河北省邯郸市魏县2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题.pdf

2022-2023学年度高二数学期末考试卷考试范围：选择性必修一二；考试时间：1 2 0 分钟；注意事项：1 .答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 .请将答案正确填写在答题卡上第 I 卷（选择题）一、单 选 题（每小题5 分，共 4 0 分）I.如图所示，在正方体/8S-44G A中，点 尸 是 棱 上 的 一 个 动 点（不包括顶点），平面8 尸 A交棱CG 于点E,则下列命题中正确的是（）A.存在点F使得/用 为直角B.对于任意点E 都有直线4G 平面3 。尸C.对于任意点E 都有平面4 C Q _ L 平面8 口）尸D.当点F 由4向N移动过程中，三棱 锥 尸 的 体 积 逐 渐 变 大2 .已知6（%，4）与4（四,8）是直线夕=入+1为常数）上两个不同的点，则关于X 和V的方 程 组 的 解 的 情 况 是（）a2x+o2y=lA.无论k、鸟如何，总是无解 B.无论底片、如何，总有唯一解C.存 在 大 小 片 使之恰有两解 D.存在左、心使之有无穷多解3 .在平面直角坐标系中，已知点外。问 满足同+网=1,记d为点尸到直线1-必-2 =0 的距离.当。也 加变化时，的 最 大 值 为（）A.1B.2C.3D.44.已知点P在直线/：3 x +4 y-2 0 =0 上，过点P的两条直线与圆O：/+/=4分别相切于45两点，则圆心。到直线Z 8的距离的最大值为（）A.B.逑 C.43 D.12 55 .已知 -1,乎）,彳1,一 孚 为椭圆C:1+?=l 上不同的三点，直线/：x =2,直线产/交/于点“，直线P 8 交/于点N,若 S-=S:,则与=（）A.0B-7c-iD.百f v26 .已知片、名为双曲线5-彳=1（0/0）的左、右焦点，P为双曲线的渐近线上一点,a b满足N 不有=6 0。，O P EFA（。为坐标原点），则该双曲线的离心率是（）A.2 V 1 05B.迪7C 2957 .点尸在直线/：y=x +p（p 0）上，若存在过p的直线交抛物线y2=2 p x（0）于48两点,且2 1 P H=|4/，则称点P为点”，那么下列结论中正确的是（）A.直线/上的所有点都是“点”B .直线/上仅有有限个点是“点”C.直线/上的所有点都不是点”D.直线/上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点”8 .正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则，将某些整数染成红色.先染1：再染3 个偶数 2,4,6；再染6 后面最邻近的5个连续奇数7,9,1 1,1 3,1 5；再 染 1 5 后面最邻近的7 个连续偶数1 6,1 8,2 0,2 2,2 4,2 6,2 8；再染此后最邻近的9 个连续奇数2 9,3 1,4 5；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1,2,4,6,7,9,1 1,1 3,1 5,1 6,则在这个红色子数列中，由 1 开始的第2 0 2 1 个 数 是（）A.3 991 B.3 993 C.3 994 D.3 997二、多 选 题（每小题5 分，共 2 0 分）9.下列结论正确的是（）A.Vx e R,x +2 B.若a6（）C.若x（x-2）0,b0,a+b 0）右焦点为,过6 且垂直于X轴的直线与双曲线交于/,8两点，点F（-4,0）,若/B/为 锐角三角形，则下列说法正确的是（）A.双曲线过点（-2,0）B.直线3 x-y =0 与双曲线有两个公共点C.双曲线的一条渐近线y =的斜率小于逆2 2r ID.双曲线的离心率取值范围为1，匕 卢 /1 2.若函数N=/（x）的图象上存在两个不同的点尸，0,使得/（外在这两点处的切线重合，则称函数尸“X）为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的 是（）A.y =s i nx +c os x B.y=s i n（c os x）C.y=x+sinx D.j =x2+s i nx第I I卷（非选择题）三、填 空 题（每小题5 分，共 2 0 分）1 3 .阅 读 材料：空间直角坐标系。-x y z 中，过点尸（看,为*0）且一个法向量为万=（4 1,0 且 以 尸 4+J 总 与-而 T,是否存在正实数4,使得数列出 是P（数列？若存在，求4的取值范围；若不存在，说明理由.（3）若各项均为整数的数列 七 是？数列，且 “的前机（加2 2）项和可+/+%+%,为1 5 0,求%,+机的最小值及取得最小值时的所有可能取值.I n x2 1 .已知函数/8）=吧。0）.（1 2 分）ax（1）求/（好的单调区间：若/0）4才-,对工（0,+8）恒成立，求a的取值范围：a（3）若电1。3+xj n%2 =0（3 工 工 2），证明：x +x22.2 2 .若椭圆。g=1仅）的离心率为?，且经过点尸（1 2 分）（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点R（0,2）的直线与椭圆C交于不同的两点A/,N （均与P不重合），证明：直线P M,P N的斜率之和为定值.参考答案:1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 6.A 7.A 8.D9.B D 1 0.A B C 1 1.A C D 1 2.A B C1 3.叵#35 351 4 .(应+1)乃1 5 .1 0-一 喜 e1 7.证明：因为底面/BCD为正方形，平面/1 8 C D,故可建立如图所示的空间直角坐标系,则)(0,0,0),4 (1,0,0),E(0,0,2 )C。,1,0)B1,1,0 )设厂(1山)，则 旃=(0,0,f),元=(-1,0,0),故 石=(-1,0,2),设平面B F C的法向量为n=(x,y,z)n-BF=tz=0 -,、则一，取丁=1,则=(0 4,0)n-F C=x=0故 女 工=0，而平面8产C,故/平面B产C.(2)因 为 网=1,故尸(1,1,1),即丽而=(-1,1,0),设平面/E C的法向量为而=(x,y,z),in-A E=-x+2 z=0 /、故 _ _ ,取Z =l,则X =y =2,故加=(2,2,1)ym-A C =-x+y=0设EF与平面/CE所成角为。，则si n e =I c os =3 =11 V3X33(3)由(1)可 得 而=(1,1,”2),而 而=(O,1 J),设平面/CF 的法向量为2 =(x,y,z),s-AF=y+tz-0 -,、则(2,0),设E(4,/)(/*0),则直线CE的方程为y=：(x +2),直线DE的方程为y=；(x-2),联立%+2),得人 生、+/_ 4=0,|/+r=4,3 6 3 6 3 6m i l o 4 r Hn 7 2 2/t /、24 z则 均-2=-八即知=?育，%=*.+2)=石 而则M(7 2-2/2 24/、J+3 6 +3 6联立得上,2一八+一4=。,+、2=4,4m i lr 4/2 日 口 2r2-8 t则/+2 =不 即x，v=y%=5 区-2)=八“f 2r-8-St r+4 /+4 24/-8/当rw 26 时，直线M N的斜率k“K=；堂=丘)，+3 6 -+4.,.St 8f (if 8)则直线A/N的方程为歹-二=寸 7 x ，/+4 12-厂(厂+4 )O f即y=(x-i)，。(1，0)，当t =2石 时，直线M N 垂直于x轴，方程为x =l,也过定点0(1,0).综上，直线M N 恒过定点。(1,0).又CQMsXDQ,所以|町|叫|=|6 2.20|=3,所 以 1 I 1 1加。2 口 网=2|何|N0f M o f 9 血0 9 3当且仅当|。|=有 时 取 等，所 以 而1 1+丽1的 最 小 值 为 最219.(1)解：由题意得2b =20,e =J 5 d=+凡a解得 a=,h=-Jl,c=6，故双曲线C的焦点坐标为(-/3,0),(7 3,0).(2)解：双曲线X?-：=1,可得(2,0),设*),8(%,%),直线/的斜率为：八三，设直线/的方程为尸=%(x-2),y=kx-2k联立直线与双曲线的方程，y2,X -=13消去了得(3-公卜2 +4 公-4 左 2-3 =0,由直线与双曲线有两个交点，则3-公片0 且A =3 6(l +/)o,即 心 土 百，rz 4k2 ri ,/八/4k2 0 12A可得占+2=正 三，则%+%=(+芍-4)=,您 3-4)=产 与，又 N =(XI+2，M),8 =(%+2,%)(耳4 +45 4 8=0,可得(玉+x2+4,yt+y2)-(x2-xl,y2-yl)=O ,即(西+4)(一为)+(必+%)(%-%)=。将左=及二及代入上式，可 得%+乙+4+(必+%*=。，X2X得 孚 二+4+孚-%=(),可得F=3,k2-3 k2-3 5解得a =巫，即/的斜率为士妪.5 5(3)解：右焦点为玛(c,0),设直线/的方程为夕=%(x-c),火芭,弘),5(%,%),y=k(x-c)联立直线与双曲线的方程，2 ,I k L消去了得：伍2-/产)/+2 或2后 2-二/02一/6 2=。，A -4c2 a4 k4+4(b2-a2k2)(a2k2c2+a2b2)0,-2ca2k2-a2k2c2-a2b2再1+x,；-,x.x2-；，2 b2-a2k2 1 2 b2-a2k2则乂力=M(网 _C)(X2 C)=Z：2|X 2+C2 _ C +x2)=/a 2 2，L a k b由 你+函=俘 一 函,得 +砺 丁=你-砺，整理得方砺=0，则玉工2+凹=0,即 a2b2+a2k2c2+k2(a2b2-b2c2)=0,则 a2b2+a2k2(a2+b2)+k2 a2b2-b2(z2+b2)=0,整理得k2a2b2b-喈因为/的斜率4所以3=,V 5 5 b4-a4-a2b2整理得从=3/,则 c2-a2=3 a 2,c2=4 a2,c=2 a，所以离心率e =2.a20.(1)根 据 定 义,P(2)数列应满足V e N*,都有。用 2+2,即-*2 恒成立.对于数歹i A：有5-3 =222,8-5=3 22,13-8=522,21-13 =8 2 2 均满足，所以数歹IJA是P(2)数列；对于数列8,因为5-兀 2 不满足，所以数列B不是P Q)数列.(2)不存在正实数2,使得数列也 是尸数列.说明理由如下：假 设 存 在 正 实 数 使 得 数 列 ,是P Q)数列，则V e N*,都 有 加 地+3 即*2 4恒成立.因为 b,=b+J +3 -JH+1 ,所以,=g-g=gjg/时，bn+l-hn =am_afn_2+2-ai+m-l m ,所以%T，a,-2 a“i T “-2，am_3 am_2-am-3,L ,a2 a3-1 an i-(w -2),所以4 +a1+ai+-+am-+-2/M 2 22 23 mU30-U 22 2因为数列%是整数列，所以+机的最小值不小于30.假设%+机=3 0,必 有 9+也-L 43O,m m0,单调递增，a 厂当x e(e,+8)时,/(%)0,a -：,ax a x令，则有g，(x)=_x-+1,令%(x)=-x-21n x +l ,显然A(x)是减函数，耳1)=。，,当 x e(O,l)时，Z r(x)0,g(x)单调递增，x e(l,+o o)时，k(x)王，则有一/(占)=/()，X?42由图可知当0/(x)e,l X2 2，只 需 取 马/3中较小的数即可，v 0 y(x2)-,/(A-,)2,只需证明X 2 2-%,在x e(O,e)时，/(x)单调递增,只需证明/爪)/(2-%)，v/(x2)=-/(xl),只需证明一/(%)/(2-占),即/(司)+/(2 _玉)0,-(2-x)-l n x 0,4(l-x)0,p (x)0,p(x)是增函数,又p=0 .当x e(O,l)时,p(x)0,即/(占)+/(2-%)0,命题得证;综上，(1)当x e(0,e)时，单调递增，当x e(e,+8)时，单调递减；(2).22.(1)由 题 意 得 离 心 率 为 点 尸 在 椭 圆 上,=4方=3,所以椭圆方程为片+片=14 3（2）当直线/的斜率不存在时，M,N为椭圆的上下顶点，即为（0，土 百），则V3+-6 +。k p M +k pN=-产 +/=3-当直线/的斜率存在时，设/的方程为y=b +2,联 立4 3 一 消去J并整理得,y=kx+2,（3+42）X2+16AX+4=0,则 A=2565-16（3+4公）0,得公 ；,设(士,必,则 x,+x2=-.16,X,X2=-4,j +QK 3+4 攵3 3,7,7，y.+必+M+kx,+一所以左+k 2/2 2一 2|2 2_KpM t KpN-J 十 ,-丁=$+1 x2+1 冗i+1 x2+11+-(1-2)/.+,+22、+1)&+1)=2k+-(l-2k)Xi+Xz+22xx2+xi+x2+l_ _ +2=2k+L(7-2k)/3+4 J 2V 7 4 16k-1-7+13 +4k2 3+4 左 28/7 6左+64/-1 6 4+7=(2 唱 荒 卜 2 ()=3综上可得，直线PM,PN的斜率之和为3.