河北省张家口市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷.docx

河北省张家口市2021-2022学年高二下学期数学期末考试试卷阅卷人一、单选题（共8题；共16分）得分1. （2分）设全集U=R»集合A=x|一1<x<1,B-2»1,0,1,2»则集合（Cu4）CB=（）A.1,2B.-1,0C.-2>112D.-2,1,2）【答案】C【解析】【解答】由题意，集合A=x|-1<x<1,可得QA=xI%<-1或x>1,所以（QM）ns=-2,1,2）.故答案为：C.【分析】根据补集定义求出QA,再根据交集的定义可得答案.2. （2分）第一腐=（）A.2B.22C.12D.10【答案】A【解析】【解答】因为a=4x3=12,正=或=符=10，所以片-Cl=2.故答案为：A.【分析】根据排列组合数公式，进行化简计算，即可得答案.3. （2分）已知a,b为实数，则”>/是>为>0，的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【解答】当a=-2,b=1时，a2=（2）2=4>Zj2=I2=1>而a3=8<1=b3,所以a2>房成立不是3>b3>0成立的充分条件；因为a3>/>o，所以a>b>0,所以a2>B，所以a?>B成立是a3>/>0成立的必要而不充分条件.故答案为：B.【分析】利用不等式的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断，可得答案.4. (2分)已知XN(2,a2),且P(X<4)=0.7,贝妙(0<X<4)=()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7【答案】B【解析】【解答】因为P(X<4)=0.7,所以P(X>4)=0,3,又竽=2,所以P(X<0)=P(X>4)=0.3,所以P(0<X<4)=1-P(X40)-P(X>4)=0.4,故答案为：B.【分析】根据正态分布的定义，先求出P(X>4),再结合P(0<X<4)=l-P(X40)-P(X>4)即可求得答案.5. (2分)中国古乐中以“宫、商、角、徵、羽”为五个基本音阶，故有成语“五音不全”之说，若用这五个基本音阶排成5音阶的所有音序，则“宫”、“羽”两音阶不相邻的音序共有()A.72种B.36种C.48种D.24种【答案】A【解析】【解答】根据题意，先排商、角、徵有用=6种排法，再将这三个音阶有四个空位可排宫、羽两音阶,有曷=12种排法,所以其中宫、羽两音阶不相邻的音序共有房.a=72(种)排法.故答案为：A.【分析】根据题意，先排商、角、徵，再将这三个音阶有四个空位可排宫、羽两音阶，进而求出答案.6. (2分)已知函数/(x)=3#+xsinx+cosx,/'(%)是函数/(x)的导数，则/g)=()TTA.0B.7tC.今D.3【答案】D【解析】【解答】解：因为函数f(x)=3x+xsinx+cos%,所以/(%)=3+xcosx，又C0S2=。，所以/(£)=3.故答案为：D.【分析】先对函数求导，然后把X=*代入，即可求解出答案.7.(2分)某个闯关游戏规定：闯过前一关才能去闯后一关，若某一关没有通过，则游戏结束.小明闯过第一关的概率为率连续闯过前两关的概率为:连续闯过前三关的概率为5且各关相互独立.事件4表示小明第一关闯关成功，事件C表示小明第三关闯关成功，则P(C|A)=()A-B-C-D-8339【答案】D4 -9=1 33-4【解析】【解答】设事件B表示小明第二关闯关成功，可得P(AC)=P(48C),由条件概率的计算公式，可得P(CIA)故答案为：D.【分析】设事件B表示小明第二关闯关成功，可得P(AC)=P(Z8C),由条件概率的计算公式，即可求出答案.8. (2分)函数“丫、_()+1)(16/+1)的最大值是()4x2+1A.2B.ZC.D.1444【答案】c【解析】【解答】由题意，函数/。)=叵理亘L产+i)(叫+D=叵蕈4x2+1I16x4+8x2+1I9%2I16%4+8%2+1i6x2+8+1ylX2又由16/+328,当且仅当16/=劣，即*=±1时等号成立，xL2L1工9<25LI-9一5所以16x2+8+316，所以+16+8+当4即函数/（X）的最大值是故答案为：C.结合基本不等式，即可求出答案.【分析】化简函数）=/诙盖k相系5阅卷人二、多选题（共4题；共8分）得分9. （2分）下列命题中正确的是（）A.若ab>b2,则a>bB.已知a>0,b>0,若a+b=4,贝UabW4C.已知a>0,b>0.若ab=4,则：+让1D.命题“VaNb,都有成立"的否定是Fa<b,使工<1成立”cibcib【答案】B,C【解析】【解答】对于A中，当bvO时，若ab>b2,则avb,所以A不符合题意；对于B中，由基本不等式，得a+当且仅当a=b=2时等号成立，因为a+b=4,可得4Nab,B符合题意；对于C中，由ab=4,可得a+bN4,当且仅当a=b=2时等号成立，又由：+：=喏=竽21，C符合题意；对于D中，命题“VaNb,者有工W1成立”的否定是Fa2b,使工>1成立"，D不符合题意.abab故答案为：BC.【分析】b<0时得出a<b可判断A；利用基本不等式得出4Nab,可判断B；利用基本不等式:+1a+=a+b可判断C；根据全称量词命题的否定是存在量词，判断D.bab410. （2分）变量x与y的成对数据的散点图如下图所示，并由最小二乘法计算得到回归直线，I的方程为，=8逐+诙，相关系数为门，决定系数为心；经过残差分析确定第二个点B为离群点（对应残差过大），把点B去掉后，再用剩下的7组数据计算得到回归直线，2的方程为了=灰+逅，相关系数为r2,决定系数为底.则以下结论中正确的是（）2 a < al A.2S<1bB.22R<21R D. >1【解析】【解答】因为共8个点且离群点B的横坐标较小而纵坐标相对过大，去掉离群点后回归方程的斜率更大，而截距变小，所以B正确，而A错误；去掉离群点后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以ri：*,解腐，故C错误，D符合题意.故答案为：BD【分析】根据散点图逐项进行判断可得答案.11. (2分)已知(1+%=a。+匆X2HFa10x10»则()A.CLq+Q+3+10=1B.Q+Q3+Q5+07+=-1C.Qq+。2+Q4+06+。8+。10=0D.Q+2。2+3a3+l°Qio=-5【答案】A,C,D【解析】【解答】因为(1+xx2)5=«o+aix+。2解4卜a10x10令X=1,则(1+11)5=Q。+%+取+。10=1，所以A符合题意；令X=19则(11I)，=CLqQ+Q?。3+010=1，又由Q()+Ql+Q2+03+。10=1，所以Q。+0,2+。4+。6+。8+Q10=0，+03+。5+。7+09=1，所以B不符合题意，C符合题意；由(1+%2)5=5(14-x-x2)4(12x)=%+2a2%+3a3x2HF10a10x9，令X=19则5x(1+1I?)"X(12)=Q+202+3。3+1。Q10=5,所以D符合题意.故答案为：ACD.【分析】在等式中，令x=l计算可判断A,D；令x=-l计算可判断B,C.12. （2分）一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测.若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止.则（）A.最多需要检测4次可确定患病者B.第2次检测后就可确定患病者的概率为C.第3次检测后就可确定患病者的概率为:D.检测次数的期望为与【答案】A,B【解析】【解答】对于A中，当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都未检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者，若第4次还是阴性，则剩下未测者为患者，所以最多要检测4次可确定患病者，若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患者，所以A符合题意；对于B中，第2次检测后就可确定患病者有两种情况：（1）患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他；（2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他，其概率为4x4+gx4=*所以B符合妗C以7题意；对于C中，第3次检测后可确定患病者有两种情况：1.患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到所以C错误;他；2.患者不在混检中并在逐个检测时第1次末抽到他，X234P273727.Lpu.rCrCoC；CrCp3其概率为普xTxi+-?xi=7,。7°4°307对于D中，设检测次数为随机变量X,则其分布列为所以E(X)=2x1+3x|+4x1=3.D不符合题意.故答案为：AB.【分析】根据题意，利用相互独立事件的概念及概率乘法公式，结合随机变量分布列的期望公式,逐项进行判断，可得答案.阅卷人三、填空题(共4题；共4分)得分13. (1分)在(x-2)6的展开式中，含X4项的系数为.【答案】60【解析】【解答】(*-2)6的展开式的通项公式：Tr+1=Cx6-r(-2)r,令6r=4,解得r=2»所以含x4项的系数为之(一2)2=60.故答案为：60【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式：Tr+1=或外式/即可求解.14. (1分)函数/(%)=%+比x在点(1,/(I)处的切线方程为.【答案】y=2x-l【解析】【解答】易知=又/(x)=l+g所以切线的斜率k=/'(l)=2,所以函数f(x)在点(1,/(I)处的切线方程为y-1=2(x-l),化简得y=2x-l.故答案为：y=2x-l【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=l处的导数，再求出f(l)的值，利用直线方程的点斜式求出答案.15. (1分)已知甲盒和乙盒中有大小相同的球，甲盒中有4个红球和2个白球，乙盒中有3个红球和2个白球，先从乙盒中任取两球，放入甲盒中，然后从甲盒中任取一球，则最终取到的球是白球的概率为.【答案】各【解析】【解答】设公,A2,公分别为从乙盒中任取两球是两红、两白、一红一白的两两互斥事件，事件B是最终取到的球是白球，由全概率公式得P(B)=E之1P(a)P(B|4)=与X4+X4+03X牛=益C5。8C5。8C5C8故答案为：20【分析】设公,A2,方分别为从乙盒中任取两球是两红、两白、一红一白的两两互斥事件，事件8是最终取到的球是白球，结合全概率公式即可求出答案.16. (1分)已知函数/(x)=e/一。靖有三个零点，则实数a的取值范围是.【答案】(0,【解析】【解答】解：由ex2-ae*=0,得a=Aeir.设g(x)=x2e1-x,则g'(x)=e1-xx(2x).当xG(oo,0)时，g(x)<0>'与xG(0,2)时，g(x)>0»当xe(2,+8)时，g(x)<0,所以函数g(x)在区间(-8,0)上单调递减，在区间(0,2)上单调递增，在区间(2,+8)上单调递减，-4又g(0)=0,g(2)=故函数g(x)=/e-x的图象如图所示：I"O2x故当0<a<：时，函数/(*)=e2-£1靖有三个零点，即ae(0,，).故答案为：(0,1)【分析】依题意参变分离可得a=/eir,设g(x)=x2eIr,利用导数得到函数的单调性，即可得到函数图象，要使函数/(%)=e?-ae”有三个零点，即y=q与y=g(T)有三个交点，数形结合，即可求出实数q的取值范围.阅卷入得分四、解答题(共6题；共60分)17. (10分)已知函数/(x)=|x3-x2-4x+5.(1) (5分)求函数/(%)的单调区间；(2) (5分)求函数/(%)在区间一3,3上的最大值和最小值.【答案】(1)解：f(x)的定义域为R,f'(x)=2x22x-4=2(x-2)(x+1).令/(%)=o>解得X=1,x2=2-当x4一l时，/(x)>0>当-l<x<2时，f'(x)<0,x>2时，f'(x)0，所以函数/(x)在区间(8,-1,2,+8)上单调递增，在区间(-1,2)上单调递减.(2)解：由(1)知，当x在区间3,3上变化时，/(x),/(x)的变化情况如下表所示:X-3(-3，-1)-1+0/(X)-10单调递增22(T，2)2(2. 3)30+单调递减5-3单诗递增2所以函数f(x)在区间一3,3上的最小值为-10，最大值为冬.【解析】【分析】(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，即可求得函数f(x)的单调区间；(2)由(1)知，当x在区间一3,3上变化时，求出/'(*),f(x)的变化情况，利用函数在-3,3上的单调性情况，即可求得函数/(x)在区间-3,3上的最大值和最小值.18. (10分)某班4名女生和3名男生站在一排.(1) (5分)求4名女生相邻的站法种数；(2) (5分)在这7人中随机抽取3人，记其中女生的人数为X,求随机变量X的分布列和期望E(X)的值.【答案】(1)解：把4名女生看为一个整体，和三名男生排列共有属种排法，4名女生再排列也有所种排法，由分步乘法计数原理，得4名女生相邻的站法共有*x*=576(种).所以4名女生相邻的站法种数576(种).(2)解：由题意可知，X服从超几何分布，且N=7,M=4,n=3.X的分布列为P（X = k）=k = 0, 1, 2, 3.X的数学期望E（X） = 0 x2+2-5 1 -3X1±+135Xo3 +X127-一4-ri,X【解析】【分析】（1）利用捆绑法，结合排列和分步乘法计数原理可求出4名女生相邻的站法种数;（2）利用超几何分布的知识进行处理即可求出随机变量X的分布列和期望E（X）的值.19.（10分）某市统计了近7年的实际利用外资金额y（单位：亿元）的数据，得到下面的表格：年份2015201620172018201920202021年份代号工1234567实际利用外资金额y（单位：亿元）25415058647889由表中数据，求得变量,y的相关系数r右0.9931,可判定变量x,y线性相关关系较强.附：对于一组数据（右，yj,（x2,y2）,（xn,%）,其回归直线？=+a的料率和截距的最小二乘估计分别为:,nWi=l（x兄）（左一刃）（勺 - X）-i=lZ" 7 2 i=lxi-nx八 一 V1 7，a = y_b£参考数据：y.=i=l 1405,i=1xiyi=1900.（1） （5分）建立y关于x的线性回归方程;（2） （5分）根据（1）的结果，预测该市实际利用外资金额首次超过150亿元的年份.405,【答案】（I）解：由表格数据和参考数据,得元=1+2+3+；+5+6+7=%,=率7x?=I2+22+32+42+52+62+72=1401=17勺为一7元少19007x4xi254nqi则b=-=千=10,a=y-/7x=-10x4=、/衣_7铲140-7x4,乙i=l1所以y关于x的经验回归方程为y=10x+苧（2）解：由（1）可知，10%+苧>150，解得x>，所以首次超过150亿元的年份代号为14,故预测2028年该市实际利用外资金额首次超过150亿元.【解析】【分析】（1）由己知求得b,a的值，即可求出y关于x的线性回归方程;（2）由（1）可知，10x+苧>150，求解可得预测该市实际利用外资金额首次超过150亿元的年份.20. （10分）某中医研究所研制了一种治疗A疾病的中药，为了解其对A疾病的作用，要进行双盲实验.把60名患有A疾病的志愿者随机平均分成两组，甲组正常使用这种中药，乙组用安慰剂代替中药，全部疗期后，统计甲、乙两组的康复人数分别为20和5.附表:a0.1000.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910828附：2公;中尿解蒜即其中n=a+b+c+d.注：双盲实验：是指在实验过程中，测验者与被测验者都不知道被测者所属的组别，（实验组或对照组），分析者在分析资料时，通常也不知道正在分析的资料属于哪一组.旨在消除可能出现在实验者和参与者意识当中的主观偏差和个人偏好.安慰剂：是指没有药物治疗作用，外形与真药相像的片、丸、针剂.（1） （5分）根据所给数据，完成下面2x2列联表，并依据小概率值a=0.001的独立性检验，能否认为使用这种中药与A疾病康复有关联？康复末康复单位：甲组乙组合计（2） （5分）若将乙组末用药（用安慰剂代替中药）而康复的频率视为这种疾病的自愈概率，现从患有4疾病的人群中随机抽取4人，记其中能自愈的人数为X,求X的分布列和数学期望.【答案】（1）解：依题意，列出2x2列联表如下：单位：人康复末康复合计甲组201030乙组52530合计2535607则 2 _ 60x(20x25-5x10) 、X = -25x35x30x30竽 « 15.429 > 10.828 = xo.ooi零假设为Ho：组别与康复相互独立，即用药与A疾病康复无关,根据小概率值a=0.001的独立性检验，我们推断，。不成立,即认为用药与A疾病康复有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.（2）解：由题意，乙组末用药而康复的频率为4=：,所以患有A疾病的自愈概率为之6随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,由题意得，随机变量X8（4,1）,所以X的分布列为P（X=k）=C（k（l-bi-k，k=0,1.2,3,4,所以X的数学期望E（X）=np=4x1=|.【解析】【分析】（1）依题意，列出2X2列联表，利用公式求得/的值，结合附表，即可得出结论；（2）由题意求得患有A疾病的自愈概率为，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.结合随机变量XB（4,，即可求出X的分布列和数学期望.21. （10分）己知投资甲、乙两个项目的利润率分别为随机变量Xi和X2.经统计分析，Xi和X2的分布列分别为（1） （5分）若在甲、乙两个项目上各投资100万元，%和匕分别表示投资甲、乙两项目所获得的利润，求丫1和丫2的数学期望和方差，并由此分析投资甲、乙两项目的利弊；（2） （5分）若在甲、乙两个项目总共投资100万元，求在甲、乙两个项目上分别投资多少万元时，可使所获利润的方差和最小？注：利润率投资颔【答案】(1)解：由题意，得E(XQ=0.3x0.2+0.18x0.5+0.1X0.3=0.18,0(X1)=(0.3-0.18)2X0.2+(0.18-0.18)2X0.5+(0.1-0.18)2X0.3=0.0048,f(X2)=0.25x0.2+0.15X0.8=0.17,D(X2)=(0.25-0.17)2x0.2+(0.15-0.17)2x0,8=0.0016,由E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)»又看=100X1，Y2=IOOX2，得E(L)=100X0.18=18,。(匕)=1002X0.0048=48E(力)=100x0.17=17,。出)=1002x0.0016=16因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利润小，方差也小，相对稳定.若长期投资可选择投资甲，若短期投资可选投资乙.(2)解：设x万元投资甲，则(100-幻万元投资了乙，则投资甲的利润Zi=%,投资乙的利润Zz=(100-x)X2设/(x)为投资甲所获利润的方差与投资乙所获利润的方差和，则/(*)=D(Z。+D(Z2)=x2D(Xi)+(100-x)2D(X2)=0.0048%2+0.0016(100-x)2=0.0016(4/-200x+10000)当=-得贽=25时，f(x)的值最小故此时甲项目投资25万元，乙项目投资75万元，可使所获利润的方差和最小.【解析】【分析】(1)利用公式求出期望和方差，利用期望和方差的性质进行求解，可求出力和%的数学期望和方差，并由此分析投资甲、乙两项目的利弊；(2)计算甲，乙两个项目上的方差，两利用函数计算所获利润的方差和最小值.22. (10分)已知函数/(x)=x(x+1).(5分)证明:/(x)<0；(2) (5分)若“20时，/(x)2ax?恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)证明：由题意，函数f(x)=x-(x+l)ln(x+1),可得x>-l,且y'(x)=+1).当xc(1,0)时，/(%)>0.当xe(0,+8)时，/(x)<0.所以当工(-1,0)时，函数/(%)单调递增，当XW(O,+8)时，函数/(%)单调递减，所以/(%)<f(0)=0(2)解：由/(%)3Q%2,可得q/X+(x+1)(+1)40.设。(工)=a/%+(%+l)ln(x+1),x>0,显然g(0)=0,又由g'(x)=2ax+ln(x+1),设九(x)=g'(x)=2ax+Zn(x+1),则九(x)=2q+当2aN0时，h(x)>0，故九(x)单调递增，所以九(x)N九(0)=0,故g(x)也单调递增，所以g。)N9(0)=0,与题设矛盾；当2q<0时，令九(%)=0=x=-1-上，(i)当。4*时，1点式。，在区间。，+8)上九(%)三0，故九(x)单调递减，又八(%)(九(0)=0,故g(x)也单调递减，所以g(x)<g(0)=0恒成立;(ii)当q>一时，一1一义>0，当口w(0,时,h(x)>0»当xe(-l-白，+8)时，/1(乃<0，此时函数h(x)在区间(0,-1-/)上单调递增，在区间(-1-/，+8)上单调递减，又由九(0)=0,所以在X6(0,-1一/)时，九0)>以0)=0，故在区间(0,-1-克)上g(x)单调递增，所以g(x)Ng(0)=0,与题设矛盾，综上，实数a的取值范围为(一8,-1.【解析】【分析】(1)求出函数/(%)的导数，解关于导函数的不等式，即可求得单调性，进而证得/(X)<0;(2)由/(%)Nq%2,可得a%2-%+(%+)1n(%+1)40,设g(x)=q%2一%+(%+1)q+1),x>0,求导得g'(%)=2ax+m(x+1),设九(x)=g'(x)=2qx+Zn(x+1),求导得h(x)的单调性，分aW-4和a>-：讨论求解可得实数a的取值范围.试题分析部分1、试卷总体分布分析总分：88分分值分布客观题（占比）25.0(28.4%)主观题（占比）63.0(71.6%)题量分布客观题（占比）13(59.1%)主观题（占比）9(40.9%)2、试卷题量分布分析大题题型题目量（占比）分值（占比）填空题4(18.2%)4.0(4.5%)解答题6(27.3%)60.0(68.2%)多选题4(18.2%)8.0(9.1%)单选题8(36.4%)16.0(18.2%)3、试卷难度结构分析序号难易度占比1普通(81.8%)2容易(18.2%)4、试卷知识点分析序号知识点（认知水平）分值（占比）对应题号1补集及其运算2.0(2.3%)12利用导数求闭区间上函数的最值10.0(11.4%)173独立性检验的基本思想10.0(11.4%)204排列、组合及简单计数问题12.0(13.6%)5,185两个变量的线性相关2.0(2.3%)106二项式系数的性质2.0(2.3%)117全概率公式1.0(1.1%)158利用导数研究曲线上某点切线方程1.0(1.1%)149不等式的基本性质4.0(4.5%)3,910基本不等式4.0(4.5%)8,911正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义2.0(2.3%)412离散型随机变量及其分布列22.0(25.0%)12,18,2013线性回归方程12.0(13.6%)10,1914函数恒成立问题10.0(11.4%)2215命题的否定2.0(2.3%)916必要条件、充分条件与充要条件的判断2.0(2.3%)317组合及组合数公式2.0(2.3%)218利用导数研究函数的单调性21.0(23.9%)16,17,2219互斥事件与对立事件1.0(1.1%)1520导数的运算2.0(2.3%)621条件概率与独立事件2.0(2.3%)722二项式定理1.0(1.1%)1323交集及其运算2.0(2.3%)124离散型随机变量的期望与方差32.0(36.4%)12,18,20,2125排列及排列数公式2.0(2.3%)2