河北省唐山市2022-2023学年高二上学期期末数学试题（解析版）.pdf

唐山市2022-2023学年度高二年级第一学期学业水平调研考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡的“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔将答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案涂在试卷上一律无效.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .直线2*+3 y 3 =的一个方向向量是()A.(2,-3)B.(2,3)C.(3,-2)D.(3,2)【答案】C【解析】【分析】当直线的斜率存在时，由直线的方向向量为=(x,y),则左=)代入计算即可.X2【详解】因为2 元+3 丁-3 =0,所 以&=，3、一一,2 y设直线的方向向量为=(x,y),则 左=,3 x取 x =3,则 y=-2,所以直线的一个方向向量为=(3,-2).故选：C.2.在等差数列%中，=1,%=-2 3,则%=()A.-1 1 B.-8 C.1 9 D.1 6【答案】A【解析】【分析】代入等差数列通项公式求出公差，再代入公式即可求得.【详解】因为数列 4 为等差数列，4=1,%=-2 3,所 以=4+8。=-23,解得d =3,则4=q +4 d =1-1 2 =-1 1.故选：A3.已知向量 a=(0,-1,1),b =(l,2,y),a-b=-3,则a 与6 的 夹 角 为()A.3 0 B.6 0 C.1 2 0 D.1 5 0【答案】D【解析】【分析】根据题意，先得到6的坐标，然后根据空间向量数量积的坐标运算即可得到结果.【详解】根据题意可得，a =0 2 +y =3ny=1,即b =(l,2,-1)-*c i ,b _3 A/3则c-=雨=叩=-/且 e 0,兀,所以a 与b的夹角为1 5()。故选:D4 .在正方体 中，E为GA的中点，则异面直线用。与。E所成角的余弦值为()A丽RV i o 厢 n V i o5 5 4 4【答案】A【解析】【分析】设出正方体的棱长，建立空间直角坐标系，得到各点坐标，表达出8c和 OE，即可得出异面直线BC与 QE所成角的余弦值.【详解】由题意在正方体A 8 C。一AAGA中，E为 GA的中点，设正方体的棱长为2 a,1则 A（。，。，4 （2。，0,0），C（2a,2a,2a）,C,（2a,2a,0）,D（0,2a,2a）,E（a,2a,0）BtC =（0,2a,2a）,D E =（a,0,-2a）,设异面直线B C与O E所成角为0,BtC D E|o +0 +2Q,2 a）J 04C DE,0+（2 a）2+（2 a）2 +0+（_ 24 5异面直线4c与龙所成角的余弦值为 A,5故选：A.5 .F为抛物线C:x 2=4 y的焦点，点A在C上，点8（0,5）,若4耳=忸 同，则448户的面积为（）A.8G B.4百 C.4 D.8【答案】B【解析】【分析】求出焦点F的坐标，根据两点间距离公式求得忸目，即|A F|的长度，根据抛物线定义可求得A点坐标,进而可求出面积.【详解】解:因为抛物线C:x2=4 y,所以/（0,1）,准线为:y =-1因为5（0,5）,所 以 忸 月=4 =|入耳,设A（%,x ），根据抛物线定义可知:X +1 =4，解得%=3,所以A（2百,3）,所以S谢=3 忸丹=g x4x26=4 6.故选:B2 26 .设直线x-2 y-l=0与x轴的交点为椭圆鼻+#=1（。0）的右焦点5，过左焦点K且垂直x轴3的直线与椭圆交于M,则椭圆的离心率为（）*B2D.B2【答案】C【解析】A2 3【分析】根据题意可得心（1,0）以及1 6 Ml=7 =2,再结合椭圆a,b,c的关系，列出方程即可得到结果.【详解】根据题意可得，直线-1=0与x轴的交点为（1,0）,即6（1,0）,所以c =l,.2且过左焦点6且垂直x轴的直线与椭圆交于M,将工=一。代入桶圆方程可得，y=,a即忻M|=2=,所以2=3。2 a 2c=1 r oa=2i_ 2 鼻-t所以1 =,解得 匕=G,所以离心率为e =a 2 ,a 22 j 2 2 C =1a=b+c I故选:c7 .已知圆O：f+y 2=6和点尸（3,指），若过点p的5条弦的长度构成一个递增的等比数列，则该数列公比的取值范围是（）A.（1,V 2 B.（1,2 C.（0,V 2 D.（0,2【答案】A【解析】【详解】圆半径r=4,OP=32+（7 6）2=7 15 0),且圆。上至少有三个点到直线/的距离都等于1,则r的值可以是()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C D【解析】【分析】根据圆的对称性，结合圆心到直线距离列式求解即可.|2蜴【详解】圆O到直线的距离=仁=2,由圆。上至少有三个点到直线/的距离都等于1得V 1+1r-d 侈I r?3.故选：C D.10.将数列 中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号3个数，第四个括号4个数，进行排列:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),，则()A.第8个括号内的第一个数是2 9B.前9个括号内共有4 5个数C.第10个括号内的数的和比第8个括号内的数的和大13 6D.2 0 2 2在第6 4个括号内【答案】AB D【解析】【分析】第个括号有个数，则括号里数的数量满足等差数列，且括号里的数同为等差数列，根据等差数列的通项公式及求和公式逐个判断即可.【详解】对A,第个括号有 个数，则前7个 括 号 内 共 有 色 松 二=2 8个数，故第8个括号内的第一个2数是2 9,A对；对B,前9个括号内共有0+9)x9 =4 5个 数,B对；2对C,L b AB得，第10个括号内的数的和为(4+5 5凹0 =5 0 5,第8个括号内的数的和为2(2 9+3 6)？8 =2 6 0,故 第io个括号内的数的和比第8个括号内的数的和大5 0 5-2 6 0 =2 4 5 ,C错；2对D,设2 0 2 2在第A(k e N )个括号内，则有(-2叫2 0 2 2?(j)，,解得k=6 4,D对.故选：AB D.211.已知双曲线C：/一上_ =1的左，右焦点分别为F 工，P是C的右支上一点，则()33A.若尸耳/鸟(),则P到x轴的最大距离为5B.存在点尸，满足|尸耳|=4|用C.P到双曲线的两条渐近线的距离之积为34D.P K8内切圆半径r的取值范围是0 厂6【答案】A C D【解析】【分析】利用数量积坐标运算表示。耳 ()，解不等式求点。的纵坐标范围，判 断A,结合双曲线定义判断B,利用点到直线的距离公式求P到双曲线的两条渐近线的距离之积判断C,根据直线与双曲线的位置关系确定N P耳耳的范围，结合内切圆的性质判断D.【详解】设双曲线的实半轴为“，虚半轴为匕，半焦距为。，2则双曲线 一 _ =1的焦点4的坐标为（一2,。），工 的坐标为（2,0）,a =l 1 =g,c =2,渐近线方程为y=土6 x,2设点P的坐标为（?,），则加2 1,小 一5 =1,对于 A,因为尸片=（-2-m,-/2）,PF2=（2-m,-/i）,所 以 尸 耳 巴=（-2-m）（2-m）+n2-nV+24 0后所以 1 +/4 K0,33 3 3所以一一 n 0,4 r-3由已知，0,所 以 二3,又k手G,3-k2故一百Z0或0%百，设 用 的 内 切 圆 的 圆 心 为E，鸟的内切圆与X轴相切于点M,因为|P 4 1 T p闾=2,所 以 四 周 一 四 国=2,又网+版|=4,所以|M用=3,7 F设N P 6层=2 6,则0 2。,又/；与内切圆半径r=|吗|ta n6 =3 ta n。，所以0r C平面A3Cr=AC,故点P在正方体底面A B C D内的运动轨迹是线段A C,又正方体ABC。A A G 2的棱长为2,.AC=2 0，故错误;以O为坐标原点建立空间直角坐标系，连接AC,B D，B J,A P,则3(2,2,0),A(2,0,2),D,(0,0,2),0(0,0,0),设尸(x,y,o),x,y e0,2,则4尸=(%-2,y-2),应5=(-2,-2,0),当 A P,B O,有4P?6O-2(x-2)-2y+0=-2x-2 y+4=0 ,则y=2 x,此时尸(x,2-x,0),又.AP=(x-2,2-x,-2 ,B D=(-2,-2,2),cos =APxBR-2(x-2)-2(2-x)-41 4州到 J(x-2,+(2-x+4?配_ 2_J(x 2+(2-x p+4?G当x=2时，cos有最大值，此时cos=/市=昱,故正确.44乂0),3则 4+%=q(1+q)=，q +%=qq2(l+)=3,两式相除得，g 2=4 n q =2,/.q=；,a4=4/=2.故答案为：2.1 -1 -14.正四面体 A3CD中，若 M 是棱 CO的中点，A P =A A M A B +B P =-ACAD,则2=.6 6【答案】:【解析】【分析】根据空间向量线性运算得到AM=二4。+7 A。，证明出共线定理的推论，由M,C,O三点共62 62线，得到=求出丸=_1.64 6A 31 1【详解】因为A3+8P=AP，所以AP=AC+三A。，6 61 1 一 1 1即4AM=AC+AD,A M=AC+A D,6 6 64 64下面证明：已知OB=xOA+y O C,若A,氏。三点共线，则 +y=l,因为ARC三点共线，所以存在非零实数，使得A B =f A C，即OB-OA =t(O C-O/,整理得O B =t O C+(1-t)O A,故元=1一 八y=t,所以x +y =l,因为M,C,O三点共线，故-1-=1 ,解得：A=.6 2 6 2 3故答案为：31 5.己知圆。/x2+y2=,圆。2：(x 3 +(y 4)2 =1 0 0,过圆。2上的任意一点P作圆。的两条切线，切点为A,B,则四边形以。6面 积 的 最 大 值 为.【答案】4 V 1 4【解析】【分析】根据题意分析可得四边形P A O乃 面 积SPA0 H=2s岭=yj PO f-i，结合圆的性质求|P Q|的最大值即可.【详解】圆0-Y+V=I的圆心。(0,0),半径/；=1 ,圆。2 ：(x -3 +(y -4-=1 0 0的圆心(92(3,4),半径弓=1 0,四边形P A O】B面积5小伙=2SAMOI=2X1X|PA|X|AO,|=|PA|=府二j而=啊i，；|P Q j4网 勾 +r2=J(3 -0+(4 _0+1 0 =1 5.四边形PAQB面积的最大值为 四一1 =4 7 1 4 -故答案为：4 V 1 4 -2 21 6.设双曲线C:一4 =l(a 0/0)的右焦点为尸,点P(0,。)，直线2 x +y +加=0与C交于MN两a b点.若FM+E/V+F P =0,则。的 离 心 率 为.【答案】巫 林 之 63 3【解析】分析设M(%,y ),N(w，乂)，F(c，0)，根据F M+E N +FP =0,得到F为A MNP的重心，利用重心的M +x,=3 c坐标式得到 -7,再利用点差法和/=/+得 到 关 系 求 解 即 可.y+%=一 人详解】设 加（,凶）,%（工2，%），尸（c，o），因为+F N +FP =0,所以f为4 MNP的重心,则x,+x,_3 YX +%+匕，即0,/?0）上,a b所以X；71 7，两 式 相 减 得:五 手ab2o,才一代化简得：.（+“2）（%一 乜）a（y +%）（M-%）_ n即-+%）5+%）-5工）=0 即 2 12（Ua将代入得：3 c （询（2）-0/kH）-。，即 3hc=2cr=2 卜2 一 人2），解得:c=2/?所以a =V c2-b2-垂 b,c 2b 2 7 3则 e =-=-=一a屉 3即C的 离 心 率 为 空.3故答案为：2叵3四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知圆心为C（3,3）的圆经过点A（l,5）.(1)求圆C的方程；(2)过点3(1,-5)作直线/与圆C交于E,尸两点.若花 耳=4,求直线/的方程.【答案】(1)(x-3)2 +(y-3尸=8(2)%=1 或 1 5 x 8 y-5 5 =0.【解析】【分析】(1)直接将点A的坐标代入圆的方程，即可得到结果；(2)根据截得的弦长，分/的斜率不存在与/的斜率存在分别讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程,即可得到结果.【小 问1详解】设所求圆C的方程为(x-3)2+(y-3)2=/，因为点A(l,5)在圆C上，则(1 3)2+(5-3)2 =/，解得产=8,所以圆C方程为(x 3 +(y 3)2 =8.【小问2详解】因为直线/被圆C截得的弦长为4,所以圆心到直线/的距离d=户 工7=2.当/的斜率不存在时，直线/方程为x=l，符合题意.当/的斜率存在时，设直线/方程为y+5 =Z(x-l),即 日y-左一5 =0.|3 左一3-左一5|1 5则d =J 1-2,解得攵=一.8此时直线/方程为y +5 =(x-1),即1 5 x-8 y-5 5 =0.8综上所述，直线/的方程为x=l或1 5 x-8 y 5 5 =0.1 8.如图，在直三棱柱AB C-A与G中，M,N分别为A C,8 4的中点.(1)证明：MN平面A8C；(2)若C B_ L平面4 5 8出，A B =B C =2,四=4,求点A到 平 面 的 距 离.【答案】(1)证明见解析逑5【解析】【分析】(1)要证明MN平面AB C，通过证明平面MMV平面44c即可证得；(2)根据已知条件可以以B为原点建立空间直角坐标系，求出平面A&C的法向量，以及一个方向向量，代入公式计算即可.【小 问1详解】证明：取AA的中点“，连接M 4,H N.因为M为A C的中点，所以因为 W平面AB C，A。u 平面AB C，所以MH 平面A BC.因为”，N分别为A A-的中点，所以“N A ,因为印V仁平面AB C，Au平面AB C，所以HN平面ABC.因为MHc HN=H,M H,H N u面M H N,所以平面A ffl N平面 BXC.因为MNu平面M M V,所以MN平面A BC.【小问2详解】因为C B_ L平面A B 4 4 ,AB u平面所以C 3 J _ A艮因为三棱柱ABC-4用。1是直三棱柱，所以_ L B C ,BBtL AB.以区4,BBi，B C所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系B-孙z,则 3（0,0,0）,A（2,0,0）,片（0,4,0）,A（2,4,0）,C（0,0,2）,A 4,=（0,4,0）,CBt=（0,4,-2）,4A=（2,0,0）.设平面A4C的法向量为 =（x,y,z）.由ii-0，得n =04 y-2 z =0.、取=（。/,2）.IM 4 J 5所以点A到平面AB C的距离d=1,=告.H 51 9.已知抛物线C：产=4的 焦 点 为 凡。为坐标原点，A,B为C上异于。的两点，O A O B.（1）证明：直线A B过定点；（2）求|河|+4忸尸|的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）2 1【解析】【分析】（1）设A（玉,y）,B（w，%），直 线A 2的 方 程 为=联立抛物线方程，由垂直斜率关系及韦达定理可求得参数比，进而确定定点；（2）由抛物线定义结合基本不等式求最值.【小 问1详解】设A（玉，y）,B（x2,y2）,直线A B的方程为x=,将直线A B的方程代入/=4 x ,得y2-4 ty-4-m=0.由 得 匕,&=-1 =-,即 所以-4/%=一1 6,m =4,%/X%故直线A 8：x 4 =）,恒过定点（4,0）.【小问2详解】抛物线准线为x=-l,由抛物线的定义，|A F|+4 1 M l=+1）+4（与+1）=?+公+5 2旧对+5 =2 1.所以|4尸|+4忸盟的最小值为2 1.2 0.已知数列 aJ满足4=1,an+%+1,“为奇数2%,为偶数(i)记2=%,，写出4,包也并猜想数列 2的通项公式；(2)证 明(1)中你 猜想；(3)若数列%的前 项和为S,求$2“.【答案】(1)2=2也=5也=1 1也=2 3潴 想 包=3 x 2 T -1(2)证明见解析 S 2,=3 x 2 +i 3-6【解析】【分析】根据 q的递推关系式及首项，写出生，/，%，L ,6,进而求得4力2/3,4,根据推导过程及各项即可猜想其通项公式；因 为 勿=4，所以找到4n+2 和 a2n的关系，即 用与2的关系，对式子进行配凑,可发现 d +1 是以3为首项,2为公比的等比数列,即可得 2的通项公式；根据%“+1 =2%”,可得 2-|=2 2 _|，将 S2n 写为(4 +6 +外“_ J +(4 +。4 +,+a2n)，再将%-=2=仇代入，可得S?”=3(伪+h2+_ J+d+4,将 包=3 x 2 i -1代入,再利用等比数列的求和公式即可得$2“.【小问1详解】由 题 知 心 一 良,为 偶 数 因为4 =1,所以4=。=4 +1 =2,a3=2 a2=4 也=%=%+=5,a5=2%=1 0 也=4=%+1 =1 1，。7=2 a$=2 2 也=%=%+1 =2 3,综上:4=2,4=5也=1 1也=2 3,猜想=3X2T-1.【小问2详解】由题意，知%,+尸 2 a2“，+2 =%,用+1，代入得。2“+2 =2%,+1，于是 4“+2 +1 =2 4”+2,即+1 =2(d+1),因为4+1 =3,所以 2+1 是以3为首项,2为公比的等比数列，故 仇=3x2-1.【小问3详解】因为 a2n-=“2(-1)+1 =2 a2(-1)=2b”7,$2 =(4+/+,+%1)+3+4+a2)=(4+2 Z?+2 Z?2 +2 Z?,-i )+(i +b2+2)=3(4+仇+2T)+勿+4=3(3x2+3x2+3X2,-2-(/?-1)+3X2,-1+1=3(3x2+3x2+3x2n-2-(/i-l)+3x2,-l+l(3(1-2，i)=3-+3x2-1-2、/=3x2+i-3 -6.2 1.在四棱锥PABC。中，底面A B C。是边长为2的菱形，Z A B C =60,P B=P D,P A 1 A C.（1）证明：P A J _平面 4 B C Z）；若 PA=也,在棱P C上是否存在点“，使直线AM与平面P B C所 成 角 的 正 弦 值 为 巫？若存在,4求出点的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由线线垂直证8。1平面以0,再依次证/A J _平面A B C。；（2）以A为坐标原点,分别以A”,A。,A P所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图的空间直角坐标系A一肛z ,设PM=2PC(OW;LWI),由向量法建立线面角正弦值的方程，从解的情况即可判断.【小 问1详解】证明：连 接 交AC于o,连接P0.因为底面ABC。是边长为2的菱形，所以B D L A 0,因为。是BO中点，PB=P D,所以BD_LPO.因为AO PO=O,AO,P O u平面以。，所以3。平面以。，因为B 4 u平面以。，所以因 为 附J_AC,BDrAC=O,BD、A C u 平面 A8CD 所以 Q4J_ 平面 ABCD【小问2详解】如图，取线段8 c的中点H,连接4 4,易知以4为坐标原点，分别以AH,AD,AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系A一肛z,则 A（0,0,0）,B（V 3-1,0）,C（V3,1,O）,P（0,0,V3）.浅=（0,2,0）,PC=（百,设PM=/IPC（OW/IW1）,则有6）=（6 4%后），解得M（百;U,6后）,进而 AM=（732,A,A/3-V 3 A）.设平面P8C的法向量为?=（x,y,z）.m-BC=0 12y=0.,、由 ，得 ,取，*=（1,0,1）.m-PC=0 J3 x+y-j3 z =0设直线AM与平面PBC所成 角为。，则.A/A 解 mA M G 百 后Sin U=COS（AM,m）=y r-,-y=-,=-n A M&（网2+力+回购2 业”一64+3）4，化简得，3 5/12-3 0/1 +7 =0,此方程无解，所以满足条件的点P不存在.2 2.已知点 A(4,0),3(1,0),动点 P满足=(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设点上(。,；)，斜率为人的直线/与曲线C交于M,N两 点.若 但 徵=|硒|,求火的取值范围.2 2【答案】(1)+=14 31 ,1(2)k 0,整理，得4左2 +3 加2 (),设M N的中点为,%,+x2 _ 4km2 -一3+4公X +%_%（须 +）+2加 _ 3m 2 -3 +4公所以。-4km3/773 +4公 3 +4公由|EM|=|E N|,得EQ 1 M N,即直线EQ的斜率为一1,k1 31n所 以2=_ 化简，得加=一大（4公+3）,4km k 2v 3+4公将代入式，解得一，左（,且A H（）.2 2当Z=0时，显然存在直线/,满足题设.综上，可知&的取值范围是2 2