广东省2022-2023年高三数学期末试卷汇编06：解三角形解析版.pdf

广东省2022-2023年高三数学期末试卷分类汇编专 题 06：解三角形解析版一、单选1.（清远市高三期末试题）如图，已知88是半径为2k m的扇形，O A L O B,C是弧4 8上的动点，过点C作C _ L O A,垂 足 为H,某地区欲建一个风景区，该 风 景 区 由AOC和矩形组成，且O H=2 0。，则该风景区面积的最大值为（）2 4 8【答案】A【解析】J T、【分析】设N C O A =6,其中6 G 0,-利用。表示风景区面积，求出最大值即可.I 2）/、7 1【详解】设N C Q 4 =6,其中。e 0,-,则C 4 =2 si n 8,O H=2co s6 .、2）又O H =2 O D,则 8=co s/一 1 ,则风景区面积 S=-0A -C H +0 H -0 D =2 co s1 2。+2 si n。.1 兀当且仅当si n 6 =,即6 =时取等号.2 6故选：A二、填空题2.（汕头市高三期末试题）剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中华汉族最古老的民间艺术之一.如图,2又 co s?夕 +si n 2夕=1，（I A2 5 5则 2 co s2 0+2 si n 0=-2 si n2 e +2si n 0 +2=-2 si n。-dI 2 2一圆形纸片直径A3=20cm,需要剪去四边形CEG。，可以经过对折，沿。C,EC裁剪，展开就可以得已知点C在圆上且AC=10cm,NEC。=3 0 .则镂空四边形CEQ。的面积的最小值为 cm2.【答案】150(2-73)【解析】【分析】由对称性可得SCECQ=2 SCE0,所以求CEO面积的最小值即可，设C E =a,C D =b,ED =c,根据AB=20,AC=10,NEC。=30。可得NC4E=6 0,根据CEZ)的面积公式可得a/,c的关系，再根据基本不等式即可求ACE D面积的最小值.【详解】由对称性可得SCECQ=2 SCE。，所以求CEZ)面积的最小值即可，如图所示，设。为圆心，连接A C,作CGLA3于G,由题意AC=AO=OC=1 0,所以NQ4C=6 0 ,所以CG=C4sin60=5 G，设 C E =a,C D =b,ED =c,由面积公式 SCE。=；。从m 30。=；。CG 得而=1。品，由余弦定 理 走=+”工 可得y/3 ab=a2+b2-让，2 2ab 30022 2 2又根据基本不等式可得6。8=/+一”_22。8,即2300(2 6),300 300当且仅当a=b=【300(2-我时取等号,所以S =1,求 _48C 的面积.【答案】（1）、/；半【解析】【分析】（1）在AB。、ACD中分别利用正弦定理，结合己知条件可求 得 处 的值；CD（2）由平面向量的线性运算可得出2瓶=AB+A。，利用平面向量的数量积运算可得寓cos ABAC的值,利用同角三角函数的平方关系以及三角形的面积公式可求得结果.【小问1详解】解：在ACD中，由正弦定理可得.C 可得C0=2n/C A Qsm ACAD sin ZADC sin ZADC,一 -巾 BD AB,口 nc V 6 sin ABAD y/6 sin ZBAD在/ABD中，由正弦定理得-=-，可得BD=；-=；八八二sin ABAD sin ZADB sm（兀 一 ZAOC）sin ZADC,BD 指 sin ABAD sin ZADC/-区I ITL,-=-=A/6 CD sin ZADC 2sinZC4D【小问2详解】解：因为 BD=C D,则 6=0C，即 A。AB=AC A。，.2AO=A6+AC，-2/.2.2-2所以，4AD=（AB+AC）+AC+2ABAC,即6+4+2x遥x2cosNBAC=4，即4指cos/6AC=6,解得cos/BAC=且，4/R4Ce(O,兀)，故4c 为钝角，所以，sin ABAC=V 1-cos2 ZBAC=4故 SAABC=g AB AC sin ABAC=4.4.(深 圳 市 罗 湖 区 期 末 试 题)在 ABC中，角A,B,C对 边 分 别 为，b,c,且2后,a sin B cos C+c sin B cos A=-，cb.3(1)求 cosB；(2)若c=3,AC边上中线百，求一ABC的面积.【答案】:3V 2【解析】【分析】(1)由正弦定理和已知可得sin8=2叵，利用三角函数的平方关系可得答案；3(2)法一：在和A 50中，由余弦定理可得。2 =2+6，cosB=-,求出代入三角形面积公3式可得答案；法二：由 cosNADB+cosNCDB=0得=2/+6 cos 5=-,求出。山3S/MBc=5csin5可得答案；法三：作DE/BC交AB于E，则BE、，DE=g 由余弦定理可得”=1代入三角形面积公式计算可得答案.【小问1详解】2历由正弦定理有 sin Asin BcosC+sin Csin 8cos A=-sin B3因为 sinB W 0,有 sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C)=sin B2V 2于因为c%，故cosB(),cosB=Vl-sin2 B_3【小问2详解】+。2 一法一：在一A5C 和A3。中，cosA=2bc因为c=3,BD=6，则=2+6，因为cosB=标土(斗 咐=2ac 6a所以 S ABC=gocsinB=g.3 =V 2；法二：因为cosNADB+cosNCDB=0,所以“O+。2-必2,图。L,所以a=l,33+1 3 -9 3+(|Z.1 ,一有。2 =2a2+6因为 A B.O（1）若AB BC=1 2,求8C；（2）若 cos（B-C）=,求，ABC的面积.4【答案】（1）B C =26（2）3岳2【解析】【分析】（1）根据数量积的运算可得A B/C=A B-ACTA B，求解可得4 c=8,再根据余弦定理求解6C即可；7 7（2）法一：根据二倍角公式可得cos2（B C）=6，结合cosA=d可得2（3-。）=兀-4,进而求得8 8sinC=-.由正弦定理与倍角公式可得，结合sinB=sin3C,再利用三角形面积公式求解即可；4法 二：在A C上 取 点。，使 得NC8O=N C,则cosZA8D=，,再 根 据 题 意，结合4cos/ALB=-cos（NA+Z/18。）可证明NADB=N A 3O,再根据余弦定理可得BD=2,进而利用面积公式求解即可.【小问1详解】ABBC=A BAC-AB）=A B A C-AB=|AB|AC|-cosA-42=4xA C x-16=/lC-16,7由一AC 16=1 2,得AC=8.2BC2=AB2+AC2-2 ABACc o s A=24,B C =2 R.【小问2详解】法一：cos（B C）=；,B-C p 笄 2（6 C）兀，7XC O S2（B-C）=2C O S2（B-C）-1 =,877 1乂 cos A ,0A 一,2(B-C)=7i-A,832(B-C)=B+C,B=3C,A=7T 4CcosA=cos7 7(兀-4C)=一,cos4C=V 7 8 877 12cos 2c 1 f cos2c=8 41 2sinC=,sinC=-，4 4由正弦定理得,AB BCsinC sinA又 sin A=J1-cos2 A 二把Z,AB=4,BC=4 x -x-=V 1(),8 8 V 6又sin2C=姮，cosC=44sinB=sin3C=sin(C+2C)=sinCcos2C+cosCsin2C=,4 4 4 4 8SABC4xV 103#3715=-Afi-5Csinfi=-xX-=-2282法二：在AC上取点。，使得NCBD=NC，sin/ABD=Jl-cos?/ABD=，又 sin A=Vl-cos2 A=48cos ZADB=cos 兀 -(ZA+ZABD)=-cos(ZA+ZABD)=sin A.sin NAB。cos A cos/A6Z)=巫 x 巫 一 工 x!8 4 8 4 4 cosZADB=cosZABD,ZADB=ZABD C AD=AB=47又m =AB2+A D 2-2A 8 A Z）COSA=16+1 6-2X4X4X =4,8BD=2,DC=BD=2,AC=AD+DC=6=-A?-AC-sinA=-x 4 x 6 x =2 2 8 26.（汕头市高三期末试题）设锐角三角形ABC的内角4、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=hcos A-a cos B.（1）求证：8=24；h A-c（2）求 的 取 值 范 围.a【答案】（1）证明过程见解析.（2）（V2+l,V3+2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理及积化和差得到sinA=sin（5 A）,结合角的范围，得到8=2A：（2）利用正弦定理得 到 处 =41COSA+口 根据三角形为锐角三角形，得 到A w?，?，a 4j 4 48。内角A,B,C的对边.已知7acos A=Z?cosC+ccos3.(1)求 cos 2A；(2)若+c=9,片=2/+1，求一ABC的周长.【答案】（1 ）49（2）16【解析】【分析】（1）利用正弦定理边换角，再用和差公式化简，代入倍角公式即可求解;（2）利用余弦定理的变形公式代入即可求解.【小问1详解】7zcos A=Z?cos C+ccos B，*，由正弦定理得：7sin AcosA=sin8cosC+sinCcos8/.7sinAcosA=sin（3+C）=sinA0 v A v%，sin A w 0,4 1cos A=一,7.日-o J lY i 47,cos 2A=2 cos A 1 2 x 1 =-,4947即：cos 2 A-.49【小问2详解】cos A=b2+c2-a22bccosA=l7,b2+c2-a2 12bc 7又.b+c =9，a?=128？+l,联立匚匚解得：a=c=l,b=2,a+b+c =6即一4 5 c的周长为：16.8.（惠州市高三期末试题）如图,在平面四边形A B C D中，若ZADC=90,sin A=,AB=8,3。=6.8DCBA（1）求4 5 3；（2）若 D C =2 B 求 B C.【答案】（1）Z A Z B =6 0 （2）B C =2 x/3【解析】【分析】（1）在 A 8 D中，利用正弦定理，结合已知，即可求得；（2）在AB D C中，应用余弦定理，即可求得.【详解】（1）A B 3中，由正弦定理可得：6 8-=即南=s in N A Q B,s in A s in Z A D B 8解得 s in N A O B =.2因为N A D C =9 0，所以0 N A D B 0,换元整理可得3 03一：3；.然后根r+l+-3r+1A）据基本不等式即可求出一的最大值；解法二：设 皮 =x,A D=y9根据NAD8+NAQC=7 i,得到B D2Anc o s A D B =-c o s Z A D C.根据余弦定理即可推出 一B DuucA D-me-B D4+”+,换元可得+1A DBD1 3,一3根据基本不等式即可求得最值.+1 +-3/+1【小 问1详解】因为cosA a一 ，cosC 2h-c根据正弦定理可得:cosAsinAcosC 2sinB-sinC可化为：2sin Bcos A =cos Asin C 4-sin Acos C=sin(A+C),因为A+8+C=7T,所以sin（A+C）=sin（乃一B）=sin B,.所以原式可化为：2sinBcosA=sinB，因为3 e（O,7r）,所以s in fi/O,所以原式可化为2cosA=l,即cosA=；.因为A e（0,7i）,所以A=?【小问2详解】cu u a u m 1 u u n uiu 1 ,u u m u i u、7U IB 1 u u 则 A0 =A 8 +6C=A B +g(A C-A B)=A 8+3 ACUUU 2AD1 ,u u n u u U 2=g X(2 A 5 +A C)1 (uiu 2=-x 4 A B9 Iu u n 2 u u n+AC+4 ABu u mAC c o s A1x9(4c2+2/?c +Z?2).又 8。=1比=。-A B3 3、u i i n 2 1 /U i r n i u u n、2 I(u u ti 2则 3 0 =x(A C-A3)=-x l AC +u u n 2 u u AB-2 ACu u nAB c o s A=x (2+02 一儿).所以,U U 叫2AD4c2+2bc+b2h2-bc+c2u u n _,AD A D Uc2+2hc+b2则一二-mn-=J-BD BD v -bc+c设”2翳 丐=尸 小 两 寸 F因为.(),所以t+l +-22j(r +l)x N-=2 G，f+1 V t+12I当且仅当r +l =-,即/=百 1，即2=G-1时等号成立.r +1 c所以，塔-J l +=+2”=6 +1An所以，万万 的 最 大 值 为+1.方法二：设B O=x,A D=y,则CD=2x，在，A B C中，由 余 弦 定 理 有:a2=b2+c2-2bccosA B P9x2=b2+c2-bc在 A B O和A C 中，山余弦定理有:c o s/ADBAD2+BD2-AB22AD BD2xyc o s/ADC=AD2+CD2-A C22ADCD4x2+y2-b14孙2 2 2x+y-c又 ZADB+ZADC=兀，所以 cosZADB=-cosZA D C.所以 J 二c _ =_ J，=一.整理可得 6%2+3y2=2c2+h22xy 4xy由,可得：9y2=b2+c2+2bc.y2 4c2+2bc+b2所以，=-.x b-be+c设f，0,必=卜+力+尸C BD V 产7+1mi AD y 14c2+2bc+b2所以=J-丁BD x b-b c+c因为，(),所以r +l +-N 2 j a +l)x =2 G，t+V f+1当且仅当r +l =,即/=百 1，即2=6 -1时等号成立.r+1 c所以，,得 OC=2m,又 Rt ADC AD=3,所以 cos NADCAD 3DC 2m在tABD 中，由余弦定理得,AB2=AD2+BD2-2 AD-BD-cos NADB,又 A8=373,cos ZADB=-cos ZADC,3所以 27=9+m+6m-cos ZADC=9+m+6m-,2m解得小2 =9,即z=3,TT所以。C=6,NAZ)C=33 3所以 SABCM SAQCM X-ADC.sinZAZ)C=-x-x 3 x 6 x =22 22 4即.ABC的面积 为 丝5.4A12.（佛山市高三期末试题）在ABC中，角4 8,C所对的边分别为a,b,c,若cos A+cos=0,2且 A0=2O8,AE=4EC.（1）求人的大小;(2)若a=1,DE=2不,求ABC的面积.（梅州市大埔县高三期末试题）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足4一。=,sinB=V 6sinC.6(1)求cos A的值;（2）求sin（2A+）的值.【解析】（1）ac=-b，sin B=/6 sin C 6由正弦定理得sin A sin C=sin B=H x V6 sin C，6 62分即有 sin4=2sinC,a=2c,b=#c ,4 分/2+C2-2由余弦定理知cos A=2bc6c之 +c2-4c2 _ 3 _ v62屁 -2 a 4-6 分（2）由（1）知，cosA=.A 为三角形内角,4sin A=7 1-co s2 A=-，-8 分4Ji 5sin 2 A=-,cos 2 A=cos A-sin-A=分Osin 2A+=sin2A cos+cos2A sin=-12 分I 6j 6 6 81 3.（江门市高三期末试卷）在匚A 8C 中，角 A 5 C 所对的边分别为a,4 c,1：+二=一 二tan A tan C sin B（1）证明：b2=ac;（2）若6=2,当角B取得最大值时，求人B C 的面积.（1）证 明 见 解 析（2）后【详解】（1）因为I1-1-tan A tan Csin B所以cos A cos C 1-1-=-sin A sin C sin B所以cos A sin C+sin A cos Csin Asin C1sin B所以 s i n（A +C）=j,所以sin Asin C sin 8sin Bsin Asin C sin B所以sin?8=sin Asin C，由正弦定理得y=ac（2）cosB=a+t2 b=C，Z+CaC gz=l,（当且仅当 a=c 时等号成立）,2ac 2ac lac 2则当。=c 时，cos3 取得最小值又8 0,兀），所以角B最大值为土此时 为等边三角形，所以一ABC的面积为右.