江苏省连云港市灌南县2021-2022学年高二下学期期中数学试题含解析.pdf

灌南县2021-2022学年度高二第二学期期中调研考试数学试题考试时间：120分钟 试卷总分：150分一、单项选择题(本大题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)1 .己知C/=,则 x 可能取值为()A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】根据组合数的性质求解即可【详解】因为C；=c：；5,故X+2=2X-5,或X+2+2 X 5 =1 8,故x =7故选：B2 .在正方体 A B C。-A与GR 中，A C x A A i+y A B+z A D,则(x,y,z)=()A.(1,1,1)B.(1,1,0)C.D.(1,0-1)【答案】A【解析】【分析】根据空间向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因为 Ag =AC +C 0=A B +3C+C G=A B +4D+A4,而 AC =xAA+y A B +z A D 所以有x =l,y =l,z =I,故选：A3 .已知向量a =(1,0,，=(2,0,-2),若“/?,则 卜 卜()A.1 B.0 C.7 3 D.2【答案】B【解析】【分析】由向量平行，先求出”的值，再由模长公式求解模长.【详解】由。/人 则”肌，即1 =2 4,/%=-2 4则4=；,相=2 x g =1,所以a=则卜卜 J+02+（_&故选：B4.已知随机变量X服从正态分布N（32）,且P（X 5）=0.8,则P（1 X 5）=1 -0.8=0.2,P（X 5）=0.2,故：尸（1 X 3）=1（。；+0 2）=0 3本题选择8选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法：熟记 PQL OXJ,I+a）,P（/i-2oX/i+2r）,P（/i-3oX斗+3o）的值.充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.5.一个频数分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，若样本中数据在 20,60）内的频率为0.8,则样本中在 40,60）内的数据个数为（）分01|I(30.40)0败34$A.15 B.16 C.17 D.19【答案】A【解析】【分析】首先计算数据在口0,60）的频率和频数，再根据表中的频数计算样本中在 40,60）的个数.【详解】数据在 10,20）内的频率为点=0.1,并且数据在 20,60）内的频率为0.8,所以数据在 10,60）的频率为0.1+0.8=0.9,那么数据在 10,60）的频数为30 x0.9=2 7,那么样本中数据在 40,60）的个数为 27 3 4 5=15.故选：A【点睛】本题考查频率，频数的简单应用，重点考查数据分析，属于基础题型.6.下列说法正确的有()A.设随机变量X服从二项分布则P(X=3)58B.若 X是随机变量，则 E(2X+1)=2E(X)+1,D(2X+1)=4D(X)+1C.已知随机变量(0,1),若尸(。1)=p,则=l-2 pD.设随机变量。表示发生概率为p的事件在一次随机实验中发生的次数，()1)=P C 一1)=1一，故C错误；对于选项D：随机变量J的可能取值为0、1，故P C =0)=l ，P记=l)=pE()=0 x(l-p)+lx p-p.=(0 _ )2 x(1 _ )+(1 _)2 X =(1 _ )V(1 _；+=；,当且仅当g 取等号，故 D正确.故选：D7.如图所示，A,8两点共有5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为4,则p(4 2 8)的 值 为()2【答案】D【解析】【分析】根据题意可得J的可能取值为7,8,9,10,再根据2 8）与 P信=7）为对立事件求解即可【详解】由己知得，I 的可能取值为7,8,9,10,故尸（昆8）与尸代=7）是对立事件,C 2 c l 4所以 P（含8）=1 P C=7）=1-言 2 =-.故选：D8.在长方体AB8-ABCA中，A B =A D=，AA,=2,P是线段BG上的一动点，如下的四个命题中，（1）4 P平面A C；（2）AP与平面8 cq g所成角的正切值的最大值是平；（3）42+的最小值 画；（4）以A为球心，五 为 半径的球面与侧面。CG9 的交线长是52真命题共有几个（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由面面平行的判定可证得平面ABG平面A C，由面面平行的性质可知（1）正确；根据线面角定义可知NAy A为 A|P 与平面BCC4 所成角，可 知 当 最 小 时，t a n/4 P 4 最大，利用面积桥可求得g4H l=竽，可 求 得（2）错误；将VA8 G和.8C G 沿 展 开，可知AP+PC的最小值为 4 C,利用两角和差余弦公式可求得COS/A/C,利用余弦定理可知（3）正确；根据球的截面的特点可知截面圆半径为1,可知交线为以。为圆心，1为半径的圆在平面。C G A上的部分，由此可求得(4)正确.【详解】对 于(I),连接4 C，A 3；-A4,C ,A 4=C G，.四边形ACGA 为平行四边形，又A C u平面ARC,4 G 平面A R C,AG平面ARC；同理可得：8 C 平面ARC，B q=G,4 G,8 G u平面,.平面ABC；平面ARC，又A/u平面A6C1,.AP平面ARC，(l)正确；对 于(2),连接4尸,A始，平面BCCiB，:.Z P B,即为AP与平面BCC,4所成角,o r.1则12 11乙41/耳=/=三，则当B|P最小时，t a n/A P q取得最大值;D(r Dr当与P LBG时，gp取得最小值，此时gp=BB B；。=木二当.tan/人尸片的最 大 值 为 更，(2)错误；2对 于(3),将VABG和BCG沿BG展开可得平面图形如下，则当4,R C三点共线时，AP+PC取得最小值AC；由题意知：B C =A B =5 B C =l,A G=g,C Ct=2,B C c c,；在；B C G 中，c o s Z C B Q =,si n Z C B qB C、5C C,2 75BC 5在 VAG 中，c o s幺g =AB +BC-4cl=3,si n Z 45C,2 43,B G 5 5c o s N A B C=c o s N A BC c o s Z C B C,-si n BC,si n Z C B C,=lx-x 毡=-空,5 5 5 5 2 5由余弦定理得：C2=B2+B C2-2 B-B C cos A A,BC=（i-245=y ,.A C =榨=岑 ,即AP+PC的最小值（3）正确；对 于(4),AD,平面CDQ G，点A到平面CD G的距离为1，平面C DD截球所得截面圆半径r=万=1,则以A为球心，7 2为半径的球面与侧面D CC.D,的交线即为以。为圆心，1为半径的圆在侧面OCG 2 上的部分；1 4 交线长为-x 2 万 厂=,（4）正确.4 2故选：C.【点睛】方法点睛：本题考查立体几何中的线面平行的证明、线面角和最短距离的求解、截面问题的求解；求解立体几何中最短距离问题时，基本方法是通过将两线段所在平面展开，根据三点共线确定最小距离.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分,请把答案填涂在答题卡相应位置上）9 .对于/G N*,n e N*,m n,关于下列排列组合数，结论正确的是（）A.C；M=C+C；B.C：=C；-m C.A；=C；A；D.A：；=W+1）A：【答案】B C【解析】【分析】利用排列数、组合数公式对各选项逐一计算判断可得答案.(m +1)!(-m -1)!mn-ni)!(m +l)!(n-m)!(m +l)!(n-m)!5 +1)!C/y/+4-li，A错,误;对 于 B,由组合数的性质知，C：=C；m 成立，B正确；A 对于C,因为C；：=一?,因此A；=C；A；：成立，C正确；A,”对于 D,因为 A；胃=（+1）（鹿 1）（n-m+1）,A：=M,所以。（加+1）A；：不成立，D错误.故选：B C.1 0 .已 知 2%+十）的二项展开式中二项式系数之和为6 4,则下列结论正确的是（）A.二项展开式中无常数项B.二项展开式中第3 项为2 4 0,1C.二项展开式中各项系数之和为3 6D.二项展开式中二项式系数最大的项为1 6(1?【答案】B C【解析】【分析】由二项式系数之和为6 4,可得2 =6 4,可求得 =6,从而可得二项式的通项公式2犬+)为=C；(2X)6-(+)=26-r-C-x6,然后逐个分析判断即可【详解】因 为2%+9)的二项展开式中二项式系数之和为6 4,所以2 =6 4，得=6,所 以 二 项 式 的 通 项 公 式 为*=C；(2 x)6-(9)=2 6 ；1等，3对于A,令6-一r=0,则/=%所以二项式展开式的第5项为常数项，所以A错误，2对于B,令厂=2时，T 3=2 4C l-x 3=2 4()X 所 以B正确，对于C,令x =l,则二项展开式中各项系数之和为(2 +1)6 =3 6,所以C正确，对于D,因为二项式展开式中共有7项，所以第4项的二项式的系数最大为T 4=2 3C 6宝3 =i6 0 x 所以 D 错误，故选：B C1 1.已知空间中三点A (0,1,0),B(1,2,0),C(-1,3,1),则正确的有()A.与AC是共线向量B.平面A B C的一个法向量是(1,-1,3)nC.48与6c夹角的余弦值是一6D.与A3方向相同的单位向量是(1，1，0)【答案】B C【解析】【分析】A选 项 直 接 写 出 与AC，按照共线向量即可判断;B选项直接计算法向量即可.C选项通过夹角公式计算即可；D选项由单位向量的求法进行判断：【详解】对 A,A B =(1,1,0),AC=(-1,2,1),因为显然AB与 AC不共线，A错误；-1 2.,A B n=x+y =0 ,.对 B,设平面 ABC 的法向量 =(x,y,z),则 ,令 x =l,得=(1,一 1,3),BA C-n =-x+2 y+z=0正确.,I、4 A B B C l x(-2)+l x l G对 C 比=(一 2,1,1),3(破 B C)=i=&+x“+i+广一石。正确；对 D,A8方向相同的单位向量(,1，/1=,I，即 D错误；i s +l +o V1 +1 +0 Vl +l +O J 1 2 2 J故选：B C1 2.现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第九关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于2 +，则算闯过第关，=L 2,3,4.假定每次闯关互不影响，则()7A.直接挑战第2关并过关的概率为一1 2B.连续挑战前两关并过关的概率为a2 4C.若直接挑战第3 关，设 从=”三个点数之和等于1 5”，3=”至少出现一个5点“，则 P(A 忸)=3 5D.若直接挑战第4关，则过关的概率是不三1 2 9 6【答案】A C D【解析】【分析】分别求出基本事件的总数，求出符合条件的事件数，然后利用条件概率以及古典概型的概率公式进行求解，对每个选项逐一判断即可.【详解】解：对于A,直接挑战第2 关，则2 +=2 2+2 =6,所以投掷两次点数之和应大于6,故直接挑战第2 关并过关的概率为=3 2 t:+5 t 6=4 故选项人正确；6 x 6 1 2对于B,闯第1 关时，2 +=2+1 =3,所以挑战第1 关通过的概率为1 7 7则 连 续 挑 战 前 两 关 并 过 关 的 概 率 为=x =一，故选项B错误；2 1 2 2 4对于C,由题意可知，抛掷3次的基本事件有6=2 1 6个，抛掷3次至少出现一个5点的基本事件共有6 3 -5,=2 1 6-1 2 5 =9 1个，91故 P（B）=,2 1 6而事件AB包括：含5,5,5的1个，含4,5,6的有6个，一共有7个，故尸（阴=,所以P林姿=x等故选0正确；对于。，当 =4时，2 +”=24+4 =2 0，基本事件共有6 4个，“4次点数之和大于2 0”包含以下情况：含5,5,5,6的有4个，含5,5,6,6的有6个，含6,6,6,6的 有1个，含4,6,6,6的有4个,含5,6,6,6的有4个，含4,5,6,6的 有12个，含3,6,6,6的有4个，所以共有 4+6 +1 +4 +4 +12 +4 =3 5 个，所以直接挑战第4关，则过关的概率是6=-3-5=二35，故选项O正确.6 x 6 x 6 x 6 12 9 6故选：A C D.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上）13 .求值：7煤-4C；=.【答案】0【解析】【分析】根据组合数的计算求解即可【详解】7或一4 C；=7 x6 x 5 x 4 “7 x 6 x 5 x 4-4 x-1x 2 x 3 I x 2 x 3 x 414 0-14 0 =0故答案为：014 .2 0 2 2年北京冬奥会即将开幕，某校4名学生报名担任志愿者.将这4名志愿者分配到3个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有 种.（用数字作答）【答案】3 6【解析】【分析】先将4名同学按2,1,1分成3组，再将这3组分配到3个比赛场馆可得答案.【详解】将4名同学按2,1,1分成3组有C：种方法.再将这3 组分配到3 个比赛场馆，共有A；种则所有分配方案共有C，A；=3 6 种故答案为：3 615.已知空间向量a =(1,0,1),6 =(1,1,)，且 q力=3，则=，向量。与人的夹角为【答案】.2 .?#3 0O【解析】【分析】根据必=3 求得，利用夹角公式求得向量a与卜的夹角.【详解】解：依题意入。=3 =1+=3,解得 =2,所以 a =(1,0,1),匕=(1,1,2),所以 c o s(a,Z?)a b 3 _ V 3l a i-1 1 近 x 娓 2由于”涉 闫 0,司，所以向量与/，的夹角为今故答案为：2 ；O16.如图所示，在杨辉三角中，斜线A3上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10,记这个数列的前项和为S()，则 5(16)的值为.【答案】16 4【解析】【分析】根据图形可知，从第三行起每一行取第二和第三个数字，再根据组合数的性质，即可计算求出.【详解】由图可知，这十六个数的和为+C；+C：+C；+C：+C；+C；=3+(G+C；+c；)+(c；+c：+C；)=（C+C+C+c；）+（c+c；+d+c；）-i=。+%-1=4 5 +12 0-1=16 4.故答案为：16 4.【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用，解题关键是凑出c；+c；i的形式，反复利用组合数性质求和，属于基础题.四、解答题（本大题共6 小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在二项式（2 x-3）了 的展开式中，求：（1）二项式系数之和；（2）各项系数之和；【答案】（1）5 12（2）-1【解析】【分析】（1）利用展开式的二项式系数和可求得结果；（2）令x =y =l可求得展开式各项系数之和.【小 问1详解】解：由题意可知，展开式的二项式系数之和为2 9 =5 12.【小问2详解】解：由题意可知，展开式的各项系数之和为（2 3）9 =1.18.一组学生共有7人.（1）若有3名男生、4名女生，全体排成一排，男生互不相邻，求不同的排列方法总数；（2）全体排成一排，甲既不站排头也不站接尾，求不同的排列方法总数；（3）如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有6 4 8种，问该组学生中男、女生各有多少人？【答案】（1）14 4 0（2）3 6 0 0 （3）男生3人，女生4人或男生4人，女生3人【解析】【分析】（1）根据插空法先排女生，再安插男生即可求解.（2）根据特殊元素优先安排原则，先排甲，再排剩下6人即可.(3)根据组合数计算，先把人选出来，然后分组分配即可求解.【小 问 1详解】(排空法)先排女生，有 A：种方法，再在女生之间及首尾5 个空位中任选3 个空位安排男生，有 A；种方法,共 A：A；=1440；【小问2 详解】先排甲，有 5 种方法，其余6 人有A：种排列方法，共有5A：=3600(种)；【小问3 详解】设有男生x 人，女生则有7-x 人，从这7 人中选出2 名男生2 女 生 方 法 有 种，要求每人参加一项且每项活动都有人参加，有C：A；种，根据分步乘法计数原理得CjCZCA；=648,所以x(x 1)(7 x)(6 x)=72,(xeN,且 2款 k 5),解得X=3 或x=4,所以该组学生中男生3 人，女生4 人或男生4 人，女生3 人.19.甲袋中有3 个白球和2 个红球，乙袋中有2 个白球和3 个红球，丙袋中有4 个白球和4 个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先随机取1个球不放回，接着再从该袋中取1个球.(1)求第一次取出的球为红球的概率；(2)求第一次取出的球是红球的前提下，第二次取出的球是白球的概率.【答案】(1)|；、62(2).105【解析】【分析】(1)设出事件，利用全概率公式进行求解；(2)结合第一问的求解，设出事件，用全概率公式和条件概率公式进行求解.【小 问 1详解】设第一次取出的球为红球为事件A,取到甲袋、乙袋、丙袋为事件用，B2,鸟，则尸(4)=尸=由全概率公式可得：尸（A）=P（A e）P（4）+P（A区）尸（B J +P（A|四）P（a+3 J J O J /【小问2详解】设第二次取出的球是白球为事件C,由全概率公式可得：P（A C）=P（A C|4）P（4）+P（A C 同）P（&）+P（A C 同）尸（四）2 3 1 3 2 1 4 4 1 3 1=X X-I-X X H X X =-5 4 3 5 4 3 8 7 3 1 0 53 1所以 P（C|A）=/（：？二毕=名v 1 7 P（A）!1 0 522 0.冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第2 4届冬奥会于2 0 2 2年在中国北京和张家口举行.为了弘扬奥林匹克精神，让学生了解更多的冬奥会知识，某学校举办了有关2 0 2 2年北京冬奥会知识的宣传活动，其中有一项为抽卡答题活动，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”.卡片背面都有关于冬奥会的问题，答对则奖励与卡片对应的吉祥物玩偶.其中“冰墩墩”卡片有5张，编号分别为1,2,3,4,5；“雪容融”卡片有4张，编号分别为1,2,3,4,从盒子中任取4张 卡 片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）.（1）求 取 出4张卡片中，含有编号为4的卡片的概率；（2）在取出的4张卡片中，“冰墩墩”卡片的个数设为X.求随机变量X的分布列.1 3【答案】（1）1 O（2）详见解析.【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率求解；（2）则X的可能取值为0,1,2,3,4,分别求得其相应的概率，再列出分布列.【小问1 详解】解：从盒子中任取4张卡片的基本事件的总数为 =C；=1 26,取出的卡片中，含有编号为4的卡片的基本事件数位%=+c；q=9i,所以取出的4 张卡片中，含有编号为4的 卡 片 的 概 率 位 尸=一；n 1 8【小问2 详解】在取出的4 张卡片中，“冰墩墩”卡片的个数设为X,则 X 的可能取值为0,1,2,3,4,则。（1=0）c；=L%=1)126 C；C；20一 百 一 12610_ 631尸（1=2）=至 一C；二处二以个126 21 1=3)=%40-126-20一 63P（X=4）=C-4 =5,（7 C；1 26所以随机变量X 的分布列为:X01234P1126106310212063512621.如图，正方体AB C。-A BC。的棱长为2,E,尸分别为5。和 的 中 点，P为棱G2 上的动点（1）是否存在点P使 P E_ L 平面E FC?若存在，求 出 满 足 条 件 时 的 长 度 并 证 明；若不存在，请说明理由；（2）当GP为何值时，平面BC G4与平面庄 尸 所成锐二面角的正弦值最小.【答案】（1）存，q p =2；（2）CP=g .【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理计算作答.（2）利 用（1）中坐标系，借助空间向量计算锐二面角的余弦值，推理判断作答.【小 问1详解】在正方体ABCO-A4Gq中，建立如图所示的空间直角坐标系，因E,尸分别为8。和BB1中点，P为 棱 上 的 动 点，则E(l,l,O),E(2,2,l),C(O,2,O)C(O,2,2),设P(0,r,2),0r 2,C E =(1,-1,0),CF =(2,0,1),P E=(1,1 -1,-2),显然，C F P E =0,即 PE _Lb，由 C PE =1+(T)()1=得 r =0,此时有 P E J _ C ,而 CE.(:尸=。，且。,。尸匚平面C E F,因此，P E 上平面E F C ,所以存在点尸(0,0,2),使PE,平面EEC,P=2.【小问2详解】在（1）的空间直角坐标系中，EF =（l,l,l）,P E=（l,l-r,-2）,令平面P E F的法向量为=（x,y,z）,n-EF=x+y +z=O则n-P E =x+(i-t)y-2 z=0,令y =3,得=3,3,T),而平面BC C 4的法向量加=(0,1,0),mtn设平面B CC.f i,与平面P E F所成锐二面角为仇 则c o s6=|c o s ，当且仅当c o s。=时 取“=”，3 33 1所以当P(0弓,2),即=时，平面与平面PE F所成锐二面角的正弦值最小.22.已知数列 4的首项为1,记 尸(工,)=4端(1 7)+4。%(1-灯1+%戏 炉(1一力2+Cx)C：x.(1)若数列%是公比为3的等比数列，求产(-1,2020)的值；若数列%是公差为2的等差数列，求证：比：=心；求证：尸(x,2020)是关于x的一次多项式.【答案】(1)1 (2)证明见解析，证明见解析【解析】【分析】求 出 生=3 T,代入析,),根据二项式定理的逆用可得尸(x,)=(l +2x)”,再将x=-l,n=2020代入即可得解；(2)利用组合数的阶乘形式变形可证结论；求出将4代入到尸(x,)，分成两组，利用 C,：=C 3,逆用二项式定理化简可得结果.【详解】(1)因为数列 为 是公比为3的等比数列，且q=l,所以%=3 T,所以F(x,n)=端(1一3 3 x)+。：(1 一x)T(3 x?+第(1 一X)(3X)2 +C：(l-x)(3 x)n=(1 x +3 x)=(l +2 x),所以 F(-l,2 0 2 0)=(1-2 尸 0 2 =1._ 人.,n n(n-Y)，kC：=k x-=-=nC.,klx(n-k)(Z l)!x(一1)一(左一1)!所以;因为数列%是公差为2的等差数列，且 4=1,所以4=4+(l)d=l +2(-1)=2 -1,又由知，kC：=n C N，所以 F(x,n)=C：(1-x)n+(l +2)C；(1-x)i x +(1 +4)C；(1 -x)”1/+(1 +2 n)C：x=C (1 一 x)+C；,(l-x)T X+C：(1-x)-2 x2+C：x+2 c：(1-x)T x+2 C；(1 x)-2 x2+G=(1 _+尤)+2 MB(1 xL+C i d 幻-2%+%(1_幻”3 炉+d=1 +2 nx(l x+严=1 +2 nx,所以 F(JC,2 0 2 0)=1 +2 x 2 0 2 0%=4 0 4 0 x +1,所以F(x,2 0 2 0)是关于x的一次多项式.【点睛】关键点点睛：掌握组合数公式的阶乘形式和二项式定理的逆用是解题关键。