华中科技大学计算方法课件-第一章数值算法概论.pdf

计 算方 法绪论略 1 结 论 1.1数 值算法概论 1.2预 备知识 1.3 1.4题 型分析与小结2 1.1数 值 算 法 概 论“计算方法”是计算数学的一个主要部分。而计算数学是数学科学的一个重要分支，它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其软件实现.数值计算已经成为计算机处理实际问题的一种关键手段，它使各科学领域从定性分析阶段走向定量分析阶段，从粗糙走向精密。科学理论、科学试验和科学计算（计算的方法）是现代科学的三个组成部分。3 1.1数 值 算 法 概 论T f究内容 方程求解非线性方程或方程组、常微分方程、偏微分方程数值解法。数值代数求解线性方程组的解法（分直接方法和间接方法），求矩阵的特征值与特征向量。数值逼近插值和数值逼近，数值微分和数值积分。4例 如:L求方程3 1+8 x 3=0 在 0,1 上 的 根 父；2.求解线性方程组4X，其中A为3阶可逆方阵，X=(冷 与 七 33.已知y =尸(%)为 上 的 直 线,满 足 P(x0)=J o，P(%1)=%，%(/,/),求 P(x);pb 14 .计算定积分I=dx(l ab5.解常微分方程初值问题y =x+yy（/）=%5 1.1数值算法概论究对象计算方法是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的学科；思维方法是归纳法，核心问题是“误差”或误差分析。计算方法这门课程讨论连续变量问题又要讨论离散变量问题,关心的是数值结果。计算方法、计算数学、数值分析或数值方法这门课程已成为近代数学的一个重要分支。6 1.1数 值 算 法 概 论 一 特点 面向计算机将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可执行的运算。有可靠的理论分析（收敛性、稳定性、误差分析）。因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析,即数值的性态及数值方法的稳定性。要有好的算法，并考虑计算复杂性（时间、空间）针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行的且有效的计算公式。要有数值试验7 1.1数 值 算 法 概 论 一 数 值 算 法现 实 科 学 与 工 程 问 题 的 解 决 步 睇:实 际 问 题鹿 立 数 学 桃 燮随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域。本课仅介绍最常用的数构 造 数 值 算 法学模型的最基本的数值分析方法。编 程 上 机计算方法是一种研究并获 取 近 似 结 果解决数学问题的数值近似解方法_8 1.1数 值 算 法 概 论 一 算 法 的 数 值 稳 定 性良态与病态问题良态与病态：初始数据的的微小变化（扰动），导致计算结果的相对误差很大，这样的问题称为病态的，相反称为良态的。误差的传播与积累导致以上问题是一个病态问题9 1.1数 值 算 法 概 论 一算法的数值稳定性良态与病态问题例 1 y（x）=x2+x-1150 在x*=100/3的值?略10 1.1数 值 算 法 概 论 一 算法的数值稳定性良态与病态问题例 1 f(x)=x2+X-1150 在x*=100/3的值？解:f (100/3)=5 0 5.6,9f (33)=2 8，该 函 数 是 病 态 的.11 1 .1数 值 算 法 概 论 一 算 法 的 数 值 稳 定 性良态与病态问题例 1/(%)=X2+X-1150 在 X*=100/3 的值角 星：f(100/3)=一 七一5.6,9f(33)=28,该函数是病态的.分 析:初始数据相对变化1%结果相对变化400%!=3 (C，*X-X*X1-50人=1%一/=9二.100/(/)-503 912数 值 稳 定 性 分 析略例2计 算4 =1JC1x+5dx13数 值 稳 定 性 分 析略例2计 算41 X”dx x+514数 值 稳 定 性 分 析略例2计 算4 =-1 x x+5dx0.180.160.140.120.10.080.060.040.0200 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 115例2（续）4 =尤卢J。+5构造算法如下：+5 1t 1=1+5,T Jo x +5 Jo弁 号”0 0.18 200.18 20 0.18 20123456780.08 8 00.058 00.04310.03430.028 40.02400.02100.019 00.09 000.05000.08 30-0.1651.0250-4.9 5824.9 33-124.5400.08 8 00.058 00.04310.03430.028 40.02400.02100.019 0171 61 1=一n 5/n-1 ,I=ln I7 0d nn 51(12 I、n l=-In,Is=0.019 In原 因：对格式L 如果前一步有误差，偏为不稳定,则被放大5倍加到这一步 A 格式，对格式2,为稳定格式，对舍入误差有抑制作用18略 1.1 数 1 1L算 法 概 论 数值算法针对输入与输出的都是数值的数学问题.例如:求解微分方程y=2 x+3y（o）=o其解:y=x2+3x19匚 算 法 概 论 数 值 算 法针对输入与输出的都是数值的数学问题.例如:求解微分方程y=2 x+3y(o)=o其解:yx2+3x将其变成数值问题，即将其“离散化”Xr X2-XnXi=+hy(x+h)-y(x)y O h 7h“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题的主要方法，这也是计算方法的任务之一.整雨