广东省深圳市罗湖区2023届高三上学期期末数学试题.pdf

机密启用前试卷类型：A2022-2023学年第一学期期末质量检测试题高 二 数 学2 0 2 3.1注意事项：1 .本试卷共4页，共 2 2 题，满 分 1 5 0 分，考试用时1 2 0 分钟.2 .答卷前，考生务必将自己的学校，班级和姓名填在答题卡上，正确粘贴条形码.3 .作答选择题时，用 2 B 铅笔在答题卡上将对应答案的选项涂黑.4 .非选择题的答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，不准使用铅笔和涂改液.5 .考试结束后，考生上交答题卡.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5 分，共 4 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合 A =(x,y)|x-y =0,3 =(x,y)|x +y +l =0 ,则 AcB 的子集个数为A.0B.1C.2D.无穷多个2 .已知复数外1 /3 .2=-1-1,则 ar=2 2A0B.-coC.CD D.0+13 .已知向量4：二(2,左),b=(2,4),若 Q_LA,则 +可=A.6B.5C.4D.34 .某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定 成 本 是 25万 元，每 生 产 x万 件 该 产 品，需 另 投 入 成 本 矶 x)万元.其中X2+10X,0X 4 07 0 元，则该企业每年利润的最大值为A.7 2 0 万元 B.8 0 0 万元 C.8 7 5 万元 D.9 0 0 万元5 .圆。：f+/一4 丁一6 =0 与圆二 2 ：/+y 2 -6 1+8 y =0 公共弦长为A.亚 B.而 C.2亚 D.3 逐6 .已知/(x)为偶函数，当x0时，f(x)=x3-x,则曲线y =/(x)在点(1,0)处的切线方程是A.2 x-y-2 =0 B.4 x-y-4 =0C.2 x +y-2 =0 D.4 x+y-4 =07 .某批产品来自A,8两条生产线，A生产线占60%,次品率为4%；8生产线占4 0%,次品率为5%,现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是1 6 5A.-B.C.D.一2 1 1 5 98.正四面体S ABC中，M 是侧棱S 4 上(端点除外)的一点，若 异 面 直 线 与 直 线 AC所成的角为a,直线M B 与平面ABC所成的角为夕，二面角M 8 C-A 的平面角为?，则A.a B 丫 B./7 a y C./3 y a V).y a l,则 4 是递增数列 D.若4 0,则 是递增数列10.已知随机变量X函数/(X)=e 2，(x e R),贝 ijA.当X=H时，取 得 最 大 值 口=(jy127rB.曲 线)=/(x)关于直线x=对称C.x轴是曲线y=X)的渐近线D.曲线y=X)与x 轴之间的面积小于12 211.已知A,8 为椭圆C:：+%=l(a b 0)左、右顶点，E(c,0)为 C 的右焦点，M/2 是。的上顶点，N ,0，M N f的垂直平分线交C 于。，E,若D,E,/三点共线，、C )则A.FN=a B.C 的离心率为当h2 b2C.点 N 到 直 线 的 距 离 为 一 D.直线。A,D B 的斜率之积为一-rC C T12.已知 肛 司，函数/(x)=，则A J(x)的图象关于原点对称 B.7(x)有四个极值点C j(x)在-上 单 调 递 增 D.x)的最大值不大于乎三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.若a 是第三象限角，且 tana=3,则s i n a-c o s a=.14.已知则工+一 的最小值为_ _ _ _.x 1-x15.若正方形A3C。的顶点均在半径为1 的球。上，则四棱雉。-ABCO体积的最大值为1 6.已知 A B C的顶点A(2,1),点8,C均在抛物线。：丁=4上.若A 3,4c的中点也在。上，BC的中点为。，则A =,A 5 C的面积S=.四、解答题：本大题共6小题，共7 0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1 7.(1 0 分)已知数列%中，q=2,叫用 一(+1)。“=1 (e N*).(1)求数列 q的通项公式；设=仁：%覆求数列也 的前31 8.(1 2 分)在 A B C 中，角 A ,8 ,C对边分别为a ,b ,c ,且a s in B c o s C +c s in B c o s A=,3c b.(1)求 c o s B ；(2)若c =3,AC边上中线8 0 =百，求 A B C的面积.1 9.(1 2 分)快到采摘季节了，某农民发现自家果园里的某种果实每颗的重量有一定的差别，故随机采摘了 1 0 0颗，分别称出它们的重量(单位：克)，并以每1 0克为一组进行分组，发现它们分布在区间 5,1 5,(1 5,2 5,(2 5,35,(35,4 5,并据此画得频率分布直方图如下:(1)求。的值，并据此估计这批果实的第7 0百分位数；(2)若重量在 5,1 5(单位：克)的果实不为此次采摘对象，则从果园里随机选择3颗果实，其中不是此次采摘对象的颗数为X ,求X的分布列和数学期望.注意：把频率分布直方图中的频率视为概率.2 0.(1 2 分)如图，在三棱柱A B C 4 A G中，侧面A 8 g A是边长为2的正方形，A A.V B C,M ,N分别是4用，8 C的中点.(1)证明：MV平面ACGA；(2)若NABC=90,再从条件、条件中选择一个作为条件，求直线AC与平面4VW所成角。的正弦值.条件：异面直线AC与MN所成的角为45 ；条件：AMN是等腰三角形.2 1.(1 2 分)M是平面直角坐标系xOy上一动点，两直线4：y=x,4：=-%.己知此4,4于点4,A位于第一象限；MB J_ 6于点8，8位于第四象限.若四边形。4MB的面积为2.(1)若动点用的轨迹为C,求C的方程.(2)设M(s j),过点M分别作直线MP,MQ交。于点P,。.若MP与MQ的倾斜角互补，证明直线PQ的斜率为一定值，并求出这个定值.2 2.(1 2 分)已知函数,f(x)=ln(ttx)+6zx,其中a是非零实数.(1)讨论函数/(x)在定义域上的单调性；(2)若关于x的不等式“力工把 恒成立，求4 的取值范围.2022-2023学年第一学期期末检测高三数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678CABCCCBC7.解析：因为抽到的次品可能来源于A,8两条生产线，设 4=抽到的产品来自A生产线 ，B=”抽到的产品来自8生产线”，。=抽到的一件产品是次品”，则由全概率公式得P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)=0.6x 0.04+0.4x 0.05=0.044,又由条件概率得P(A|C)=B淋-，。(。同0.6x 0.0 4 6P(c)0.0 44 1 1取 中 点 记 为。，连接A。，M D.过/作A D的垂线垂足为.过M作A C的平行线交 SC 于 N.易得/B M N =a,Z M B H =p,Z M D H =y因为s i n/?=工 国”=s i n y ,所以尸7.M B M D设正四面体边长为1,A M=/l(O A-M D B Mn 百 6 G V 3.回八 1-A M N因为 H D =-Z -X =(1 -Z)-=-2 3 2 2 2 v 7 2 2所以c o s y c o s。，即 y&综上：/3 y a也可以取特殊位置法，更快作答。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。第9题，增加条件4工1.12.【解析 工(1)因为/(X)是奇函数，所以图象关于原点对称，故选A；9101112ABABCABDAC(2)因 为/(x)=(f+1)co s x -2x s i o rX2+12，不妨令0 x =一2 11X H-X的图象，如下图:它们在第一象限只有一个交点，交点的横坐标不能具体求出，肯定小于1,故当XW 乃，句 时，导数为零的点只有两个，故最多只有两个极值点，3错;n rr I(3)当=时，tan =1,而一442R 4一 十 一4 71I（由基本不等式得）,TT所以当尤=2时,421X H-X taar,即当0 c x 0根据对称性得/（X）在-（上单调递增，故选C;（4）又因为交点的横坐标2 /1，所以当0 x 下生=牛，故D错.0另法：由C正确得27T2-9TT cI +1 8,故D错.4三、填空题:Vio1 3.-5本大题共4小题,47314.9 15.-227每小题5分，共20分。,2 7 8 1V216.,-44则AB的 中 点+土I 8 2)16.【解析】:，哈,/在。：丁=4%上,所以(M+1I 22,2 2=4x-1+2L|=_4+2L,整理得 y：-2y-17=0,i 872所以口，为 是方程丁一2y-17=0的两根,所以 X=y；+y；=2(X +*)+3 4 =22,2L1A =I,即 AO=2Z,AABCKM 8 8 4 2 4面3 0 1 27 ,27 r,-3-：-27,后 8 172积S=；x彳x|x一%|=7 x 4(y+%)_4y%=x6V 2=Z 4 o o 4四、解答题：本大题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)【解析】(1)法一：由叫用一(+1)4,=1得 需“=1 J 1n(/!+1)n +1所 以 组-=组-也+也n n -1)I n-1因为4=2,所以2 2=1 即。，=3一1.n n法二：当nan 一(+1)“=1,2时，由L 两式相减得2a“=4+1+a,i，(-1)怎一 a“T=1,所以数列 4 是等差数列.由 q=2,a2 2q=1 得 =5,所以 d=的 一 4=3.所以 a =q +(一l)xd=3一l.(2)法一：由题意得力2 i =。2-1=6-3,b2n=O2W+1=12n4-4,设数列%-，4“的前50项和分别为工，T2,所以7=5仇+99)=25x300=7500,T2=5OX(Z?2+/?IO O)=25X620=15500,1 222所以%的前 100 项和为 7；+笃=7500+15500=23000.法二：由题意得打_ =。2-1=6力 一 3,b2n=。2+1=12 +4则多1 +%=18+1，即数列%1T+b2n是首项为1 9,公差为18的等差数列，50 x49所以 2,_1+%,的前 50 项和为50 x 19+xl8 =23000,即数列 4 的 前100项和为23000.18 .(本小题12分)2 5【解析】(1)由正弦定理有 sin Asin8 cosC+sinCsin8 cosA=-sin B.32 5因为 sinB w0,有 sin A cos C+sin Ceos A=sin(A+C)=sin B=.因为c，故cos3(),cosB=V l-sin2 B=3(2)法一：在 ZVIBC 和AB。中，cos A2hc+C2-B D22fC因为c=3,BD=6 则/=24+6因为 COS8 =1=/+9 （2/+6）=L2ac 6a 3所以。=1所以 S.ABC=gacsinB=g.L 3 当=加法二：因为cosNAZM+cosNCD8 =0,所以=0,有=2/+6.下同法一.法三：如图.作 OE 交 A6 于 E,则 BE=3，DE=,cos ABED=-cos ZABC=,2 2 2 3解得a=l.3下同法一.同理也可有其他辅助线做法法四：因为A=D C,则+两边平方可得a=l.下同法一.19.(本小题12分)【解析】(1)因为频率分布直方图的组距为10,所以落在区间 5,15,(15,25,(35,45上的频率分别为0.20,0.32,0.18,故。=1-0.18-0.32-0.2010=0.030.因为落在区间 5,25上的频率为0.20+0.32=0.52,而落在区间 5,35上的频率为0.20+0.32+0.30 =0.82,所以第7 0百分位数落在区间 25,35之间，设为x ,则 0.52+(x -25)x 0.0 3=0.7 0,解得 x =31,所以估计第7 0百分位数为31.(2)由(1)知，重量落在 5,15的频率为0.2,由样本估计总体得其概率为0.2,因为 X 可取 0,1,2,3,且则尸(X =0)=C；4 812520.(本小题12分)【解析】(1)证明：取AC的中点为。，连结A。，O N,因为N是3C的中点,尸=2)=：卜 已)：=掾，p(x =l)=C；xg J=*，、D J D 1 ND y 2 5 y 1 ND所以X的分布列为：X0123p6 41254 81251212511254 R 74 3 3 1 3所以X的数学期望为七X=0+上+-竺+上 _ =（或直接由 X=3X=）.125 125 125 5 5 5所以且0 N =A 8,2又因为A 4 5且AM=-A B,2所以 AM O N 且 AM=O N,所以四边形AAWO是平面行边形，即 M N A。，而AOu平面ACGA，所 以 平 面A C G A.(2)因为 A A,1 B C ,且 A B,BCu平面 A B C,所以 4 4,，A B C,又因为N A 8 C =90,所以分别以B C,BA,8 g所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.选择条件，因为N A4Q为异面直线AC与 所 成 的 角，即N A 4 O =4 5,所以O A =A 4 1=2,M N =A O =2 C，设 B N =m,则 M 7V =j 5+m2=2 垃,解 得 加=百，所以 4(0,2,0),C(2/3,0,0),A l(0,1,2),M(6,0,0),所以 A C =RG,2,0),AM=(0,-1,2),A N =(6,2,0 1设平面AMN的法向量=（x,y,z）,则n-AM=-y +2z =0,n AN=也x-2y =0.令y =2,则x =r,z-1,即=(=,2,1),所以 s in。=cos(AC,nAC nACn4 _ y/934 x选择条件，设BN=m,则4 V =J 4 +/,MN=M+后,AM=卮因为 A A W是等腰三角形，所以上式中只能AM=AN,即机=1,所以A（0,2,0）,C（2,0,0）,M（0,1,2）,N（l,0,0）,所以 A C =（2,2,0）,AM=（0,-1,2）,A A?=（l,-2,0）,设平面A M/V的法向量为=（x,y,z）,则 0且/%-不，即 与 一%0 且%+%0,设直线 A 4 A:y =-X+2,则2 =X o +y()，解卜，得.二%y=-x+m,m _/+%2-2所以。4=1AAJ+|AJ=+W=吗+%)所以四边形OAMB的面积为0 A M 4 =/一%=2,2即 2 _ 4=4 ,所以动点M的轨迹方程为f _ 2=4（%o）.法二：设依题意得x 0且x y -x,即x-y 0且x+y 0,设 A（力,力），则 M 4 =（x-,y-）,因为直线4的方向向量为(1,1),所以M A-(l,l)=x +y =0，W，即所 以 国 (受j+(受j匹小丁)；记、?二空2 _ 2所以四边形OAMB的面积为|。4|M 4卜上 手 =2,即动点M的轨迹方程为f 一产=4(%0).(2)法一：设直线M P:y-r =k(x-s)(左 1),则 MQ:yt=kxs,联立42 2 AmT)得/-出-(米-抑=4,整理得（1一4 2卜2+2%（依7）x _（依 7）2-4 =0,所以S +X p2k（ks-t）k2-所以力=k（xp-s）+t2匕 s 2kt k s 2.kt+s,即 x=-：-s=-：-p k2-l k2-1-2k2t+2ks-o-1-t，k2-1l,e 妨 2k1s+2kt-llc t-lk s同理得-s，y=+r，K 1 K 1所以直线PQ的斜率k=f=二 =得证.xQ-Xp 4kf t法二：设直线P Q为 丁 =丘+人，联立V y 2=4得 尤2_(依+。=4,整理得(1一公卜2一2妨X (6+4)=0,所以 X p+q =-71 K+4XPXQ=.2 _1因为直线MP,MQ的斜率分别为kMP=-S依题意得褊+标=+S XP S-XQ S-XP S-XQ(1一 夕)一 依-+-=0即/_b）-A ip（s-XQ）+（，-b）-Q（S-九p）=0，化简得 2 AxMQ-（%-+葡（4 +q）+2（，Z?）s=0,LL,、t。+4/、2kb _/.x所以 2k x -F（f 6+公）x -F2（/-Z?）s=0,K 1 K 1即 2 km +4）+2妨（t人 +依）+2。一人）s（攵2 一i）=o,即 2tsk2+（8+2tb）k-2（t-b）s=0,因为s2 T2=%所 以 滋2+1 2一 户+活 快 s H,即（成+s）虱 一（Z?）=0,所以当M+s=0时，即当上=一时得证.t22.(本小题12分)【解析】当a 0时，“X)的定义域为(0,引动，当a 0时，/(x)0 J(x)在(0,+8)上单调递增；(2)当。0时,(尤)0./(X)在(-oo,0)上单调递减.综上所述：当a0时，/(x)在(0,+8)上单调递增；当a 0时，/(x)在(8,0)上单调递减.令F(x)=/(x)-把=In(ax)+一 xe.由题尸(x)W 0恒成立.当a 0时，尸(%)=111(办)+0-屁*-(%0,故不合题意.a)a当a0时，则不等式恒成立的必要条件为：/(l)=lna+a-e W0.g(a)=lna+a-e i(a。),则g，=_L +1+e 0,故g(a)在a e(0,+8)上单调递增.注意到g(l)=0,故由lna+a e 0可知0aWl.下证充分性：当0 0),则G(a)=1+x+xe10.故G(a)在ae(O,l上单调递增.所以 G(a)G 6 =nx+x-xex-.法一：令 M%)=lnx+%A eT,则/(x)=4+l (x+l)e j(力=一3(x+2)eT 0.故(x)单调递减.X X因为=0,故当xe(l,+。)时，(x)0,(x)单调递增.所以(“4.1)=0.法二：易证e*T2x(此处略去证明)，从而当尤 0时，x-l lnx.故lnx+x_ xe (x_ l)+x _ x*(x_ 1)一 0.综上所述：0aKl.