北京市海淀区2022高三数学上学期期末考试试题.pdf

北京市海淀区2022高三第一学期期末练习数学试题2 0 2 3.0 1本试卷共4页，1 5 0 分。考试时长1 2 0 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题 共 4 0 分)一、选择题共1 0 小题，每小题4 分，共 4 0 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)己知集合 =耳 2 x 0 ,若/U 8=(A)-2,3 (B)0,3 (C)(0,+o o)(D)-2,+o o)(2)在复平面内，复数对应的点在2-i(A)第 一 象 限(B)第 二 象 限(C)第 三 象 限(D)第四象限(3)已知函数/。)=4一！一1,在下列区间中，包含/(x)零点的区间是X(A)(；,；)(B)(1,1)(C)(1,2)(D)(2,3).7 1 -(4)已知 =l g 5,/)=s i n y,c=23,贝 ijA.a b c B.b a c C.b c a D.a c 2 一2 工一2+。2 =o截直线x 2 y +l =0所得弦长为2,则。=(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2(6)已知%为等差数列，=3,%+。6 =-1 0 若数列也 满足=%+a+i,(n-=1,2,)，记 也 的前项和为S，则Sg =(A)一3 2 (B)-8 0 (C)-1 92 (D)-2 2 4(7)某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6 个班分为甲、乙两组，每组3 个 班，则高一(1)班、高 一(2)班恰好都在甲组的概率是(8)设a,夕是两个不同的平面，直线mua,则“对月内的任意直线/,都有加，/是“a _L 尸”的(A)充分而不必要条件(B )必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(9)已知函数/(x)=co s 2 x =co s 2 x 在 区 间+上的最大值为MQ),则“的最小值为、也 、出 ,、1 1(A)(B)-(C)(D)2 2 2 2(1 0)在实际生活中，常常要用到如图1 所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2,用一个与圆柱底面所成角为4 5 的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段(如图3)的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象(如图4).记该正弦型函数的最小正周期为T,截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2,则(A)T=2;r,e=12 X：-，-第二部分(非选择题共no分)二、填空题共5 小题，每小题5 分，共 25分。(11)抛物线V=2 x 的焦点坐标为2(12)在(x-y 的展开式中，/的系数为(13)如图，在正三棱柱4 3。-4 8c 中，P是棱上一点，4 B =4 4 =2,则三棱锥尸 /CG的体积为(14)设。为原点，双 曲 线 C:/一 匕=1 的右焦点为尸，点尸在。的右支上.3则C的渐近线方程是O P O F的取值范围是.(15)己知函数/(x)=/一 2x+2f ,g(x)=e*T .给出下列四个结论:当，=0时，函数y=/(x)g(x)有最小值；于eR,使得函数y=/(x)g(x)在区间U,+o o)上单调递增；小wH,使得函数y=/(x)+g(x)没有最小值；于e&,使得方程/(x)+g(x)有两个根且两根之和小于2.其 中 所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.三、解答题共6小题，共8 5分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)(本小题13分)已知函数 X)=s i n x+9)0,|同 i 7pl i j,P D 1D C.又因为_ 4 D J_ C,所以建立如图空间直角坐标系。一 刁 N.因为a）_ 1.平面H B C D,u平面RBQ）,所以P D L B D.所以在R t 尸 中，P D =1,P B=0 可得班=J5.在 R t Z U皿 中，A D =1,B D=6,所以4 5 =1,又因为/8 =；Z)C,所以DC=2.由题意得。(0,0,0),力(1,。,0),8。,1,0),C(0,2,0),P(0,0,l),M(0j l),所 以 应:(1,0,0),D M=(0,1,1),5 5 =(1,1,0).设平面的法向量为-(工,乂2),所以n-D M=0,n T)B=0,令y=T,则x =l,z=2.所以平面9 W的一个法向量为=0,-1,2）.易知方2为平面尸D V f的一个法向量.ll-rd n 1 V 6所 以 co s -7=-.n-DA/6 1 6因 为 二 面 角 尸6为钝角，所以二面角尸-的余弦值为逅.高三教学参考答案第2页（共7页）选择条件因 为 平 面XB C D,4D,DCu平面4BC0,所以P D M,P D 1D C,又因为.4 D L D C,所以建立如图空间直角坐标系。一师.取8的中点E,连接B E.因为 AB D C ,A B=-D C ,所以 AB“D E ,A B=D E.2又因为/1 _ L D C,所以四边形E D为矩形.在 B C D中，因为BQLBC,所以B E =DC.2又因为45n;QC,所以AB=B E.所以四边形4 5瓦)为正方形，即=D C =2.由题意得。(0,0,0),4。,。,0),8。,1,0),C(0,2,0),P(0,0,l),M(0j g),所 以 加=(i,o,o),俞二(0,1,：),5B=(I J,O).设平面8 DW的法向量为“一0,必2),所以n-D M -0,方=0,X+y =0.令夕=_1，则 x =l,z =2.所以 平 面 的 一 个 法 向 量 为=。,-L 2).易知次 为 平面尸的一个法向量.,n-DA 1 G所以 市TS因为二面角尸-D A/-8为钝角，所以二面角尸-DW-5的余弦值为-巫.6(1 8)(本小题1 4分)解：(I )由图可知，亩产量是4 00k g的概率约为0.005 x 5 0=0.2 5,亩产量是4 5 0k g的概率约为0.01 X 5 0=0.5 ,亩产量是 5 00 k g 的概率约为 0.005 x 5 0=0.2 5 .估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1 5 00元的概率为0.2 5 x 0.6 =0.1 5.(I I )X 的所有可能取值为 96 0,1 080,1 2 00,1 3 5 0,1 5 00.P(X=96 0)=0.2 5 x 0.4 =0.1,P(X=1 080)=0.5 x 0.4=0.2,P(X=1 2 00)=0.2 5 x 0.4 +0.2 5 x 0.6 =0.1+0.1 5 =0.2 5 ,P(X=1 3 5 0)=0.5 x 0.6 =0.3,P(X=1 5 00)=0.2 5 x 0.6 =0.1 5.高三教学参考答案第3页(共 7页)X的分布列为X96 01 0801 2 001 3 5 01 5 00P0.10.20.2 50.30.1 5E(X)-96 0 0.1 +1 080 x 0.2 +1 2 00 0.2 5 +1 3 5 0 1 2 5,故建议农科所推广该项技术改良.1 9.(本小题1 4分)(1 )解法一：0是/(x)的极小值点，理由如下：当x 0时，l n(x +l)0,所以/(x)=x l n(x +l)0.当一l v x 0时，O v x +l v l,可知In(工+1)0.而/(0)=0,由极小值点的定义知，0是/(x)的极小值点.(1 )解法二：0是/(%)的极小值点，理由如下：对函数求导得/(X)=l n(x +1)+.X+1当 x 0 时，l n(x +1)0,0,x +1所以/V)o.当一1 v x v 0时,0 x +l l,可知l n(.x +1)0,-x +1所以八K)0.所以/(x)在区间(0,+8)上单调递增,在区间(T O)上单调递减.所以0是7(力的极小值点.(II)证明：但+等价于k D +1,即Ig +D+jX ox2 2 x 2 x记 g(x)=l n(x +l)+-x2-x(x-l).求导得g(X)=-4 X-l =-X+l X+l当X 1时易知g(x)N O,所以函数g(x)在区间(L+o o)上单调递增.又 g(0)=0,可得当x 0时，g(x)g(0)=0高三数学参考答案第4页(共 7页)即当x 0时，不等式ln（x+l）+g2 x 0成立.即当x 0时，不等 式 绰 -L+1成立.x2 2当 一1 *0时，g（x）g（O）=O,即当一1 cx 0时，不等式1 1 1（丫 +1）+；/x 0成立.即当l x 戈+1成立.x2 2综合上述，不等式 卒 -!工+1成立.x2 2（20）（本小题15分）解：（1 ）将点尸（-2,1）,。（2 0,0）坐标带入椭圆E的方程，得4 1 .+=,02*2 解得。2=8 万=2.4 =1,a所以椭圆E的方程为江+匕=1.8 2（I I）若直线/斜率不存在，即直线/为x=0时，X和”点重合，B和N点重合，分别为椭圆的上下顶点（。0）,（0,-&），此时|金/卜|6|=（2-五）：（2+0）=2,符合题意.若直线/斜率存在，设 直 线 的方程为y=h +2,4（,乂 ）,B（Xz，%）（x产-2且 三#-2）.y=kx+2联立方程，f 2 得，(4*+i)f+16去+8=0.+=18 2A=(16A-)2-3 2(+1)=32(4Ar2-1)0,即上；或左 一；.-6k 8x1.+x22=-4左 2-+1，x1 x2 2 =4-*+-1.所以直线R4 的方程为y=匕二!(*+2)+1,取x=0得”(0,2(乂Xj+2玉+2%+2同理可得N(0,竺 二2 +1).x,+2由315|二2得至dl.2.毛+2 z l)+l-2=2,x2+2即 2(应+1)_ .2但 +1)_ j _ 2%+2 x2+2所以（2人-Ip工.上=2X,+2 士 +2高三数学参考答案第5页（共7页）即(21)2=2.xx2+2（再 +X2）+48（21）2 8 4好热 2,-+44k2+1 4k2因为左工，2所以得卑二=1，|2 A-3|即一=1.经检验符合题意，此时直线，为y =x+2.综上所述，直线/的方程为1=0 或y =x+2.(2 1)(本小题15 分)解：(1 )1,2,1 和 3,1.(ID S(。)的最小值为7.首先证明S(。声7：由题知C：2 6 得”2 4.当 =4 时，应有数列中各项均不相同，此时有6(0)2 1+2 +3+4 =10；当 =5 时，由于数列中各项必有不同的数，进而有S(0)之 6.若S(Q)=6,满足上述要求的数列中有四项为1,一项为2,此时T(Q)W 4,不符；当时，同可得S(0)7.综上所述.有S(Q)M 7.同时当。为 2,2,1/时，S(0)=7,所以S(Q)的最小值为7.(III)7(0)的最大值为 5 115 6 6.下面分五步证明当7(。)最大时，数列。应满足：存在大于1 的项，否则此时有7(。)=0;0n=1,否 则 将%拆分成4个 1后7(。)变大；当 仁 L 2,，-1时，有*,否则交换%以1的顺序后7(。)变为T(Q)+L进一步有外-4+1 0,1,否则有q 2 q+2,此时将q改为q-1,并在数列末尾添加一项1,此时丁(。)变大；各项只能为2或 1,否则由可得数列。中存在相邻的两项与二3,4H=2,设此时。中有x 项为2,则将改为2,并在数列末尾添加一项1后，T(0)的值至少变为7(Q)+x+l-x=T(e)+l;由上可得数列。为2Z,Z L L 1的形式,设其中有x 项为2,有y 项为1,则有2 x+y =2 0 2 3,高三教学参考答案第6 页(共 7页)从而有T(Q)=孙=(2023-2x)x=-2x2+2023x,由二次函数性质可得，当且仅当 二5 0 6时,y=10117(0)最大，为 511566.综上可得7(0)的最大值为511566.高三教学参考卷索第7页(关7页)