2023年中考数学一轮复习14四边形（上海）（原卷版）.pdf

专 题 1 4 四 边 形 忸 命 题 趋 势 多 边 形、卤 边 形、平 面 向 量 及 其 线 性 运 算 是 中 考 的 重 要 考 点，尤 其 是 特 殊 的 平 行 四 边 形 更 是 中 考 的 难 点，主 要 考 查 基 础 概 念，几 何 推 理 与 证 明，综 合 分 析 几 何 问 题.1.掌 握 多 边 形 内 角 和 与 外 角 和 公 式，灵 活 运 用 多 边 形 内 角 和 与 外 角 和 公 式 解 决 有 关 问 题.2.掌 握 平 行 四 边 形、矩 形、菱 形、正 方 形、梯 形 的 概 念，了 解 它 们 之 间 的 关 系.掌 握 它 们 的 性 质 和 判 别 方 法，并 能 运 用 这 些 知 识 进 行 证 明 和 计 算.3.掌 握 三 角 形 和 梯 形 的 中 位 线 定 理，并 能 灵 活 应 用.4.了 解 平 面 向 量 的 概 念，掌 握 平 面 向 量 的 线 性 运 算.存 知 识 导 图 一、多 边 形 内 角 和 定 理、外 角 定 理 边 形 的 内 角 和 为(-2)180(23).要 点 诠 释：(1)内 角 和 定 理 的 应 用：已 知 多 边 形 的 边 数，求 其 内 角 和；己 知 多 边 形 内 角 和 求 其 边 数；(2)正 多 边 形 的 每 个 内 角 都 相 等，都 等 于-：n多 边 形 的 外 角 和 为 360.边 形 的 外 角 和 恒 等 于 360,它 与 边 数 的 多 少 无 关.二、平 行 四 边 形 定 义：两 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 叫 做 平 行 四 边 形.性 质：1.边 的 性 质：平 行 四 边 形 两 组 对 边 平 行 且 相 等；2.角 的 性 质：平 行 四 边 形 邻 角 互 补，对 角 相 等；3.对 角 线 性 质：平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平 分；4.平 行 四 边 形 是 中 心 对 称 图 形，对 角 线 的 交 点 为 对 称 中 心.判 定：1.两 组 对 边 分 别 平 行 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形；2.两 组 对 边 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形；3.一 组 对 边 平 行 且 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形；4.两 组 对 角 分 别 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形；5.对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形.平 行 线 的 性 质 1.平 行 线 间 的 距 离 都 相 等 2.等 底 等 高 的 平 行 四 边 形 面 积 相 等 三、梯 形 定 义：一 组 对 边 平 行 而 另 一 组 对 边 不 平 行 的 四 边 形 叫 梯 形；有 一 个 角 是 直 角 的 梯 形 叫 直 角 梯 形；有 两 条 腰 相 等 的 梯 形 叫 做 等 腰 梯 形.等 腰 梯 形 性 质：（1）两 底 平 行，两 腰 相 等；（2）同 一 底 边 上 的 两 个 角 相 等；/二 X（3）两 条 对 角 线 相 等；/（4）轴 对 称 图 形（底 的 中 垂 线 就 是 它 的 对 称 轴）./而 知（上 底+下 底）x高 面 积：S梯 形=-等 腰 梯 形 判 定：（1）两 腰 相 等 的 梯 形 是 等 腰 梯 形；（2）同 一 底 边 上 的 两 个 角 相 等 的 梯 形 是 等 腰 梯 形；（3）对 角 线 相 等 的 梯 形 是 等 腰 梯 形.解 决 梯 形 问 题 的 常 用 方 法（如 下 图 所 示）：（1）“作 高”：使 两 腰 在 两 个 直 角 三 角 形 中.（2）“移 对 角 线”：使 两 条 对 角 线 在 同 一 个 三 角 形 中.（3）“延 长 两 腰”：构 造 具 有 公 共 角 的 两 个 三 角 形.（4）“等 积 变 形”：连 接 梯 形 上 底 一 端 点 和 另 一 腰 中 点，并 延 长 交 下 底 的 延 长 线 于 一 点,构 成 三 角 形.并 且 这 个 三 角 形 面 积 与 原 来 的 梯 形 面 积 相 等.综 上，解 决 梯 形 问 题 的 基 本 思 路：梯 形 问 题 八 二 工 心 三 角 形 或 平 行 四 边 形 问 题,这 分 割、拼 接 种 思 路 常 通 过 平 移 或 旋 转 来 实 现.三 角 形、梯 形 的 中 位 线 联 结 三 角 形 两 边 中 点 的 线 段 叫 做 三 角 形 的 中 位 线.三 角 形 中 位 线 定 理：三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 三 角 形 的 第 三 边，且 等 于 第 三 边 的 一 半.联 结 梯 形 两 腰 中 点 的 线 段 叫 梯 形 的 中 位 线.梯 形 的 中 位 线 定 理：梯 形 的 中 位 线 平 行 于 两 底，并 且 等 于 两 底 和 的 一 半.典 的 引 森 一、单 选 题 1.一 个 多 边 形 的 每 一 个 外 角 都 等 于 60。，则 这 个 多 边 形 的 边 数 是（）A.10 B.9 C.6 D.42.若 一 个 多 边 形 的 内 角 和 比 它 的 外 角 和 大 540。，则 该 多 边 形 的 边 数 为（）A.4 B.5 C.6 D.73.小 红：我 计 算 出 一 个 多 边 形 的 内 角 和 为 2020。；老 师：不 对 呀，你 可 能 少 加 了 一 个 角！则 小 红 少 加 的 这 个 角 的 度 数 是（）A.110 B,120 C.1 30 D.I 404.刘 师 傅 给 客 户 加 工 一 个 平 行 四 边 形 ABCD的 零 件，他 要 检 查 这 个 零 件 是 否 为 平 行 四 边 形,用 下 列 方 法 不 能 检 查 的 是（）A.AB 1/CD,AB=CD B.ZB=Z，ZA=ZCC.AB CD,AD=BC D.AB=CD,BC=AD5.如 图，在 YABCD中，8尸 平 分/A B C 交 A。于 点 F,CE平 分 N8C。交 A 于 点 E,若 AB=6,AQ=8,则 E尸 的 长 度 为（）A.4 B.5 C.6 D.76.下 列 命 题：等 腰 梯 形 的 两 个 底 角 相 等；两 个 底 角 相 等 的 梯 形 是 等 腰 梯 形；等 腰 梯 形 的 对 角 线 等；对 角 线 相 等 的 梯 形 是 等 腰 梯 形，其 中 真 命 题 的 个 数 是（）A.0 B.2 C.3 D.47.如 图，在 等 腰 梯 形 中，A D/B C,Z C=60,AD=6,AB=8,贝 lj B C=()8.如 图，将 平 行 四 边 形 A8CD沿 对 角 线 A C折 叠，使 点 B落 在 点 8 处，若 N1=48。，N2=32,则 的 度 数 为（）.BA.124 B.114 C.104 D.569.如 图，在 YAfiC。中，如 果 点 E 是 边 A O的 中 点，且 N4=N A E C,那 么 下 列 结 论 不 正 确 的 是（）B.BF=2DFC.AB=-E F2D S四 边 形 八 BFE=5S,/w10.某 花 木 场 有 一 块 如 等 腰 梯 形 A3C。的 空 地（如 图），各 边 的 中 点 分 别 是 E、尸、G、H,用 篱 笆 围 成 的 四 边 形 场 地 的 周 长 为 4 0 c m,则 对 角 线 A C的 长 度 为（)C.10cm D.5cm二、填 空 题 11.如 果 某 个 等 腰 梯 形 的 一 个 底 角 为 60。，它 的 上、下 底 长 分 别 为 3 和 5,那 么 这 个 梯 形 的腰 长 是.12.如 图，在 梯 形 ABC。中，AB DC,DE/CB,VAE周 长 为 18,D C=4,则 该 梯 形 的 周 长 等 于.13.在 等 腰 梯 形 ABC。中，E、F、G、，分 别 为 各 边 中 点，已 知 对 角 线 4 7=1 0,则 四 边 形 E F G H 的 周 长 为.14.如 图，平 行 四 边 形 A8CD中，AE_LBC,AFA.C D,垂 足 分 别 是 E、F,ZEAF=60,BE=2,D F=3,则 平 行 四 边 形 ABCD的 周 长 为.15.如 图，梯 形 4 3 c。中，ZABC=/B C D,A D/BC,BO平 分/A B C,若 4 9=3,BC=1,则 的 长 为.16.如 图，YABCZ）中，连 接 8。，E 是 8。上 一 点，连 接 A E并 延 长 交 CQ于 凡 交 8 C延 长 线 于 点 G,若 EF=2,FG=3,则 A E=.17.如 图，在 梯 形 ABCZ）中，AD BC,A C与 8 0 相 交 于 点 0,如 果 S 入*=2 S桢。，那 么 18.如 图，点 尸 在 正 五 边 形 43CDE的 内 部，若 A 3 F为 等 边 三 角 形，则 的 度 数 是 A B1 9.如 图，Y 4 3 c o对 角 线 A C与 3。交 于 点。，且 AO=3,AB=5,在 A 8延 长 线 上 取 一 2点 E,使 8E=g A B,连 接。交 BC于 尸，则 BF的 长 为.90?,AB C D,将 线 段 CB绕 着 点 8 按 顺 时 针 方 向 旋 转,使 点 C落 在 CC延 长 线 上 的 点 E处.联 结 AE、B E,设 BE与 边 A。交 于 点 F,如 果 钙=4,S 且 上 巫=5,那 么 梯 形 A8C。的 中 位 线 等 于.3 AM/四、特 殊 平 行 四 边 形 矩 形 的 判 定 平 行 四 边 形：（1）有 一 个 角 为 直 角（2）对 角 线 相 等.一 般 四 边 形 中，三 个 角 为 直 角.菱 形 的 判 定：在 平 行 四 边 形 中，（1）有 一 组 邻 边 相 等。（2）对 角 线 互 相 垂 直.一 般 四 边 形 中，四 条 边 相 等.正 方 形 的 判 定:平 行 四 边 形、矩 形、菱 形、正 方 形 的 性 质:相 关 元 素 平 行 四 边 形 矩 形 菱 形 正 方 形 边 对 边 平 行 且 相 等 对 边 平 行 且 相 等 对 边 平 行 四 条 边 都 相 等 对 边 平 行 四 条 边 都 相 等 角 对 角 相 等 四 个 角 都 是 直 角 对 角 相 等 四 个 角 都 是 直 角 对 角 线 对 角 线 互 相 平 分 对 角 线 互 相 平 分 对 角 线 相 等 对 角 线 互 相 平 分 对 角 线 互 相 垂 直 每 一 条 对 角 线 平 分 一 组 对 角 对 角 线 互 相 平 分 对 角 线 互 相 垂 直.每 一 条 对 角 线 平 分 一 组 对 角 对 角 线 相 等 对 称 性 中 心 对 称 既 是 中 心 对 称 又 是 轴 对 称 既 是 中 心 对 称 又 是 轴 对 称 既 是 中 心 对 称 又 是 轴 对 称 共 倒 引 一、单 选 题 1.下 列 命 题 中，正 确 的 命 题 是（）A.一 组 对 边 平 行 另 一 组 对 边 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 B.对 角 线 相 等 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 C.对 角 线 互 相 垂 直 且 相 等 的 四 边 形 是 菱 形 D.对 角 线 垂 直 且 平 分 的 四 边 形 是 正 方 形 2.在 菱 形 ABCZ）中，对 角 线 AC、3。相 交 于 点。，AB=5,A C=6,过 点。作 A C的 平 行 线 交 的 延 长 线 于 点 E,则 BDE的 面 积 为（）A.22 B.24 C.48 D.443.如 图，正 方 形 ABC。的 两 条 对 角 线 AC,8。相 交 于 点。，点 E 在 8 3上，S.BE=AD,则 4.如 图，矩 形 ABCD中，=6,如 果 将 该 矩 形 沿 对 角 线 8 0折 叠，那 么 图 中 阴 影 部 分 3 8 a的 面 积 是 22.5,则 B C=（）CA.8 B.10 C.12 D.145.如 图，在 矩 形 A8C 中，AB=24,8 c=1 2,点 E 在 边 A B上，点 尸 在 边 C D上，点 G、”在 对 角 线 AC上，若 四 边 形 EGF”是 菱 形.则 A E的 长 是（）6.如 图，在 ABC中，ZBAC=90,AB=3,AC=4,P 为 边 BC上 一 动 点，P E L M 于 E,P F L A C于 F,则 E尸 的 最 小 值 为（）A.1.2 B.1.25 C.2.4 D.2.57.如 图，点 E,F,G,4 分 别 为 四 边 形 ABC。四 条 边 A8,BC,CD,A的 中 点，则 关 于 四 边 形 EFG”,下 列 说 法 正 确 的 是（）A.不 一 定 是 平 行 四 边 形 B.当 AC=B 时，它 为 菱 形 C.一 定 是 轴 对 称 图 形 D.不 一 定 是 中 心 对 称 图 形 8.如 图，两 个 正 方 形 的 边 长 都 为 6,其 中 正 方 形 OEFG绕 着 正 方 形 ABCD的 对 角 线 的 交 点。旋 转，正 方 形 OEFG与 边 4 8、8 c 分 别 交 于 点 M、N（不 与 端 点 重 合），设 两 个 正 方 形 重 叠 部 分 形 成 图 形 的 面 积 为,8M V的 周 长 为，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.m发 生 变 化，存 在 最 大 值 B.“发 生 变 化，存 在 最 小 值C.机 不 发 生 变 化，”存 在 最 大 值 D.旭 不 发 生 变 化，存 在 最 小 值 二、填 空 题 9.矩 形 具 有 而 平 行 四 边 形 不 一 定 具 有 的 性 质 是.填 代 号 对 边 平 行 且 相 等；对 角 线 互 相 平 分；对 角 相 等；对 角 线 相 等；四 个 角 都 是 90。；轴 对 称 图 形.10.菱 形 的 边 长 为 5,一 条 对 角 线 长 为 6,则 这 个 菱 形 的 面 积 是.11.如 图，在 矩 形 ABCD中，对 角 线 A C,BO相 交 于 点。，若 NAO8=60。，AB=4cm,对 角 线 A C与 8。相 交 于 点 0,O E L A B,垂 足 为 E 点，若 ZA)C=1 3 0,贝.13.如 图，在 矩 形 ABC中，AB=8,BC=6,点 P 为 边 AB上 任 意 一 点，过 点 尸 作 PE_LAC,PF BD,垂 足 分 别 为 E、F,W O P E+P F=.14.如 图，点 E 为 正 方 形 A8C。外 一 点，且 E=C Q,连 结 A E,交 B D 于 点 F.若 NCDE=3 0。，则/。尸 C 的 度 数 为 一.三、解 答 题 15.已 知:如 图，矩 形 A B C D 的 两 条 对 角 线 A C与 8。相 交 于 点。，点 E、尸 分 别 是 线 段 OC、OD的 中 点，联 结 AR、BE.A B(1)求 证：四 边 形 4 龙 尸 是 等 腰 梯 形；过 点。作 Q W L A B,垂 足 为 点 M,联 结 M E,如 果 NOME=N 8 A C,求 证：四 边 形 4WE产 是 菱 形.1 6.已 知 如 图，四 边 形 4 3 c o中，ZBAD=ZBCD=90,E为 对 角 线 8。的 中 点，点 尸 在 边 A上，CF 交 BD 于 点、G,CF/AE,CF=BD.(1)求 证：四 边 形 AEC尸 为 菱 形；(2)如 果 ZDCG=NEC,求 证：AE2=AD DC.也 1 且 考 向 五、平 面 向 量 平 面 向 量 的 概 念：既 有 大 小，又 有 方 向 的 量 叫 做 向 量.向 量 一 般 用 A c 来 表 示，或 用 有 向 线 段 的 起 点 与 终 点 的 大 写 字 母 表 示，如：A B.向 量 的 大 小 也 叫 做 向 量 的 长 度(或 向 量 的 模)，记 作 I AB|或 I a I.向 量 不 能 比 较 大 小，但 向 量 的 模 可 以 比 较 大 小.方 向 相 同 且 长 度 相 等 的 两 个 向 量 叫 做 相 等 的 向 量.方 向 相 反 且 长 度 相 等 的 两 个 向 量 叫 做 互 为 相 反 向 量.方 向 相 同 或 相 反 的 两 个 向 量 叫 做 平 行 向 量.平 面 向 量 的 加 法：向 量 加 法 的 三 角 形 法 则：求 不 平 行 的 两 个 向 量 的 和 向 量 时，只 要 把 第 二 个 向 量 与 第 一 个 向 量 首 尾 相 接，那 么 以 第 一 个 向 量 的 起 点 为 起 点、第 二 个 向 量 的 终 点 为 终 点 的 向 量 就 是 和 向 量.设 A B=a,BC=b,则 a+=AB+=AC.向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则：如 果 是 两 个 不 平 行 的 向 量，那 么 求 它 们 的 和 向 量 时，任 取 一 点 为 公 共 起 点，作 两 个 向 量 分 别 和 相 等；再 以 这 两 个 向 量 为 邻 边 作 平 行 四 边 形；然 后 以 所 取 的 公 共 起 点 为 起 点，作 这 个 平 行 四 边 形 的 对 角 线 向 量，则 这 一 对 角 线 向 量 就 是 4与 方 的 和 向 量.向 量 的 加 法 满 足 交 换 律 a+/?=b+a，满 足 结 合 律(a+B)+c=a+(+c).零 向 量：长 度 为 0 的 向 量，记 为 0,其 方 向 是 任 意 的，0 与 任 意 向 量 平 行 零 向 量.a=0 0 I a I=0.0+a-a+0-a-平 面 向 量 的 减 法：己 知 两 个 向 量 的 和 及 其 中 一 个 向 量,求 另 一 个 向 量 的 运 算 叫 做 向 量 的 减 法.减 去 一 个 向 量 等 于 加 上 这 个 向 量 的 相 反 向 量.向 量 减 法 的 三 角 形 法 则：在 平 面 内 任 取 一 点，以 这 点 为 公 共 起 点 作 出 这 两 个 向 量，那 么 它 们 的 差 向 量 是 以 减 向 量 的 终 点 为 起 点、被 减 向 量 的 终 点 为 终 点 的 向 量.要 点：(1)用 平 行 四 边 形 法 则 时，两 个 已 知 向 量 是 要 共 始 点 的，和 向 量 是 始 点 与 已 知 向 量 的 始 点 重 合 的 那 条 对 角 线，而 差 向 量 是 另 一 条 对 角 线，方 向 是 从 减 向量 指 向 被 减 向 量.(2)三 角 形 法 则 的 特 点 是“首 尾 相 接”，由 第 一 个 向 量 的 起 点 指 向 最 后 一 个 向 量 的 终 点 的 有 向 线 段 就 表 示 这 些 向 量 的 和；差 向 量 是 从 减 向 量 的 终 点 指 向 被 减 向 量 的 终 点 当 两 个 向 量 的 起 点 公 共 时，用 平 行 四 边 形 法 则；当 两 向 量 是 首 尾 连 接 时，用 三 角 形 法 则.向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 可 推 广 至 多 个 向 量 相 加：AB+B C+C D+P Q+QR=A R,但 这 时 必 须“首 尾 相 连”.六、实 数 与 向 量 相 乘 1.实 数 与 向 量 相 乘 的 意 义：一 般 地，设 为 正 整 数，为 向 量，我 们 用 疝 表 示 个 相 加；用 一 位 表 示 个 相 加.又 当 用 为 正 整 数 时，二 方 表 示 与 同 向 且 长 度 为“I a|的 向 量.m m要 点：设 P为 一 个 正 数，pa就 是 将 a 的 长 度 进 行 放 缩，而 方 向 保 持 不 变；4 也 就 是 将 a 的 长 度 进 行 放 缩，但 方 向 相 反.2.向 量 数 乘 的 定 义 一 般 地，实 数 人 与 向 量 a 的 相 乘 所 得 的 积 是 一 个 向 量，记 作 ka,它 的 长 度 与 方 向 规 定 如 下：(1)如 果 krO,且 a w O 时，则：左。的 长 度：|ka|=|ka；左。的 方 向：当 女()时，版 与 a 同 方 向；当()时，k a 与 a 反 方 向;(2)如 果 k=0,或 a=0时，则：ka=O,Za 的 方 向 任 意.实 数 攵 与 向 量 a 相 乘，叫 做 向 量 的 数 乘.要 点：(1)向 量 数 乘 结 果 是 一 个 与 已 知 向 量 平 行(或 共 线)的 向 量；(2)实 数 与 向 量 不 能 进 行 加 减 运 算；(4)Za表 示 向 量 的 数 乘 运 算，书 写 时 应 把 实 数 写 在 向 量 前 面 且 省 略 乘 号，注 意 不 要 将 表 示 向 量 的 箭 头 写 在 数 字 上 面；(5)向 量 的 数 乘 体 现 几 何 图 形 中 的 位 置 关 系 和 数 量 关 系.3.实 数 与 向 量 的 相 乘 的 运 算 律：设 相、为 实 数，贝 I：(1)m(na)=(mn)a(结 合 律);(2)(m+n)a=ma+na(向 量 的 数 乘 对 于 实 数 加 法 的 分 配 律);(3)m(a+b)=ma+mb(向 量 的 数 乘 对 于 向 量 加 法 的 分 配 律)七、平 行 向 量 定 理 1.单 位 向 量：长 度 为 1的 向 量 叫 做 单 位 向 量.要 点：任 意 非 零 向 量 占 与 它 同 方 向 的 单 位 向 量 a。的 关 系：a=|a|a02.平 行 向 量 定 理：如 果 向 量 b 与 非 零 向 量 a 平 行，那 么 存 在 唯 一 的 实 数 m,使 b=ma.要 点：b(1)定 理 中，卜 司=,m 的 符 号 由 b 与 a 同 向 还 是 反 向 来 确 定.a(2)定 理 中 的“a w O”不 能 去 掉，因 为 若 a=O,必 有 b=0,此 时 m 可 以 取 任 意 实 数，使 得 b=m a 成 立.(3)向 量 平 行 的 判 定 定 理：a 是 一 个 非 零 向 量，若 存 在 一 个 实 数 m,使 b=m a,则 向 量 b与 非 零 向 量 a 平 行.(4)向 量 平 行 的 性 质 定 理：若 向 量 6 与 非 零 向 量 a 平 行，则 存 在 一 个 实 数 m,使 5=11.(5)A、B、C 三 点 的 共 线。AB BC。若 存 在 实 数 入，使 AB=2BC.八、向 量 的 线 性 运 算 1.向 量 的 线 性 运 算 定 义：向 量 的 加 法、减 法、实 数 与 向 量 相 乘 以 及 它 们 的 混 合 运 算 叫 做 向 量 的 线 性 运 算.要 点：(1)如 果 没 有 括 号，那 么 运 算 的 顺 序 是 先 将 实 数 与 向 量 相 乘，再 进 行 向 量 的 加 减.(2)如 果 有 括 号，则 先 做 括 号 内 的 运 算，按 小 括 号、中 括 号、大 括 号 依 次 进 行.2.向 量 的 分 解：平 面 向 量 基 本 定 理：如 果 4*2 是 同 一 平 面 内 两 个 不 共 线(或 不 平 行)的 向 量，那 么 对 于 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a,有 且 只 有 一 对 实 数 4,4,使 得 a=44+402.要 点：(1)同 一 平 面 内 两 个 不 共 线(或 不 平 行)向 量 印 02叫 做 这 一 平 面 内 所 有 向 量 的 一 组 基 底.一 组 基 底 中，必 不 含 有 零 向 量.(2)一 一 个 平 面 向 量 用 一 组 基 底 q,02表 示 为 a=4 q+402 形 式，叫 做 向 量 的 分 解，当,e?相 互 垂 直 时，就 称 为 向 量 的 正 分 解.(3)以 平 面 内 任 意 两 个 不 共 线 的 向 量 为 一 组 基 底，该 平 面 内 的 任 意 一 个 向 量 都 可 表 示 成 这 组 基 底 的 线 性 组 合，基 底 不 同，表 示 也 不 同.3.用 向 量 方 法 解 决 平 面 几 何 问 题：(1)利 用 已 知 向 量 表 示 未 知 向 量 用 已 知 向 量 来 表 示 另 外 一 些 向 量，除 利 用 向 量 的 加、减、数 乘 运 算 外，还 应 充 分 利 用 平 面 几 何 的 一 些 定 理，因 此 在 求 向 量 时 要 尽 可 能 转 化 到 平 行 四 边 形 或 三 角 形 中，利 用 三 角 形 中 位 线、相 似 三 角 形 对 应 边 成 比 例 等 平 面 几 何 的 性 质，把 未 知 向 量 转 化 为 与 已 知 向 量 有 直 接 关 系 的 向 量 来 求 解.(2)用 向 量 方 法 研 究 平 面 几 何 的 问 题 的“三 步 曲”：建 立 平 面 几 何 与 向 量 的 联 系，将 平 面 几 何 问 题 转 化 为 向 量 问 题.通 过 向 量 运 算，研 究 几 何 元 素 的 关 系.把 运 算 结 果“翻 译”成 几 何 关 系.共 的 引 覆 一、单 选 题 1.若 非 零 向 量 a和 6 互 为 相 反 向 量，则 下 列 说 法 中 错 误 的 是()A.a/b B.a#b C.卜 卜 W D.b=-a2.下 列 说 法 中 不 正 确 的 是()A.如 果 加、”为 实 数，那 么(“+“”=+B.如 果 氏=0或 a=0，那 么 Aa=OC.如 果 A H O,且 awO，那 么 妨 的 方 向 与。的 方 向 相 同D.长 度 为 1的 向 量 叫 做 单 位 向 量 3.矩 形 ABC。的 对 角 线 A C与 8。相 交 于 点 0,如 果 BC=a，D C=b，那 么（）A.D O=a-b）C.D O=a-b4.下 列 说 法 正 确 的 是（）A.如 果 e 为 单 位 向 量，那 么=|a|eC.如 果、Z?都 是 单 位 向 量，那 么=?B.D.3 0=；(-&)仅+a)B.如 果 d=b 那 么 a bD.如 果|a|=|切，那 么 5.下 列 命 题 正 确 的 个 数 是（）设 氏 是 一 个 实 数，是 向 量，那 么 左 与 相 乘 的 积 是 一 个 向 量；如 果*0,a w O，那 么 k a的 模 是 R|卜|;如 果=0,或 a=0,那 么 ka=O;如 果%0,h 的 方 向 与 a 的 方 向 相 反.A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 6.下 列 命 题 中，正 确 的 是（）A.如 果=0或 a=0,那 么 h a=O B.如 果 a/?,那 么=必（4为 实 数）C.如 果 a=A6（无 为 实 数），那 么 a。D.如 果 忖=悭|,那 么 a=2匕 或 a=-2匕 7.如 图，已 知 A、B、C是 直 线/上 的 三 点，P 是 直 线/外 的 一 点，BC=2AB,PA=7t,PB=n,那 么 PC等 于（）A.-2万+3 B.-7r+2n C.2兀-n D.4/一 38.已 知 单 位 向 量 e 与 非 零 向 量 d、b,下 列 四 个 选 项 中，正 确 的 是()1 1,1A.ae=a B.eb=b C.-,a=T r f i D.:-a=ell l l|a|二、填 空 题 9.计 算：3（2a-b）-（3a+2b）=.10.如 果 向 量 a、b、x 满 足 关 系 式 a-卜-助）=，那 么 x=_（用 向 量 a、b 表 示）.11.如 图，在 2A B e中，AB=AC,A D 1 B C,垂 足 为 点。.设 AB=a,BC=b,那 么 A D=（结 果 用 a、b 的 式 子 表 示）.12.如 图，已 知 在 ABC中，A=2,AB=5,DE/B C.设=AC=b,试 用 向 量 a、h 表 示 向 量 BE=.13.如 图，已 知 梯 形 ABC。中，AD BC,BC=3 A D,设 AB=a，D C=b,那 么 向 量 A。用 向 量 a、b 表 示 为.14.如 图，在 正 六 边 形 ABCCE/中，设 BA=a，AE=b，那 么 向 量 B F 用 向 量 a、万 表 示 为 15.如 图，点 G 是 A B C 的 重 心，D E 过 点 G 且 平 行 于 8 C,点。、E 分 别 在 A B、A C 上,设 A8=a,AC=b 那 么。E=（用、万 表 示）16.如 图，在 梯 形 A B C D 中，A D/B C,对 角 线 AC、8。相 交 于 点。，点 E、F 分 别 是 边 AB、8 的 中 点，AO:OC=1:4,设 AO=a，那 么 E F=.（用 含 向 量”的 式 子 表 示）A D在 模 型 检 测、单 选 题 1.（2021.上 海 青 浦.统 考 二 模）如 果 一 个 正 多 边 形 的 每 一 个 外 角 都 是 45。，那 么 这 个 正 多 边 形 的 内 角 和 为（）A.360 B.720 C.1080 D.14402.（2022.上 海.上 海 市 娄 山 中 学 校 考 二 模）依 次 连 接 等 腰 梯 形 各 边 的 中 点 得 到 的 四 边 形 是（）A.菱 形 B.矩 形 C.正 方 形 D.等 腰 梯 形 3.（2021.上 海 宝 山.统 考 三 模）下 列 命 题 中 正 确 的 是（）A.对 角 线 相 等 的 梯 形 是 等 腰 梯 形 B.有 两 个 角 相 等 的 梯 形 是 等 腰 梯 形 C.一 组 对 边 平 行 的 四 边 形 一 定 是 梯 形 D.一 组 对 边 平 行，另 一 组 对 边 相 等 的 四 边 形 一 定 是 等 腰 梯 形 4.（2020 上 海 徐 汇 统 考 二 模）下 列 命 题 中，假 命 题 是（）A.顺 次 联 结 任 意 四 边 形 四 边 中 点 所 得 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 B.顺 次 联 结 对 角 线 相 等 的 四 边 形 四 边 中 点 所 得 的 四 边 形 是 菱 形 C.顺 次 联 结 对 角 线 互 相 垂 直 的 四 边 形 四 边 中 点 所 得 的 四 边 形 是 矩 形 D.顺 次 联 结 两 组 邻 边 互 相 垂 直 的 四 边 形 四 边 中 点 所 得 的 四 边 形 是 矩 形 5.（2022 上 海 长 宁 统 考 二 模）如 图，已 知 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形，下 列 结 论 中 不 正 确 的 是（）A.当 四=时，四 边 形 ABCD是 菱 形 B.当 时，四 边 形 A 8 C D 是 菱 形 C.当 NABC=9O。时，四 边 形 A8C。是 矩 形 D.当 时，四 边 形 ABCO是 正 方 形 6.（2022 上 海 青 浦 统 考 二 模）已 知 非 零 向 量。和 单 位 向 量 e,那 么 下 列 结 论 中，正 确 的 是（）A.同=B.6=百。C.d=|e|a D.a=7.（2022 上 海 一 模）点 G 是 A B C 的 重 心，设 A8=a,AC=b，那 么 4G关 于。和 人 的 分 解 式 是（）1 1,1 1,-1 1/-1 1,A.a+b B.a b C.a+b D.a b.2 2 2 2 3 3 3 38.（2021 上 海 虹 口 统 考 二 模）如 图，在 A B C 中，点。、E 分 别 是 边 BC、A C 的 中 点，AD和 B E 交 于 点 G,设 AB=a,AE=b.那 么 向 量 B G 用 向 量 d、6 表 示 为（）3 3 3 3 2 2 2 29.（2020 上 海 宝 山 统 考 一 模）已 知“，6 为 非 零 向 量，如 果=-5，那 么 向 量 a 与 b 的 方 向 关 系 是（）A.a/h，并 且 q 和 人 方 向 一 致 B.a/b，并 且 和 方 向 相 反 C.“和 匕 方 向 互 相 垂 直 D.和 人 之 间 夹 角 的 正 切 值 为 510.（2020上 海 闵 行 校 考 一 模）如 图，在 正 方 形 A B C C 中，A B P C 是 等 边 三 角 形，BP、CP的 延 长 线 分 别 交 A。于 点 E、F,连 结 BZ）、DP,与 C F 相 交 于 点”，给 出 下 列 结 论：BE=2AE；ADFP S B P H；DP2=P H PC；FE-BC=（2A/3-3）:3,其 中 正 确 的 个 数 为（）C.3 D.4二、填 空 题 11.（2022 上 海 崇 明 统 考 二 模）若 一 个 正 多 边 形 的 内 角 和 等 于 外 角 和 的 两 倍，则 该 正 多 边 形 的 边 数 是.12.（2022.上 海 普 陀.统 考 二 模）菱 形 的 两 条 对 角 线 长 分 别 为 5 和 12,那 么 这 个 菱 形 的 面 积 为 13.（2018.上 海 金 山.统 考 二 模）如 果 梯 形 的 中 位 线 长 为 6,一 条 底 边 长 为 8,那 么 另 一 条 底 边 长 等 于.14.（2022 上 海 青 浦 统 考 二 模）如 图，已 知 平 行 四 边 形 A 8 C D 中，E 是 上 一 点，ED=2AE,联 结 BE交 A C 于 尸，若 向 量 BA=d，向 量 BC=%,则 向 量 E 4=.15.（2018.上 海 长 宁.统 考 中 考 模 拟）在 四 边 形 4 3 8 中，E,F 分 别 是 边 AB,A O 的 中 点,若 8c=15,C=9,EF=6,ZAFE=55,则 Z A D C=.16.（2022.上 海 徐 汇 统 考 二 模）如 图，在 YABC。中，NB=70。,8c=6,以 A为 直 径 的。交 C。于 点 E,则 劣 弧 用 E 的 长 为.（结 算 结 果 保 留 乃）17.（2021.上 海 普 陀 统 考 一 模）如 图，小 明 在 教 学 楼 A 8 的 楼 顶 A 测 得：对 面 实 验 大 楼 C D 的 顶 端 C 的 仰 角 为 a,底 部。的 俯 角 为 夕，如 果 教 学 楼 A B 的 高 度 为 皿 米，那 么 两 栋 教 学 楼 的 高 度 差 C H 为 米.18.（2021 上 海 徐 汇 一 模）如 图，已 知 J1BC是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形，正 方 形 D E E G 的 顶 点 D E 分 别 在 边 A C,A B 上，点 E G 在 边 B C 上，那 么 A O 的 长 是.19.（2018上 海 闵 行 统 考 二 模）在 直 角 梯 形 ABCD 中，ABII CD,N DAB=90。，AB=12,DC=7,COSN A B C=K，点 E 在 线 段 A D 上，将 A B E 沿 B E 翻 折，点 A 恰 巧 落 在 对 角 线 B D 上 点 P处，那 么 P D=.三、解 答 题 20.（2022 上 海 上 海 市 进 才 中 学 校 考 一 模）如 图，在 Rt A 8 C 中，ZACB=90,A C=0,3sinA=-,C D L A B,垂 足 为 D.（2）设 AC=a，BC=b，用 a，b 表 示 A。.21.（2021 上 海 虹 口 统 考 一 模）如 图，在 A B C 中，点 G 是 的 重 心，联 结 A G,联 结 B G 并 延 长 交 边 A C 于 点 D,过 点 G 作 GE/BC交 边 A C 于 点 E.（1）如 果 AB=a，AC=b 用 a、b 表 示 向 量