2023年分式知识点及例题.pdf

分 式 知 识 点 一:分 式 的 定 义 A一 般 地，假 如 A,B表 达 两 个 整 数，并 且 B 中 具 有 字 母，那 么 式 子 C叫 做 分 式,A 为 分 子，B为 分 母。知 识 点 二:与 分 式 有 关 的 条 件 1、分 式 故 意 义：分 母 不 为 0(B W O)2、分 式 值 为 0：分 子 为 0 且 分 母 不 为 0A=0A 03、分 式 无 意 义：分 母 为 0(B=O)4、分 式 值 为 正 或 大 于 0:分 子 分 母 同 号(BQA 0B 05、分 式 值 为 负 或 小 于 0：分 子 分 母 异 号(!A 0知 识 点 三：分 式 的 基 本 性 质 分 式 的 分 子 和 分 母 同 乘(或 除 以)一 个 不 等 于 0 的 整 式，分 式 的 值 不 变。拓 展：分 式 的 符 号 法 则：分 式 的 分 子、分 母 与 分 式 自 身 的 符 号,改 变 其 中 任 何 两 个，分 式 的 值 不 变，即 A _-A _-A A一 F 一 一。注 意：在 应 用 分 式 的 基 本 性 质 时,要 注 意 CH 0 这 个 限 制 条 件 和 隐 含 条 件 BH 0。知 识 点 四：分 式 的 约 分 定 义：根 据 分 式 的 基 本 性 质，把 一 个 分 式 的 分 子 与 分 母 的 公 因 式 约 去，叫 做 分 式 的 约 分。环 节：把 分 式 分 子 分 母 因 式 分 解，然 后 约 去 分 子 与 分 母 的 公 因。注 意:分 式 的 分 子 与 分 母 为 单 项 式 时 可 直 接 约 分，约 去 分 子、分 母 系 数 的 最 大 公 约 数，然 后 约 去 分 子 分 母 相 同 因 式 的 最 低 次 塞。分 子 分 母 若 为 多 项 式，约 分 时 先 对 分 子 分 母 进 行 因 式 分 解，再 约 分。知 识 点 四:最 简 分 式 的 定 义 一 个 分 式 的 分 子 与 分 母 没 有 公 因 式 时，叫 做 最 简 分 式。知 识 点 五:分 式 的 通 分 分 式 的 通 分:根 据 分 式 的 基 本 性 质，把 几 个 异 分 母 的 分 式 分 别 化 成 与 本 来 的 分 式 相 等 的 同 分 母 分 式，叫 做 分 式 的 通 分。（2）分 式 的 通 分 最 重 要 的 环 节 是 最 简 公 分 母 的 拟 定。最 简 公 分 母 的 定 义：取 各 分 母 所 有 因 式 的 最 高 次 暴 的 积 作 公 分 母，这 样 的 公 分 母 叫 做 最 简 公 分 母。拟 定 最 简 公 分 母 的 一 般 环 节：I 取 各 分 母 系 数 的 最 小 公 倍 数；I I单 独 出 现 的 字 母（或 具 有 字 母 的 式 子）的 基 的 因 式 连 同 它 的 指 数 作 为 一 个 因 式；III相 同 字 母（或 具 有 字 母 的 式 子）的 暴 的 因 式 取 指 数 最 大 的。IV保 证 凡 出 现 的 字 母（或 具 有 字 母 的 式 子）为 底 的 幕 的 因 式 都 要 取。注 意:分 式 的 分 母 为 多 项 式 时，一 般 应 先 因 式 分 解。知 识 点 六：分 式 的 四 则 运 算 与 分 式 的 乘 方 1、分 式 的 乘 除 法 法 则:分 式 乘 分 式，用 分 子 的 积 作 为 积 的 分 子，分 母 的 积 作 为 积 的 分 母。式 子 表 达 a c为:一 一 b da cb?d分 式 除 以 分 式:式 子 表 达 为 a c a d;=b d b c2、分 式 的 乘 方:把 分 子、分 母 分 别 乘 方。式 子=竺 I b J b1 13、分 式 的 加 减 法 则:同 分 母 分 式 加 减 法：分 母 不 变，把 分 子 相 加 减。式 子 表 达 为 色 2=且 C C C异 分 母 分 式 加 减 法：先 通 分，化 为 同 分 母 的 分 式，然 后 再 加 减。式 子 表 达 为 a L c a d b c-b d b d注 意:加 减 后 得 出 的 结 果 一 定 要 化 成 最 简 分 式（或 整 式）。知 识 点 七：整 数 指 数 募 an a=a+a+a=。2(0)(ab)=a b cT=(a H 0)a0=l 任 何 不 等 于 零 的 数 的 零 次 基 都 等 于 1）其 中 m,n均 为 整 数。知 识 点 八：分 式 方 程 的 解 的 环 节 去 分 母,把 方 程 两 边 同 乘 以 各 分 母 的 最 简 公 分 母。（产 生 增 根 的 过 程）解 整 式 方 程，得 到 整 式 方 程 的 解。检 查，把 所 得 的 整 式 方 程 的 解 代 入 最 简 公 分 母 中:假 如 最 简 公 分 母 为 0,则 原 方 程 无 解，这 个 未 知 数 的 值 是 原 方 程 的 增 根;假 如 最 简 公 分 母 不 为 0,则 是 原 方 程 的 解。分 式 方 程 应 用 题 解 题 基 本 环 节 1、审 一 仔 细 审 题，找 出 等 量 关 系。2、设 一 合 理 设 未 知 数。3、列 一 根 据 等 量 关 系 列 出 方 程（组）。4、解 一 解 出 方 程（组）。注 意 检 查（一）分 式 知 识 点 总 结 题 型 一：考 察 分 式 的 定 义【例 1】下 列 代 数 式 中：土 山，是 分 式 的 有：兀 2 y/a+b x+y x-y题 型 二:考 察 分 式 故 意 义 的 条 件【例 2】当/有 何 值 时，下 列 分 式 故 意 义 x-4 3x-o(2)-x+4 X2+22(4)x2-l|x|-3X X题 型 三：考 察 分 式 的 值 为 0 的 条 件【例 3】当 X 取 何 值 时，下 列 分 式 的 值 为 0.工。岩 2 手 题 型 四:考 察 分 式 的 值 为 正、负 的 条 件【例 4】（1）当 x 为 什 么 值 时，分 式 为 正;8-x 当 为 什 么 值 时 分 式 出 为 负;（3）当 x 为 什 么 值 时，分 式 三 为 非 负 数.x+3（二）分 式 的 基 本 性 质 及 有 关 题 型 1.分 式 的 基 本 性 质：4BA x M _ A+MB x M B+M2.分 式 的 变 号 法 则：言-b a _ a a+b-b h题 型 一：化 分 数 系 数、小 数 系 数 为 整 数 系 数【例 1】不 改 变 分 式 的 值，把 分 子、分 母 的 系 数 化 为 整 数.(1)1 2X y2 3.(2)0.2 一 0.03匕 0.04+b题 型 二：分 数 的 系 数 变 号【例 2】不 改 变 分 式 的 值,把 下 列 分 式 的 分 子、分 母 的 首 项 的 符 号 变 为 正 号.(1)-x+y xy。(2)-a-h-b题 型 三：化 简 求 值 题【例 1】已 知:x-=2,求 一+二 的 直 X X2【例 2】若|x-y+l|+(2x-3)2=0,求 一-的 值.4x-2y(三)分 式 的 运 算 1.拟 定 最 简 公 分 母 的 方 法：最 简 公 分 母 的 系 数，取 各 分 母 系 数 的 最 小 公 倍 数；最 简 公 分 母 的 字 母 因 式 取 各 分 母 所 有 字 母 的 最 高 次 幕.2.拟 定 最 大 公 因 式 的 方 法:最 大 公 因 式 的 系 数 取 分 子、分 母 系 数 的 最 大 公 约 数;取 分 子、分 母 相 同 的 字 母 因 式 的 最 低 次 幕.题 型 一：通 分【例 1】将 下 列 各 式 分 别 通 分.-2ab,上 3a2_(2)_.c-5b2c(a-b2b-2a 题 型 二:约 分【例 2】约 分:(1)小，贮 二 匕(3)小 上 220 xy3 m-n x2-x-6题 型 三:分 式 的 混 合 运 算【例 3】计 算:(退)3(/+(如)4；-c-a b a。(2)(士)3.(f_y2)+(q)2；x+y y+xm+2-n-+-2-m-n-tn m-n n-m。o(4)-6r-l;1 _ 1 2x 4x3 8x71-x 1+x 1+X2 1+x4 1+x8-4-H-(x-l)(x+1)(x 4-1)(x4-3)(x+3)(x+5)x-4 1-;-),(-)x-4x+4 x-2 x+1题 型 四:化 简 求 值 题【例 4】先 化 简 后 求 值 己 知：了=一 1,求 分 子 1-一 2 一 i（匚 於-1）+（,-）的 值;%2-4 4x 2 x（2）已 知：3 T=9,求 也 产 等 的 值；2 3 4 x+y+z题 型 五：求 待 定 字 母 的 值【例 5】若 叁=2-+匕,试 求 M,N 的 值.X2-1 X+l X-1C r o j、整 数 指 数 寐 芍 科 学 化 数 法题 型 一 化 简 求 值 题 例 2 己 知 x+x=5，求 x2+x2的 值;(2)求 d+一 的 值.第 二 讲 分 式 方 程【知 识 要 点】1.分 式 方 程 的 概 念 以 及 解 法；2.分 式 方 程 产 生 增 根 的 因 素 3.分 式 方 程 的 应 用 题【重 要 方 法】1.分 式 方 程 重 要 是 看 分 母 是 否 有 外 未 知 数；2.解 分 式 方 程 的 关 健 是 化 分 式 方 程 为 整 式 方 程;方 程 两 边 同 乘 以 最 简 公 分 母.3.解 分 式 方 程 的 应 用 题 关 健 是 准 确 地 找 出 等 量 关 系，恰 本 地 设 末 知 数.(一)分 式 方 程 题 型 分 析 题 型 一：用 常 规 方 法 解 分 式 方 程 例 1 解 下 列 分 式 方 程-1=-3；(2)2-1=0;%-1 x x-3 x 言-告.=1/；/(、45)+-x-x=+-5-x+3 4-x题 型 二：增 根【例 4】若 关 于 x 的 分 式 方 程 义=1-3 有 增 根，求 m的 值.x-3 x-3题 型 三：列 分 式 方 程 解 应 用 题 练 习:1.解 下 列 方 程:(1)-+-=0；。(2)x+1 l-2 x-2 x 3 x-3-=2；(4)-=1 H 工+2 x-2 x2+x x-x2 x2-15 x-4 2x+5 12 x-4 3 x-2 2.6-1-+-1-x+1 x+51 1-1-x+2 x+42.假 如 解 关 于 x 的 方 程 联+2=汽 会 产 生 增 根，求 女 的 值.(5)3.已 知 关 于 x 的 分 式 方 程 誓=“无 解，试 求 短 的 值.（二）分 式 方 程 的 特 殊 解 法 解 分 式 方 程，重 要 是 把 分 式 方 程 转 化 为 整 式 方 程，通 常 的 方 法 是 去 分 母，并 且 要 检 查，但对 一 些 特 殊 的 分 式 方 程，可 根 据 其 特 性，采 用 灵 活 的 方 法 求 解,现 举 例 如 下:一、交 叉 相 乘 法 例 1.解 方 程：x x+2二、化 归 法 例 2.解 方 程：二=0 x-1 x2-三、左 边 通 分 法 例 3：解 方 程：-=8x-7 1-x四、分 子 对 等 法 例 4.解 方 程：1+-=1+-(a*加 a x b x五、观 测 比 较 法 例 5.解 方 程:上 二+空 工=又 5x-2 4x 4六、分 离 常 数 法 例 6.解 方 程：+x+2 x+9x+2 x+7-4-x+3 x+8七、分 组 通 分 法例 7.解 方 程:1-1-1-x+2 x+51 1-1-x+3 x+4（三）分 式 方 程 求 待 定 字 母 值 的 方 法 例 1.若 分 式 方 程=4 无 解，求 m 的 值。x 2 2-x