=s i n 0 x+s i n（O x+1）答案第8 页，共 1 7页7 1 7 Tsin cox+sin GXCOS +cos Gxsin 3 33.6=sma)x+cos a)x2 2=6 sin/3sin|a)x+由 xw o,7l,所以 s +gw 7,+7,又 f(x)在0,兀 上恰有一个最大值点和两个零点,贝 lj 2兀 W 即+2 型，6 211 7解得丁o 3所以0 的取值范围是I?,?.1_6 3)故答案为：1 7.(2)2 6【分析】(1)首先化简sinCtanb=cosC 2cosA可得:2 cos Acos B=cos B cos C-sinC sin5=cos(B 4-C)=-cos A，由角 Z 为锐角，所以 cos 8=,2即可的得解；(2)由 S&ABC=acsinB =V3,可得ac=4,由+/一2 0 4 2 2ac+4,代入即可得解.【详解】(1)由sinCtanB=cosC-2cosA 可得：sinCsin B=cos B cos C-2 cos A cos B,2cos Acos B=cos Bcos C-sin Csin B=cos(B+C)=cos A由角/为锐角，所以cosA0,所以 cos8=g,又 B e(0,7 r),所以 B=与；答案第9 页，共 17页（2）S=-acsmB=ac24=y/3，所以呢=4,由余弦定可得从=a2+c2-2accosB=a2+c2+4N2 a c +4=1 2,当且仅当。=c 二 2时取等，满足角力为锐角,所以由。之26,可得。的最小值为2 G.1 8.（1）证明见解析【分析】（1）根 据 面 面 垂 直 的 性 质 得 到 平 面A8 C。，即可得证；（2）连接A C交BD于点0,连接O N,根据线面平行的性质得到P 4/O N,则N为P C的中点，再证C 1平面P皮），从而得到C D_L B,最后根据匕-也）=:匕-枚）=；x g PBx具“。计算可得.【详解】（1）证明：因为平面P3_L平面A8 C D,平面P3DA平 面 至8 =即，P B Y B D,P B u 平面 PBD.P B1 平 面 A B C D,A B u 平面 A B C D,:.P B L A B；（2）解:因为加/平面8 D V,平面PAC Q平面比W=0N,%u 平面PAC,所以A4 O N,因为。为A C的中点，则N为尸C的中点，因为底面ABC O为平行四边形，所以C）J_PB,又 C D 1 P D,PBCPD=P,PB,PDu 平面 P B D,所以 C O _L 平面又8 u平面尸B,所以8 _L 3Q,答案第1 0页，共1 7页因为PA=右，AB=,所以 P8 =2，DC又/4 5 C =1 2 0。，所以 N 8 C O =6 0。，则 N Q B C =30。，所以 A D=B C =-=2,sm 30 所以S Arn=-7 1 D DC sinl2 0o=-x 2 x 1 x =,2 2 2 2 2所以 VN-PAD=；VJP A D=；VP-ACD=；*；PB x S.ACD=；义!x 2 x g =.2 2 23 2 3 2 o1 9.(l)r 0.99；认为y 与 f之间有很强的相关性.(2)y关于f的回归直线方程为：y=-0.7 4,+4.6 5,不能.【分析】(1)直接代入公式求出认为y 与，之间的线性相关系数，即可判断;(2)代入公式求出系数R q,即可得到回归方程，并求出9 月收入即可判断._、4_/八,士 x x,皿 u=rA.1 +2 +3+4 3.9+3.3+2.2 +1.8 _.【详解】由表格数据可知=3尸-=2.8,则=(-1.5)2+(-0.5)2+(0.5)2+(1.5)2=5,Z=14由题意知：=1 x 3.9+2 x 3.3+3x 2.2 +4x 1.8 =2 4.3,/=4/_、2=1.12+0.52+0.62+12=2.8 2,1=1访代入相关系数公式可得:2 4.3-4x 2.5x 2.8 -3.7 -；=-Q-0.99.0.95,所以认为y 与，之间有很强的相关性.(2)由题意可得：=1 x 3.9+2 x 3.3+3x 2.2 +4x 1.8 =2 4.3,=!4/-y=2 8 ,=12+22+32+42=30 ,#=2 5，/=i4.，-4 1了 2 4 3-2 8 _所以 3=4-=八=-0.7 4,贝 I a =亍一痴=2.8 (-0.7 4)x 2.5=4.6 5，v,2 A2 3U 2 3Ei2i=所以y 关于f的回归直线方程为：y=-0.7 4/+4.6 5,把f=5 代入可得：y=-0.7 4x 5+4.6 5=0.95(2,2 7),圆E 的半径为卜|,则直线D M的方程为=桀。+2)=；。+2),4的方程设为x =+l,则/,=1 ,化简得J+k2 2tt 6ty=-(x+2)y=-2由 .2，解得/1，所以点P(子】，冬)1-r ,6-2 厂 3 +/3+t2x=y +1 x =-2t 3+t2(6-2产、2 .6t 2(三 产 J J 行b _ r4+6 r2+9 所以点尸 在椭圆C上，-4-I-=(3 +,)2|P 用+|P 段=4,即|P 周+|P*=4 1=3.21.(1)2答案第12页，共 17页【分析】(1)由/(X)在定义域上单调递增，即/(x)W O 在定义域上恒成立，求导之后全分离，设新函数，求导求单调性求最值即可；(2)对/(x)求导，使其导函数等于零有两根为和，全分离后找到为和X之间关系雨等式化简，令等式为机，用机代换X、和，根据当之你找到m的范围，将 回 用 机表示,设出新函数，求导求单调性，求最值即可.【详解】(1)解:由题知/(x)=a+.：+1x).a In x 八=。+In x H-1-,x 0,x x因为/(x)在定义域上单调递增，所以r(x)=：-点+L 詈2 0 在(0,+8)上恒成立，即a W X+1 -In X 在(0,+8)上恒成立，记 g(x)=x +l -In x,即。京 厮，因为 g (x)=l-T =三J,所以当x e(O,l)时,g (x)o,g(x)单调递增,故 g(x L=g(l)=2,故 a42,即”的最大值为2;(2)因为/(x)在定义域上有两个极值点4和色,即/(力=0在定义域上有两个不相等的实根储和反，.故 有士 fr,(x)=r1 示a+1-lrn x-=八o,答案第13 页，共 17页即q =x+l-In x 有两个不相等的实根玉和巧,g p =X j +1-In%1=x2+1 -In x2,移项可得:In/Tn石=X2-X19因为多24%,所以刍 占，l n x2-l n xI=x2-x1=w 0,联立x2=m +xIn x2=m +In 玉/口 m m解得芭=-=m +-,eZ M-l 2 e,M-lL L 2所以加+-ew-l4 2e -l解得 N 21n 2,所以玉令(x)=,x 21n 2,令 F(x)=2e -2-心 -x,x N 21n 2,所以 F(x)=-x eA+e“-1,r(x)=-xex+ev-l,rz(x)=-x er )上单调递减，所以x)金(21n 2),因为21n 2)=21n 2e n 2+e 2m 2 i=8 i n 2+3 =l n JlnL0,25 6 25 6即，(x)上单调递减，答案第14 页，共 17页3 q3所以方（x）（2 如 2）=26 2m 2-2一 2 如 26 21n2_ 2也2=6 101n 2=2（3-5 如 2）=21n 1r 21畸27=21n 0,即 F（x）0在 21n 2,+）恒成立，xex当x e 21n 2,4 W）时,/0，即/?（力 2)【详解】解：当f=l时，/(x)=|+l|+|x-2|=.3(-l x 2),1 2 x(x 1)v/(x)2时，即2x-l4-x2,.,.2 x 2当一1 xv2时，即，3 1 4-x2f，-1 x 2 ；-l x 2当xv1时，即1-2 x 4 1 4-/,/.I-A/14 x -l ，x|(x+?)-(x-2 z)|=3|r|,当且仅当(x+f)(x-力)4 0 时取等号，/W mi n=3|/|,又a0,6 0 且/(x)=4+,。+6 =4,ab4a 1 4。a+。、1 -4ab 9贝!+=+-N-+2J-=-,bah 4a 4 h 4a 4当 且 仅 当 当=二，即a=,/，=*时等号成立，b 4a 5 5rri.,4a2+b 9 )所以;e 7,+8ab|_ 4 )Q Q Q根据题意可得彳43 卜|,解得壮或Y-的取值范围是(9:，田)答案第1 7 页，共 1 7 页